第03讲 4.2.2等差数列的前n项和公式（知识清单+10类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第03讲 4.2.2等差数列的前n项和公式 课程标准 学习目标 ①掌握等差数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等差数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项。 ②会利用等差数列性质简化求和运算，会利用等差数列前n项和的函数特征求最值。 ③能处理与等差数列相关的综合问题。 能掌握等差数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等差数列的相关量之间的关系，用函数的思想解决数列的最大（小）项、和的最大（小）值问题，会利用等差数列的性质灵活解决与之相关的问题 知识点01：等差数列的前项和公式 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 【即学即练1】（2024·江西·模拟预测）设是等差数列的前n项和，且，则（    ） A．17 B．34 C．51 D．68 知识点02：等差数列前项和公式的函数特征 等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)． 知识点03：等差数列前项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 【即学即练2】（2024·河南周口·模拟预测）设为等差数列的前项和，已知，，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 题型01 等差数列前项和的基本量计算 【典例1】（22-23高三上·新疆阿克苏·阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．70 B．80 C．120 D．140 【典例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，，求及； (3)已知，，，求项数. 【典例3】（23-24高二上·贵州毕节·期末）在前项和为的等差数列中，． (1)求数列的首项和公差； (2)当时，求的最大值． 【变式1】（24-25高二上·福建龙岩·开学考试）设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．4或5 【变式2】（24-25高二上·全国·课前预习）在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，求． 【变式3】（23-24高二上·福建莆田·期中）已知为等差数列的前项和，且. (1)求的通项公式; (2)求的最大值. 题型02 利用前项和公式判断是否为等差数列 【典例1】（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知数列的前项和（为常数，且），则“是等差数列”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知数列的前n项和 求数列的通项公式； 求证：数列是等差数列． 【典例3】（23-243高二上·上海）已知数列的前n项和为，求数列的通项公式，并判断是不是等差数列. 【变式1】（多选）（23-24高三上·湖北武汉）无穷数列的前项和，其中，，为实数，则（    ） A．可能为等差数列 B．可能为等比数列 C．中一定存在连续三项构成等差数列 D．中一定存在连续三项构成等比数列 【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）已知数列的前n项和是.当 时，是公差 的等差数列. 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）设数列的前项和为，求证：数列为等差数列. 题型03 等差数列片段和性质 【典例1】（23-24高二下·广东广州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 【典例2】（23-24高二下·河南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．35 B．30 C．20 D．15 【典例3】（23-24高二上·福建福州·期末）在等差数列中，若，则=（    ） A．100 B．120 C．57 D．18 【变式1】（23-24高二下·云南大理·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．34 B．39 C．42 D．45 【变式2】（2024·陕西咸阳·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．30 B．58 C．60 D．90 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）设等差数列的前项和为，若，则 （    ） A．18 B．36 C．54 D．72 题型04 比值问题（含同角标和不同角标） 【典例1】（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）等差数列的前项和分别为，已知，则的值为 【典例2】（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二上·山东泰安·期末）已知两个等差数列的前项和分别为和，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高三下·天津南开·阶段练习）已知等差数列和的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一下·上海·期末）等差数列的前项和分别是，若，则 ． 题型05 等差数列前项和的最值问题 【典例1】（23-24高二下·北京怀柔·期中）已知数列的前项和为 (1)求数列的通项公式 (2)判断数列是否是等差数列，若是，加以证明；若不是请说明理由； (3)求的最小值，并求取最小值时的值． 【典例2】（23-24高二上·江苏南京·期中）设等差数列的前项和为.已知，. (1)求； (2)当为何值时，最小？并求此最小值. 【典例3】（23-24高二下·广东韶关·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，. (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值及取得最大值时n的值. 【变式1】（23-24高二上·河南开封·期末）已知等差数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)求的最大值及取得最大值时n的值． 【变式2】（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知等差数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)求的最小值，并指出取何时取得最小值. 【变式3】（23-24高二上·吉林辽源·期末）已知等差数列中， (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和，并求的最小值 题型06 符合条件的最值问题 【典例1】（多选）（23-24高二上·福建莆田·期中）在等差数列中，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（2024·山西吕梁·三模）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 【典例3】（多选）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A．是递减数列 B．， C． D． 【变式1】（多选）（23-24高二下·山东淄博·期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 【变式2】（多选）（23-24高三上·山东临沂）公差为的等差数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C．