第05讲 4.3.2等比数列的前n项和公式（知识清单+7类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第05讲 4.3.2等比数列的前项和公式 课程标准 学习目标 ①掌握等比数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等比数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项。 ②会利用等比数列性质简化求和运算，会利用等比数列前n项和的函数特征求最值。 ③能处理与等比数列相关的综合问题。 能掌握等比数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等比数列的相关量之间的关系，用函数的思想解决等比数列的相关问题，会利用等比数列的性质灵活解决与之相关的问题 知识点01：等比数列前项和公式 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 【即学即练1】（24-25高二上·全国·随堂练习）等比数列的首项，公比，则等于（    ） A． B．31 C． D．63 知识点02:等比数列前项和的性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 【即学即练2】（23-24高二上·甘肃酒泉·期中）已知等比数列的前项和为，则 ． 知识点03：错位相减法求数列的和 推导等比数列前项和的方法叫做错位相减法,一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项的积所构成的数列的前项和. 题型01 等比数列前项和的基本量计算 【典例1】（24-25高二上·全国·课堂例题）已知数列是等比数列． (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，求的值． 【典例2】（23-24高二·全国·课堂例题）已知数列是等比数列. (1)若，，求； (2)若，，，求； (3)若，，，求n. 【典例3】（2024·云南）在等比数列中，，. (1)求的通项公式； (2)记为的前项和，若，求. 【变式1】（23-24高二上·广西·期末）在等比数列中. (1)已知，，求前4项和； (2)已知公比，前6项和，求. 【变式2】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）（1）在等差数列中，公差，前项和，求及； （2）在等比数列中，已知公比，前5项和，求. 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）在等比数列中，已知，且是与的等差中项． (1)求的通项公式 (2)记的前项和为若，求． 题型02等比数列前项和的片段和性质 【典例1】（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（    ） A．40 B．-30 C．30 D．-30或40 【典例2】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知等比数列的前项和满足，满足，，则 . 【典例3】（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知等比数列满足，，则 . 【变式1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）设是等比数列的前项和，若，，则= . 【变式2】（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）在等比数列中，前项和为，，，则 . 【变式3】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）等比数列的前项和为，，，则 . 题型03等比数列奇、偶项和的性质 【典例1】（23-24高三上·全国·阶段练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ） A． B．2 C． D． 【典例2】（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【典例3】（23-24高二·全国·课后作业）已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为 ． 【变式1】（24-25高二上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）已知等比数列{an}的公比为，则的值是________. 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比 . 题型04 分组求和法求数列的前项和 【典例1】（23-24高三上·江苏泰州·阶段练习）已知等差数列中，，前n项和为，为各项均为正数的等比数列，，且，． (1)求与； (2)定义新数列满足，，求前20项的和． 【典例2】（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）设数列的前n项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求. 【典例3】（23-24高二下·河南南阳·期中）已知等比数列是各项均为正数的递增数列，成等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式1】（23-24高二下·河南郑州·期中）已知数列的前n项和为，且满足 (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和. 【变式2】（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设，证明是等比数列； (3)设，求数列的前项和 【变式3】（23-24高二下·湖南·期中）已知数列是等差数列，且，设数列前项和为，数列满足. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)求数列的前项和. 题型05 错位相减法求数列的前项和 【典例1】（24-25高三上·四川达州·开学考试）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【典例2】（23-24高二下·四川雅安·期中）设数列的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的取值范围. 