河南省新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二上学期期中数学模拟卷（二）

高二数学上学期期中模拟卷（二） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册全册 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 2．已知圆的方程是，则圆心的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．已知直线：，椭圆：，则“”是“与相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．已知平面均以为法向量，平面经过坐标原点，平面经过点，则平面与的距离为（   ） A．2 B． C．3 D． 5．如图，某双曲线笔简的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（    ） A． B． C． D． 6．设点，斜率为的直线过点且与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．.已知点为直线上的动点，过P点作圆的切线，，切点为，则周长的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 10．下列利用方向向量、法向量判断直线、平面位置关系的结论中，正确的是（    ） A．若两个不重合的平面法向量平行，则这两个平面平行 B．若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行 C．两条不重合直线的方向向量分别是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 11．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（    ） A．曲线C关于原点对称 B．曲线C存在点P，使得 C．直线与曲线C没有交点 D．点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向作垂线，垂足分别为A，B，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN的夹角的余弦值为 13．体外碎石技术在医学上一般用来治疗肾结石，其治疗原理为电极放电产生冲击波，经椭圆形反射体反射聚焦（将某个焦点发出的冲击波全部反射到另一个焦点处），能量积累增强到一定值时达到结石粉碎的目的．若椭圆的方程为，冲击波从椭圆的左焦点出发，经过反射后首次回到该焦点所经过的路程为，则的离心率为 ． 14．已知圆上两点满足，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. (1)以为基底表示； (2)若，且，，，求. 16．（15分）已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程. 17．（15分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长AB为2，宽BC为1，，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，设此时为M. (1)若折痕的斜率为，求折痕所在的直线的方程； (2)若折痕所在直线的斜率为，（为常数），试用表示点M的坐标，并求折痕上任一点满足的等式； (3)当时，求折痕长的最大值. 18．（17分）如图，平面，，，，，点分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与直线PC所成角的正弦值； (3)若为线段上的点，直线与平面所成的角为，求到平面的距离. 19．（17分）已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线. (1)若曲线为焦点在轴上的椭圆，求的取值范围. (2)设曲线为曲线，斜率为的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点. （i）若，求； （ii）若点关于轴的对称点为点，证明：直线过定点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学上学期期中模拟卷（二） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册全册 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在四面体中，不共面， 而 则 所以 故选：D 2．已知圆的方程是，则圆心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心坐标. 【详解】圆的方程可化为，圆心的坐标是. 故选：A. 3．已知直线：，椭圆：，则“”是“与相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】利用“数形结合”的思想结合“一元二次方程根有一解求解的判别式等于零”求解即可. 【详解】当时，直线：，直线与椭圆相切，当“与相切”时， 联立有，令有， 所以是直线与椭圆相切的充要条件. 故选:C. 4．已知平面均以为法向量，平面经过坐标原点，平面经过点，则平面与的距离为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】平面与的距离即点到平面的距离,利用向量法求点到平面的距离. 【详解】平面均以为法向量，则， 平面经过点，则平面与的距离等于点到平面的距离， 平面经过坐标原点，， 点到平面的距离， 所以平面与的距离为2. 故选：A. 5．如图，某双曲线笔简的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出，该笔筒中间最窄处的直径为得解. 【详解】依题意可得，所以， 所以该笔筒中间最窄处的直径为. 故选：B. 6．设点，斜率为的直线过点且与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图象，结合斜率公式求得正确答案. 