中最大 D． 【变式3】（多选）（2024·辽宁·二模）设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．满足的n的最小值为14 题型07 求数列的前项和问题 【典例1】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【典例2】（23-24高二上·江苏镇江·期末）记数列的前n项和为，对任意满足：，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，，求的值． 【典例3】（23-24高三上·河南·期中）已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【变式1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式2】（23-24高二下·安徽滁州·期中）已知等差数列的前n项和为，，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，其前n项和为，求． 【变式3】（23-24高二下·北京房山）已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答． （条件①：；      条件②：；    条件③：.） 选择条件　　　　和　　　　　． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，并求数列的前项的和 题型08 等差数列奇数项偶数项和 【典例1】（23-24高二上·全国·期末）已知数列满足，， (1)求； (2)当为奇数时，求数列的前项和 【典例2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知数列满足，且当时，有. (1)求证：数列为等差数列； (2)令，求数列的前项和. 【典例3】（23-24高三上·北京海淀·期中）已知数列的前项和为，且. (1)求的值； (2)求证：. 【变式1】（23-24高二下·山东日照·期中）已知是等差数列，其中，. (1)求的通项公式； (2)求的值. 【变式2】（23-24高三上·山东济南·期末）已知数列满足：，，. (1)记，求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 【变式3】（23-24高二上·辽宁·阶段练习）已知数列的首项，前n项和为，且数列是公差为2的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2） 若，求数列的前n项和. 题型09 数列求和（倒序相加法） 【典例1】（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（    ） A．2020 B．4046 C．2023 D．4038 【变式1】（23-24高二下·北京·期中）已知，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）已知，求. 题型10 数列求和（裂项相消法） 【典例1】（23-24高二下·安徽安庆·阶段练习）已知数列的前n项和为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024高二·全国·专题练习）为等差数列的前项和．已知． (1)求的通项公式． (2)设，求数列的前项和． 【典例3】（四川省德阳市2023-2024学年高二下学期期末数学试题）数列的前n项和为，且. (1)求证：数列为等比数列，并求其通项公式； (2)令，数列的前n项和为.求证：. 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）数列的通项公式，则该数列的前n项和 ． 【变式2】（23-24高三上·广东东莞·阶段练习）已知等差数列的公差，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前2022项和. 【变式3】（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）在数列中，已知，且满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知等差数列的前项和为，满足，则（    ） A．-200 B．-100 C．200 D．100 2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）设等差数列的公差为，前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）等差数列的前项和分别为，且，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·湖北·阶段练习）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．64 B．80 C．96 D．120 5．（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）已知公差为的等差数列是其前项和，且.若对任意都有，则的值为（   ） A．6 B．7 C．6或7 D．8 6．（24-25高二上·全国·课后作业）若数列的通项公式是其前n项和为，则等于（   ） A．120 B．180 C．240 D．360 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为．若，则的值是（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题 9．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）若7个正数成等差数列，且这7个数的和为5，则此等差数列的公差可能是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高二上·全国·随堂练习）如图所示，从开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：，则在该数列中第项是 ． 12．（23-24高三下·广西·阶段练习）《孙子算经》中提到“物不知数”问题．如：被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，即3，8，13，18，……，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为 ． 四、解答题 13．（23-24高二下·四川乐山·期中）已知数列是等差数列． (1)若，，求； (2)若，，求． B能力提升 1．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）等差数列的前n项和为，已知，若存在正整数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 2．（北京市房山区2024-2025学年高三上入学考试数学试题）古希腊毕达开拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类.如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，给出下列四个结论： ①数列的一个通项公式是； ②2025既是三角形数，又是正方形数； ③； ④，总存在．使得成立． 其中所有证确结论的序号是 ． 3．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）记递增的等差数列的前项和为，已知，且. (1)求和； (2)设.求数列的前项和. 4．（24-25高三上·江苏泰州·开学考试）已知各项均为正数的数列的前项和为， (1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式； (2)求证：： (3)设，是否存在正整数，使得对任意正整数均有恒成立？若存在求出的最大值；若不存在，请说明理由. C综合素养 1．