【变式1】（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求效列的前项和． 【变式2】（23-24高二下·河南郑州·期中）已知数列中，， (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式; (2)设，求的前n项和 题型06 等差数列与等比数列的综合问题 【典例1】（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）在数列中,,,设. （1）证明：数列是等差数列并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【典例2】23-24高三上·北京海淀·阶段练习）设数列是首项为1，公差为的等差数列，且，，是等比数列的前三项． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和． 【变式1】3．（23-24高二上·上海虹口）数列满足，，为非零常数. （1）是否存在实数，使得数列成为等差数列或等比数列，若存在，找出所有的，及对应的通项公式；若不存在，说明理由； （2）当时，记，证明：数列是等比数列； （3）求数列的通项公式. 【变式2】（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）已知数列中，，（为正常数），数列满足. （1）若是等差数列，且，求数列的通项公式； （2）若是等比数列，求数列的前项和. 题型07 等比数列求和在传统文化中的应用 【典例1】（23-24高一下·辽宁鞍山·阶段练习）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯盏数（    ） A．9 B．6 C．3 D．2 【典例2】（23-24高三上·辽宁大连·期末）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：...，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次数的最大值为 . （参考数据：） 【变式1】（23-24高二下·上海宝山·期末）中中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.其意思是：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了 里. 【变式2】（23-24高二下·北京·期中）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国古老的民间艺术之一，已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为2的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形内多余的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，……重复上述裁剪操作4次，最终得到该剪纸．则第4次裁剪操作结束后，所有裁剪操作中裁剪去除的面积之和为 ． A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）已知数列的前项和为，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川凉山·三模）已知是等比数列的前n项和，，，则公比（    ） A． B． C．3或 D．或 3．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）“城在水上走，水在城中流”是对绥中县九门口水上长城的形象描述，景区坚持绿水青山就是金山银山的发展理念，计划从2024年开始，5年时间改善景区环境，预计第一年投入资金80万元，以后每年投入资金是上一年的倍，第一年的旅游收入为200万元，以后每年旅游收入比上一年增加30万元，则这五年的旅游总收入与投入资金总额差额为（    ） A．230万元 B．234万元 C．245万元 D．260万元 4．（23-24高二下·湖南·阶段练习）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 5．（24-25高三上·四川达州·开学考试）将正整数1，2，3，…按从小到大的顺序分组，第组含个数，分组如下：，则2025在第（    ）组． A．9 B．10 C．11 D．12 6．（22-23高三上·河北唐山·开学考试）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A．16 B．32 C．81 D．243 7．（23-24高二下·海南·期中）已知首项为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，则（    ） A． B．4或 C． D． 8．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知等比数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二下·海南·期末）已知为等比数列，，记是的前项和，则（    ） A．的公比为9 B．是等比数列 C．为等差数列 D． 10．（23-24高二下·广东·期末）已知数列，其前项和记为，则（    ） A．若是等差数列，且，则 B．若是等差数列，且，则 C．若是等比数列，且，其中为常数，则 D．若是等比数列，则也是等比数列 三、填空题 11．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）若数列中，，，且，则其前项和 ． 12．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足，，则数列的前2n项和 . 四、解答题 13．（2024·山东·二模）已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. B能力提升 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列的首项为8，是其前n项的和，某同学经计算得，，，，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古赤峰·三模）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从第一个正三角形（边长为1）P1开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，称为科赫曲线.