第16期 1.3 不共线的三点确定二次函数的表达式-1.5 二次函数的应用（第一课时）（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

书 纵观近年全国各地的 中考试卷，我们从考查二次 函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠ ０）相关知识的一些题目中 发现了一个亮点，那就是利 用其图象（抛物线）来确定 ａ，ｂ，ｃ的符号．解题的关键 在于把二次函数的性质和 图象有效地结合起来，即运 用数形结合的思想方法加 以解决． 一、明确作用 对于二次函数ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图象， （１）ａ决定开口方向． 当ａ＞０时，抛物线开口向 上；当ａ＜０时，抛物线开口 向下． （２）ｂ和ａ共同决定抛 物线对称轴的位置．由于抛 物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠ ０）的对称轴是直线 ｘ＝ －ｂ２ａ，故当ｂ＝０时，对称轴 为ｙ轴；当 ｂａ ＞０时，对称 轴在ｙ轴的左侧；当 ｂａ ＜０ 时，对称轴在ｙ轴的右侧． （３）ｃ的大小决定抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）与 ｙ轴交点的位置．当ｃ＝０时，抛物线经过原点；当ｃ＞０ 时，与ｙ轴交于正半轴；当ｃ＜０时，与ｙ轴交于负半轴． 温馨提示：以上三点中，当条件和结论互换时，就 可以确定ａ，ｂ，ｃ的符号了． 二、典例精析 例　（２０２４广安）如图， 二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ， ｂ，ｃ为常数，ａ≠０）的图象与 ｘ轴交于点Ａ（－３２，０），对称 轴是直线ｘ＝－１２，有以下结 论：①ａｂｃ＜０；②若点（－１，ｙ１）和点（２，ｙ２）都在抛物 线上，则ｙ１＜ｙ２；③ａｍ ２＋ｂｍ≤ １４ａ－ １ ２ｂ（ｍ为任意实 数）；④３ａ＋４ｃ＝０．其中正确的有 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 解析：由图象可知，二次函数开口向下，与ｙ轴正半 轴交于一点，所以ａ＜０，ｃ＞０．因为 －ｂ２ａ＝－ １ ２ ＜０， 所以ｂ＜０，所以ａｂｃ＞０，故①错误； 因为对称轴是直线ｘ＝－１２，点（－１，ｙ１）和点（２， ｙ２）都在抛物线上，且－ １ ２－（－１）＝ １ ２＜２－（－ １ ２） ＝ ５２，所以ｙ１ ＞ｙ２，故②错误； 当ｘ＝ｍ时，ｙ＝ａｍ２＋ｂｍ＋ｃ，当ｘ＝－１２时，ｙ取 得最大值 １ ４ａ－ １ ２ｂ＋ｃ，所以对于任意实数ｍ有ａｍ ２＋ ｂｍ＋ｃ≤ １４ａ－ １ ２ｂ＋ｃ，所以ａｍ ２＋ｂｍ≤ １４ａ－ １ ２ｂ， 故③正确； 因为 －ｂ２ａ＝－ １ ２，所以 ｂ＝ａ，由图象知当 ｘ＝ －３２时，ｙ＝０，所以 ９ ４ａ－ ３ ２ｂ＋ｃ＝０，所以９ａ－６ｂ＋ ４ｃ＝０，即３ａ＋４ｃ＝０，故④正确． 综上所述，正确的有③④．故选Ｂ． 书 抛物线的对称性是二次函数的一个重要特征，即若 抛物线上有两个对称点的坐标为（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２），则一 定有ｙ１ ＝ｙ２，且其对称轴为直线ｘ＝ ｘ１＋ｘ２ ２ ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１　（２０２４宁波期末）若二次函数ｙ＝２（ｘ－１）２＋ ５的图象经过（ｍ，ｎ）和（３，ｎ）两点，则ｍ的值为（　　） Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．５２ Ｄ．－ ５ ２ 解析：由题可得 ｍ＋３ ２ ＝１，解得ｍ＝－１．故选Ｂ． 例２　已知抛物线ｙ＝－３ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴只有一 个交点，且过点 Ａ（ｍ－２，ｎ），Ｂ（ｍ＋４，ｎ），则 ｎ的值为 ． 解析：因为抛物线ｙ＝－３ｘ２＋ｂｘ＋ｃ过点Ａ（ｍ－２， ｎ），Ｂ（ｍ＋４，ｎ），所以对称轴为直线ｘ＝ｍ＋１，又因为抛 物线ｙ＝－３ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴只有一个交点，所以顶点为 （ｍ＋１，０），所以设抛物线表达式为ｙ＝－３（ｘ－ｍ－１）２， 把Ａ（ｍ－２，ｎ）代入，得ｎ＝－３（ｍ－２－ｍ－１）２＝－２７， 即ｎ＝－２７．故填 －２７． 