【详解】如图，直线的斜率， 直线的斜率， 所以当直线与线段相交时， 的斜率的取值范围是. 故选：D 7．.已知点为直线上的动点，过P点作圆的切线，，切点为，则周长的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆心到直线的距离，确定动点到圆心的最短距离，从而得出切线长进而求出的周长表达式，再根据函数单调性求出最小值. 【详解】设圆心到直线的动点的距离为， 根据点到直线距离公式，. 因为，是圆的切线，所以（其中）. 又因为是直角三角形，由勾股定理可得，即. 的周长为. 因为是圆的弦，且和全等，所以. 根据三角形面积公式，（其中是圆的半径）， 可得，所以， 则的周长. 因为与均在上单调递增， 所以当时，周长取得最小值. 最小值为. 故选：A. 8．在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段的表达式，利用函数求最值即可. 【详解】因为正三棱柱中，有，所以为的中点，取中点， 连接，如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为是棱上一动点，设，且， 因为，且， 所以，于是令， 所以，， 又函数在上为增函数， 所以当时，，即线段长度的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 【答案】BD 【分析】直接由抛物线方程得焦点坐标及其准线方程可判断A，由抛物线定义可判断BC，由两点间距离公式可判断D. 【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线方程为，故A错误； 对于BC，由抛物线定义可得，所以，，解得，故B正确C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 10．下列利用方向向量、法向量判断直线、平面位置关系的结论中，正确的是（    ） A．若两个不重合的平面法向量平行，则这两个平面平行 B．若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行 C．两条不重合直线的方向向量分别是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】ABC 【分析】对于A，由题意可得一平面的法向量垂直于两个不同平面，从而可得两个平面平行，即可判断；对于B，由两直线的方向向量不平行，可得这两直线不平行，即可判断；对于C，由题意可得，从而得，即可判断；对于D，由题意可得以，从而得或，即可判断. 【详解】解：对于A，因为两个不重合的平面法向量平行， 则其中一个平面的法向量也垂直于另一个平面， 即可得一平面的法向量垂直于两个不同平面， 所以这两个平面平行，故正确； 对于B，因为两直线的方向向量不平行，所以这两直线不平行，故正确； 对于C，因为， 所以，所以，故正确； 对于D，因为，， 所以， 所以， 所以或，故错误. 故选：ABC. 11．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（    ） A．曲线C关于原点对称 B．曲线C存在点P，使得 C．直线与曲线C没有交点 D．点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向作垂线，垂足分别为A，B，则 【答案】CD 【分析】分的零的大小讨论，得到曲线方程，并画出图形，由对称性可得A错误；由双曲线的定义可得B错误；由渐近线方程可得C正确；由点到直线的距离公式可得D正确； 【详解】当时，曲线，即； 当时，曲线，即；不存在； 时，曲线，即； 时，曲线，即； 画出图形如下：    对于A，由图可得A错误，故A错误； 对于B，方程是以为上下焦点的双曲线， 当时，曲线C存在点P，使得，故B错误； 对于C，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C没有交点，故C正确； 对于D，设，设点在直线上，点在直线， 则由点到直线的距离公式可得 ，， 所以， 又点Q是曲线C上在第三象限内的一点， 代入曲线方程可得，故D正确； 故选：CD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN的夹角的余弦值为 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，求出各点坐标，利用异面直线空间向量夹角公式进行求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 故和BN的夹角的余弦值为. 故答案为： 13．体外碎石技术在医学上一般用来治疗肾结石，其治疗原理为电极放电产生冲击波，经椭圆形反射体反射聚焦（将某个焦点发出的冲击波全部反射到另一个焦点处），能量积累增强到一定值时达到结石粉碎的目的．若椭圆的方程为，冲击波从椭圆的左焦点出发，经过反射后首次回到该焦点所经过的路程为，则的离心率为 ． 【答案】或或 【分析】根据冲击波反射的路线，分三种情况即可结合椭圆的几何性质，利用椭圆离心率公式即可求解. 【详解】情况1：冲击波沿着轴向左出发经反射回到点，此时，即； 情况2：冲击波沿着轴向右出发经反射回到点，此时，即； 情况3：冲击波以与轴成夹角不为0的角度出发经反射回到点，此时，即． 故答案为：或或 14．已知圆上两点满足，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】设弦的中点为,由题意推出动点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆，再将所求式理解为点到直线的距离的5倍与点到直线的距离的5倍的和，结合图形，证明当且与小圆相切时得到的的5倍即所求式的最小值. 【详解】设弦的中点为，则 因点在圆上，则，， 于是 ，即动点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆. 设， 则可将其理解为点到直线的距离的5倍， 设， 可将其理解为点到直线的距离的5倍, 故要求的最小值，可先求的最小值. 