专题3.4 解题技巧专题：整式中的规律探究问题（7大考点）-【学霸满分】2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提优训练（人教版2024）

专题3.4 解题技巧专题：整式中的规律探究问题 目录 【考点一 单项式中的规律探究问题】 1 【考点二 数字类规律探索之末尾数字问题】 3 【考点三 数字类规律探索之排列问题】 4 【考点四 数字类规律探索之新运算问题】 6 【考点五 数字类规律探索之拆项问题】 10 【考点六 图形类规律探索之数字问题】 14 【考点七 图形类规律探索之数量问题】 17 【典型例题】 【考点一 单项式中的规律探究问题】 例题：（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）观察下面的整式，根据规律写出横线上的整式：a，，，，…，第 个整式是 ； 【变式训练】 1．（22-23七年级上·四川成都·期中）按一定规律排列的单项式：、、、、、…，则第n个单项式是 ． 2．（23-24七年级上·浙江台州·期中）一组按规律排列的式子：，，，，…根据你发现的规律：写出第6个式子是 ，第个式子是 ．（为正整数） 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）有一串代数式：，，，，…，，，…，求： (1)观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律． (2)写出第2009个代数式． (3)写出第n个、第个代数式． 【考点二 数字类规律探索之末尾数字问题】 例题：（24-25七年级上·福建厦门·期中）观察下列算式：，，，，，，，……根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【变式训练】 1．（2024·山西·模拟预测）在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示，即．请你推算的个位数字是 ． 2．（22-23九年级下·贵州遵义·自主招生）已知整数，则的个位数字是 ． 【考点三 数字类规律探索之排列问题】 例题：（24-25七年级上·云南曲靖·期中）有三行数： 2、、8、、32、、……① 0、、6、、30、、……② 、2、、8、、32、……③ 取每行数的第7个数，那么这三个数的和是 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）按一定规律排成的一列数：，，，，，，，则这列数中的第2025个数是 ． 2．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）观察下面两行数∶ 2，， 8，， …① 1，， 7，， …② 取第①， ②行的第7个数分别记为a， b， 则为 ． 3．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）观察下面一列数：，，，，，，，…将这列数排成下列形式： 按照上述规律排下去，那么第行从左边数第个数是 ；数是第 行从左边数第 个数． 【考点四 数字类规律探索之新运算问题】 例题：（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：3的差倒数是，的差倒数是，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，……，以此类推， ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）在数轴上，点表示的数是，表示的数是，我们称点是点的“相关点”．已知数轴上的“相关点”为，点的“相关点”为，点的“相关点”为，……这样依次得到点，若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是 ． 2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）已知一列数（n为正整数）满足，请通过计算推算 ， ．（用含n的代数式表示） 3．（23-24七年级上·广西桂林·期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则： 若，则第2024次“F运算”的结果是 ． 【考点五 数字类规律探索之拆项问题】 例题：（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）观察下列按顺序排列的等式：，，，，…， (1)试猜想第n个等式（n为正整数）： ． (2)求的值． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·单元测试），，，， (1)第5个式子是_____；第个式子是_____； (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）：． 2．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）观察下列各式： ； ； ； ； (1)用你发现的规律填空： 　　　　　　　　　　； 　　　　　　　　　　． (2)用你发现的规律计算：． 3．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）小明在做题的时候发现，两个连续正整数的积的倒数可以写成两个式子差的形式．观察下面式子，完成以下问题： ，，，… (1)请写出第10个式子：___________； (2)请用含的式子表示第个式子：___________； (3)计算：； (4)思考：如果不是两个连续正整数的积的倒数又如何去解决呢，请类比上题的方法计算：． 【考点六 图形类规律探索之数字问题】 例题：（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图在表中填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是 ． 【变式训练】 1．（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x的值为 ． 2．（2024·湖南·二模）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的．    根据此规律确定a的值为 ，b的值为 ，x的值为 ． 3．