专题3.5 解题技巧专题：整式的运算及化简求值（5大考点）-【学霸满分】2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提优训练（人教版2024）

专题3.5 解题技巧专题：整式的运算及化简求值 目录 【考点一 整式的加减运算】 1 【考点二 整式运算之先化简再求值】 5 【考点三 整式运算中与数轴结合的问题】 9 【考点四 整式运算中整体代入求值问题】 12 【考点五 整式运算中新定义型问题】 16 【典型例题】 【考点一 整式的加减运算】 1．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）化简 (1) (2) 2．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）化简： (1)； (2)． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）先去括号，再合并同类项： (1)； (2)． 4．（24-25七年级上·全国·期中）化简： (1)； (2)． 5．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（24-25七年级上·全国·单元测试）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点二 整式运算之先化简再求值】 1．（24-25七年级上·吉林松原·阶段练习）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 2．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 4．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）化简求值． (1)，其中，； (2)，其中，． 5．（22-23七年级上·江苏常州·期中）先化简，再求值 (1)，其中； (2)，其中 【考点三 整式运算中与数轴结合的问题】 1．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）已知有理数，，在数轴上所对应的点的位置如图所示．    (1)将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来； (2)填空：______；______；______；（填“”或“”） (3)化简：． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）有理数a、b、c在数抽上的位置如图： (1)判断正负，用“>”或“<”填空：________0，________0，_______0． (2)化简：． 3．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）有理数a，b，c，在数轴上位置如图： (1)______0；______0；______0． (2)化简：． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图， (1)判断正负，用“”或“”填空： ， ， ． (2)化简：． 【考点四 整式运算中整体代入求值问题】 1．（23-24七年级上·江西南昌·期中）我们知道：，类似地，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 2．（23-24七年级上·吉林长春·期中）【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 嘉琪采用的方法如下： 由题意得，则有， ．所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则______． （2）若代数式的值为15，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）阅读材料∶我们知道，，类似地，我们把( 看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把 看成一个整体，化简 的结果是 (2)已知 求的值． (3)若 求的值． 4．（23-24七年级上·天津·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若，则____________； 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，求的值． (3)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 【考点五 整式运算中新定义型问题】 1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）定义：若，则称 与是关于的相关数． (1)若与是关于的相关数，则______． (2)若与是关于 的相关数，，的值与无关，求的值． 2．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：若两个数的和为a，则称这两个数是关于a的友好数．例如：，就称2与5是关于7的友好数． (1)2与________是关于3的友好数，与________是关于3的友好数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是否是关于3的友好数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于3的友好数，若x为正整数，求非负整数k的值． 3．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）定义一种新运算，观察下列式子： ； ； ； … 若符合上面式子的规律． (1)_______（用含的代数式表示）； (2)已知，求的值． 4．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如果一次整式，，存在与的和与的倍的差为一个常数，即满足：．我们称一次整式，，为常数的“族和差整式”． 例如：在一次整式，，中存在， 我们就称一次整式，，为常数4的“2族和差整式”． (1)一次整式，，为常数2的“3族和差整式”，请求出这个一次整式． (2)类似的，我们规定一次整式满足与的差与的倍的和为一个常数，我们称一次整式，，为常数的“族差和整式”．已知一次整式为，均为常数），为，，以及，的一次项系数分别，． 为了研究与的数量关系，小滨同学想到了从特殊到一般的研究过程，所以他设计了如下的表格： 2 2 3 3 请同学们先完成表格，再写出与的数量关系是________． 2 2 3 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.5 解题技巧专题：整式的运算及化简求值 目录 【考点一 整式的加减运算】 1 【考点二 整式运算之先化简再求值】 5 【考点三 整式运算中与数轴结合的问题】 9 【考点四 整式运算中整体代入求值问题】 12 【考点五 整式运算中新定义型问题】 16 【典型例题】 【考点一 整式的加减运算】 1．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】去括号、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是熟练的掌握整式的加减运算法则． （1）根据去括号法则去括号，再合并同类项即可得到答案； （2）根据去括号法则去括号，再合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、合并同类项 【分析】本题考查了整式的加减，整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，然后再合并同类项． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）先去括号，再合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】合并同类项、去括号、整式的加减运算 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型 （1）先去括号，再合并同类项，再根据整式的运算法则即可求出答案． （2）先去括号，再合并同类项，再根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解： （2）解： 4．