（2024·黑龙江·三模）如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”. (1)设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项； (2)设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和. ①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值? ②若，且，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 4.2.2等差数列的前n项和公式 课程标准 学习目标 ①掌握等差数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等差数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项。 ②会利用等差数列性质简化求和运算，会利用等差数列前n项和的函数特征求最值。 ③能处理与等差数列相关的综合问题。 能掌握等差数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等差数列的相关量之间的关系，用函数的思想解决数列的最大（小）项、和的最大（小）值问题，会利用等差数列的性质灵活解决与之相关的问题 知识点01：等差数列的前项和公式 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 【即学即练1】（2024·江西·模拟预测）设是等差数列的前n项和，且，则（    ） A．17 B．34 C．51 D．68 【答案】C 【知识点】求等差数列前n项和 【分析】利用等差数列的求和公式即可求解． 【详解】解：设公差为d， 则，即， 则， 故选：C 知识点02：等差数列前项和公式的函数特征 等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)． 知识点03：等差数列前项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 【即学即练2】（2024·河南周口·模拟预测）设为等差数列的前项和，已知，，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据题意可知，，，，，成等差数列，结合等差数列运算求解. 【详解】由等差数列的性质可知，，，，，，成等差数列， 且，，可知首项为4，公差为2， 所以. 故选：B. 题型01 等差数列前项和的基本量计算 【典例1】（22-23高三上·新疆阿克苏·阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．70 B．80 C．120 D．140 【答案】A 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】在等差数列中，，则 ， 故， 故选：A 【典例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，，求及； (3)已知，，，求项数. 【答案】(1)110 (2)， (3)14 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式以及求和公式求得，进而可得结果； （2）根据等差数列求和公式求得，进而可得结果； （3）根据等差数列性质可得，再结合等差数列求和公式运算求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以. （2）因为， 整理得，解得或（舍去）， 所以． （3）因为，， 可得，即． 又因为，所以． 【典例3】（23-24高二上·贵州毕节·期末）在前项和为的等差数列中，． (1)求数列的首项和公差； (2)当时，求的最大值． 【答案】(1)首项为18，公差为 (2)7 【知识点】求等差数列前n项和的最值、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设数列的公差为，由已知条件得到的方程组，再解方程组可得答案； （2）由（1）知，令，结合可得答案． 【详解】（1）设数列的公差为，由题意有， 解得， 故数列的首项为18，公差为； （2）由（1）知， 由，得， 又，则的最大值为7． 【变式1】（24-25高二上·福建龙岩·开学考试）设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．4或5 【答案】D 【知识点】求等差数列前n项和的最值、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】将分别代入等差数列的通项公式和前项和公式中，即可得到首项和公差，根据数列得通项公式分析出数列得变化规律，得出在或时取最小值. 【详解】设公差为，由，， 所以，解得，所以， 令，解得，则数列单调递增，且， 所以当或时取得最小值. 故选：D 【变式2】（24-25高二上·全国·课前预习）在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，求． 【答案】(1)48 (2)270 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】（1）根据等差数列前项和公式求出公差，再由求和公式计算可得； （2）由等差数列的性质，结合等差数列前项和公式计算可得； 【详解】（1）， ． 故 ． （2），， ． 【变式3】（23-24高二上·福建莆田·期中）已知为等差数列的前项和，且. (1)求的通项公式; (2)求的最大值. 【答案】(1)； (2)100. 【知识点】求等差数列前n项和的最值、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）由等差数列的性质及求和公式先求出，进而求出公差d即可求出通项. （2）由（1）的信息，判断数列的单调性，进而求出最大值． 【详解】（1）在等差数列中，由，得，解得， 而，因此数列的公差， 所以. （2）由（1）知，数列是递减数列，由，得， 因此数列的前8项都为正，从第9项起为负，则数列的前8项和最大， 而，所以. 题型02 利用前项和公式判断是否为等差数列 【典例1】（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知数列的前项和（为常数，且），则“是等差数列”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】充要条件的证明、由前n项和判断数列是否是等差数列 【分析】根据等差数列的定义及充分条件与必要条件定义判断即可． 【详解】若是等差数列，设其公差为，则， 所以， 若，则， 当时，，当时，，此时也满足， 所以，于是有是等差数列， 所以“是等差数列”是“”的充要条件． 故选：A 【典例2】（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知数列的前n项和 求数列的通项公式； 求证：数列是等差数列． 【答案】（1）；（2）见解析 【知识点】由前n项和判断数列是否是等差数列、由Sn求通项公式 【分析】（1）当时，类比写出，两式相减整理得；当时，求得并验证通项公式，从而确定数列通项公式. （2）根据（1）求得的通项公式，利用等差数列的定义证明即可. 【详解】解：当时，， 当时，，满足， 即数列的通项公式． 证明：， 当时，为常数， 则数列是等差数列． 【点睛】本题主要考查已知数列的前项和求数列的通项公式的方法，考查等差数列的判断方法. 已知数列的前项和求数列的通项公式，求解过程分为三步： （1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式； （2）当时， 求出； （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写． 【典例3】（23-243高二上·上海）已知数列的前n项和为，求数列的通项公式，并判断是不是等差数列. 【答案】，不是等差数列 【知识点】判断等差数列、由Sn求通项公式 【分析】根据可求出通项公式，再根据等差数列的定义即可判断. 【详解】当时，， 当时，，不满足， ， 因为，，，， ∴不是等差数列. 【变式1】（多选）（23-24高三上·湖北武汉）无穷数列的前项和，其中，，为实数，则（    ） A．可能为等差数列 B．可能为等比数列 C．中一定存在连续三项构成等差数列 D．