例３　 已知点 Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２）在抛物线 ｙ＝ ｍｘ２－２ｍ２ｘ＋ｎ（ｍ≠０）上，当ｘ１＋ｘ２＞４且ｘ１＜ｘ２时， 都有ｙ１ ＜ｙ２，则ｍ的取值范围为 （　　） Ａ．０＜ｍ≤２ Ｂ．－２≤ｍ＜０ Ｃ．ｍ＞２ Ｄ．ｍ＜－２ 解析：由题易得该抛物线的对称轴为直线 ｘ＝ －－２ｍ ２ ２ｍ ＝ｍ，因为当ｘ１＋ｘ２ ＞４且ｘ１ ＜ｘ２时，都有ｙ１ ＜ｙ２，所以当ｍ＞０时，０＜２ｍ≤４，解得０＜ｍ≤２；当 ｍ＜０时，２ｍ＞４，此时ｍ无解．综上所述，ｍ的取值范围 为０＜ｍ≤２．故选Ａ． 例４　（２０２３福州期末）已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ ｃ（ａ≠０）经过点Ａ（２，ｔ），Ｂ（３，ｔ），Ｃ（４，２），Ｄ（６，４），那么 ａ－ｂ＋ｃ的值是 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．ｔ 解析：因为抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）经过点 Ａ（２，ｔ），Ｂ（３，ｔ）， 所以抛物线的对称轴为直线ｘ＝２＋３２ ＝ ５ ２， 所以点Ｄ（６，４）的对称点坐标为（－１，４）， 所以当ｘ＝－１时，ｙ＝４，即ａ－ｂ＋ｃ＝４．故选Ｃ． 书 二次函数与一元二次方程本是一家，两者关系密 切，相互渗透，在解题运用中相辅相成，相得益彰，常常 携手出现在中考的舞台上． 例１　（２０２３郴州）若抛物线ｙ＝ｘ２－６ｘ＋ｍ与ｘ轴 只有一个公共点，则ｍ的值为 ． 解析：因为抛物线ｙ＝ｘ２－６ｘ＋ｍ与ｘ轴只有一个 公共点， 所以方程ｘ２－６ｘ＋ｍ＝０有两个相等的实数根， 所以Δ＝（－６）２－４ｍ＝０，所以ｍ＝９．故填９． 例２　（２０２３湖南）已知ｍ＞ｎ＞０，若关于ｘ的方程 ｘ２＋２ｘ－３－ｍ＝０的解为ｘ１，ｘ２（ｘ１ ＜ｘ２），关于ｘ的方 程ｘ２＋２ｘ－３－ｎ＝０的解为ｘ３，ｘ４（ｘ３＜ｘ４），则下列结 论正确的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｘ３ ＜ｘ１ ＜ｘ２ ＜ｘ４ Ｂ．ｘ１ ＜ｘ３ ＜ｘ４ ＜ｘ２ Ｃ．ｘ１ ＜ｘ２ ＜ｘ３ ＜ｘ４ Ｄ．ｘ３ ＜ｘ４ ＜ｘ１ ＜ｘ２ 解析：如图所示，设直线 ｙ＝ ｍ与抛物线ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３交于Ａ， Ｂ两点，直线ｙ＝ｎ与抛物线ｙ＝ｘ２ ＋２ｘ－３交于Ｃ，Ｄ两点， 因为ｍ＞ｎ＞０，关于ｘ的方 程ｘ２＋２ｘ－３－ｍ＝０的解为ｘ１， ｘ２（ｘ１ ＜ｘ２），关于ｘ的方程ｘ ２＋２ｘ－３－ｎ＝０的解为ｘ３， ｘ４（ｘ３ ＜ｘ４）， 所以ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４分别是Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的横坐标， 所以ｘ１ ＜ｘ３ ＜ｘ４ ＜ｘ２．故选Ｂ． 例３　（２０２３自贡）经过Ａ（２－３ｂ，ｍ），Ｂ（４ｂ＋ｃ－１， ｍ）两点的抛物线ｙ＝－１２ｘ ２＋ｂｘ－ｂ２＋２ｃ（ｘ为自变量） 与ｘ轴有交点，则线段ＡＢ长为 （　　） Ａ．１０ Ｂ．１２ Ｃ．１３ Ｄ．１５ 解析：因为抛物线ｙ＝－１２ｘ ２＋ｂｘ－ｂ２＋２ｃ的对称 轴为直线ｘ＝－ｂ２ａ＝－ ｂ ２×（－１２） ＝ｂ，抛物线经过Ａ（２ －３ｂ，ｍ），Ｂ（４ｂ＋ｃ－１，ｍ）两点， 所以 ２－３ｂ＋４ｂ＋ｃ－１ ２ ＝ｂ，即 ｃ＝ｂ－１，所以 ｙ ＝－１２ｘ ２＋ｂｘ－ｂ２＋２ｃ＝－１２ｘ ２＋ｂｘ－ｂ２＋２ｂ－２， 因为抛物线与ｘ轴有交点，所以Δ＝ｂ２－４ａｃ≥０， 即 ｂ２－４×（－１２）×（－ｂ ２＋２ｂ－２）≥０，整理，得 （ｂ－２）２≤０， 所以ｂ＝２，ｃ＝ｂ－１＝２－１＝１， 所以２－３ｂ＝２－６＝－４，４ｂ＋ｃ－１＝８＋１－１＝８， 所以ＡＢ＝８－（－４）＝１２．故选Ｂ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " !" #$% " &' ()* ! " # $ % & ' 书 上期３版 一、１．Ｂ；　２．Ａ； 　３．Ａ；　４．Ｂ；　５．Ａ； 　６．Ａ；　７．Ｂ；　８．Ｃ． 二、９．ｙ＝ｘ（１５－ ｘ）；　１０．ｍ＞－１； １１．－１； １２．１８ ＜ａ≤ １ ３； １３．１０． 三、１４．（１）平移后 的函数表达式为ｙ＝（ｘ －１）２－４，平移后的函 数图象略． （２）当ｙ＝０时，即 ０＝（ｘ－１）２－４，解得 ｘ１＝－１，ｘ２＝３，故经过 两次平移后的图象与 ｘ 轴的交点坐标为（－１， ０），（３，０），当－１＜ｘ＜ ３时，函数值小于０． １５．