如图，，且的距离为4，过点作，交小圆于点， 过点作小圆的切线，交大圆于点,分别交直线于点， 在小圆上任取点，过点作小圆的切线交大圆于点， 分别过点作于点，作于点 过点作的平行线与过点与垂直的直线交于点. 则,易得, ， 下面说明图中的即的最小值，最小值为， 此时的最小值为5，即的最小值为5. 理由：因，而, 故，即为的最小值. 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. (1)以为基底表示； (2)若，且，，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的加减数乘运算，结合题设条件即可求得； （2）先求出平面的基底两两之间的数量积，再根据（1）中的表示式，两边取平方，利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）由图可得，; （2）由题意，， 则， 于是，由两边取平方， ， 故. 16．（15分）已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）设所求双曲线方程为，，把点代入，即可得出答案． （2）根据题意设直线的方程为，联立直线与双曲线的方程，分别用点到直线的距离公式，弦长公式，三角形面积公式，建立方程，即可得出答案． 【详解】（1）因为双曲线的两条渐近线互相垂直， 所以双曲线为等轴双曲线， 所以设所求双曲线方程为，， 又双曲线经过点， 所以，即， 所以双曲线的方程为，即． （2）根据题意可知直线的斜率存在，又直线过点， 所以直线的方程为， 所以原点到直线的距离， 联立，得， 所以且， 所以，且， 所以， 所以的面积为， 所以，解得，所以， 所以直线的方程为或． 17．（15分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长AB为2，宽BC为1，，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，设此时为M. (1)若折痕的斜率为，求折痕所在的直线的方程； (2)若折痕所在直线的斜率为，（为常数），试用表示点M的坐标，并求折痕上任一点满足的等式； (3)当时，求折痕长的最大值. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）若折痕的斜率为时，由于A点落在线段上，可得折痕必过点，即可得出； （2）分和两种情况，结合垂直关系求直线方程即可得出结果； （3）当时，折痕为2，当时，折痕所在直线交于点，交轴于，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出. 【详解】（1）因为折痕的斜率为时，A点落在线段上 可知折痕必过点 所以直线方程为. （2）①当时，此时A点与点重合，折痕所在的直线方程. ②当时，将矩形折叠后A点落在线段上的点记为，， 则A与关于折痕所在的直线对称，有，即. ∴点坐标为 从而折痕所在的直线与的交点坐标即线段的中点为， 折痕所在的直线方程，即. 综上所述，由①②得折痕所在的直线方程为：. （3）当时，折痕长为2. 当时，折痕所在直线交于点，交轴于. 因为 ， 则折痕长的最大值为. 综上所述，折痕长度的最大值为 18．（17分）如图，平面，，，，，点分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与直线PC所成角的正弦值； (3)若为线段上的点，直线与平面所成的角为，求到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，可证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可证得； （2）运用空间向量法求解即可； （3）设点坐标，应用空间向量法表示出直线与平面所成的角为，再解方程可得点坐标，再应用空间向量法求出点面距即可. 【详解】（1）连接，因为，， 所以.又因为，所以四边形， 又因为点分别为的中点，所以且， 因为，，所以且， 又因为点分别为的中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面ABCD， 所以,， 又，故以点为原点，分别以为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系（如图）. 因为， 所以，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，所以. 设平面与直线PC所成角， 则， 所以与直线PC所成角的正弦值为. （3）设， 则， 因为直线与平面所成的角为， 所以， 所以. 解之得（舍去）， 所以点，所以， 因为,， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，所以. 则N到平面CPM的距离为. 所以到平面的距离为. 19．（17分）已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线. (1)若曲线为焦点在轴上的椭圆，求的取值范围. (2)设曲线为曲线，斜率为的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点. （i）若，求； （ii）若点关于轴的对称点为点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据曲线的定义列式，结合椭圆标准方程的特点求解； （2）（i）根据曲线的定义求出曲线的方程，联立方程组，利用弦长公式求解；（ii）联立直线与曲线的方程，可得根与系数关系，求出直线的方程为，令，运算求解的为定值，得证. 【详解】（1）设，由，得. 由，得. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则且， 所以可化为，所以， 则，故的取值范围为. （2）由得，化简得曲线的方程为， 则的右焦点为，设，， （i）联立，得， 则，且， 所以， （ii）联立，得， 则，且， 因为点关于轴的对称点为点，所以， 则直线的方程为， 根据对称性可知，直线经过的定点必在轴上， 令，得 ， 当时，， 故直线过定点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$