期末复习课（第1课时 计数原理）课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

人教A版 数学 选择性必修第三册 期末复习课 第1课时　计数原理 知识梳理 构建体系 【知识网络】 【要点梳理】 1.分类加法计数原理 完成一件事情有n类不同的方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,……在第n类方案中有mn种不同的方法,则完成这件事共有N= m1+m2+…+mn 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,……做第n步有mn种不同的方法,则完成这件事共有 N=m1·m2·…·mn 种不同的方法. 3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系 内容 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 关键词 分类 分步 本质 每类方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次性的,且每次得到的是最后结果,用其中任何一种方法都可以做完这件事 每一步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,各个步骤中的方法互相依存,缺少任何一步也不能完成这件事,只有每一个步骤都完成才算做完这件事 各类(步) 的关系 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的,即“分类互斥” 各步之间是关联的、独立的,“关联”确保连续性,“独立”确保不重复,即“分步互依” 4.排列数与组合数公式及性质 注意:(1)正确区分是组合问题还是排列问题,要把排列中的“定序”和“有序”区分开来. (2)正确区分分堆问题和分配问题. 5.二项式定理 (1)对于任意正整数n, (2)二项式系数的性质 ①对称性 (2)求二项式展开式中的特殊项(如:系数最大的项、二项式系数最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有理项…)时,要注意n与k的取值 范围. (3)区分“某项的系数”与“某项的二项式系数”,展开式中“二项式系数的和”与“各项系数的和”,“奇(偶)数项系数的和”与“奇(偶)次项系数的和”. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)在分步乘法计数原理中,任何一个单独的步骤都能完成这件事.( × ) 专题归纳 核心突破 专题整合 专题一　计数原理的应用 【例1】 (1)某班有9名运动员,其中5人会打篮球,6人会踢足球,现从中选出2人分别参加学校篮球队和足球队,则不同的选派方案有(　　) A.28种 B.30种 C.27种 D.29种 (2)一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图所示,现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色,规定每个区域只涂一个颜色,相邻区域颜色不相同,则不同的涂色方法有　　　种.  专题整合 高考体验 解析:(1)有9名运动员,其中5人会打篮球,6人会踢足球,则有5+6-9=2人既会踢足球又会打篮球,有3人只会打篮球,有4人只会踢足球,所以选派的方案有四类:①选派两种球都会的运动员有2种方案;②选派两种球都会的运动员中一名踢足球,只会打篮球的运动员打篮球,有2×3=6种方案;③选派两种球都会的运动员中一名打篮球,只会踢足球的运动员踢足球,有2×4=8种方案;④选派只会打篮球和踢足球的运动员分别打篮球和踢足球,有3×4=12种方案.综上可知,共有2+6+8+12=28种方案,故选A. 专题整合 高考体验 (2)如图,设四个直角三角形顺次为A,B,C,D,按A,B,C,D顺序涂色,下面分两种情况: ①A,C不同色:A有4种,B有3种,C有2种,D有2种,有4×3×2×2=48种不同的涂法;②A,C同色:A有4种,B有3种,C有1种,D有3种,有4×3×1×3=36种不同的涂法,故共有48+36=84种不同的涂色方法. 答案:(1)A　(2)84 专题整合 高考体验 1.使用两个计数原理解决问题的思路 (1)选择使用两个计数原理解决问题时,要根据我们完成某件事情采取的方式而定,确定是分类还是分步,要抓住两个原理的本质. (2)分类加法计数原理的关键是“类”,分类时,首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准,然后 在这个标准下进行分类;其次分类时要注意,完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法. (3)分步乘法计数原理的关键是“步”,分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准;其次,分步时还要注意满足完成一件事必须并且只有连续完成这n个步骤后,这件事才算完成,只有满足了上述条件,才能用分步乘法计数原理. 专题整合 高考体验 2.使用两个计数原理解决问题时应注意的问题 (1)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图或列出表格,使问题更加直观、清晰. (2)当两个计数原理混合使用时,一般是先分类,在每类方法里再分步. 