（24-25七年级上·全国·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】去括号、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、去括号等知识点，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． （1）先去括号，然后再合并同类项即可解答； （2）先去括号，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 5．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，掌握整式的加减法则是解题的关键． （1）合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，再合并同类项即可得到答案； （3）先去括号，再合并同类项即可得到答案； （4）先去括号，再合并同类项即可得到答案； 【详解】（1）解：原式； （2）解：（2）原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 6．（24-25七年级上·全国·单元测试）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【知识点】整式的加减运算 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项，即可求出答案； （2）先去括号，然后合并同类项，即可求出答案； （3）先去括号，然后合并同类项，即可求出答案； （4）由乘方的运算法则进行计算，把和整体合并同类项，即可求出答案． 此题考查了整式的加减混合运算，熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【考点二 整式运算之先化简再求值】 1．（24-25七年级上·吉林松原·阶段练习）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)，； (2)，． 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）原式先去括号，再合并得到最简结果，把与的值代入计算即可； （2）原式先去括号，再合并得到最简结果，把与的值代入计算即可； 【详解】（1）解： ， 将代入得： 原式 ； （2）解： ， 将代入得： 原式． 2．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法． （1）先去括号，然后合并同类项即可化简题目中的式子，再将的值代入化简后的式子即可解答本题； （2）先去括号，然后合并同类项即可化简题目中的式子，再将、的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】（1）解： ． 当时，原式． （2）解： ． 当时，原式． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号再合并同类项，得出，再把代入计算，即可作答． （2）先去括号再合并同类项，得出，再把代入计算，即可作答． 【详解】（1）解： ， 把代入， 得． （2）解： 把代入， 得． 4．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）化简求值． (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)，24 (2)，17 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据运算法则化简式子后，代入，运算即可； （2）根据运算法则化简式子后，代入，运算即可； 【详解】（1） 解：原式 当，时 原式 （2） 原式 ． 当，时 原式 5．（22-23七年级上·江苏常州·期中）先化简，再求值 (1)，其中； (2)，其中 【答案】(1)， (2)，0 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，解题的关键是掌握整式的运算方法． （1）先去括号，再合并同类项，得出结果，再代入求值； （2）先去括号，再合并同类项，得出结果，再代入求值． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 【考点三 整式运算中与数轴结合的问题】 1．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）已知有理数，，在数轴上所对应的点的位置如图所示．    (1)将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来； (2)填空：______；______；______；（填“”或“”） (3)化简：． 【答案】(1) (2)，， (3) 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、整式的加减运算 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值和整式的加减； （1）根据数轴上，左边的数小于右边的数即可解答； （2）根据有理数的加法，减法，乘法法则判断符号，即可求解． （3）根据点在数轴上的位置和绝对值化简解答即可． 【详解】（1）解：根据数轴可得： （2）解：由数轴可知且， ∴，，； （3）解：由数轴可知且， ∴，， ∴ 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）有理数a、b、c在数抽上的位置如图： (1)判断正负，用“>”或“<”填空：________0，________0，_______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了数轴的应用、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，根据数轴判定的正负是解题的关键． （1）先根据数轴确定的正负及相关绝对值关系，再确定、、的正负即可 （2）根据（1）得到、、的正负取绝对值、最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：且， ∴，，． 故答案为：，，． （2）解：∵，，， ∴ ． 3．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）有理数a，b，c，在数轴上位置如图： (1)______0；______0；______0． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、整式的加减运算 【分析】本题考查用数轴表示有理数，化简绝对值： （1）根据点在数轴上的位置，判断式子的符号即可； （2）根据（1）中式子的符号，化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由数轴可知：，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图， (1)判断正负，用“”或“”填空： ， ， ． (2)化简：． 【答案】(1)，，； (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减、数轴、绝对值的性质，准确识图，确定出a、b、c的正负情况和绝对值的大小是解题的关键． （1）根据数轴确定出a、b、c的正负情况解答即可； （2）根据数轴确定绝对值的大小，然后化简合并即可． 【详解】（1）解：由图可知，，， ，；， 故答案为：，，； （2）解： ． 【考点四 整式运算中整体代入求值问题】 1．