（23-24七年级上·山西太原·期末）九宫格起源于中国古代的神秘图案河图和洛书．如图，将，，，，，，，，填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则的值为 ． 【考点七 图形类规律探索之数量问题】 例题：（24-25七年级上·全国·期中）右边的图形是用同样大小的正方形摆成的“连环”，第①个图形中有3个正方形，第②个图形中有7个正方形，第③个图形中有11个正方形，……，按此规律． (1)第5个图形中有多少个正方形？ (2)第个图形中有多少个正方形？ 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）如图，在第1个图形中，互不重叠的三角形有4个，在第2个图形中，互不重叠的三角形有7个，在第3个图形中，互不重叠的三角形有10个，…… (1)在第4个图形中，互不重叠的三角形有几个？ (2)在第n个图形中，互不重叠的三角形有几个？（用含n的代数式表示） (3)在第2024个图形中，互不重叠的三角形有几个？ 2．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）下列是用火柴棒拼出的一列图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第6个图中共有______根火柴； (2)第n个图形中共有__________根火柴；（用含n的式子表示） (3)第2021个图形中共有多少根火柴？ 3．（23-24七年级上·四川达州·期末）用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第4个图案中，三角形的个数有　　　　个，六边形的个数有　　　　个； (2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (3)第2024个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 解题技巧专题：整式中的规律探究问题 目录 【考点一 单项式中的规律探究问题】 1 【考点二 数字类规律探索之末尾数字问题】 3 【考点三 数字类规律探索之排列问题】 4 【考点四 数字类规律探索之新运算问题】 6 【考点五 数字类规律探索之拆项问题】 10 【考点六 图形类规律探索之数字问题】 14 【考点七 图形类规律探索之数量问题】 17 【典型例题】 【考点一 单项式中的规律探究问题】 例题：（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）观察下面的整式，根据规律写出横线上的整式：a，，，，…，第 个整式是 ； 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查单项式的排列规律，能根据所给单项式列发现系数和次数的变化规律是解题的关键． 观察所给的单项式列可知，奇数项的系数是1，偶数项的系数是，的次数逐次增加1，据此可解决问题． 【详解】解：根据所给的单项式列可知， 奇数项的系数是1，偶数项的系数是，的次数逐次增加1， 所以第个式子的系数为，第个式子的字母部分为， ∴第个式子为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23七年级上·四川成都·期中）按一定规律排列的单项式：、、、、、…，则第n个单项式是 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是分别从系数、字母指数寻找其与序数间的规律．观察字母的系数、次数的规律即可写出第n个单项式． 【详解】解：∵、 、 、 …， ∴第n个单项式是， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·浙江台州·期中）一组按规律排列的式子：，，，，…根据你发现的规律：写出第6个式子是 ，第个式子是 ．（为正整数） 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查单项式规律的探究．观察可得：每一个式子都是分数形式，其中第奇数个式子为负，第偶数个式子为正；分母为，分子为，由此即可得出答案． 【详解】解：∵，，，、……， 第n个式子是， ∴第6个式子是， 故答案为：；． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）有一串代数式：，，，，…，，，…，求： (1)观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律． (2)写出第2009个代数式． (3)写出第n个、第个代数式． 【答案】(1)这组单项式的系数和次数都是1开始的连续的整数，且系数第奇数个为负，第偶数个为正 (2) (3) 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查代数式． （1）根据各个单项式的系数及其正负号、次数，用语言叙述它们的规律即可； （2）根据这串代数式的规律解答即可； （3）根据这串代数式的规律解答即可． 【详解】（1）这组代数式的规律是：这组单项式的系数和次数都是1开始的连续的整数，且系数第奇数个为负，第偶数个为正． （2）根据这串代数式的规律，第2009个代数式是； （3）第n个代数式是，第个代数式是． 【考点二 数字类规律探索之末尾数字问题】 例题：（24-25七年级上·福建厦门·期中）观察下列算式：，，，，，，，……根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【答案】1 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据已知的式子可以得到末尾数字是4个一次循环，据此即可作出判断，正确注意到末尾数字的循环关系是关键． 【详解】解：根据已知的式子可以得到末尾数字是，这样4个一次循环， 则， 则的末位数字是1， 故答案为：1． 【变式训练】 1．（2024·山西·模拟预测）在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示，即．请你推算的个位数字是 ． 【答案】6 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类变化规律，由题意得个位数字每四个数按，，，循环出现，结合，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，个位数字每四个数按，，，循环出现， ∵， ∴的个位数字与相同，是， 故答案为：． 