中一定存在连续三项构成等比数列 【答案】ABC 【知识点】由前n项和判断数列是否是等差数列、由Sn求通项公式 【解析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案． 【详解】当时，． 当时，． 当时，上式＝． 所以若是等差数列，则 所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列． 故选：A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n项和与通项公式的关系，利用求通项公式，属于基础题． 【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）已知数列的前n项和是.当 时，是公差 的等差数列. 【答案】 【知识点】由前n项和判断数列是否是等差数列、由Sn求通项公式 【分析】根据等差数列的前n项和公式，得到要使得为等差数列，得到且，即可求解. 【详解】由等差数列的前n项和公式，可知， 要使得为等差数列， 则满足，解得，即， 又由，所以公差. 【点睛】本题主要考查了等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中正确理解等差数列的前n项和公式，合理应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）设数列的前项和为，求证：数列为等差数列. 【答案】证明见解析 【知识点】判断等差数列、由Sn求通项公式 【分析】利用求出数列的通项公式，再利用等差数列的定义可证得结论成立. 【详解】证明：因为数列的前项和为， 当时，， 当时，， 也满足，故对任意的，， 所以，对任意的，， 因此，数列为等差数列. 题型03 等差数列片段和性质 【典例1】（23-24高二下·广东广州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列片段和的性质及应用 【分析】利用等差数列前和的性质，得出，求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，且，， 所以根据等差数列前项和的性质可得成等差数列， 所以，所以，解得． 故选：C. 【典例2】（23-24高二下·河南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．35 B．30 C．20 D．15 【答案】B 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】利用等差数列前项和的性质求解即可. 【详解】因为是等差数列，所以也是等差数列， 所以，即，解得. 故选：B. 【典例3】（23-24高二上·福建福州·期末）在等差数列中，若，则=（    ） A．100 B．120 C．57 D．18 【答案】B 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据等差数列前项和性质求解． 【详解】是等差数列，则仍成等差数列， 又，，所以，， ， 所以， 故选：B． 【变式1】（23-24高二下·云南大理·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．34 B．39 C．42 D．45 【答案】B 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据等差数列的片段和即可求解. 【详解】由成等差数列， 则，即，故. 故选：B 【变式2】（2024·陕西咸阳·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．30 B．58 C．60 D．90 【答案】D 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】借助等差数列片断和的性质计算即可得. 【详解】由数列为等差数列， 故、、、、亦为等差数列， 由，，则， 故，，， 即有，，. 故选：D. 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）设等差数列的前项和为，若，则 （    ） A．18 B．36 C．54 D．72 【答案】D 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据等差数列中成等差数列求解. 【详解】因为差数列中，成等差数列， 令，即成等差数列， 则， 即，解得， 故选：D． 题型04 比值问题（含同角标和不同角标） 【典例1】（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）等差数列的前项和分别为，已知，则的值为 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据等差数列性质可得，代入数据计算可得结果. 【详解】由等差数列性质可得， 同理可得， 所以，由可得； 因此. 故答案为： 【典例2】（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题、等差数列前n项和的二次函数特征 【分析】利用等差数列和的前项和的性质可得：，，即可得出． 【详解】由等差数列前项和公式可设： ，，， 从而， ， 所以， 故选：C 【典例3】（23-24高二上·山东泰安·期末）已知两个等差数列的前项和分别为和，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等差中项的应用、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】由等差数列前项和公式及等差数列性质得，再由已知，令，代入求值即可. 【详解】由都是等差数列，设公差分别为， 则， ， 则， 故不妨令， 所以， . 故选：B. 【变式1】（23-24高三下·天津南开·阶段练习）已知等差数列和的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】由等差数列的前项和公式及等差数列的性质，即可求解结果． 【详解】因为是等差数列和的前项和， ，又 所以 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】由等差数列前n项和的性质，可设、，计算即可得. 【详解】由，为等差数列，故可令、， 则. 故选：C. 【变式3】（23-24高一下·上海·期末）等差数列的前项和分别是，若，则 ． 【答案】/0.4 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】由等差数列的性质知，，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 题型05 等差数列前项和的最值问题 【典例1】（23-24高二下·北京怀柔·期中）已知数列的前项和为 (1)求数列的通项公式 (2)判断数列是否是等差数列，若是，加以证明；若不是请说明理由； (3)求的最小值，并求取最小值时的值． 【答案】(1) (2)是等差数列，证明见详解； (3)；或5 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、求等差数列前n项和的最值、二次函数法求等差数列前n项和的最值、判断等差数列 【分析】（1）根据与的关系求出通项公式； （2）根据等差数列的定义判断； （3）结合二次函数性质求解最小值及取得最小值时n的值. 【详解】（1）当时，， 当时，， 又， 所以时，也成立， 所以数列的通项公式为，. （2）数列为等差数列，证明如下： 因为， 所以数列是等差数列. （3）因为，又， 所以当或时，最小，最小值为. 【典例2】（23-24高二上·江苏南京·期中）设等差数列的前项和为.已知，. (1)求； (2)当为何值时，最小？并求此最小值. 【答案】(1) (2)8，4 【知识点】求等差数列前n项和的最值、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设等差数列的公差为d，由，求解； （2）由，分，，利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为d， 又，， 所以， 解得， 所以； （2）由（1）得， 当时，， 当时，递增，当时，递减，又， 所以的最小值为7； 当时，，在上递增，又， 所以的最小值为4， 综上：的最小值为4. 