（１）－１，－１． （２） 联 立 ｙ＝－ｘ－２， ｙ＝－ｘ２{ ， 解 得 ｘ＝－１， ｙ＝－{ １或 ｘ＝２，ｙ＝－４{ ， 所以点Ｂ的坐标为 （２，－４）． （３）由图象可得， 当 ａｘ２ ＜ｋｘ－２时，ｘ ＜－１或ｘ＞２． １６．（１）过点 Ｃ作 ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，设ＡＤ 为 ａ，因为 △ＡＢＣ为等 边三角形，ＣＤ⊥ ＡＢ，所 以ＡＤ＝ＤＢ＝ａ，∠ＡＣＤ ＝３０°，所以 ＡＣ＝２ａ， 由勾股定理，得 ＣＤ ＝ 槡３ａ，所以点Ｂ坐标为（２ ＋ａ，槡３ａ），因为点 Ｂ在 抛物线上，所以槡３ａ＝ ２（２＋ａ－２）２，解得ａ＝ 槡３ ２或ａ＝０（舍去），所 以Ｂ（４＋槡３２ ， ３ ２）． （２）由（１）得 ＡＤ ＝ＤＢ＝槡３２，ＣＤ＝ ３ ２， 所以 ＡＢ ＝槡３，所以 Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＢ·ＣＤ＝ 书 上期２版 １．１二次函数 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ａ；　４．＜；　５．四． ６．（１）根据题意，得ｍ＋３≠０且ｍ２＋ｍ－４＝２， 解得ｍ＝２，即当ｍ＝２时，ｙ是ｘ的二次函数． （２）① 当ｍ＋３＝０且ｍ＋２≠０时，即ｍ＝－３时， ｙ是ｘ的一次函数； ②当ｍ２＋ｍ－４＝０且ｍ＋２≠０时，ｙ是ｘ的一次 函数，解得ｍ＝－１±槡１７２ ； ③当ｍ２＋ｍ－４＝１且ｍ＋３＋ｍ＋２≠０时，ｙ是 ｘ的一次函数，解得ｍ＝－１±槡２１２ ． 综上，当ｍ为 －３或－１±槡１７２ 或 －１±槡２１ ２ 时，ｙ 是ｘ的一次函数． １．２．１二次函数ｙ＝ａｘ２的图象与性质 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．ｋ＜２；　５．２； ６．ｙ２ ＞ｙ１；　７．槡 ２５ ３． 能力提高　８．（１）ａ＝ １２，ｂ＝６． （２）分别过点Ａ，Ｄ作ＡＭ⊥ｙ轴于点Ｍ，ＤＮ⊥ｙ轴 于点Ｎ．由（１）知直线ＡＢ的表达式为ｙ＝－１２ｘ＋６，令 ｘ＝０，则ｙ＝６，所以Ｃ（０，６），因为∠ＡＭＣ＝∠ＤＮＣ＝ ∠ＡＣＤ＝９０°，所以 ∠ＡＣＭ＋∠ＤＣＮ＝９０°，∠ＤＣＮ＋ ∠ＣＤＮ＝９０°，所以∠ＡＣＭ＝∠ＣＤＮ，因为ＣＡ＝ＣＤ，所 以△ＡＭＣ≌△ＣＮＤ，所以ＣＮ＝ＡＭ＝４，ＤＮ＝ＣＭ＝２， 所以Ｄ（－２，２），当ｘ＝－２时，ｙ＝１２×（－２） ２ ＝２，所 以点Ｄ在抛物线ｙ＝ １２ｘ ２上． １．２．２二次函数ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ的图象与性质 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．－９； ４．答案不惟一，如ｍ＝２；　５．１． ６．（１）ｍ的值为５或１． （２）因为二次函数ｙ＝２（ｘ－ｍ）２－２的图象的对称 轴为直线ｘ＝ｍ，点Ｐ到对称轴的距离为１，所以ａ＝ｍ ＋１或ｍ－１，当ａ＝ｍ＋１时，ｂ＝２（ｍ＋１－ｍ）２－２＝ ０；当ａ＝ｍ－１时，ｂ＝２（ｍ－１－ｍ）２－２＝０．综上，ｂ 的值为０． 能力提高　７．（１）ａ＝１，ｋ＝－１． （２）设Ｎ（２，ｎ），因为Ｂ（０，３），Ａ（１，０），所以ＡＢ２ ＝ １２＋３２ ＝１０，ＮＢ２ ＝２２＋（ｎ－３）２ ＝ｎ２－６ｎ＋１３，ＮＡ２ ＝（２－１）２＋ｎ２ ＝１＋ｎ２，当△ＡＢＮ是以ＡＢ为斜边的 直角三角形时，由勾股定理得ＮＡ２＋ＮＢ２ ＝ＡＢ２，所以１ ＋ｎ２＋ｎ２－６ｎ＋１３＝１０，即２ｎ２－６ｎ＋４＝０，解得ｎ１＝ １，ｎ２ ＝２，所以点Ｎ的坐标为（２，１）或（２，２）． １．２．３二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象与性质 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．＜；　５．３． 能力提高　６．（１）把Ａ（－２，０），Ｂ（４，０）代入抛物 线 ｙ＝ －１２ｘ ２ ＋ｂｘ＋ｃ，得 －２－２ｂ＋ｃ＝０， －８＋４ｂ＋ｃ＝０{ ，解得 ｂ＝１， ｃ＝４{ ，所以ｙ＝－１２ｘ２＋ｘ＋４．