专题整合 高考体验 【变式训练1】 小华同学有课外参考书若干本,其中有5本不同的外语书,4本不同的数学书,3本不同的物理书,他欲带参考书到图书馆阅读. (1)若他从这些参考书中带1本去图书馆,有多少种不同的带法? (2)若带外语、数学、物理参考书各1本,有多少种不同的带法? (3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆,有多少种不同的带法? 专题整合 高考体验 解:(1)完成的事情是带1本书,无论带外语书,还是数学书、物理书,事情都已完成,从而确定为应用分类加法计数原理,结果为5+4+3=12种. (2)完成的事情是带3本不同学科的参考书,只有从外语、数学、物理书中各选1本后,才能完成这件事,因此应用分步乘法计数原理,结果为5×4×3=60种. (3)选1本外语书和1本数学书应用分步乘法计数原理,有5×4=20种选法;同样,选外语书、物理书各1本,有5×3=15种选法;选数学书、物理书各1本,有4×3=12种选法. 即有三类情况,应用分类加法计数原理,结果为20+15+12=47种. 专题整合 高考体验 专题二　排列与组合的综合应用 【例2】 (1)5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有1名老队员且1,2号中至少有1名新队员的排法有　　　　　种.(用数字作答)  (2)在高三(1)班元旦晚会上,有6个演唱节目,4个舞蹈节目. ①当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少种不同的节目安排顺序? ②当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有多少种不同的节目安排顺序? ③若已定好节目单,后来情况有变,需加上诗朗诵和快板2个节目,但不能改变原来节目的相对顺序,有多少种不同的节目演出顺序? 专题整合 高考体验 专题整合 高考体验 专题整合 高考体验 解排列、组合应用题应遵循三大原则,掌握基本类型,突出转化思想. (1)三大原则是:先特殊后一般的原则、先取后排的原则、先分类后分步的原则. (2)基本类型主要包括:排列中的“在与不在”问题,组合中的“有与没有”问题、“相邻与不相邻”问题、“分组问题”等. (3)转化思想就是把一些排列、组合问题与基本类型相联系,从而把这些问题转化为基本类型加以解决. 专题整合 高考体验 【变式训练2】 由1,2,3,4,5五个数字组成没有重复数字的五位数,且排成一个递增数列,首项为12 345,第2项是12 354,……直到末项(第120项)是 54 321.则: (1)43 251是第几项? (2)第93项是怎样的一个五位数? 专题整合 高考体验 专题整合 高考体验 专题三　二项式定理的应用 专题整合 高考体验 专题整合 高考体验 专题整合 高考体验 二项式定理的问题类型及解答策略 (1)确定二项式中的有关元素:一般是根据已知条件,列出等式,从而可解得所要求的二项式中的有关元素. (2)确定二项展开式中的常数项:先写出其通项公式,令未知数的指数为零,从而确定项数,再代入通项公式,即可确定常数项. (3)求二项展开式中条件项的系数:先写出其通项公式,再由条件确定项数,最后代入通项公式求出此项的系数. (4)求二项展开式中各项系数的和差:赋值代入. (5)确定二项展开式中的系数最大或最小项:利用二项式系数的性质. 专题整合 高考体验 专题整合 高考体验 专题整合 高考体验 专题整合 高考体验 专题四　赋值法的应用 (1)求n的值; (2)求-2a1+22a2-23a3+…+(-2)nan的值. 专题整合 高考体验 赋值法的应用规律 与二项式系数有关,包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和,主要方法是赋值法,通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系,确定给字母所赋的值,有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项,此时要专门求出这一项,而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时,往往要两次赋值,再解方程组求出结果. 注意:求各项系数的绝对值的和时,要先根据绝对值里面数的符号赋值再求解. 专题整合 高考体验 【变式训练4】 若(x2+1)(x-1)8=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a10(x-2)10.求: (1)a1+a2+a3+…+a10的值; (2)a1+a3+a5+a7+a9的值. 解:(1)在(x2+1)(x-1)8=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a10(x-2)10中,令x=2,则a0=5. 再令x=3,则a0+a1+a2+a3+…+a10=2 560,① 故a1+a2+a3+…+a10=2 555. (2)在所给的等式中,令x=1,则a0-a1+a2-a3+…+a10=0,② 由①②可得a1+a3+a5+a7+a9=1 280. 专题整合 高考体验 高考体验 考点一　两个计数原理及其应用 1.(2023·全国新高考Ⅱ)某学校为了了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生,则不同的抽样结果有(　　) 专题整合 高考体验 答案:D 专题整合 高考体验 2.(2023·全国新高考Ⅰ)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有　　　　　种(用数字作答).  