【典例3】（23-24高二下·广东韶关·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，. (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值及取得最大值时n的值. 【答案】(1) (2)当或，取最大值，最大值为30 【知识点】求等差数列前n项和的最值、等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）由条件结合等差数列的通项公式列关于和的方程，解方程求，再求通项公式即可； （2）方法一：求出的表达式，结合二次函数的性质，即可求得结果. 方法二：解方程，再解不等式，，由此确定使得最大时的值，再由求和公式求其最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 因为，， 所以， 解得， 所以； （2）方法一：因为，， 所以当或时取得最大值，最大值为30. 方法二：当时，， 当时，， 当时，， 所以当或时取得最大值， 又 所以最大值为30. 【变式1】（23-24高二上·河南开封·期末）已知等差数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)求的最大值及取得最大值时n的值． 【答案】(1) (2)最大值为，n取值5或6 【知识点】求等差数列前n项和的最值、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）运用基本量的计算求解通项公式即可. （2）写出前n项和公式，利用二次函数性质求解即可. 【详解】（1）记的公差为d，因为，所以， 因为，所以， 所以． （2）因为 所以，当n取与最接近的整数即5或6时，最大， 最大值为． 【变式2】（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知等差数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)求的最小值，并指出取何时取得最小值. 【答案】(1) (2)的最小值为，对应或 【知识点】求等差数列前n项和的最值、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】 （1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得. （2）利用，求得取得最小值时对应的值，进而求得的最小值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 依题意，，，解得， 所以. （2）由，解得， 所以当或时取得最小值， 且的最小值为. 【变式3】（23-24高二上·吉林辽源·期末）已知等差数列中， (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和，并求的最小值 【答案】(1) (2)， 【知识点】求等差数列前n项和的最值、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出关于的等式，联立可得，即可求解； （2）利用等差的求和公式得到，然后判断的正负，即可求得的最小值 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，所以，解得， 所以； （2）， 数列首项为负的，公差大于零，是递增数列， 令即，解得，因为，所以， 令即，解得， 令即，解得， 所以第1项是负数，第2项是0，从第3项起变成正数， 所以当或2时，取得最小值， 题型06 符合条件的最值问题 【典例1】（多选）（23-24高二上·福建莆田·期中）在等差数列中，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】判断数列的增减性、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的性质及求和的性质，可对四个选项逐一判断其正误，从而得到答案． 【详解】设等差数列的公差为，其前项和为，由，得， 对于A，数列是递增等差数列，且前10项均为负数，从第11项起为正，则， 即，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，由，得，，D正确. 故选：AD 【典例2】（多选）（2024·山西吕梁·三模）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 【答案】BD 【知识点】求等差数列前n项和的最值、等差数列前n项和的其他性质及应用、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据题意，结合条件即可得到，即可判断AC，结合等差数列的求和公式即可判断B，再由，或时，；时，即可判断D, 【详解】根据题意：，即， 两式相加，解得：，当时，最大，故A错误 由，可得到，所以， ， 所以，故C错误； 由以上可得：， ，而， 当时，；当时，； 所以使得成立的最小自然数，故B正确. 当，或时，；当时，； 由， 所以中最小项为，故D正确. 故选：BD. 【典例3】（多选）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A．是递减数列 B．， C． D． 【答案】BCD 【知识点】求等差数列前n项和的最值、求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质得到，，即可判断B、C，又判断A，根据，判断D. 【详解】，， ∴， ， ∴，， ∴，，且，故B、C正确； ∴公差，等差数列是递增数列，故A错误； 因为，，所以时，取得最小值， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【变式1】（多选）（23-24高二下·山东淄博·期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 【答案】ABD 【知识点】求等差数列前n项和的最值、求等差数列前n项和 【分析】由求和公式结合角标性质得出，进而判断单调性以及最值. 【详解】， 故， ，故， 所以，且，，即是递增数列，故ABD正确. 由于是递增数列，，故时，取得最小值，故C错误； 故选：ABD 【变式2】（多选）（23-24高三上·山东临沂）公差为的等差数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C．中最大 D． 【答案】CD 【知识点】求等差数列前n项和的最值、求等差数列前n项和、等差数列的单调性、利用等差数列的性质计算 【分析】由得，由得，则，即可判断ABC；根据和等差数列下标和的性质可得，即可判断D. 【详解】A：由，得， 由，得，所以，所以，故A错误； B：由选项A的分析知，，故B错误； C：因为，，，所以数列是递减数列， 其前6项为正，从第7项起均为负，故最大，故C正确； D：由选项A的分析知，，，， 所以，且，即，所以，故D正确. 故选：CD 【变式3】（多选）（2024·辽宁·二模）设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．满足的n的最小值为14 【答案】BCD 【知识点】求等差数列前n项和的最值、求等差数列前n项和、等差中项的应用 【分析】由可判断A错误；由A可得B正确；由，可得C正确；由等差中项和前项和的性质可得D正确. 【详解】A：因为，所以， 所以，故A错误； B：由A的解析可得B正确； C：因为，，所以与均为的最大值，故C正确； D：因为，由，， 故D正确； 故选：BCD. 题型07 求数列的前项和问题 【典例1】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）结合等差数列的通项公式，前项和公式和等差数列的性质，求出和，得到等差数列的通项公式. （2）由.再由，求数列的前n项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，则：. 所以. （2）由（1）得： 由. 所以当时，. 当时，. 所以. 【典例2】（23-24高二上·江苏镇江·期末）记数列的前n项和为，对任意满足：，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，，求的值． 