因为抛物线与ｙ轴交于 点Ｃ，所以Ｃ（０，４），设直线ＢＣ的表达式为ｙ＝ｋｘ＋４，将 Ｂ（４，０）代入ｙ＝ｋｘ＋４，有４ｋ＋４＝０，解得ｋ＝－１，所 以直线ＢＣ的表达式为ｙ＝－ｘ＋４， 综上，抛物线的表达式为 ｙ＝－１２ｘ ２＋ｘ＋４，直线 ＢＣ的表达式为ｙ＝－ｘ＋４． （２）根据题意，设ＯＮ＝ＯＭ＝ｔ，ＭＨ＝－１２ｔ ２＋ｔ＋ ４，因为ＯＮ∥ＭＨ，所以当ＯＮ＝ＭＨ时，四边形ＯＭＨＮ为 矩形，即ｔ＝－１２ｔ ２＋ｔ＋４，解得ｔ＝ 槡２２或ｔ＝－槡２２（舍 去），所以 ＭＨ＝－１２ｔ ２＋ｔ＋４＝ 槡２２，所以 Ｈ（槡２２， ２２． 书 重点集训营 （２０２３湖州）如图１，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，二次 函数ｙ＝ｘ２－４ｘ＋ｃ的图象与ｙ轴的交点坐标为（０，５），图 象的顶点为Ｍ．矩形ＡＢＣＤ的顶点Ｄ与原点Ｏ重合，顶点 Ａ，Ｃ分别在ｘ轴，ｙ轴上，顶点Ｂ的坐标为（１，５）． （１）求ｃ的值及顶点Ｍ的坐标； （２）如图２，将矩形ＡＢＣＤ沿ｘ轴正方向平移ｔ个单 位（０＜ｔ＜３）得到对应的矩形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′．已知边Ｃ′Ｄ′， Ａ′Ｂ′分别与函数ｙ＝ｘ２－４ｘ＋ｃ的图象交于点Ｐ，Ｑ，连 接ＰＱ，过点Ｐ作ＰＧ⊥Ａ′Ｂ′于点Ｇ． ①当ｔ＝２时，求ＱＧ的长； ②当点Ｇ与点Ｑ不重合时，是否存在这样的ｔ，使 得△ＰＧＱ的面积为１？若存在，求出此时ｔ的值；若不存 在，请说明理由． 辅助线周周练 １．如图１，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＤ＋∠ＡＤＣ＝ ２７０°，点Ｅ，Ｆ分别是ＡＤ，ＢＣ上的中点，ＥＦ＝３，则ＡＢ２＋ ＤＣ２的值是 ． ２．如图２，ＡＢＣＤ中，ＢＤ＝１２，∠ＡＯＢ＝６０°，点Ｆ 为ＡＢ中点，点Ｅ为ＡＯ边上一点，若ＡＥ＝ＯＥ＋ＯＢ，则 ＥＦ的长为 ． 书 【提示】 １．连接ＡＣ，取ＡＣ的中点Ｍ，连接ＥＭ，ＦＭ，根据 三角形的中位线定理可以得到ＥＭ∥ＤＣ，ＭＦ∥ＡＢ， ＥＭ＝１ ２ＤＣ，ＭＦ＝１ ２ＡＢ，推导出∠ＥＭＦ＝９０°，再 利用勾股定理解题即可求出答案． ２．在ＡＯ上截取ＡＩ＝ＯＢ，连接ＢＩ，取ＢＩ的中点 Ｈ，连接ＥＨ，ＦＨ，可证明ＩＥ＝ＯＥ，根据三角形的中位 线定理得ＥＨ∥ＯＢ，ＥＨ＝１ ２ＯＢ，ＦＨ∥ＡＩ，ＦＨ＝ １ ２ＡＩ，延长ＥＨ到点Ｇ，使ＧＨ＝ＥＨ＝ＦＨ，连接ＦＧ，则 ＥＧ＝２ＥＨ，可证明△ＦＧＨ是等边三角形，则ＦＧ＝ ＦＨ，∠ＨＦＧ＝６０°，再证明∠ＨＦＥ＝３０°，即可求得 ＥＦ的长． 书 二次函数常常作为中考数学的压轴题出现，难度较 大，综合性较强，下面举例说明，供同学们参考． 例　（２０２３甘孜）已知抛物 线ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与 ｘ轴相交于 Ａ（－１，０），Ｂ两点，与 ｙ轴相交于 点Ｃ（０，－３）． （１）求ｂ，ｃ的值； （２）Ｐ为第一象限抛物线上一 点，△ＰＢＣ的面积与△ＡＢＣ的面积相等，求直线ＡＰ的表 达式； （３）在（２）的条件下，设Ｅ是直线ＢＣ上一点，点Ｐ关 于ＡＥ的对称点为点Ｐ′，试探究，是否存在满足条件的点 Ｅ，使得点Ｐ′恰好落在直线 ＢＣ上，如果存在，求出点 Ｐ′ 的坐标；如果不存在，请说明理由． 解：（１）由题意，得 １－ｂ＋ｃ＝０， ｃ＝－３{ ． 所以 ｂ＝－２， ｃ＝－３{ ． （２）由（１）得抛物线的表达式为ｙ＝ｘ２－２ｘ－３． 令ｙ＝０，则ｘ２－２ｘ－３＝０，得ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝３，所 以点Ｂ的坐标为（３，０）． 因为Ｓ△ＰＢＣ ＝Ｓ△ＡＢＣ，所以ＡＰ∥ＢＣ． 因为Ｂ（３，０），Ｃ（０，－３），所以直线ＢＣ的表达式为ｙ ＝ｘ－３． 因为ＡＰ∥ＢＣ，所以可设直线ＡＰ的表达式为ｙ＝ｘ ＋ｍ． 因为Ａ（－１，０）在直线ＡＰ上，所以０＝－１＋ｍ，解得 ｍ＝１，所以直线ＡＰ的表达式为ｙ＝ｘ＋１． （３）存在，设Ｐ点坐标为（ｐ，ｎ）． 因为点Ｐ在直线ｙ＝ｘ＋１和抛物线ｙ＝ｘ２－２ｘ－ ３上， 所以ｎ＝ｐ＋１，ｎ＝ｐ２－２ｐ－３．所以ｐ＋１＝ｐ２－ ２ｐ－３． 解得ｐ１＝４，ｐ２＝－１（舍去），所以点Ｐ的坐标为（４， ５）． 由题意得∠ＡＥＰ＝∠ＡＥＰ′，Ｐ′Ｅ＝ＰＥ． 因为ＡＰ∥ＢＣ，所以∠ＰＡＥ＝∠ＡＥＰ′，所以∠ＰＡＥ ＝∠ＰＥＡ． 所以ＰＥ＝ＰＡ＝ （４＋１）２＋（５－０）槡 ２ ＝ 槡５２． 设点Ｅ的坐标为（ｔ，ｔ－３），则ＰＥ２＝（ｔ－４）２＋（ｔ－ ３－５）２ ＝（槡５２） ２，所以ｔ＝６±槡２１． 当ｔ＝６＋槡２１时，点 Ｅ的坐标为（６＋槡２１，３＋ 槡２１）， 设Ｐ′（ｓ，ｓ－３），由Ｐ′Ｅ＝ＡＰ，Ｐ′Ｅ＝ＰＥ＝ 槡５２，得（ｓ －６－槡２１） ２＋（ｓ－３－３－槡２１） ２＝（槡５２） ２，解得ｓ＝ １＋槡２１，则点Ｐ′的坐标为（１＋槡２１，－２＋槡２１）． 