精品解析：2024年甘肃省嘉峪关市某校九年级上学期第二次模拟考试数学试卷

初三年级2024学年第二次模拟考试复习 数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 若气温上升记作，则气温下降记作（ ） A. B. C. D. 2. 根据有关部门测算，2022年春节假期7天，全国国内旅游出游251000000人次．数据251000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 点A（－1，），B（－2，）在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. ＞ B. = C. ＜ D. 不能确定 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( ) A. B. C. D. 7. 2020年3月，我市某区一周天气质量报告中某项污染指标的数据是：60、60、90、100、90、70、90，则下列关于这组数据表述正确的是(　　) A. 众数是60 B. 中位数是100 C. 极差是40 D. 平均数是78 8. 如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=25°，则∠CAD的度数是(　　) A. 25° B. 60° C. 65° D. 75° 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 在二次函数yx22x3中，当时，y的最大值和最小值分别是（ ） A. 0，4 B. 0，3 C. 3，4 D. 0，0 二、本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：x2－9＝______． 12. 若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为______． 13. 甲、乙两支足球队，每支球队队员身高数据的平均数都是1.70米，方差分别为S甲2=0.29，S乙2=0.35，其身高较整齐的是_____球队． 14. 使在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___． 15. 圆锥侧面积为32π cm2，底面半径为4cm，则圆锥的母线长为____cm． 16. 如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y＝﹣x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P（2018，m）与Q（2025，n）均在该波浪线上，则mn＝_____． 三、解答题（本大题共个12小题，共96分．解答应写出证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得___________； （2）解不等式②，得___________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为___________． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，已知． （1）尺规作图：作的边的垂直平分线，交于点D，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，求的长． 21. 某市今年中考理化实验操作考试，采用学生抽签方式决定自己的考试内容，规定：每位考生必须在三个物理实验（用、、表示）和三个化学实验（用、、表示）中各抽取一个进行考试，小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个． （1）小刚抽到物理实验的概率是______． （2）用“列表法”或“画树状图法”求小刚抽到物理实验和化学实验（记作事件）的概率是多少? 22. 为传承酒泉文明、弘扬民族精神．某校“综合与实践”小组开展了测量鼓楼（如图①）高度的实践活动，测量鼓楼高度的实践报告如图②，利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为；前进了14米到达A处（测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为．计算鼓楼的高度（结果保留整数）（，，，，，．） 23. “足球运球”是中考体育必考项目之一．兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图．（说明：A级：8分﹣10分，B级：7分﹣7.9分，C级：6分﹣6.9分，D级：1分﹣5.9分） 根据所给信息，解答以下问题： （1）在扇形统计图中，C对应的扇形的圆心角是　 　度； （2）补全条形统计图； （3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在　 　等级； （4）该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人？ 24. 如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积． 25. 如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝，求⊙O的半径． 26. 矩形中，，点是边的中点，连接，过点作的垂线，与矩形的外角平分线交于点． （1）【特例证明】如图（1），当时，求证：； 小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整． 证明：如图，在上截取，连接． ， ． ，， ， ． 平分，， ． ． ∴……（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程） （2）【类比探究】如图（2），当时，求的值（用含k的式子表示）． 27. 如图所示，在的顶点、在轴上，点在轴上正半轴上，且，，． （1）求过A，B，C三点的抛物线解析式． （2）设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，且满足以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标； （3）在对称轴和抛物线上是否分别存在点、，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级2024学年第二次模拟考试复习 数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 若气温上升记作，则气温下降记作（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，利用正数和负数表示具有相反意义的量．根据正负数的意义，气温上升记为“+”，则气温下降记为“-”，据此解答即可得到答案． 【详解】解：若气温上升记作，则气温下降记作， 故选：C． 2. 根据有关部门测算，2022年春节假期7天，全国国内旅游出游251000000人次．数据251000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：251000000=． 故选：A 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键． 3. 点A（－1，），B（－2，）在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. ＞ B. = C. ＜ D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小，根据题意可得：－1＞－2，则． 故选:C． 考点：反比例函数的性质． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则进行运算，即可得出结论． 【详解】A．x5和x4不是同类项，不能合并，故本选项错误； B．，原式错误，故本选项错误； C．x3和2x5不是同类项，不能合并，故本选项错误； D．，原式正确，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，掌握运算法则是解答本题的关键． 5. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把点的横坐标加2，纵坐标不变，得到，就是平移后的对应点的坐标． 【详解】解：点向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移．掌握平移的规律是解答本题的关键． 6. 如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据第三象限点的特征，横纵坐标都为负，列出一元一次不等式组，进而即可求解． 【详解】解：∵点P（m，1+2m）在第三象限内， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 故选D． 【点睛】本题考查了第三象限的点的坐标特征，一元一次不等式组的应用，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键． 