【答案】(1)， (2). 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】（1）利用时，及等差数列的通项公式即可求解； （2）去绝对值后，利用等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以当时，，即， 因为，所以， 当时，，又， 所以， 化简得， 即，即， 所以， 因为，所以，即， 所以是首项，公差的等差数列， 所以，故数列的通项公式； （2）因为，，所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 故. 【典例3】（23-24高三上·河南·期中）已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据等差数列的性质即可求解公差，进而可求解， （2）分情况，即可根据等差数列求和公式求解. 【详解】（1）设的公差为d，依题意得， 所以，即， 化简得，解得或（舍去）， 故， （2）依题意，． 当时，，故； 当时，， 故． 故 【变式1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据已知求出和公差，再由等差数列通项公式求解即可； （2）写出的通项公式，可知当时，，当时，；再利用求和公式分别在两个范围内求解. 【详解】（1）由题意得：，解得，； （2），当时，，；时，，； 当时，； 当时，；即 ，综上所述：. 【变式2】（23-24高二下·安徽滁州·期中）已知等差数列的前n项和为，，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，其前n项和为，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据等差数列的基本量，列方程求解出，即可根据等差数列通项公式求通项 （2）根据的正负得的通项，再分情况求的前n项和 【详解】（1）设等差数列的首项和公差分别为，则 ，解得，， 所以． （2）当且时，；当且时，． 所以当时，； 当时，． 综上所述，． 【变式3】（23-24高二下·北京房山）已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答． （条件①：；      条件②：；    条件③：.） 选择条件　　　　和　　　　　． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，并求数列的前项的和 【答案】(1) (2)当时，当时 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据可知数列是以公差的等差数列，然后求出首项，即可得通项. （2）由，分情况讨论即可得 【详解】（1）选①②，由可知数列是以公差的等差数列，又得，故 选②③，由可知数列是以公差的等差数列，由可知， 选①③，无法确定数列. （2），其中, 当，时， 当，时，数列是从第三项开始，以公差的等差数列. 题型08 等差数列奇数项偶数项和 【典例1】（23-24高二上·全国·期末）已知数列满足，， (1)求； (2)当为奇数时，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】（1）根据条件，得出数列为等差数列，即可求出结果； （2）根据条件得出，由（1）知，再利用分组求和即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以数列构成首项为，公差为的等差数列， 所以. （2）由，所以数列构成首项为，公差为的等差数列，得到， 设， 则， 又，所以为奇数时， 【典例2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知数列满足，且当时，有. (1)求证：数列为等差数列； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】等差数列奇数项或偶数项的和、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】（1）由题可知，从而数列为等差数列； （2）根据的奇偶性可得，从而可得. 【详解】（1）证明：由题易知数列的各项都不为0， 当时，， ∴. ∴数列是首项，公差的等差数列. （2）由（1）得， ∴. ， ， … ，其中. ∴当为偶数时，； 当为奇数时，为偶数， ∴. 【典例3】（23-24高三上·北京海淀·期中）已知数列的前项和为，且. (1)求的值； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】求等差数列前n项和、由Sn求通项公式、等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】（1）已知，利用，取，即可得的值； （2）求出通项公式，对n分类，由等差数列的前n项和公式分别求和，再用作差法比较大小，即可证出. 【详解】（1）解：因为，所以， ，， . （2）证明：因为， 当时，， 当n为奇数，， ， 当n为偶数时，， ， ， 【变式1】（23-24高二下·山东日照·期中）已知是等差数列，其中，. (1)求的通项公式； (2)求的值. 【答案】(1) (2)-50 【知识点】等差数列奇数项或偶数项的和、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）利用等差数列的基本量的运算即得； （2）利用等差数列的求和公式即得． 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 因为， 所以， 所以，， 所以. （2）因为是等差数列， 所以，是首项为，公差为的等差数列，共有10项，. 【变式2】（23-24高三上·山东济南·期末）已知数列满足：，，. (1)记，求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2)353 【知识点】由递推关系式求通项公式、等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】（1）令n取代入已知条件可以得到，从而求出数列的通项公式 （2）先分奇偶求出数列的表达式，分别求奇数项的和与偶数项的和，相加得到 【详解】（1）因为，令n取，则， 即，，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，所以 （2）令n取2n，则， 所以， 由（1）可知，； ；所以 【变式3】（23-24高二上·辽宁·阶段练习）已知数列的首项，前n项和为，且数列是公差为2的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2） 若，求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】等差数列奇数项或偶数项的和、利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据条件先求解出，然后根据求解出的通项公式； （2）先计算出，然后对分奇偶讨论，采用并项求和的方法求解出. 【详解】（1）因为数列是公差为2的等差数列，且，所以，所以， 又因为，所以当时， 又因为符合的情况，所以； （2）因为， 当为偶数时，， 所以， 当为奇数时，， 综上可知：. 【点睛】本题考查等差数列的应用以及数列求和，其中涉及到利用求通项公式以及数列的并项求和方法，主要考查学生对等差数列的理解以及对并项求和方法的掌握，难度一般.利用求解数列通项公式时一定要注意验证是否满足条件. 题型09 数列求和（倒序相加法） 【典例1】（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等比数列下标和性质及应用、倒序相加法求和 【分析】根据，可得，再根据等比中项的性质可得，又，再利用倒序相加可得解. 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故， 又，可得， 所以， 由，则，所以， 所以， 则， 故， 故选：B. 【典例2】（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（    ） A．2020 B．4046 C．