当ｔ＝６－槡２１时，同理可得，点 Ｐ′的坐标为（１－ 槡２１，－２－槡２１）． 综上所述，点Ｐ′的坐标为（１＋槡２１，－２＋槡２１）或 （１－槡２１，－２－槡２１）．【对应练习见《重点集训营》】 % " ( ) & # # ( & $ % ) " ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 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"* - ! #%$ & './! ! 01!02 " + , ’ ´ µ 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２４北京期末）若抛物线ｙ＝ｘ２＋２ｍｘ＋９与ｘ 轴只有一个交点，则ｍ的值为 （　　） Ａ．３ Ｂ．－３ Ｃ．± 槡３２ Ｄ．±３ ２．（２０２３上海长宁区二模）已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ ＋ｃ（ａ≠０）经过点Ａ（２，ｔ），Ｂ（３，ｔ），Ｃ（４，２），那么ａ＋ｂ ＋ｃ的值是 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．ｔ ３．若方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ＞０）的两个根是 －１ 和３，则对于二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ，当ｙ＞０时，ｘ的 取值范围是 （　　） Ａ．－１＜ｘ＜３ Ｂ．ｘ＞－１ Ｃ．ｘ＜－１或ｘ＞３ Ｄ．ｘ＜３ ４．（２０２４长春期末）如图１，小明以 抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设 计了一款高ＯＤ为１３的奖杯，杯体轴截面 ＡＢＣ是抛物线ｙ＝４７ｘ ２＋６的一部分，则 杯口的口径ＡＣ长为 （　　） Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．９ ５．（２０２４陕西）已知一个二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ 的自变量ｘ与函数ｙ的几组对应值如下表， ｘ … －４ －２ ０ ３ ５ … ｙ … －２４ －８ ０ －３ －１５ … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是 （　　） Ａ．图象的开口向上 Ｂ．当ｘ＞０时，ｙ的值随ｘ的值增大而增大 Ｃ．图象经过第二、三、四象限 Ｄ．图象的对称轴是直线ｘ＝１ ６．如图２，隧道的截面由抛物 线和长方形 ＯＡＢＣ构成，已知抛物 线的表达式为ｙ＝－１６ｘ ２＋２ｘ＋４， 需要在抛物线形拱壁上安装两排 灯，如果灯离地面的高度为８ｍ，那 么两排灯的水平距离是 （　　） 槡 槡Ａ．２ｍ Ｂ．４ｍ Ｃ．４２ｍ Ｄ．４３ｍ ７．已知ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０） 的图象如图３所示，对称轴为直线ｘ ＝２．若ｘ１，ｘ２是一元二次方程ａｘ ２＋ ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的两个根，且ｘ１ ＜ｘ２，－１＜ｘ１ ＜０，则下列说法正 确的是 （　　） Ａ．ｘ１＋ｘ２ ＜０ Ｂ．４＜ｘ２ ＜５ Ｃ．ｂ２－４ａｃ＜０ Ｄ．ａｂ＞０ ８．若抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０）经过第四象限 的点为（１，－１），则关于ｘ的方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的根 的情况是 （　　） Ａ．有两个大于１的不相等实数根 Ｂ．有两个小于１的不相等实数根 Ｃ．有一个大于１另一个小于１的实数根 Ｄ．没有实数根 二、细心填一填（每小题４分，共２０分） ９．抛物线ｙ＝ｘ２＋６ｘ＋ｍ与ｘ轴无公共点，则ｍ的 取值范围为 ． １０．（２０２４甘肃）一汽车 停车棚顶的横截面可以看作 是抛物线的一部分，如图４是 棚顶的竖直高度 ｙ（单位：ｍ） 与距离停车棚支柱ＡＯ的水平 距离 ｘ（单位：ｍ）近似满足函 数关系ｙ＝－０．０２ｘ２＋０．３ｘ＋１．６的图象，点Ｂ（６，２．６８） 在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截 面看作长ＣＤ＝４ｍ，高ＤＥ＝１．