设Pn的周长和面积分别为Ln、Sn，下列结论正确的是（    ） ①P₅的边数为                     ② ③既不是等差数列，也不是等比数列；   ④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 3．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知数列的前项和为，且（）．数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． C综合素养 1．（2024·安徽·模拟预测）已知数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求实数的值，使得数列是等差数列； (3)对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中．如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”．判断数列是否为“绝对差异数列”并给出证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 4.3.2等比数列的前项和公式 课程标准 学习目标 ①掌握等比数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等比数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项。 ②会利用等比数列性质简化求和运算，会利用等比数列前n项和的函数特征求最值。 ③能处理与等比数列相关的综合问题。 能掌握等比数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等比数列的相关量之间的关系，用函数的思想解决等比数列的相关问题，会利用等比数列的性质灵活解决与之相关的问题 知识点01：等比数列前项和公式 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 【即学即练1】（24-25高二上·全国·随堂练习）等比数列的首项，公比，则等于（    ） A． B．31 C． D．63 【答案】D 【知识点】求等比数列前n项和 【分析】利用等比数列前项和公式求解. 【详解】因为等比数列的首项，公比， 所以. 故选：D. 知识点02:等比数列前项和的性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 【即学即练2】（23-24高二上·甘肃酒泉·期中）已知等比数列的前项和为，则 ． 【答案】12 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列前项和的性质即可求解. 【详解】法一：设等比数列的公比为，由，得， 而，于是， 所以． 法二：因为为等比数列，所以也成等比数列， 即成等比数列，即. 故答案为：12 知识点03：错位相减法求数列的和 推导等比数列前项和的方法叫做错位相减法,一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项的积所构成的数列的前项和. 题型01 等比数列前项和的基本量计算 【典例1】（24-25高二上·全国·课堂例题）已知数列是等比数列． (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)或． (3)50 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算、等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】（1）应用等比数列前项和公式，代入基本量运算即可； （2）应用等比数列前项和公式建立方程组求解基本量，再由通项公式可得； （3）由等比数列的定义可得，化奇数项和为偶数项和，整体求解可得. 【详解】（1）由已知， 则 ； （2）若，则，不符合题意，， ，且， 两式相除得， 解得或． 当时，；当时，， 或； （3），则，即， ， ， ． 【典例2】（23-24高二·全国·课堂例题）已知数列是等比数列. (1)若，，求； (2)若，，，求； (3)若，，，求n. 【答案】(1) (2) (3)5 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）利用等比数列求和公式直接求解即可； （2）先利用等比数列通项公式基本量的运算求得公比，然后代入等比数列求和公式求解即可； （3）根据等比数列求和公式建立方程求解即可. 【详解】（1）因为，，所以. （2）由，，可得，即， 又由，得，所以. （3）把，，代入，得． 整理得，解得. 【典例3】（2024·云南）在等比数列中，，. (1)求的通项公式； (2)记为的前项和，若，求. 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）利用等比数列通项公式化简已知等式，可构造方程求得公比，由等比数列通项公式可得； （2）分别在和的情况下，根据等比数列求和公式可构造方程求得. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由得：，即，解得：或， 或. （2）当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述：或. 【变式1】（23-24高二上·广西·期末）在等比数列中. (1)已知，，求前4项和； (2)已知公比，前6项和，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、求等比数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）先求出公比，再利用求和公式求解； （2）直接利用求和公式解方程即可. 【详解】（1）设公比为q，由，，得， 所以， 所以； （2）由得，. 【变式2】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）（1）在等差数列中，公差，前项和，求及； （2）在等比数列中，已知公比，前5项和，求. 【答案】（1），；（2），. 