专题整合 高考体验 答案:64 专题整合 高考体验 考点二　排列组合及其应用 3.(2021·全国Ⅰ高考)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有(　　) A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 解析:根据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人,组成一个小组,有 种选法;然后连同其余3人,看成4个元素,4个项目看成4个不同的位置,4个不同的元素在4个不同的位置的排列方法数有4!种,根据乘法原理,完成这件事,共有 ×4!=240种不同的分配方案,故选C. 答案:C 专题整合 高考体验 4.(2023·全国甲高考)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　) A.120种 B.60种 C.30种 D.20种 专题整合 高考体验 解析:方法一:先在5名志愿者中安排1名在这两天都参加公益活动,有5种安排方法;再在星期六、星期日,每天从剩下的4名志愿者中安排1名不同的志愿者参加公益活动,有4×3=12种安排方法.由乘法原理得恰有1人在这两天都参加的不同的安排方法共有5×12=60种. 方法二:在5名志愿者中安排2名在星期六参加公益活动,有 =10种安排方法;再从星期六参加公益活动的2名志愿者中安排1名及从剩下的3名志愿者中安排1名在星期日参加公益活动,有2×3=6种.由乘法原理得恰有1人在这两天都参加的不同的安排方法共有10×6=60种. 方法三:从5名志愿者中,在星期六、星期日两天各安排2名参加公益活动,有 =100种安排方法;星期六、星期日两天的志愿者全不相同的安排方法有 =30种,全相同的安排方法有 =10种,所以恰有1人在这两天都参加的不同的安排方法共有100-30-10=60种.故选B. 答案:B 专题整合 高考体验 考点三　二项式定理及其应用 答案:C 专题整合 高考体验 答案:60 专题整合 高考体验 答案:-28 专题整合 高考体验 8.(2022·浙江高考)已知多项式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2=　　　　　,a1+a2+a3+a4+a5=　　　　　.  令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,令x=0,得a0=2,所以a1+a2+a3+a4+a5=-2. 答案:8　-2 专题整合 高考体验 答案:-4 专题整合 高考体验 内容 排列与排列数 组合与组合数 公式 排列数公式=n(n-1) (n-2)… (n-m+1) = 组合数公式 性质 当m=n时,为全排列, =n!;0!= 1 =1; 备注 n,m∈N*,且m≤n (a+b)n=an+an-1b1+…+an-k bk+…+bn(n∈N*) ,此公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,其中各项的系数(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,式中的an-kbk叫做二项展开式的通项,用Tk+1表示,即通项为展开式的第(k+1)项:Tk+1=an-kbk.  在二项式定理中,若设a=1,b=x,则得到公式: (1+x)n=x+x2+…+xk+…+xn. 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上,这一性质可直接由得到. ②增减性与最大值 当k<时,随k的增加而增大;由对称性知, 二项式系数的后半部分,随k的增加而减小. 当n是偶数时,中间的一项取得最大值; 当n是奇数时,中间的两项相等,且同时取得最大值. ③各二项式系数的和+…+=2n;+…=+…=2n-1. 注意:(1)二项式定理的通项公式Tk+1=an-kbk是第(k+1)项,而不是第k项,注意其指数规律. (2)+…+.( √ ) (3)an-kbk是二项展开式的第k项.( × ) (4)-2+3-…+(-1)n-1n=0.( √ ) (1)解析:①只有1名老队员的排法有=36种. ②有2名老队员的排法有=12种. 故共有36+12=48种排法. 答案:48 (2)解:①第1步,先将4个舞蹈节目捆绑起来,看成1个节目,与6个演唱节目一起排,有=5 040种排法; 第2步,再松绑,给4个舞蹈节目排序,有=24种排法. 根据分步乘法计数原理,一共有5 040×24=120 960种节目安排顺序. ②第1步,将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”),一共有=720种排法. ×□×□×□×□×□×□× 第2步,再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置),这样相当于7个“×”选4个来排,一共有=7×6×5×4=840种排法. 根据分步乘法计数原理,一共有720×840=604 800种节目安排顺序. ③若所有节目没有顺序要求,全部排列,则有种排法,但原来的节目已定好顺序,需要消除,故节目演出的顺序有=132种排法. 解:(1)由题意知,共有五位数=120个,比43 251大的数有下列几类: ①万位数是5的有=24个数; ②万位数是4,千位数是5的有=6个数; ③万位数是4,千位数是3,百位数是5的有=2个数; 故比43 251大的共有=32个数, 43 251是第120-32=88项. (2)从(1)知万位数是5的有=24个数,万位数是4,千位数是5的有=6个数,但比第93项大的数有120-93=27个,第93项即倒数第28项,而万位数是4,千位数是5的6个数是45 321,45 312,45 231,45 213,45 132,45 123,由此可见第93项是45 213. 