８ｍ的矩形，则可判定货 车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． １１．（２０２３无锡三模）抛物线ｙ＝ｘ２＋ｐｘ＋ｑ（ｐ，ｑ为 常数）的顶点Ｍ关于ｙ轴的对称点为（－３，ｎ）．该抛物线 与ｘ轴相交于不同的两点（ｘ１，０），（ｘ２，０），且ｘ ２ １ｘ ２ ２－ｘ１－ ｘ２ ＝１１５，则ｐ＋ｑ＋ｎ的值为 ． １２．有一个抛物线形蔬菜大棚，将其截面放在如图５ 所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数 ｙ＝ －３１６ｘ ２＋ｂｘ来表示，已知ＯＫ＝８米．若借助横梁ＳＴ（ＳＴ ∥ＯＫ）建一个门，要求门的高度为１．５米，则横梁ＳＴ的 长度是 米． １３．（２０２３鹤岗期末）如图６，抛物线ｙ＝ｘ２－２ｘ－３ 与ｘ轴交于Ａ，Ｂ两点（Ａ在左边），与ｙ轴交于Ｃ点，Ｐ是 线段ＡＣ上的一点，连接 ＢＰ交 ｙ轴于点 Ｑ，连接 ＯＰ，当 △ＯＡＰ和△ＰＱＣ的面积之和与 △ＯＢＱ的面积相等时， 点Ｐ的坐标为 ． 三、耐心解一解（共４８分） １４．（２０２３宁波月考，８分）二次函数ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ 的自变量ｘ与函数值ｙ的对应值如下表，根据下表回答 问题： ｘ … －３ －２ －１ ０ … ｙ … －２ －２ ０ ４ … （１）求出该二次函数的表达式； （２）写出向下平移２个单位后，图象所对应的二次 函数表达式． １５．（２０２４南京期末，８分）已知二次函数ｙ＝ａｘ２－ ４ａｘ（ａ≠０）． （１）求证：该函数的图象与ｘ轴总有两个公共点； （２）当０＜ｘ＜４时，ｙ＜４，直接写出ａ的取值范围． １６．（１０分）已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如 图７所示，它与ｘ轴的一个交点坐标为（－１，０），与ｙ轴的 交点坐标为（０，３），对称轴为直线ｘ＝１． （１）求出ｂ，ｃ的值，并写出此二次函数的表达式； （２）根据图象，直接写出函数值ｙ为正数时，自变量 ｘ的取值范围； （３）当２≤ｘ≤４时，求ｙ的最大值． １７．（２０２３合肥蜀山区一模，１０分）如图８，在篮球比 赛中，东东投出的球在点 Ａ处反弹，反弹后球运动的路 线为抛物线的一部分，抛物线顶点为点Ｂ． （１）求该抛物线的函数表达式； （２）当球运动到点Ｃ时被东东抢到，已知ＣＤ⊥ｘ轴 于点Ｄ，ＣＤ＝２．６ｍ，求ＯＤ的长． １８．（１２分）如图９，已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３与 ｘ轴交于Ａ（－３，０）和Ｂ（１，０）两点，与ｙ轴交于点Ｃ． （１）求抛物线的表达式； （２）设抛物线的顶点为Ｍ，试判断△ＡＣＭ的形状； （３）在ｘ轴上方的抛物线上是否存在一点 Ｐ，使 △ＰＡＢ的面积为８？若存在，请直接写出点 Ｐ的坐标；若 不存在，请说明理由                                                                                                                                                                 ． 书 １．３不共线三点确定二次函数的表达式 １．已知二次函数的图象经过（－１，０），（２，０），（０， ２）三点，则该函数的表达式为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｙ＝－ｘ２＋ｘ＋２ Ｂ．ｙ＝ｘ２＋ｘ－２ Ｃ．ｙ＝ｘ２＋３ｘ＋２ Ｄ．ｙ＝－ｘ２－ｘ＋２ ２．二次函数的图象如图１所示，则这个二次函数的 表达式为 （　　） Ａ．ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３ Ｂ．ｙ＝ｘ２－２ｘ－３ Ｃ．ｙ＝－ｘ２＋２ｘ－３ Ｄ．ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋３ ３．（２０２４杭州期末）在“探索函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ 的系数ａ，ｂ，ｃ与图象的关系”活动中，老师给出了如图 ２所示的平面直角坐标系中的四个点：Ａ（０，３），Ｂ（１， ０），Ｃ（３，０），Ｄ（２，３）．同学们探索了经过这四个点中的 三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数 表达式各不相同，其中ａ的值最大为 （　　） Ａ．