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、写出等比数列的通项公式、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）运用基本量法表示出联立方程解方程组可求出； （2）将用基本量可以求出首项，然后代入通项公式可得的值. 【详解】（1）由题意得 由得.代入后化简得 解得或（舍去），从而. （2）由，解得，所以. 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）在等比数列中，已知，且是与的等差中项． (1)求的通项公式 (2)记的前项和为若，求． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】等差中项的应用、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）设公比为q，由是与的等差中项，解得q，从而求出通项公式. （2）求出等比数列的前n项和的通项公式，根据，从而求得满足要求的m. 【详解】（1）解：设公比为． 因为是与的等差中项， 所以， 所以， 解得，从而. 当时，； 当时，． 所以的通项公式为或. （2）当，时，， 由，得 当，时，， 由，化简得，无解． 综上，． 题型02等比数列前项和的片段和性质 【典例1】（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（    ） A．40 B．-30 C．30 D．-30或40 【答案】A 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质可知片段和成等比数列，求出片段和等比数列公比即可得解. 【详解】因为，且， 所以，，故， 所以，即，解得或（舍去）， 由等比数列性质可知，成等比数列，公比为 所以，解得， 故选：A 【典例2】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知等比数列的前项和满足，满足，，则 . 【答案】210 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列的片段和即可求解. 【详解】由等比数列的性质可得：，，也成等比数列， 所以，即. 所以. 故答案为：210 【典例3】（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知等比数列满足，，则 . 【答案】1533 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列片段和的性质求解. 【详解】由，可知， 所以成等比数列， 所以，解得. 故答案为：1533 【变式1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）设是等比数列的前项和，若，，则= . 【答案】 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】由，又，，成等比数列，求出，即可求出的值. 【详解】由题意得，则， 因为，，成等比数列，故， 即，解得， 故. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）在等比数列中，前项和为，，，则 . 【答案】1270 【知识点】等比数列片段和性质及应用、求等比数列前n项和 【分析】根据成等比数列，结合，，依次求解，得到答案. 【详解】由题意得成等比数列， 故成等比数列， 从而，解得， 同理可得，解得， ，解得， ，解得， ，解得. 故答案为：1270 【变式3】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）等比数列的前项和为，，，则 . 【答案】 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】利用等比数列前n项和的片段和性质即可得解. 【详解】因为为等比数列的前n项和， 所以，，成等比数列，则， 又，，所以，解得. 故答案为： 题型03等比数列奇、偶项和的性质 【典例1】（23-24高三上·全国·阶段练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】前n项和与通项关系、等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】由和等比数列的前n项和可得答案. 【详解】当时，，又， 即前10项分别为， 所以数列的前10项中，，所以， 故选：C． 【典例2】（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【答案】300 【知识点】等比数列的其他性质、等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 【典例3】（23-24高二·全国·课后作业）已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用、等比数列前n项和的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，结合等比数列求和公式求出的值，进而可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，设等比数列的前项中，设所有奇数项的和为，所有偶数项的和为， 则， 所以，， 又，则， 因此，. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 【答案】 2 9 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】利用等比数列奇数项和与偶数项和的关系，及前n项和公式列式计算即可得解. 【详解】在等比数列中，由，得，解得， 设这个数列共有项，则，解得，所以这个等比数列的项数为9. 故答案为：2；9 【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）已知等比数列{an}的公比为，则的值是________. 【答案】 【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】由等比数列的通项公式与性质求解即可 【详解】∵等比数列{an}的公比为， 则. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比 . 【答案】 【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】利用以及已知条件可求得的值. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， 由，得，因为，所以，所以，. 故答案为：. 题型04 分组求和法求数列的前项和 【典例1】（23-24高三上·江苏泰州·阶段练习）已知等差数列中，，前n项和为，为各项均为正数的等比数列，，且，． (1)求与； (2)定义新数列满足，，求前20项的和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）设出公差和公比，根据等差数列和等比数列的基本量运算，列出方程组，解之即得数列通项； （2）根据数列的奇偶性特征，运用分组求和法计算，利用等差数列和等比数列的求和公式计算即得. 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 则由可得，， 解得：故 （2）由（1）得，，， 则 【典例2】（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）设数列的前n项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、前n项和与通项关系、分组（并项）法求和 【分析】（1）利用可求通项； （2）利用分组求和法可求. 【详解】（1）当时，； 当时，即， 而，故，， 所以是首项为1，公比为2的等比数列， 所以满足通项，所以. （2）当为奇数时，，当为偶数时，， . 【典例3】（23-24高二下·河南南阳·期中）已知等比数列是各项均为正数的递增数列，成等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据给定条件，列出方程并求出公比，进而求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用分组求和法，结合等差、等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，， 由成等差数列得，即， 而，则，解得， 又，即，解得， 所以. （2）由（1）知，则，，， 所以 . 【变式1】（23-24高二下·河南郑州·期中）已知数列的前n项和为，且满足 (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由和的关系式消去得递推式，由此构造等比数列； （2）法一、由（1）求出数列通项，再分组求和；法二、由（1）求出数列通项，代入已知式，整理即得. 【详解】（1）当时，，解得 因 ①， 当时，②              ①-②得，，即， 则，即，，又 所以是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）法一、由（1）可得，即，        法二、由（1）可知，即， 又由题知： 代入可得 【变式2】（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设，证明是等比数列； (3)设，求数列的前项和 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】由定义判定等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据分段求出数列通项； （2）应用等比数列定义证明即可； （3）应用等差、等比求和公式分组求和即可. 【详解】（1）当时，， 当时，， 因此数列的通项公式为； （2）， 因为是常数，， 故是等比数列； （3）是等比数列，首项是，公比是， ， ， 所以． 【变式3】（23-24高二下·湖南·期中）已知数列是等差数列，且，设数列前项和为，数列满足. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、裂项相消法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据等差数列性质得到方程组，解出，再利用其前项和公式即可； （2）化简得，再利用裂项求和和分组求和即可. 【详解】（1）， ， . （2）， . 题型05 错位相减法求数列的前项和 【典例1】（24-25高三上·四川达州·开学考试）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据的关系，作差可得为等比数列，即可由等比通项求解， （2）利用错位相减法，结合等比数列求和公式即可求解. 【详解】（1）当时，，即， 当时，①，②， ①-②得，即，所以． 因为， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列． 则，即． （2）由（1）得，， 所以， ， 故， 所以． 【典例2】（23-24高二下·四川雅安·期中）设数列的前项和为，且满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据与之间的关系分析可知数列是首项为，公比为的等比数列，进而可得通项公式； （2）由（1）可知：，利用错位相减法可得，结合恒成立问题分析求解即可. 【详解】（1）因为， 当时，由，解得； 当时，则， 两方程相减得，即； 可知数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）可知：， 则， ， 两式相减得， 可得，即. 因为， 可知是单调递增数列，且，可得， 因为对任意的恒成立，可得，解得， 所以的取值范围为. 【变式1】（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求效列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用把题设中的递推关系转化为关于的递推关系并求出的通项； （2）利用（1）的结论求出，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）当时，由可得， 两式相减可得，整理得. 当时，由解得， 故，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 故. （2）由（1）知，， ， 于是， 两式相减得， 所以. 【变式2】（23-24高二下·河南郑州·期中）已知数列中，， (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式; (2)设，求的前n项和 【答案】(1)证明见解析， (2) 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和 【分析】（1）利用等差数列的定义可得答案； （2）利用错位相减求和可得答案. 