【例3】 (1)若的展开式中的系数是84,则实数a等于(　　) A.2 B. C.1 D. (2)已知(1+x+x2)的展开式中没有常数项,且2≤n≤8,则n=　　　　　.  (3)已知展开式中的二项式系数之和比(2x+xlg x)2n展开式中奇数项的二项式系数之和少112,第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120,求x. (1)解析:展开式的通项为Tr+1=(2x)7-r27-rar,令7-2r=-3,得r=5.故展开式中的系数是22a5=84,解得a=1. 答案:C (2)解析:展开式的通项是Tr+1=xn-r·xn-4r,r=0,1,2,…,n,因为(1+x+x2)的展开式中没有常数项,所以xn-4r,xxn-4r=xn-4r+1和x2xn-4r=xn-4r+2都不是常数,则n-4r≠0,n-4r+1≠0,n-4r+2≠0.又因为2≤n≤8,所以n≠2,3,4,6,7,8,故取n=5. 答案:5 (3)解:展开式中的二项式系数之和为2n,(2x+xlg x)2n展开式中奇数项的二项式系数之和为22n-1,由题意可得22n-1-2n=112,解得n=4, 故(2x+xlg x)2n=(2x+xlg x)8,该式的二项式系数最大的项为T5=·(2x)4·(xlg x)4 =1 120,进一步可得x4(1+lg x)=1,故x=1或1+lg x=0,即x=1或x=. 【变式训练3】 已知的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1.求: (1)展开式中各项系数的和; (2)展开式中含的项; (3)展开式中系数的绝对值最大的项. 解:因为展开式的通项是Tr+1=)n-r=(-2)r,所以T5=T4+1=24,T3=T2+1=22. 所以,整理得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去). (1)令x=1,则所求各项系数的和为1. (2)展开式的通项为Tr+1=(-2)r,令,得r=1.故展开式中含的项为T2=T1+1=(-2)1=-16. (3)展开式的第r项、第r+1项、第r+2项的系数绝对值分别为2r-1, 2r,2r+1.若第r+1项的系数绝对值最大,则有解得5≤r≤6,故系数的绝对值最大的项为第六项或第七项,即T6=-1 792,T7=. 【例4】 已知=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且a2=7. 解:(1)因为T3=x2,由a2=7,所以=7,故n=8. (2)令x=0,得a0=1,令x=-2,得28=1-2a1+22a2-23a3+…+(-2)nan,故-2a1+22a2-23a3+…+(-2)nan=28-1=255. A.种 B.种 C.种 D.种 解析:由题意,初中部和高中部总共有400+200=600(人),按照分层随机抽样的原理,应从初中部抽取×60=40(人),从高中部抽取×60=20(人). 第一步,从初中部抽取40人,有种方法,第二步,从高中部抽取20人,有种方法,根据分步乘法计数原理,一共有种抽样结果.故选D. 解析:方法一(直接法): 若选2门课,只需体育类和艺术类各选1门,有 =16(种)不同的选课方案; 若选3门课,分两类.体育类选1门、艺术类选2门,体育类选2门、艺术类选1门,有=48(种)不同的选课方案.综上,共有16+48=64(种)不同的选课方案. 方法二(间接法): 由题意可知,从8门课中选择2门或者3门共有 =84(种)不同的选课方案,只选择体育类或艺术类的有2()=20(种),则符合题意的共有84-20=64(种)不同的选课方案. 5.(2020·全国新高考)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为(　　) A.5 B.10 C.15 D.20 解析:(x+y)5展开式的通项公式为Tr+1=x5-ryr(r∈N且r≤5),所以的各项与(x+y)5展开式的通项的乘积可表示为xTr+1=xx5-ryr=x6-ryr和Tr+1=x5-ryr=x4-ryr+2,在xTr+1=x6-ryr中,令r=3,可得xT4=x3y3,该项中x3y3的系数为10,在Tr+1=x4-ryr+2中,令r=1,可得T2=x3y3,该项中x3y3的系数为5,所以x3y3的系数为10+5=15,故选C. 6.(2023·天津高考)在(2x3-)6的展开式中,x2项的系数为　　　　　.  解析:(2x3-)6的展开式的通项为Tr+1=·(-)r=(-1)r·26-r··x18-4r.由18-4r=2,得r=4,所以展开式中x2项的系数为(-1)4×22×=60. 7.(2022·全国新高考Ⅰ)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为　　　　　(用数字作答).  解析:∵原式=(x+y)8-(x+y)8,∴展开式中含有x2y6的项为 x2y6-x3y5=()x2y6=-28x2y6.故x2y6的系数为-28. 解析:由已知得a2=1××(-1)3+2××(-1)2=8. 9.(2021·北京高考)展开式中常数项为　 .  解析:的展开式的通项Tr+1=(x3)4-r·=(-1)rx12-4r,令r=3得常数项为T4=(-1)3=-4. $$