2．（22-23九年级下·贵州遵义·自主招生）已知整数，则的个位数字是 ． 【答案】5 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字变化规律，根据算式可得都是奇数，而，再求出的个位数字是5，从而可得结论． 【详解】解： 而都是奇数，且， 所以，的个位数字是5， 故答案为：5 【考点三 数字类规律探索之排列问题】 例题：（24-25七年级上·云南曲靖·期中）有三行数： 2、、8、、32、、……① 0、、6、、30、、……② 、2、、8、、32、……③ 取每行数的第7个数，那么这三个数的和是 【答案】190 【知识点】有理数的加减混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类变化规律、有理数的加减，由题目中所给数据得出规律，从而得出第一行的第7个数为，第二行的第7个数为，第三行的第7个数为，相加即可得解． 【详解】解：由题目中的数据可得： 第一行数据的第个数为， 第二行数据的第个数为 第三行数据的第个数为， 故第一行的第7个数为，第二行的第7个数为，第三行的第7个数为， ∴取每行数的第7个数，那么这三个数的和是， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）按一定规律排成的一列数：，，，，，，，则这列数中的第2025个数是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类找规律，将这列数的分母写出连续自然数，进而发现规律，即可求得答案． 【详解】解：∵，，，，，，…… 即 ∴这列数的分子为从1开始的连续的自然数，分母为分子加2 则这列数中的第2025个数是， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）观察下面两行数∶ 2，， 8，， …① 1，， 7，， …② 取第①， ②行的第7个数分别记为a， b， 则为 ． 【答案】1 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，上下对比发现，第②行的每个位置的数比第①行中对应位置的数小1，据此规律可得答案． 【详解】解：上下对比发现，第②行的每个位置的数比第①行中对应位置的数小1， ∵取第①， ②行的第7个数分别记为a， b， ∴， 故答案为：1． 3．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）观察下面一列数：，，，，，，，…将这列数排成下列形式： 按照上述规律排下去，那么第行从左边数第个数是 ；数是第 行从左边数第 个数． 【答案】 90 15 5 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字的规律；能够通过观察发现奇偶数符号的关系，每行末尾数与下一行第一个数之间的关系是解题的关键． 通过观察奇数的符号是负，偶数的符号是正，每行数的个数是奇数，且每行最后一个数是，可求出第9行最后一个数的绝对值是81，根据规律即可确定结果；利用以上规律即可确定的位置． 【详解】通过观察奇数的符号是负，偶数的符号是正，每行数的个数是奇数为个数， ， ∴第9行最后一个数的绝对值是81， ∴第10行从左边数第9个数的绝对值是， ∵90是偶数， ∴第10行从左边数第9个数是正数，为90； ∵，， ∴数是第15行从左边数第5个数； 故答案为：①90；②15；③5． 【考点四 数字类规律探索之新运算问题】 例题：（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：3的差倒数是，的差倒数是，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，……，以此类推， ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字类规律探究，有理数的运算，正确理解差倒数的定义，是解题的关键，先求出前几个数，进而找出规律，进行求解即可． 【详解】解：当时，， ， ， ， ， ∴这列数以三个数为一组，进行循环， ∵， ∴； 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）在数轴上，点表示的数是，表示的数是，我们称点是点的“相关点”．已知数轴上的“相关点”为，点的“相关点”为，点的“相关点”为，……这样依次得到点，若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数轴，规律型：数字的变化类，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．先根据已知求出点、、、、，根据求出的数得出规律，即可得出答案． 【详解】解：∵点在数轴表示的数是， ∴表示的数是：， 表示的数是：， 表示的数是：， 表示的数是：， … ∴所得的数按，，，每3个循环， ， 所有点在数轴上表示的数是， 故答案为：． 2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）已知一列数（n为正整数）满足，请通过计算推算 ， ．（用含n的代数式表示） 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了规律型数字的变化类，解决本题的关键是写出前几个数之后，寻找规律，总结规律，运用规律．根据题意先计算出前几个数，发现规律即可求解． 【详解】解：根据题意得， ； ； ； 发现规律： ． ． 故答案为：，． 3．（23-24七年级上·广西桂林·期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则： 若，则第2024次“F运算”的结果是 ． 【答案】19 【知识点】程序流程图与有理数计算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查有理数的混合运算和数字的变化规律，解题的关键是经过运算发现其数字的变化规律．根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6次一循环，再计算求解即可． 