－３ Ｂ．－１ Ｃ．３ Ｄ．１ ４．老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各 指出这个函数的一个性质． 甲：函数图象的顶点在ｘ轴上；乙：当ｘ＜１时，ｙ随 ｘ的增大而减小；丙：该函数的开口大小、形状均与函数 ｙ＝ｘ２的图象相同． 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上 述所有性质的一个二次函数表达式 ． ５．已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ图象的对称轴是 直线ｘ＝１，且图象过点Ａ（３，０）和点Ｂ（－２，５），求此函 数的表达式． ６．（２０２３南宁二模）二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３（ａ≠ ０）的图象经过点Ａ（１，０），Ｂ（３，０）． （１）求该二次函数的表达式和对称轴； （２）设Ｐ（ｍ，ｙ１），Ｑ（ｍ＋１，ｙ２）（ｍ＞２）是该二次 函数图象上的两点．当ｍ≤ｘ≤ｍ＋１时，函数的最大值 与最小值的差为５，求ｍ的值． １．４二次函数与一元二次方程的联系 １．（２０２４天津期末）抛物线ｙ＝ｘ２－２ｘ－３与ｘ轴 的两个交点分别为 （　　） Ａ．（３，０）和（－１，０） Ｂ．（－３，０）和（１，０） Ｃ．（２，０）和（－４，０） Ｄ．（４，０）和（－２，０） ２．（２０２３杭州月考）下表给出了二次函数 ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）中ｘ，ｙ的一些对应值，则可以估计一元 二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的一个近似解ｘ１的 范围为 （　　） ｘ … ０．６ ０．７ ０．８ ０．９ １ … ｙ … －０．４４－０．１１０．２４ ０．６１ １ … Ａ．０．６＜ｘ１ ＜０．７ Ｂ．０．７＜ｘ１ ＜０．８ Ｃ．０．８＜ｘ１ ＜０．９ Ｄ．０．９＜ｘ１ ＜１ ３．（２０２３台州二模）已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ过 点（－２，０），且ｂ＋４ａ＝０，则关于ｘ的一元二次方程ａ（ｘ －１）２＋ｃ＝－ｂｘ＋ｂ的解为 （　　） Ａ．ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝７ Ｂ．ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝７ Ｃ．ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝－７ Ｄ．ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝－７ ４．已知二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的部分图象如图所 示，则关于ｘ的一元二次方程ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ＝０的解为 ． ５．（２０２３信阳月考）已知抛 物线ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴只有 一个交点，将其向下平移 ｍ个单位长度后，抛物线与 ｘ 轴交于Ａ（ａ，０），Ｂ（ａ＋６，０），则ｍ的值为 ． ６．抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋３的对称轴为直线 ｘ＝ －１，若关于ｘ的一元二次方程ｘ２－ｂｘ－３－ｔ＝０（ｔ为 实数）在 －３＜ｘ＜２的范围内有实数根，则ｔ的取值范 围是 ． ７．已知抛物线ｙ＝１２ｘ ２＋ｘ＋ｃ与ｘ轴有两个不同 的交点． （１）求ｃ的取值范围； （２）抛物线ｙ＝１２ｘ ２＋ｘ＋ｃ与ｘ轴两交点的距离 为２，求ｃ的值． ８．（２０２４南京期末）已知直线ｙ１＝２ｘ－２与抛物线 ｙ２ ＝ａｘ ２＋ａｘ－２ａ（ａ为非０常数）． （１）求证：直线与抛物线总有公共点； （２）无论ｘ为何值，总有ｙ１≤ｙ２，求ａ的值或取值范 围． １．５二次函数的应用（第一课时） １．（２０２３泉州期末）廊桥是我国古老的文化遗产， 抛物线形的廊桥示意图如图１所示．已知抛物线的函数 表达式为ｙ＝－１４０ｘ ２＋１０，为增加安全性，在该抛物线 上同一高度且水平距离为８米的Ｃ，Ｄ两处安装警示灯， 则警示灯Ｄ距离水面ＡＢ的距离为 （　　） Ａ．８．４米 Ｂ．９．６米 Ｃ．１０．