2023 D．4038 【答案】C 【知识点】等比数列下标和性质及应用、倒序相加法求和 【分析】根据对数运算法则可得，再利用等比数列性质和函数可得，利用倒序相加即可得. 【详解】由题意可知，，所以； 由等比数列性质可得； 又因为函数，所以， 即，所以； 令，则； 所以， 即. 故选：C 【变式1】（23-24高二下·北京·期中）已知，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】倒序相加法求和 【分析】利用倒序相加法计算求解. 【详解】， 则 两式相加得 所以， 所以. 故选：A. 【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）已知，求. 【答案】1005. 【知识点】函数对称性的应用、倒序相加法求和 【分析】由函数式计算出，然后倒序相加求和． 【详解】因为，所以， 所以.令， 倒写得. 两式相加得，故. 题型10 数列求和（裂项相消法） 【典例1】（23-24高二下·安徽安庆·阶段练习）已知数列的前n项和为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据求出数列的通项公式，利用裂项相消法求数列的和，即得答案. 【详解】由于，则时，，则， 也适合该式，故， 故， 则 ， 故选：B 【典例2】（2024高二·全国·专题练习）为等差数列的前项和．已知． (1)求的通项公式． (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）根据题意，列出方程，求出首项和公差即可求通项； （2）先求出数列的通项，再用裂项的方法求前项和即可. 【详解】（1）设数列的公差为， 由题意得 解得， 所以是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为． （2）由（1）知， 所以． 设数列的前项和为，则 ． 【典例3】（四川省德阳市2023-2024学年高二下学期期末数学试题）数列的前n项和为，且. (1)求证：数列为等比数列，并求其通项公式； (2)令，数列的前n项和为.求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用与的关系式，消去，即可证明为等比数列，求得通项； （2）将数列的通项进行裂项，再运用裂项相消法即可求出并证得. 【详解】（1）因为①， 所以当时，②， ①②得：，即(*)， 又当时，，即，所以， 由(*)可得，， 则数列为以2为首项，2为公比的等比数列，故； （2）由（1）知， 故， 因，，故得. 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）数列的通项公式，则该数列的前n项和 ． 【答案】 【知识点】裂项相消法求和 【分析】借助裂项相消法计算即可得. 【详解】 ， 故 ． 故答案为：. 【变式2】（23-24高三上·广东东莞·阶段练习）已知等差数列的公差，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前2022项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）利用等差数列基本量的运算求得公差，即可求解通项公式. （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为，，所以，所以； （2）， 所以数列的前n项和， 所以=. 【变式3】（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）在数列中，已知，且满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和、构造法求数列通项 【分析】（1）对递推式进行等价变形，构造等比数列即可求解； （2）将所求通项变形，由裂项相消法即可求解. 【详解】（1）因为，且易知， 所以，所以，所以． 因为，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以，所以． （2）因为， 所以． A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知等差数列的前项和为，满足，则（    ） A．-200 B．-100 C．200 D．100 【答案】A 【知识点】求等差数列前n项和 【分析】利用等差数列的前项和公式即可解出. 【详解】因为等差数列的前项和为， 可得，解得， 则. 故选：A 2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）设等差数列的公差为，前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列下标和性质以及的公式计算出，然后计算公差。 【详解】， 故。 故选：C 3．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）等差数列的前项和分别为，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题、求等差数列前n项和、等差中项的应用 【分析】由于为等差数列，可以利用等差数列的等差中项与求和公式之间的联系即可求出结果. 【详解】∵等差数列的前项和分别为， 且， ∴， ∵. 故选：A. 4．（23-24高二下·湖北·阶段练习）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．64 B．80 C．96 D．120 【答案】C 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】设出公差，得到方程组，求出首项和公差，利用求和公式得到答案. 【详解】设公差为， 则，解得， 故. 故选：C 5．（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）已知公差为的等差数列是其前项和，且.若对任意都有，则的值为（   ） A．6 B．7 C．6或7 D．8 【答案】C 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】利用求出，进而求得的，然后求出的最大值，以及对应的下标的值即可得解. 【详解】令等差数列的公差，则， 所以，解得， 所以， 又，所以当或时，， 即或，，故对任意都有，的值为6或7. 故选：C 6．（24-25高二上·全国·课后作业）若数列的通项公式是其前n项和为，则等于（   ） A．120 B．180 C．240 D．360 【答案】C 【知识点】求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】利用并组求和、等差数列的求和公式可得答案. 【详解】由题意得 ． 故选：C. 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为．若，则的值是（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】等差数列前n项和的二次函数特征、求等差数列前n项和 【分析】根据的表达式为关于的二次函数，且则易得的对称轴方程，再利用对称轴方程，结合易得. 【详解】设等差数列的公差为． 等差数列的前项和可看作是关于的二次函数， 又故对称轴方程为． 又，解得． 故选：B. 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、由递推关系证明数列是等差数列、二次函数法求等差数列前n项和的最值、根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】先判断是等差数列，由题设条件求出首项和公差，代入的表达式，配方化简,即可求出取得最小值时的值. 【详解】由可知，数列是等差数列，公差， 由，解得． 则 故当取得最小值时，的值是6． 故选：A． 二、多选题 9．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）若7个正数成等差数列，且这7个数的和为5，则此等差数列的公差可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】等差中项的应用、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据求出，然后由列不等式组求解可得. 