7. 2020年3月，我市某区一周天气质量报告中某项污染指标的数据是：60、60、90、100、90、70、90，则下列关于这组数据表述正确的是(　　) A. 众数是60 B. 中位数是100 C. 极差是40 D. 平均数是78 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数、平均数、中位数、极差的概念求解． 【详解】解：将这组数据从小到大重新排列为：60、60、70、90、90、90、100， 所以这组数据的众数是90、中位数是90、极差为100﹣60＝40、平均数为80， 故选：C． 【点睛】本题考查了众数、平均数和中位数、极差的概念，正确掌握各知识点的概念是解答本题的关键． 8. 如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=25°，则∠CAD的度数是(　　) A. 25° B. 60° C. 65° D. 75° 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACD=90°，又由圆周角定理的推论可得∠D=∠ABC=25°，继而求得答案． 【详解】解：∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD=90°， ∵∠D=∠ABC=25°， ∴∠CAD=90°﹣∠D=65°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论，掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设规定时间为天，分别表示出慢马和快马的行驶时间与速度，根据“快马的速度是慢马的倍”这一等量关系列方程即可解答． 【详解】解：设规定时间为天， ∵慢马所需时间比规定时间多天， ∴慢马的行驶时间为天，慢马速度为， ∵快马所需时间比规定时间少天， ∴快马的行驶时间为天，快马速度为， 又∵快马的速度是慢马的倍， ∴可得方程 ，即选项B符合题意． 10. 在二次函数yx22x3中，当时，y的最大值和最小值分别是（ ） A. 0，4 B. 0，3 C. 3，4 D. 0，0 【答案】A 【解析】 【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴是， 则当时，，是最小值； 当时，是最大值． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键． 二、本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 12. 若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0，求出m的取值即可． 【详解】解：由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1． 故答案为-1. 【点睛】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根． 13. 甲、乙两支足球队，每支球队队员身高数据的平均数都是1.70米，方差分别为S甲2=0.29，S乙2=0.35，其身高较整齐的是_____球队． 【答案】甲． 【解析】 【详解】试题分析：根据方差的意义判断．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 解：∵S甲2＜S乙2， ∴甲队整齐． 故填甲． 考点：方差；算术平均数． 14. 使在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___． 【答案】x≤3且x≠0 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是二次根式中的被开方数是非负数．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【详解】解：使在实数范围内有意义，则 3－x≥0，x≠0， ∴实数x的取值范围是x≤3且x≠0， 故答案为：x≤3且x≠0． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数． 15. 圆锥侧面积为32π cm2，底面半径为4cm，则圆锥的母线长为____cm． 【答案】8 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式计算即可. 【详解】设圆锥的母线长为， 则：， 解得：， 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键. 16. 如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y＝﹣x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P（2018，m）与Q（2025，n）均在该波浪线上，则mn＝_____． 【答案】24 【解析】 【详解】点B是抛物线y=﹣x2+4x+2的顶点， ∴点B的坐标为（2，6）， 2018÷6=336…2，故点P离x轴的距离与点B离x轴的距离相同， ∴点P的坐标为（2018，6）， ∴m＝6； 点B（2，6）在的图象上， ∴k＝6； 即， 2025÷6=337…3，故点Q离x轴的距离与当x＝3时，函数的函数值相等， 又 x＝3时，， ∴点Q的坐标为（2025，4）， 即n＝4， ∴= 故答案为24． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征以及二次函数的图象与性质．本题是一道找规律问题．找到点P、Q在A﹣B﹣C段上的对应点是解题的关键． 三、解答题（本大题共个12小题，共96分．解答应写出证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数，算术平方根，绝对值的化简计算即可． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数，算术平方根，绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得___________； （2）解不等式②，得___________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为___________． 【答案】（1） （2） （3） 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4） 【解析】 【分析】（1）通过移项、合并同类项直接求出结果； （2）通过移项直接求出结果； （3）根据在数轴上表示解集的方法求解即可； （4）根据数轴得出原不等式组的解集． 【小问1详解】 解：移项得： 解得： 故答案为：； 【小问2详解】 移项得：， 解得：， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 所以原不等式组的解集为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】利用分式的混合运算法则，结合因式分解化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查分式的化简求值、分母有理化，熟练掌握分式的混合运算法则并正确计算是解答的关键． 20. 如图，已知． （1）尺规作图：作的边的垂直平分线，交于点D，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，求的长． 【答案】（1）如图，为所作； （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作的垂直平分线即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据角平分线的性质和正切定义即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 又， ， 故的长为． 21. 某市今年中考理化实验操作考试，采用学生抽签方式决定自己的考试内容，规定：每位考生必须在三个物理实验（用、、表示）和三个化学实验（用、、表示）中各抽取一个进行考试，小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个． （1）小刚抽到物理实验的概率是______． （2）用“列表法”或“画树状图法”求小刚抽到物理实验和化学实验（记作事件）的概率是多少? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据简单事件的概率公式计算即可得； （2）先画出树状图，找出小刚抽取的所有等可能的结果，再找出小刚抽到物理实验和化学实验的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：因为每位考生必须在三个物理实验中抽取一个进行考试， 所以小刚抽到物理实验的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，小刚抽取的所有等可能的结果共有9种，其中，小刚抽到物理实验和化学实验的结果有1种， 所以小刚抽到物理实验和化学实验的概率是， 答：小刚抽到物理实验和化学实验的概率是． 