４米 Ｄ．１１．６米 ２．（２０２３邢台月考）在圆形喷水池的中央竖直安装 一根水管，其顶端安一喷头，喷出水流的高度 ｙ（ｍ）与 水平距离ｘ（ｍ）之间满足ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋７４，如图２所 示，当ｘ＝３２时，水流达到最高点，当ｘ＝２时，ｙ＝ １５ ４． 若喷出的水流没有落在池外，则喷水池的半径不少于 （　　） Ａ．３ｍ Ｂ．３．２ｍ Ｃ．３．５ｍ Ｄ．４ｍ ３．中国石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧 象征，如图３所示，某桥拱是抛物线形，正常水位时，水 面宽ＡＢ为２０ｍ，由于持续降雨，水位上升３ｍ，若水面 ＣＤ宽为 １０ｍ，则此时水面距桥面距离 ＯＥ的长为 ｍ． ４．（２０２４白城一模）如图４，一个横截面为抛物线 的隧道，其底部的宽ＡＢ为８ｍ，拱高为４ｍ．该隧道为双 向车道，且两车之间有０．４ｍ的隔离带，一辆宽为２ｍ 的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部隧道有不 少于０．５ｍ的空隙，则该货车能够安全通行的最大高度 是 ｍ． ５．（２０２４宜春期末）某数学兴趣小组在一次课外活 动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖正方体箱子放 在水平地面上）．现将弹珠抽象为一个动点，建立了如图 ５所示的平面直角坐标系（ｘ轴经过箱子底面中心，并与 其一组对边平行，正方形ＤＥＦＧ为箱子正面示意图）．某 同学将弹珠从Ａ（１，０）处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线 Ｌ：ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３（单位长度为１ｍ）的一部分，已知抛物 线经过点（－２，３），ＤＥ＝２ｍ，ＡＤ＝５ｍ． （１）求抛物线Ｌ的表达式和顶点坐标； （２）若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛 物线Ｌ形状相同的 ! 物线Ｍ运动，且无阻挡时弹珠最大 高度可达３ｍ，请判断弹珠能否弹出箱子，并说明理由 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 槡３３ ４． １７．（１）抛物线ｙ＝ （ｘ＋４）２的对称轴为直 线ｘ＝－４，令ｘ＝０，则 ｙ＝（０＋４）２＝１６，所以 点 Ｂ（０，１６），所以点 Ｂ 关于对称轴的对称点为 Ｂ′（－８，１６），设直线 ＯＢ′的表达式为ｙ＝ｋｘ， 将（－８，１６）代入，得１６ ＝－８ｋ，解得ｋ＝－２，所 以直线ＯＢ′的表达式为 ｙ＝－２ｘ，当ｘ＝－４时， ｙ＝８，所以Ｃ（－４，８）． （２）存在． 令 ｙ＝０，则（ｘ＋ ４）２ ＝０，解得 ｘ１ ＝ｘ２ ＝－４，所以点 Ａ（－４， ０）．因为ＡＰ∥ＯＢ，所以 当ＡＰ＝ＯＢ＝１６时，以 Ｐ，Ａ，Ｏ，Ｂ为顶点的四 边形是平行四边形．当 点Ｐ在点 Ａ的上方时， 点 Ｐ的坐标为（－４， １６），当点Ｐ在点Ａ的下 方时，点 Ｐ的坐标为 （－４，－１６）．综上，当 点Ｐ的坐标为（－４，１６） 或（－４，－１６）时，以Ｐ， Ａ，Ｏ，Ｂ为顶点的四边形 为平行四边形． １８．（１）因为二次 函数ｙ＝ｘ２－ａｘ的对称 轴为直线 ｘ＝２，所以 －－ａ２ ＝２，解得ａ＝４， 所以ｙ＝ｘ２－４ｘ．因为 点Ａ（５，ｂ）在二次函数 图象上，所以 ｂ＝２５－ ２０＝５． 综上，ａ＝４，ｂ＝５． （２） 由 题 意 设 Ｂ（２，ｍ）（ｍ＞０），直线 ＯＡ的表达式为ｙ＝ｋｘ， 因为Ａ（５，５），所以５ｋ＝ ５，解得ｋ＝１，所以直线 ＯＡ的表达式为 ｙ＝ｘ． 设直线 ＯＡ与抛物线对 称轴交于点Ｈ，则Ｈ（２， ２），所以ＢＨ＝｜ｍ－２｜， 因为 Ｓ△ＯＡＢ ＝１５，所以 １ ２×｜ｍ－２｜×５＝１５， 解 得 ｍ１ ＝ ８，ｍ２ ＝ －４（舍去），所以点Ｂ的 坐标为（２，８）． （３）设直线 ＡＢ的 表达式为ｙ＝ｃｘ＋ｄ，把 Ａ（５，５），Ｂ（２，８）代入， 得 ５ｃ＋ｄ＝５， ２ｃ＋ｄ＝８{ ，解 得 ｃ＝－１， ｄ＝１０{ ，所以直线 ＡＢ 的表达式为 ｙ＝－ｘ＋ １０，当 ＰＡ－ＰＢ的值最 大时，Ａ，Ｂ，Ｐ在同一条 直线上，因为 Ｐ是 ｙ轴 上的点，所以Ｐ（０，１０）． 上期４版 重点集训营 题型一：１．Ｄ；　２． Ｄ；　３．Ａ． 题型二：１．Ｂ；　２． Ｄ；　３．ｍ＞ １２．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