【详解】（1）当时， ， ， 又，， 故是以2为首项，3为公差的等差数列， ， ； （2）， ， 令，① 则，② ①②得：， ， ， 题型06 等差数列与等比数列的综合问题 【典例1】（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）在数列中,,,设. （1）证明：数列是等差数列并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明过程见详解；；（2）. 【知识点】等差数列与等比数列综合应用、由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和 【分析】（1）根据题意，计算，根据等差数列的定义，即可得出结论成立；进而可求出，从而得出的通项公式； （2）先记数列的前项和为，根据错位相减法，即可求出结果. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以数列是公差为的等差数列； 又，所以，因此，即； （2）记数列的前项和为， 则① 所以② ①②得 所以. 【点睛】本题主要考查由递推关系证明等差数列，以及求数列的通项与数列的求和问题，熟记等差数列概念，通项公式，等比数列的求和公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型. 【典例2】23-24高三上·北京海淀·阶段练习）设数列是首项为1，公差为的等差数列，且，，是等比数列的前三项． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和． 【答案】（Ⅰ）an= 2n﹣1，（Ⅱ） 【知识点】等差数列与等比数列综合应用、利用定义求等差数列通项公式、等比中项的应用、求等比数列前n项和 【分析】（Ⅰ）由题意可得的方程，解方程可得值，可得通项公式； （Ⅱ）易得等比数列的首项为1，公比为2，由求和公式可得． 【详解】解：（Ⅰ）由题意可知：，， ，，成等比数列， ， ，， 若，则，与，，成等比数列矛盾， ，， ； （Ⅱ），， 等比数列的首项为1，公比为2， ． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合应用，属于基础题． 【变式1】3．（23-24高二上·上海虹口）数列满足，，为非零常数. （1）是否存在实数，使得数列成为等差数列或等比数列，若存在，找出所有的，及对应的通项公式；若不存在，说明理由； （2）当时，记，证明：数列是等比数列； （3）求数列的通项公式. 【答案】（1）存在，，   （2）证明见解析   （3） 【知识点】等差数列与等比数列综合应用、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）分别假设存在实数，使得数列成为等差数列、等比数列，通过等差中项的性质、等比数列的性质，最后可以判断出存在实数，使得数列成为等比数列； （2）由（1）结合已知，通过定义可以证明出数列是等比数列； （3）根据的不同取值，分类讨论，通过对递推公式的恒等变形，构造新数列，最后求出数列的通项公式. 【详解】（1）假设存在实数，使得数列成为等差数列，，， ，则有，该一元二次方程根的判别式，该方程无实根，故不存在实数，使得数列成为等差数列. 假设存在实数，使得数列成为等比数列，则有 ，， 因为，所以数列成为等比数列，存在，，； （2）时，由（1）可知：，， ，所以数列是等比数列； （3）， 当时，由可知：数列是以为首项，为公差的等差数列，故； 当时，，设， ， 所以是以为首项，为公比的等比数列，因此， 所以. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的判定，考查了已知递推公式求数列通项公式，考查了数学运算能力. 【变式2】（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）已知数列中，，（为正常数），数列满足. （1）若是等差数列，且，求数列的通项公式； （2）若是等比数列，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2） 【知识点】等差数列与等比数列综合应用、利用定义求等差数列通项公式、由定义判定等比数列、求等比数列前n项和 【分析】（1）由是等差数列，，写出含的通项公式，又由解出的值，即可求出通项公式； （2）由是等比数列，，及得出数列是首项为，公比为的等比数列；分及分别求和. 【详解】解：（1）是等差数列，， 又， 即解得或 （2）是等比数列，， 数列是首项为，公比为的等比数列； 当时， 当时， 【点睛】本题考查等差数列的性质，等比数列的性质以及其前项和，属于中档题. 题型07 等比数列求和在传统文化中的应用 【典例1】（23-24高一下·辽宁鞍山·阶段练习）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯盏数（    ） A．9 B．6 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】设塔的顶层共有盏灯，则数列是公比为2的等比数列，利用等比数列前项和公式即可求解. 【详解】设塔的顶层共有盏灯，则数列是公比为2的等比数列， 依题意，，解得， 故选：C 【典例2】（23-24高三上·辽宁大连·期末）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：...，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次数的最大值为 . （参考数据：） 【答案】5 【知识点】等比数列的简单应用、求等比数列前n项和 【分析】根据题意求出第次操作后去掉的各区间长度之和，列不等式结合所给参考数据即可得. 【详解】记表示第次去掉的长度，，第2次操作，去掉的线段长为， 第次操作，去掉的线段长度为， ，则， 由的最大值为5. 故答案为：5 【变式1】（23-24高二下·上海宝山·期末）中中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.其意思是：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了 里. 【答案】96 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】由等比数列前项和公式即可求解. 