【点睛】本题考查了利用树状图求概率，正确画出树状图是解题关键． 22. 为传承酒泉文明、弘扬民族精神．某校“综合与实践”小组开展了测量鼓楼（如图①）高度的实践活动，测量鼓楼高度的实践报告如图②，利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为；前进了14米到达A处（测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为．计算鼓楼的高度（结果保留整数）（，，，，，．） 【答案】24米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键． 设，则，由锐角三角函数可得，从而可得，解得，即可求得结果． 【详解】解：设，则， 在中，， ∵， ， 在中，， ∵， ， ∴，解得：， 米． 故鼓楼的高度为24米． 23. “足球运球”是中考体育必考项目之一．兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图．（说明：A级：8分﹣10分，B级：7分﹣7.9分，C级：6分﹣6.9分，D级：1分﹣5.9分） 根据所给信息，解答以下问题： （1）在扇形统计图中，C对应的扇形的圆心角是　 　度； （2）补全条形统计图； （3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在　 　等级； （4）该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人？ 【答案】（1）117 （2）补全条形图如下： （3）B （4）30 【解析】 【分析】（1）先根据B等级人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他等级人数求得C等级人数，继而用360°乘以C等级人数所占比例即可得； （2）根据以上所求结果即可补全图形； （3）根据中位数的定义求解可得； （4）总人数乘以样本中A等级人数所占比例可得． 【详解】解：（1）∵总人数为18÷45%=40人， ∴C等级人数为40﹣（4+18+5）=13人， 则C对应的扇形的圆心角是360°×=117°， 故答案为117； （2）略 （3）因为共有40个数据，其中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在B等级， 所以所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在B等级， 故答案为B． （4）估计足球运球测试成绩达到A级的学生有300×=30人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 24. 如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数的解祈式为； （2）6 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法是关键； （1）两点在反比例函数的图象上，则由，得，可求a、m的值，再将A、B两点坐标代入中求k、b的值即可； （2）设直线交y轴于C点，由直线的解析式求C点坐标，根据求面积． 【小问1详解】 解：将两点坐标代入中，得， 解得， 将代入中， 得，解得， ∴反比例函数解析式为，一次函数的解祈式为； 【小问2详解】 解：设直线交y轴于C点， 由直线的解析式得， ∴． 25. 如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝，求⊙O的半径． 【答案】（1） 证明：连接OC，如图， ∵， ∴∠FAC=∠BAC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠FAC=∠OCA， ∴OC//AF， ∵CD⊥AF， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）4 【解析】 【分析】（1）连接OC，由根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC//AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线； （2）连接BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=4，在Rt△ACB中，根据勾股定理求得AB，进而求得⊙O的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接BC，如图， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵， ∴∠BOC=×180°=60°， ∴∠BAC=30°， ∴∠DAC=30°， 在Rt△ADC中，CD=， ∴AC=2CD=， 在Rt△ACB中，BC2+AC2=AB2， 即（）2+（AB）2=AB2， ∴AB=8， ∴⊙O的半径为4． 【点睛】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系，熟练掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 26. 矩形中，，点是边的中点，连接，过点作的垂线，与矩形的外角平分线交于点． （1）【特例证明】如图（1），当时，求证：； 小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整． 证明：如图，在上截取，连接． ， ． ，， ， ． 平分，， ． ． ∴……（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程） （2）【类比探究】如图（2），当时，求的值（用含k的式子表示）． 【答案】（1）证明：如图，在上截取，连接． ， ． ，， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）． 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）在上截取，连接．证明，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在上截取，连接． ，， ， ， 平分，， ． ， ， ， ， ， ， ， ，是边的中点， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形是判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 27. 如图所示，在的顶点、在轴上，点在轴上正半轴上，且，，． （1）求过A，B，C三点的抛物线解析式． （2）设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，且满足以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标； （3）在对称轴和抛物线上是否分别存在点、，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）点的坐标为或； （3），或，或，． 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为．将点的坐标代入函数解析式求得系数的值即可； （2）分类讨论和，结合相似三角形的性质求得相关线段的长度，从而求得点的坐标； （3）存在．假设直线上存在点，抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．分类讨论：平行四边形是平行四边形、平行四边形是平行四边形、四边形为平行四边形．由平行线的性质和坐标与图形的性质求得符合条件的点、点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线过点， 因此可设抛物线的解析式为 将代入得，即 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， 对称轴为直线， 如图2，当时，，则， 当时，， ， ∴， ， ， ∴， 因此点的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在． 假设直线上存在点，抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形． 如图3，当平行四边形是平行四边形时， 此时，的横坐标为， ∴， ∴，， 当平行四边形是平行四边形时，同理，， 如图4，当四边形为平行四边形时，与互相平分，此时可设，则， 点在抛物线上， 此时，， 综上所述，，或，或，． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识．在（1）中求得是解题的关键，在（2）、（3）中都需要用到数形结合和分类讨论的数学思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $