第四章 一次函数（单元重点综合测试A卷，北师大版）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（陕西专用）

第四章 一次函数（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图所示的图象分别给出了与的对应关系，其中能表示是的函数的是(    ) A． B． C． D． 2．在函数关系式中，当因变量时，自变量x的值为（    ） A． B． C．6 D． 3．已知下列函数：（1）；（2）；（3）；（4），其中是一次函数的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（    ） A．B．C．D． 5．下列关于直线的说法不正确的是（   ） A．一定经过点 B．与y轴交于点 C．y随x的增大而增大 D．图象过一、三、四象限 6．已知关于的一次函数的图象经过第一、二、四象限，代数式化简为（   ） A． B． C． D． 7．甲、乙两个工程队分别同时维修两段道路，所维修的道路长度与维修的天数之间的函数关系图象如图所示，下列结论正确的是（    ） A．开工第2天时，甲队比乙队多维修 B．开工第6天时，甲队比乙队多维修 C．甲队维修道路长度为时，乙队所维修的道路长度为 D．乙队从第1天到第6天，每天维修道路的长度为 8．如图，在中，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，使四边形周长最小的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．已知，y是x的一次函数，则 ． 10．若关于x的方程的解是，则直线一定经过点 ． 11．若将直线（是常数）向上平移3个单位长度后经过点，则的值为 . 12．若一次函数的图象上有两点，点，若，则 ． 13．如图，已知点，，轴，与直线交于点C，轴于点D，P是线段（含端点）上一动点．连接，．当四边形的面积最大时，点P到直线的距离为 ．    三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）已知正比例函数经过点． (1)求k的值； (2)判断点是否在这个函数图象上． 15．（5分）已知y关于x的一次函数． (1)若y随x的增大而减小，求m的取值范围； (2)若y是x的正比例函数，求m的值． 16．（5分）已知一次函数，表中给出了部分对应值． … 2 4 … … … (1)求该一次函数的表达式； (2)求、的值． 17．（5分）已知 与成正比例关系，当时，．求y与x的函数关系式． 18．（5分）画出一次函数的图象． (1)可以先确定这条直线与轴的交点坐标为______，与轴的交点坐标是______； (2)请你在图中画出这条直线，并且求这条直线与两条坐标轴围成的三角形的面积． 19．（5分）已知关于x的函数是一次函数． (1)求m的值； (2)在该一次函数中，当时，求y的最大值． 20．（6分）一次函数的图象如图所示，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)求图象与坐标轴能围成的三角形的面积． 21．（6分）如图，长方形的长，宽，E为上一动点，F为上一定点，连接，设． (1)求三角形的面积y与x的关系式； (2)根据（1）中关系式填写下列表格： 1 2 3 4 5 22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，一次函数经过点M，分别交x轴于点A，交y轴于点B．x轴上有一点P，其横坐标为．过点P作x轴的垂线交射线OM于点C，交一次函数的图象于点D． (1)求点A的坐标； (2)若，求t的值； (3)若，求t的值． 23．（7分）探索一个新函数的图象与性质时，在经历“列表、描点、连线”后，通过观察函数图象来归纳函数的性质．下面运用这样的方法探索函数的性质． (1)①完成下面列表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 0 ______ ______ ______ ______ 1 0 … ②根据列表在下列平面直角坐标系中先描点，再连线； (2)①函数y的最大值为______；当y随x的增大而减小时，x的取值范围是______； ②当时，x的取值范围是______． 24．（7分）某公司要印制新产品宣传材料．甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收元制版费；乙厂提出：每份材料收元印制费，不收制版费．图中，分别表示两家印刷厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系． (1)表示甲厂收费与印制数量之间关系的直线是_______（填“”或“”）； (2)分别求出甲，乙两厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式； (3)某厂商拟拿出元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制宣传材料能多一些？能多印多少份？ 25．（8分）如图，已知点是正方形的一个顶点，E是的中点，点P是直线上一点． (1)求点E的坐标和直线的解析式； (2)若的面积为21，求此时P点坐标； (3)若点P是直线在第一象限的一个动点，连接，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P点坐标：若不存在，请说明理由． 26．（10分）【问题提出】 （1）如图①，点D为的边的中点，连接，若的面积为3，则的面积为_______； 【问题探究】 （2）如图②，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连接，作轴于点B，若，，过点B的直线l将分成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式； 【问题解决】 （3）如图③，在平面直角坐标系中，四边形是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中O为坐标原点，，为了方便驻区单位，计划过点O修一条笔直的道路（路宽不计），并且使直线将四边形分成面积相等的两部分，记直线与所在直线的交点为D，再过点A修一条笔直的道路（路宽不计），并且使直线将分成面积相等的两部分，你认为直线和是否存在？若存在，请求出直线和的函数表达式；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 一次函数（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图所示的图象分别给出了与的对应关系，其中能表示是的函数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查函数的概念与图象，根据函数的定义判断即可． 【详解】解：∵C图象中对于每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，符合函数的定义；而A、B、D图象中对于每一个的值，并非都有唯一确定的值与之对应，不符合函数的定义； ∴C符合题意，A、B、D不符合题意． 故选：C． 2．在函数关系式中，当因变量时，自变量x的值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了已知因变量求自变量．熟练掌握自变量与因变量一一对应是解题的关键． 将代入，计算求解即可． 【详解】解：当时，， 解得， 故选：C． 3．已知下列函数：（1）；（2）；（3）；（4），其中是一次函数的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】根据一次函数的定义（一次函数的一般形式为，其中为常数，）即可得． 【详解】解：由一次函数的定义可知，函数和是一次函数，函数和都不是一次函数， 即一次函数有2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数，熟记定义是解题关键． 4．已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程的解其实就是当时一次函数与x轴的交点横坐标解答．根据交点坐标的含义可得答案. 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标是． ∴只有选项B的图象符合题意， 故选：B 5．下列关于直线的说法不正确的是（   ） A．一定经过点 B．与y轴交于点 C．y随x的增大而增大 D．图象过一、三、四象限 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 根据一次函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，故图象经过点，选项A正确，不符合题意； 当时，，故与y轴交于点，选项B错误，符合题意； ∵， ∴随的增大而增大，选项C正确，不符合题意； ∵，， ∴图像过一，三，四象限，选项D正确，不符合题意． 故选：B． 6．已知关于的一次函数的图象经过第一、二、四象限，则代数式可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】化简绝对值、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，明确题意、利用一次函数的性质得到m的取值范围是解题的关键． 根据一次函数的图象经过第一、二、四象限，可以得到m的取值范围，然后取绝对值后计算即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，解得：， ∴． 故答案为：5． 7．甲、乙两个工程队分别同时维修两段道路，所维修的道路长度与维修的天数之间的函数关系图象如图所示，下列结论正确的是（    ） A．开工第2天时，甲队比乙队多维修 B．开工第6天时，甲队比乙队多维修 C．甲队维修道路长度为时，乙队所维修的道路长度为 D．乙队从第1天到第6天，每天维修道路的长度为 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求出函数解析式是解题的关键．根据待定系数法求出函数解析式再结合图像判断即可． 【详解】根据图形，设乙工程队的一次函数解析式为，将代入， 解得， ∴乙工程队的一次函数解析式为， ∴开工第2天时，乙工程队维修， ∵由图可知，甲工程队维修了， ∴甲队比乙队多维修， 故选项A错误，不符合题意； 由图像可知，开工第6天时，乙队比甲队多维修， 故选项B错误，不符合题意； 设时，设甲工程队的一次函数解析式为，将和代入可得， ， 解得， ∴甲工程队的一次函数解析式为， ∴当甲队维修道路长度为时，， 解得， 此时乙工程队维修， 故选项C错误，不符合题意； 乙队从第1天到第6天一共维修，每天维修道路的长度为． 故选项D正确，符合题意； 故选：D． 8．如图，在中，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，使四边形周长最小的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，根据题意得到，再求出；作D关于直线的对称点E，连接交于P，则此时，四边形周长最小， 由轴对称的性质可得，则，再根据点P是直线和直线的交点进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， 作D关于直线的对称点E，连接交于P，则此时，四边形周长最小， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴点E在y轴上， ∴ 设直线的解析式为， 将点C、E坐标代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．已知，y是x的一次函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】先根据一次函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可． 【详解】解：因为是x的一次函数， 可得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数的定义，根据一次函数的定义列出关于m的不等式是解答此题的关键． 10．若关于x的方程的解是，则直线一定经过点 ． 【答案】 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关键，熟练掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．根据方程可知当，从而得到答案． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当，， 故直线一定经过点． 故答案为：． 11．若将直线（是常数）向上平移3个单位长度后经过点，则的值为 . 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．由平移的规律可求得平移后的直线解析式，代入点直接求得答案． 【详解】解：将直线（是常数）向上平移3个单位长度可得， 平移后的直线过点， ， 解得． 故答案为：． 12．若一次函数的图象上有两点，点，若，则 ． 【答案】9 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，把A、B的坐标代入一次函数解析得出，，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵一次函数的图象上有两点，点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：9． 13．如图，已知点，，轴，与直线交于点C，轴于点D，P是线段（含端点）上一动点．连接，．当四边形的面积最大时，点P到直线的距离为 ．    【答案】/ 【知识点】坐标与图形、几何问题(一次函数的实际应用)、点到直线的距离、用勾股定理解三角形 【分析】连接，作于点，根据题意求得点的坐标，根据题意得出四边形的面积，根据一次函数的的性质，可得点在点位置的时候，四边形的面积最大，进而根据等面积法求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接    ∵点，，轴，轴 ∴点的纵坐标为，代入 解得： ∴， ∵P是线段（含端点）上一动点． 四边形的面积 ∴当最大时，四边形的面积取得最大值， ∴当点与点重合时， 作于点，    在中，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与几何图形，坐标与图形，勾股定理，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）已知正比例函数经过点． (1)求k的值； (2)判断点是否在这个函数图象上． 【答案】(1) (2)在，理由见解析 【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质 【分析】本题主要考查的是一次函数中的正比例函数的性质， （1）把点代入正比例函数中，可得； （2）由（1）得，，再把代入得，然后判断即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴，解得：； （2）解：在 理由：由（1）得：， 当时，， ∴点在这个函数的图象上． 15．（5分）已知y关于x的一次函数． (1)若y随x的增大而减小，求m的取值范围； (2)若y是x的正比例函数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正比例函数的定义、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的增减性以及正比例函数的定义，熟记相关结论即可． （1）对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．据此即可求解； （2）对于一次函数，当时，此时为正比例函数，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵y随x的增大而减小， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是； （2）解：∵y是x的正比例函数 ∴ 解得 ∴ 16．（5分）已知一次函数，表中给出了部分对应值． … 2 4 … … … (1)求该一次函数的表达式； (2)求、的值． 【答案】(1)； (2)，． 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式和一次函数图象上点的坐标特征，能求出一次函数的解析式是解此题的关键． （1）由所给数据，利用待定系数法可求得一次函数解析式； （2）利用（1）中所求的函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：设一次函数的表达式为, 由题意可得. 解得. ∴一次函数的表达式为； （2）当时，代入可得， ． 当时，代入可得， ， 解得． ，． 17．（5分）已知 与成正比例关系，当时，．求y与x的函数关系式． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，设，把，代入求解即可． 【详解】解：∵ 与成正比例关系， ∴设， 把，代入得：， 解得， ，即， 与的函数关系式为． 18．（5分）画出一次函数的图象． (1)可以先确定这条直线与轴的交点坐标为______，与轴的交点坐标是______； (2)请你在图中画出这条直线，并且求这条直线与两条坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)； (2)图见解析，面积为． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键． （1）令，可得，即可得这条直线与轴的交点坐标；令，可得，即可得这条直线与轴的交点坐标． （2）利用描点法画出一次函数图象即可；根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：令，可得， 这条直线与轴的交点坐标为． 令，可得， 与轴的交点坐标是． 故答案为：；； （2）解：画出这条直线如图所示． 这条直线与两条坐标轴围成的三角形的面积为． 19．（5分）已知关于x的函数是一次函数． (1)求m的值； (2)在该一次函数中，当时，求y的最大值． 【答案】(1) (2)3 【知识点】根据一次函数的定义求参数、求一次函数自变量或函数值、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】此题考查了一次函数的定义与性质． （1）根据一次函数的定义即可求解； （2）一次函数解析式为，利用增减性求得最大值即可． 【详解】（1）函数是一次函数， ，解得， ， ； （2）将代入得一次函数解析式为， ∴随的增大而增大， ∴当时，当时，y有最大值，最大值为． 20．（6分）一次函数的图象如图所示，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)求图象与坐标轴能围成的三角形的面积． 【答案】(1)， (2)4 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，一次函数图象与坐标轴的交点，三角形的面积公式等知识，熟练掌握求一次函数图象与坐标轴的交点的方法是解题的关键． （1）分别令和，即可求出函数与坐标轴的交点坐标； （2）利用面积公式求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴， ∴直线与 x轴交于，与y轴交于； （2）∵直线与 x轴交于，与y轴交于， ∴， ∴． 21．（6分）如图，长方形的长，宽，E为上一动点，F为上一定点，连接，设． (1)求三角形的面积y与x的关系式； (2)根据（1）中关系式填写下列表格： 1 2 3 4 5 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】函数解析式 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是能根据题意列出函数关系式． （1）根据三角形面积公式求解即可． （2）由（1）求出的函数关系式求出相应的函数值即可． 【详解】（1）由题意得：， ； （2）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故填表如下： 1 2 3 4 5 3 6 9 12 15 22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，一次函数经过点M，分别交x轴于点A，交y轴于点B．x轴上有一点P，其横坐标为．过点P作x轴的垂线交射线OM于点C，交一次函数的图象于点D． (1)求点A的坐标； (2)若，求t的值； (3)若，求t的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】坐标与图形、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点、几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系，准确计算． （1）把利用待定系数法求出直线的解析式； （2）根据点C、D的解析式，表示出，，根据列方程求解即可； （3）根据点C、D的解析式，表示出，，根据，分两种情况列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵点M的坐标为，一次函数经过点M， ∴，解得：, ∴一次函数为， 当时，，解得， ∴点， （2）依题意得：的解析式为， ∵点， ∴点，点， ∴， ， 若，，解得：， （3）当时； ，， 当，即，解得， 当时； ，， 当，即，解得， 23．（7分）探索一个新函数的图象与性质时，在经历“列表、描点、连线”后，通过观察函数图象来归纳函数的性质．下面运用这样的方法探索函数的性质． (1)①完成下面列表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 0 ______ ______ ______ ______ 1 0 … ②根据列表在下列平面直角坐标系中先描点，再连线； (2)①函数y的最大值为______；当y随x的增大而减小时，x的取值范围是______； ②当时，x的取值范围是______． 【答案】(1)①，②见解析 (2)①；；② 【知识点】用描点法画函数图象、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握画图方法是解答本题的关键． （1）①根据解析式代入数据计算即可填表，②根据表格描点画图即可； （2）①根据图象可得函数的最大值；根据图象当y随x增大而减小时可得x的取值范围；②根据图象当时，可得x的取值范围． 【详解】（1）解：①完成下面列表： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， x … 0 1 2 3 4 5 … y … 0 1 2 3 2 1 0 … ②函数图象如图所示： （2）解：①根据图象得：时，函数的最大值为，当y随x增大而减小时，x的取值范围是； ②根据图象结合表格得：当时，x的取值范围是． 24．（7分）某公司要印制新产品宣传材料．甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收元制版费；乙厂提出：每份材料收元印制费，不收制版费．图中，分别表示两家印刷厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系． (1)表示甲厂收费与印制数量之间关系的直线是_______（填“”或“”）； (2)分别求出甲，乙两厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式； (3)某厂商拟拿出元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制宣传材料能多一些？能多印多少份？ 【答案】(1)； (2)， ； (3)拿出元用于印制宣传材料，甲印刷厂印制宣传材料能多一些，能多印份； 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据收元制版费直接结合图形判断即可得到答案； （2）分别设出解析式，结合图像点代入求解即可得到答案； （3）将代入两个解析式求解比较即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ∵甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收元制版费， ∴当时，， 故直线表示甲厂收费与印制数量之间关系， 故答案为； （2）解：设的解析式为：，的解析式为：，由题意可得， 将点，代入，代入得， ，， 解得：，， ∴， ； （3）解：由题意可得， 当时， ，解得， 当时， ，解得：， ∵， ∴拿出元用于印制宣传材料，甲印刷厂印制宣传材料能多一些， (份)， ∴能多印份． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出函数的解析式，结合题目要求代入计算． 25．（8分）如图，已知点是正方形的一个顶点，E是的中点，点P是直线上一点． (1)求点E的坐标和直线的解析式； (2)若的面积为21，求此时P点坐标； (3)若点P是直线在第一象限的一个动点，连接，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点E的坐标为，直线的解析式为 (2)或 (3)或或 【知识点】坐标与图形、几何问题(一次函数的实际应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、以及勾股定理，掌握待定系数法是解题的关键． （1）先根据正方形的性质求出点E和C的坐标，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点P的坐标为，利用列方程解题； （3）设点P的坐标为，分为，和三种情况，利用勾股定理计算即可解题． 【详解】（1）解：∵点是正方形的一个顶点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， （2）解：设点P的坐标为， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； ∴点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 当时，，解得：，， ∴点P的坐标为或（舍去）； 当时，，即，解得， ∴点P的坐标为； 当时，解得：（舍去）或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 26．（10分）【问题提出】 （1）如图①，点D为的边的中点，连接，若的面积为3，则的面积为_______； 【问题探究】 （2）如图②，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连接，作轴于点B，若，，过点B的直线l将分成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式； 【问题解决】 （3）如图③，在平面直角坐标系中，四边形是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中O为坐标原点，，为了方便驻区单位，计划过点O修一条笔直的道路（路宽不计），并且使直线将四边形分成面积相等的两部分，记直线与所在直线的交点为D，再过点A修一条笔直的道路（路宽不计），并且使直线将分成面积相等的两部分，你认为直线和是否存在？若存在，请求出直线和的函数表达式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6；（2）；（3）存在，直线的函数表达式为，直线的函数表达式为 【知识点】坐标与图形、几何问题(一次函数的实际应用)、根据三角形中线求面积、全等三角形综合问题 【分析】（1）利用三角形同高等底面积相等即可得解； （2）利用勾股理得出，进而得出，，，利用三角形同高等底面积相等得出，代入的函数表达式可得出，利用待定系数法即可得出直线l的函数表达式； （3）过点A作轴于点M，过点B作轴于点H，先证出，利用三角形面积相等得出直线的函数表达式为，由直线经过的中点E，可证出，从而得出，再利用待定系数法即可得出直线的函数表达式． 【详解】（1）解：设中，边上的高为h， ∵点D为的边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6 ； （2）解：∵轴于点B， ∴， ∵，即， ∴， ∴，，． 设直线l与的交点为C，如图②，则 ，即， ∴． 由可得到直线的函数表达式为， 在中，令，得， ∴； 设直线l的函数表达式为． 将点代入，得 解得； ∴直线l的函数表达式为； （3）解：过点A作轴于点M，过点B作轴于点H，延长交于点N，如图③． ∵， ∴，，，，， ∴，，， ∴，． ∵，，， ∴， ∴， ∴直线经过点B，且点D与点B重合， ∴直线的函数表达式为， ∵直线将的面积分为相等的两部分， ∴由（1）可知，直线经过的中点E， 连接，则， ∴， ∴， 在中，令，得， ∴， 设直线的函数表达式为， 将点代入，得 解得； ∴直线的函数表达式为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，求一次函数解析式，勾股定理，三角形中点的性质等知识点，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$