【详解】由题意，此人每天走的路程可以构成等比数列， 公比，， 因为，解得， 所以（里）. 故答案为：96. 【变式2】（23-24高二下·北京·期中）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国古老的民间艺术之一，已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为2的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形内多余的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，……重复上述裁剪操作4次，最终得到该剪纸．则第4次裁剪操作结束后，所有裁剪操作中裁剪去除的面积之和为 ． 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和 【分析】记第个内接正方形的边长为，其内切圆的半径为，找到它们之间的递推关系：，，这样就可以直接列举并求出结果. 【详解】第次剪去正方形内多余部分的面积记为； 因为的半径为2，由其内接正方形对角线为直径，所以内接正方形的边长为， 即，再作第一个内切圆，其直径为该正方形的边长，即， 所以第一次剪去部分的面积为， 同理：，， ， ，， ， ，， ， 所以前四次裁剪操作中裁剪去除部分的面积之和为：， 故答案为：. A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）已知数列的前项和为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据的定义即可代入求解. 【详解】, 故选：D 2．（2024·四川凉山·三模）已知是等比数列的前n项和，，，则公比（    ） A． B． C．3或 D．或 【答案】D 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】利用等比数列通项和前n项和的基本量运算列出方程，求解即得. 【详解】由， 因，代入得，， 即，解得，或. 故选：D. 3．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）“城在水上走，水在城中流”是对绥中县九门口水上长城的形象描述，景区坚持绿水青山就是金山银山的发展理念，计划从2024年开始，5年时间改善景区环境，预计第一年投入资金80万元，以后每年投入资金是上一年的倍，第一年的旅游收入为200万元，以后每年旅游收入比上一年增加30万元，则这五年的旅游总收入与投入资金总额差额为（    ） A．230万元 B．234万元 C．245万元 D．260万元 【答案】C 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和 【分析】根据题意可知，这五年投入的金额构成首项为，公比为的等比数列， 这五年的旅游收入构成首项为，公差为的等差数列，利用数列的求和公式即可求解. 【详解】根据题意可知，这五年投入的金额构成首项为，公比为的等比数列， 所以这五年投入的资金总额是（万元）； 由题意可知，这五年的旅游收入构成首项为，公差为的等差数列， 所以这五年的旅游总收入是（万元）， 所以这五年的旅游总收入与投入资金总额差额为（万元）， 故选：C. 4．（23-24高二下·湖南·阶段练习）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】设出公比根据题干条件列出方程，求出公比，从而利用等比数列通项的基本量计算求出答案. 【详解】设数列的公比为， 则，得， 解得或（舍）， 所以. 故选：C. 5．（24-25高三上·四川达州·开学考试）将正整数1，2，3，…按从小到大的顺序分组，第组含个数，分组如下：，则2025在第（    ）组． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等比数列的前项和公式计算即可． 【详解】由题意可设前组里含有的正整数的个数为， 则， 由于，， 故2025在第11组． 故选：C． 6．（22-23高三上·河北唐山·开学考试）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A．16 B．32 C．81 D．243 【答案】C 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】设出等比数列的公比为，建立基本量的关系求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，因为， 所以，即， 解得：，所以， 故选：C 7．（23-24高二下·海南·期中）已知首项为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，则（    ） A． B．4或 C． D． 【答案】D 【知识点】等差中项的应用、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】设出公比，分和两种情况，根据条件得到方程，求出公比，进而由求和公式即可求解. 【详解】由成等差数列，得， 设公比为，若，此时，此时不满足； 若，则， 故，即， 由于，故，解得或1（舍去）， 所以， 故选：D 8．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知等比数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和 【分析】数列是首项为，公比为的等比数列，然后可算出答案. 【详解】因为，则， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 则. 故选：B 二、多选题 9．（23-24高二下·海南·期末）已知为等比数列，，记是的前项和，则（    ） A．的公比为9 B．是等比数列 C．为等差数列 D． 【答案】BC 【知识点】判断等差数列、写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】根据等比数列基本量运算得出通项公式判断A,B选项，化简判断C选项，应用前2n项和公式计算判断D选项. 【详解】因为是等比数列设公比为，，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项正确； ，D选项错误. 故选：BC. 10．（23-24高二下·广东·期末）已知数列，其前项和记为，则（    ） A．若是等差数列，且，则 B．若是等差数列，且，则 C．