【详解】解：本题提供的“运算”，需要对正整数分情况（奇数、偶数）循环计算，由于为奇数应先进行①运算， 即（偶数），需再进行②运算， 即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即， 再进行①运算，得到（偶数），， 即第1次运算结果为152，， 第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，， 可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152， 则6次一循环， ， 则第2024次“运算”的结果是19． 故答案为：19． 【考点五 数字类规律探索之拆项问题】 例题：（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）观察下列按顺序排列的等式：，，，，…， (1)试猜想第n个等式（n为正整数）： ． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． （1）观察已知所给的按顺序排列的等式即可得第个等式； （2）结合（1）中第个等式进行计算即可． 【详解】（1）解：第个等式为正整数）， 故答案为：； （2）解：观察已知等式可知： ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·单元测试），，，， (1)第5个式子是_____；第个式子是_____； (2)从计算结果中找规律，利用规律计算：； (3)计算：（由此拓展写出具体过程）：． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查有理数的混合运算，数字类规律探究： （1）根据题干给定的式子，得到相应的规律，作答即可； （2）利用（1）中规律，裂项相加即可； （3）原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴第5个式子是：； 第个式子是； 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 2．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）观察下列各式： ； ； ； ； (1)用你发现的规律填空： 　　　　　　　　　　； 　　　　　　　　　　． (2)用你发现的规律计算：． 【答案】(1)； (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】（1）根据题目中的规律解答即可； （2）根据题目中的规律解答即可； 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律与变换方法，得出规律解决问题． 【详解】（1）解：依题意，， ； （2）解： ． 3．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）小明在做题的时候发现，两个连续正整数的积的倒数可以写成两个式子差的形式．观察下面式子，完成以下问题： ，，，… (1)请写出第10个式子：___________； (2)请用含的式子表示第个式子：___________； (3)计算：； (4)思考：如果不是两个连续正整数的积的倒数又如何去解决呢，请类比上题的方法计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律运算是解题的关键． （1）根据所给的式子的特点直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，可得一般规律为：； （3）应用（2）的规律，将所求的式子变形为，再求和即可； （4）灵活运用（2）的规律，将所求式子变形为：，再求和即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： 第10个式子为：， 故答案为：； （2）解：根据题意可得出第个式子为：， 故答案为：； （3）解： ； （4）解： ． 【考点六 图形类规律探索之数字问题】 例题：（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图在表中填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是 ． 【答案】144 【知识点】数字类规律探索 【分析】观察四个正方形，可得规律，每个正方形中左下角的数比左上角的数大2，右上角的数比左上角的数大4，进而求解即可． 此题考查了数字类规律问题，解题的关键是正确分析表中4个数之间的关系． 【详解】解：∵，， ∴第四个正方形右上角的数为 ∵，， ∴第四个正方形左上角的数为 ∵，， ∴． 故答案为：144． 【变式训练】 1．（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x的值为 ． 【答案】370 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知左上角的数字是从1开始的连续的自然数，左下角的数是左上角的数的2倍，距离可得，再根据前四个图形中右下角数字可得规律第n个图形中，右下角的数为，据此代入进行求解即可． 【详解】解：观察可知，左上角的数字是从1开始的连续的自然数，左下角的数是左上角的数的2倍， ∴， ∴， 第1个图形中，右下角的数为， 第2个图形中，右下角的数为， 第3个图形中，右下角的数为， 第4个图形中，右下角的数为， ……， 以此类推，可知，第n个图形中，右下角的数为， 当时，， ∴， 故答案为：． 2．（2024·湖南·二模）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的．    根据此规律确定a的值为 ，b的值为 ，x的值为 ． 【答案】 9 10 69 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探究，可得规律，，即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意得 ， 解得：， ． ． 3．（23-24七年级上·山西太原·期末）九宫格起源于中国古代的神秘图案河图和洛书．如图，将，，，，，，，，填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则的值为 ． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算、数字类规律探索、有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算和数字类规律，找到规律是解决问题的关键： 根据这九个数的平均数为，即每行、每列、每条对角线上三个数的和都是，且正中间的数为，可求得第一列第二个数为，即可求得的值为． 【详解】解：根据题意这九个数的平均数为：， ∴正中间的数为， ∴每行、每列、每条对角线上三个数的和都是， ∴第二行左边的数为：， ∴， 故答案为：． 【考点七 图形类规律探索之数量问题】 例题：（24-25七年级上·全国·期中）右边的图形是用同样大小的正方形摆成的“连环”，第①个图形中有3个正方形，第②个图形中有7个正方形，第③个图形中有11个正方形，……，按此规律． (1)第5个图形中有多少个正方形？ (2)第个图形中有多少个正方形？ 【答案】(1)19； (2)． 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了规律型-图形变化类，根据图形的变化寻找规律是解题的关键． （1）根据图形的变化即可写出第5个图形的正方形数量； （2）根据（1）中的规律，可得出第个图形中的正方形数量为． 【详解】（1）解：观察图形的变化可知： 第1个图形有个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， 第4个图形有个正方形， 第5个图形有个正方形， （2）解：观察图形的变化可知： 第1个图形有个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， 第4个图形有个正方形， 第5个图形有个正方形， 按此规律，第个图形有个正方形． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山西大同·阶段练习）如图，在第1个图形中，互不重叠的三角形有4个，在第2个图形中，互不重叠的三角形有7个，在第3个图形中，互不重叠的三角形有10个，…… (1)在第4个图形中，互不重叠的三角形有几个？ (2)在第n个图形中，互不重叠的三角形有几个？（用含n的代数式表示） (3)在第2024个图形中，互不重叠的三角形有几个？ 【答案】(1)13个 (2)个 (3)在第2024个图形中，互不重叠的三角形有6073个 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查了整式——找规律题． （1）根据题中第1个图形、第2个图形、第3个图形中互不重叠的三角形的数量，可得出在第4个图形中，互不重叠的三角形的数量； （2）由（1）可得，在第n个图形中，互不重叠的三角形的数量； （3）根据（2）中结论可得：在第2024个图形中，互不重叠的三角形的数量． 【详解】（1）解：在第1个图形中，互不重叠的三角形有4个， 在第2个图形中，互不重叠的三角形有个， 在第3个图形中，互不重叠的三角形有个， 在第4个图形中，互不重叠的三角形有个， 故答案为：13个； （2）由（1）可得，在第n个图形中，互不重叠的三角形有个， 故答案为：个； （3）根据（2）中结论可得：在第2024个图形中，互不重叠的三角形有个， 故答案为：6073个． 2．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）下列是用火柴棒拼出的一列图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第6个图中共有______根火柴； (2)第n个图形中共有__________根火柴；（用含n的式子表示） (3)第2021个图形中共有多少根火柴？ 【答案】(1)19 (2) (3)第2021个图形中共有6064根火柴． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索 【分析】本题考查了规律型－图形的变化类，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． （1）观察图形发现规律：每个图形比前一个图形多3根火柴，进而求解； （2）根据每个图形比前一个图形多3根火柴，总结规律即可； （3）将代入（2）中代数式求解即可． 【详解】（1）解：第1个图中，火柴的根数是； 第2个图中，火柴的根数是； 第3个图中，火柴的根数是； ， 第6个图中，火柴的根数是； 即第6个图中共有19根火柴； 故答案为：19； （2）解：由（1）可得第个图形中火柴有根， 故答案为：； （3）解：当时，， 所以第2021个图形中共有6064根火柴． 3．（23-24七年级上·四川达州·期末）用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第4个图案中，三角形的个数有　　　　个，六边形的个数有　　　　个； (2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (3)第2024个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10；4 (2)第个图案中有正三角形个．六边形有个 (3)三角形的个数为个；六边形的个数为个 (4)没有，理由见详解 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】（1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）将代入（2）中所得的一般式即可求解； （4）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 本题是一道找规律的题目，注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第个就有正三角形个．这类题型在中考中经常出现． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； 故答案为：10；4； （2）解：由图可知： 第一个图案有正三角形4个为． 第二图案比第一个图案多2个为（个． 第三个图案比第二个多2个为（个． 那么第个图案中有正三角形个．六边形有个． （3）解：由（2）知第个图案中有正三角形个．六边形有个 ∴第2024个图案中，三角形与六边形各有：（个， ∴三角形的个数为个；六边形的个数为个 （4）解：没有，理由如下： ∵， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$