【详解】设这7个数依次为，其和，所以， 要使这7个数均为正数，则，所以，解得． 故选：AB． 10．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列的单调性、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据已知条件，推出，即可得到数列的单调性，从而判断A、B、D，再利用作差法判断C． 【详解】因为， 所以，， 故，故A、B正确； ，，所以单调递增， 则， 所以，则，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD． 三、填空题 11．（24-25高二上·全国·随堂练习）如图所示，从开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：，则在该数列中第项是 ． 【答案】 【知识点】观察法求数列通项、求等差数列前n项和 【分析】观察数阵的第行的第个数的值的规律并进行归纳，由此确定数列的第项. 【详解】由题意可得第行的第三个数依次为，，， 所以第行的第三个数为， 在该数列中，第项为第行第三个数， 所以该数列的第项为． 故答案为：190 12．（23-24高三下·广西·阶段练习）《孙子算经》中提到“物不知数”问题．如：被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，即3，8，13，18，……，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为 ． 【答案】21 【知识点】基本不等式求和的最小值、求等差数列前n项和 【分析】由已知及等差数列求和公式得出，再根据基本不等式求解最小值即可． 【详解】由题意可知，数列是以3为首项，5为公差的等差数列， 则， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 故答案为：21． 四、解答题 13．（23-24高二下·四川乐山·期中）已知数列是等差数列． (1)若，，求； (2)若，，求． 【答案】(1)7； (2)2700. 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】（1）根据给定条件，求出公差，再求出. （2）利用等差数列前n项和公式求解即得. 【详解】（1）在等差数列中，，，公差， 所以. （2）在等差数列中，，， 所以． B能力提升 1．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）等差数列的前n项和为，已知，若存在正整数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】利用等差数列定义结合题意可得等差数列通项公式，再利用等差数列前n项和的性质结合等差数列通项公式计算即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，则， 即有，则， 即， 令，解得，故当时，， 即恒成立，故k的值为20. 故选：B. 2．（北京市房山区2024-2025学年高三上入学考试数学试题）古希腊毕达开拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类.如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，给出下列四个结论： ①数列的一个通项公式是； ②2025既是三角形数，又是正方形数； ③； ④，总存在．使得成立． 其中所有证确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和 【分析】根据给定信息,求出数列的通项,再逐一分析各个选项即可. 【详解】对于①，依题意,数列中,, 于是得,满足上式, 故,故①正确； 对于②，数列中,, 于是得,满足上式, ,令，此方程无整数解；令，解得, 所以2025不是三角形数，是正方形数,故②错误； 对于③，当时，, 当时， 则，故③正确; 对于④, , 取 ， 则，故④正确. 故答案为：①③④. 3．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）记递增的等差数列的前项和为，已知，且. (1)求和； (2)设.求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【知识点】求等差数列前n项和、裂项相消法求和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前项和； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设的公差为，因为，所以， 又，所以，解得， 所以， ． （2）， 所以 ． 4．（24-25高三上·江苏泰州·开学考试）已知各项均为正数的数列的前项和为， (1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式； (2)求证：： (3)设，是否存在正整数，使得对任意正整数均有恒成立？若存在求出的最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 (3)存在，的最大值为674 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、数列不等式恒成立问题、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由等差数列的定义证明即可，由为等差数列，先求出，然后求解的通项公式即可； （2）由裂项相消法求和证明不等式即可； （3）由裂项相消法求和，然后由恒成立问题求解的最大值，因，则数列单调递增，所以只需求的最小值即可； 【详解】（1）证明：因为，则当时，， 即， 而，有，即， 所以数列是以为首项为1，公差为1的等差数列， 于是得，即， 当时，，又满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）知， 当时，， 则， 当时，， 即对任意的，都有. （3）由（1）知，， 则有， 因，则数列单调递增，， 因对任意正整数均有成立， 于是得，解得， 而，则， 所以存在正整数，使得对任意正整数均有总成立，的最大值为674. C综合素养 1．（2024·黑龙江·三模）如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”. (1)设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项； (2)设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和. ①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值? ②若，且，求的最小值. 【答案】(1)1，3，5，7，5，3，1 (2)①1012；②2025 【知识点】数列新定义、根据数列的单调性求参数、根据数列递推公式写出数列的项、求等差数列前n项和 【分析】（1）根据新定义“对称数列”的定义和已知条件可求得公比，进而求得结果； （2）①根据对称数列的定义可得数列为等差数列，然后根据二次函数的性质来求解；②由条件得到数列相邻两项间的大小关系，并结合定义求得的取值范围，然后结合已知条件确定出最后的结果 【详解】（1）因为数列是项数为7的“对称数列”，所以， 又因为成等差数列，其公差，… 所以数列的7项依次为1，3，5，7，5，3，1； （2）①由，，…，是单调递增数列，数列是项数为的“对称数列”且满足， 可知，，…，构成公差为2的等差数列，，，…，构成公差为的等差数列， 故 ， 所以当时，取得最大值； ②因为即， 所以即， 于是， 因为数列是“对称数列”， 所以 ， 因为，故， 解得或，所以， 当，，…，构成公差为的等差数列时，满足， 且，此时，所以的最小值为2025. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解对称数列的定义，第二问①关键是得到，，…，构成公差为的等差数列. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$