（23-24七年级上·江西南昌·期中）我们知道：，类似地，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、合并同类项、整式的加减运算 【分析】（1）根据阅读提供的解法解答即可． （2）把看成整体，利用整体代入计算，求代数式的值即可． （3）根据题意，，，先求出的值，后整体代入计算代数式的值即可． 本题考查了合并同类项，整体思想应用，根据式子的值，求代数式的值，熟练掌握整体思想，求代数式的值是解题的关键． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴ ． （3）解：，，， ，， ． 2．（23-24七年级上·吉林长春·期中）【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 嘉琪采用的方法如下： 由题意得，则有， ．所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则______． （2）若代数式的值为15，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键； （1）先由可得，然后整体代入计算即可； （2）先由可得，由可得，然后整体代入计算即可； （3）先由可得、，然后把可得化成，然后整体代入计算即可． 【详解】解：（1）由可得， 则． 故答案为：1； （2）由可得， 则； （3）由、可得、， 则． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）阅读材料∶我们知道，，类似地，我们把( 看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把 看成一个整体，化简 的结果是 (2)已知 求的值． (3)若 求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，整体代入是解答本题的关键． （1）把看成一个整体，合并同类项即可； （2）整体代入计算即可； （3）将后一个等式乘2，再两式相减，整理即可． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）， ， 原式． （3）， ①， ②， ②①得：， 即． 4．（23-24七年级上·天津·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若，则____________； 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，求的值． (3)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 【答案】(1)15 (2)36 (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、添括号、整式的加减运算 【分析】本题考查了求代数式的值．掌握整体思想是解题关键，本题旨在考查学生的举一反三的能力． （1）由，据此即可求解； （2）由，据此即可求解； （3）根据条件可得，再利用整体思想即可求解． 【详解】（1）解： ∵ ∴原式； （2）解： ∵ ∴原式； （3）解：当时， ∴ 当时， ； 【考点五 整式运算中新定义型问题】 1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）定义：若，则称 与是关于的相关数． (1)若与是关于的相关数，则______． (2)若与是关于 的相关数，，的值与无关，求的值． 【答案】(1)3 (2)8 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减运算 【分析】（1）根据相关数的定义得到，从而得到a的值； （2）根据相关数的定义得到，从而，根据B的值与m无关得到，求出n的值，从而得到B的值． 本题考查了合并同类项，新定义问题，掌握与m无关就合并同类项后让m前面的系数等于0是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵， ∴ ∴ ∵B的值与m无关， ∴， ∴， ∴． 答：B的值为8． 2．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：若两个数的和为a，则称这两个数是关于a的友好数．例如：，就称2与5是关于7的友好数． (1)2与________是关于3的友好数，与________是关于3的友好数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是否是关于3的友好数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于3的友好数，若x为正整数，求非负整数k的值． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3) 【知识点】整式的加减运算、用代数式表示式、有理数加法运算 【分析】本题考查有理数运算，代数式表示，整式运算． （1）根据题意列式即可得到本题答案； （2）根据题意列式并计算即可得到本题答案； （3）根据题意列式并计算即可得到本题答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ，， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴a与b是关于3的友好数； （3）解：∵，，且c与d是关于3的友好数， ∴，即：， ∴， ∵x为正整数， ∴，；，；，；，；，； ，；，；，；，．．． ∴非负整数的值为：． 3．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）定义一种新运算，观察下列式子： ； ； ； … 若符合上面式子的规律． (1)_______（用含的代数式表示）； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)6 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、已知式子的值，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了规律探究，代数式求值，整式加减运算，解题的关键是理解题意，得出运算规律． （1）根据已知给出的式子，即可猜想出结果； （2）根据，得出，根据新定义化简，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ∴． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 4．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如果一次整式，，存在与的和与的倍的差为一个常数，即满足：．我们称一次整式，，为常数的“族和差整式”． 例如：在一次整式，，中存在， 我们就称一次整式，，为常数4的“2族和差整式”． (1)一次整式，，为常数2的“3族和差整式”，请求出这个一次整式． (2)类似的，我们规定一次整式满足与的差与的倍的和为一个常数，我们称一次整式，，为常数的“族差和整式”．已知一次整式为，均为常数），为，，以及，的一次项系数分别，． 为了研究与的数量关系，小滨同学想到了从特殊到一般的研究过程，所以他设计了如下的表格： 2 2 3 3 请同学们先完成表格，再写出与的数量关系是________． 【答案】(1)一次整式是或或 (2)，． 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，以及观察推理能力，关键是要理解新定义，并能正确的解题． （1）根据新定义：一次整式，，为常数2的“3族和差整式”，分别进行讨论，得到等式，再化简得到结果； （2）依新定义：一次整式，，为常数的“族差和整式”，得到，化简得到表格中结果；经过观察，可得到． 【详解】（1）解：一次整式，，为常数2的“3族和差整式”， 有， ， ， ， 一次整式是； 或有， ， ， ， 一次整式是； 或有， ， ， ， 一次整式是； 综上所述，一次整式是或或； （2）解：依题意，， 2 2 3 3 ， ， ， ， 表格中依次填写：， 故答案为：； 经观察表格中，对应的数字： ， ， 可得到， 与的数量关系是， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$