若是等比数列，且，其中为常数，则 D．若是等比数列，则也是等比数列 【答案】BC 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的二次函数特征、由定义判定等比数列、等比数列前n项和的其他性质 【分析】举反例判断AD选项，由等差等比数列的前项和公式判断BC选项. 【详解】A选项中，当等差数列是常数列时，由，就不能得到，所以A是错误的； B选项中，设等差数列公差为，由前项和， 可知，所以B是正确的； C选项中，由可知，等比数列公比不为1，设公比为， 由等比数列前和公式得，则有，， 则常数，所以C是正确的； D选项中，等比数列中，当公比时，若，有，则就不是等比数列，所以D是错误的； 故选：BC． 三、填空题 11．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）若数列中，，，且，则其前项和 ． 【答案】 【知识点】由定义判定等比数列、求等比数列前n项和 【分析】先根据题干已知条件及等比数列的性质判别出数列是等比数列，然后设等比数列的公比为，计算出公比的值，最后根据等比数列的求和公式计算出前项和． 【详解】依题意，由， 可知数列是等比数列， 设等比数列的公比为， 则， ． 故答案为：． 12．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足，，则数列的前2n项和 . 【答案】 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】由题意数列的所有偶数项构成以1为首项2为公比的等比数列，所有奇数项构成以1为首项1为公差的等差数列，分组求和即可. 【详解】由可得， 数列的所有偶数项构成以1为首项，以2为公比的等比数列， 数列的所有奇数项构成以1为首项，以1为公差的等差数列， 前2n项和. 故答案为：. 四、解答题 13．（2024·山东·二模）已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列的通项公式，再根据等比数列的通项公式计算出数列的通项公式，即可计算出数列的通项公式； （2）根据数列的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前项和． 【详解】（1）由题意，可得， 故，， 数列是公比为2的等比数列，且， ， ，． （2）由题意及（1），可得， 则 ． B能力提升 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列的首项为8，是其前n项的和，某同学经计算得，，，，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】由，确定数列的项，再采用验证的方法，即可求解. 【详解】由题意，知正确； 若错误，则，正确，于是，，，与为等比数列矛盾，故； 若错误，则正确，此时，，，则，故，符合题意． 若错误，则正确，此时，，令公比为且，则， 所以，可得，，而，不符合. 故选：C 2．（2024·内蒙古赤峰·三模）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从第一个正三角形（边长为1）P1开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，称为科赫曲线.设Pn的周长和面积分别为Ln、Sn，下列结论正确的是（    ） ①P₅的边数为                     ② ③既不是等差数列，也不是等比数列；   ④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】累加法求数列通项、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和 【分析】设每个图形的边数为，写出，，，，，可判断①；求得，可判断②；根据等比数列求得，根据迭代累加可得，可判断③④． 【详解】设每个图形的边数为，由题意可得，，，，，…,，故①正确； ，故②正确； ， 第一个图形的面积即正三角形的面积， 从第1个图形到第2个图形，边数增加了，同时每条边上多了一个小三角形，这个小三角形的面积是原图形的， 所以，， 以此类推，第个图形的面积为， 依次迭代，则 ， 所以 ，故，，故④正确． ，可得既不是等差数列，也不是等比数列，故③正确 故选：D． 3．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知数列的前项和为，且（）．数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用可得答案； （2）利用错位相减法求和可得答案． 【详解】（1）当时，， 当时，， 因为也适合该式， 所以； （2）已知数列的前项和为，且（）． 数列满足， 因为，所以， 由得，所以是以为首项公比的等比数列， 所以， 可得， ， ， 两式相减可得， ， 所以. C综合素养 1．（2024·安徽·模拟预测）已知数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求实数的值，使得数列是等差数列； (3)对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中．如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”．判断数列是否为“绝对差异数列”并给出证明． 【答案】(1) (2) (3)数列是“绝对差异数列”，证明见解析 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、由递推关系证明等比数列、错位相减法求和 【分析】（1）根据题意，可得是以3为首项，2为公比的等比数列，结合通项公式化简可得数列成等差数列，首项为，公差为，从而得到数列的通项公式； （2）利用错位相减法求出，由等差数列得定义化简可得值； （3）由“绝对差异数列”得定义结合已知条件化简可得结论. 【详解】（1）因为，所以． 因为，所以， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列． 于是， 所以，即， 所以数列成等差数列，其首项为，公差为． 于是， 所以． （2）因为， 所以， 所以 ， 所以． 因为 所以，所以． 当时，因为， 所以，所以数列是等差数列． （3）因为， 所以． 因为， 所以数列是递增数列， 所以数列是“绝对差异数列”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$