专题06 数列-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（四川专用）

专题06 数列 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解数列的概念，理解数列的通项公式 · 理解等差数列的定义，掌握等差数列通项公式 · 理解等差数列前n项和公式 · 理解等比数列的定义，通项公式，前n项和公式 考点预测 · 等差数列的定义，通项公式，前n项和公式 · 等比数列的定义，通项公式，前n项和公式 · 数列的实际应用 · 了解数列实际应用举例 要点自测 （一）数列的概念 1．数列的定义 按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的表示方法 列表法 列出表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 解析式法 通项公式 数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 3.数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 4.数列的前n项和 (1)表示：在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和． (2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ （二）等差数列 1.等差数列的概念 (1)定义：对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数). (2)等差中项：如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1 ＋ ＝. 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an. （三）等比数列 1.等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0).数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，我们称G为a，b的等比中项. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. 若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an. 考点突破 考点1 数列的定义 【例1】已知数列满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为且， 所以，解得，则，即，解得. 故选：C 【突破训练】在数列中，，，则（    ） A．8 B．1 C．18 D．19 【答案】D 【详解】因为，，所以，.故选：D. 【例2】已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，；当时，，经验证，不符合上式，所以故选：. 【突破训练】已知数列的前项和，则（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】D 【详解】依题意，，，所以.故选：D 【例3】已知数列的前5项依次为，按照此规律，可知（    ） A．8 B．12 C．16 D．32 【答案】A 【详解】数列的前5项依次为，则， 所以. 故选：A 【突破训练】已知数列，，则是这个数列的（    ） A．第21项 B．第23项 C．第25项 D．第27项 【答案】B 【详解】因为题中数列的第项为，而，所以是题中数列的第23项. 故选:B. 考点2 等差数列通项公式 【例4】在等差数列中，，公差，则首项（   ） A． B．4 C．0 D． 【答案】D 【详解】. 故选：D. 【突破训练】在公差为的等差数列中，若，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】因为为公差为的等差数列，所以 故选：D 考点3 等差数列前n项和 【例5】在等差数列中，，则其前10项和（    ） A．72 B．80 C．36 D．40 【答案】D 【详解】由等差数列的性质可得， 由题意，. 故选：D. 【突破训练】已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．48 B．42 C．24 D．21 【答案】B 【详解】因为等差数列，故， 则. 故选：B. 考点4 等比数列的通项公式 【例6】等比数列中，，公比，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】数列为等比数列，，解得：. 故选：C. 【突破训练】已知数列是公比为的等比数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，由，得. 故选：B. 考点5 等比数列的前n项和 【例7】等比数列的首项，公比，则等于（    ） A． B．31 C． D．63 【答案】D 【详解】因为等比数列的首项，公比， 所以. 故选：D. 【突破训练】已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前5项和为（    ） A．11 B．16 C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，. 故选：A 【例8】记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 【答案】C 【分析】利用基本量法可求首项和公式，再利用求和公式可求. 【详解】由条件可知，的公比， 由题意得，，解得，所以． 故选：C. 【突破训练】已知等比数列的前n项和为，，，则（    ） A．62 B．50 C．40 D．22 【答案】A 【分析】设数列的公比，由题意列出方程组，求得，由等比数列的求和公式计算即得. 【详解】设数列的公比为，由题意可得， 解得，，则. 故选：A. 考点6 数列的实际应用 【例9】《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道“今有女善织，日益功疾”的题．若第一天织布5尺（长度单位），从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，现1个月（按30天计）共织390尺布，则第2天比前一天多织布（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【详解】设第2天比前一天多织布尺， 根据题意得，解得， 所以第2天比前一天多织布尺， 故选：D． 【突破训练】《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得 通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列， 设该数列为，公差为，则．由题意得 即解得 故选：B. 【例10】某工厂去年产值为，计划今后年内每年比上年产值增加，则从今年起到第年，这个厂的总产值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从今年起到第年，这个厂的总产值为， 故选：B. 【突破训练】某型号计算机的成本不断降低，若每隔两年该型号计算机价格降低，现在的价格是5400元，则6年后价格降低为（    ） A．2200元 B．1600元 C．2400元 D．3600元 【答案】B 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】由题意可知，每隔两年该型号计算机价格降低， 所以6年后，价格降低为（元）， 故选：B 考点7 等差数列与等比数列的综合题 【例11】设为等差数列的前n项和，，． (1)求数列的通项公式； (2)求； (3)若，，成等比数列，求m的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）∵为等差数列的前n项和，，． ∴， 解得， ∴数列的通项公式为． （2）由（1）知，． （3）∵，，成等比数列，∴， 即，即，又因为， 解得. 【突破训练】已知数列满足，且成等比数列， (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值及此时的值. 【答案】(1)(2)最小值为, 【详解】（1）由知为等差数列，设的公差为，则， 成等比数列，所以，即， 解得，又，所以的通项公式为； （2）由(1)得， 所以当时，取得最小值，最小值为 【例12】已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）设等差数列的公差为， ，成等比数列， ，解得 ； （2）由(1)得，， ，， 是首项为4，公比为4的等比数列， . 【突破训练】已知为等差数列，为等比数列，的前项和，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 由已知可得，，则， 即． ∵，∴， 又∵， ∴，解得，即． （2）由（1）知， 令①， ①式两边同乘得：②， 错位相减得 则． 模拟演练 一、单选题 1．已知数列满足，，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【详解】因为数列满足，， 所以，，，， 故是周期为2的数列， 所以.故选：D 2．在等差数列中，满足，，则（    ） A．11 B．14 C．15 D．17 【答案】B 【详解】是等差数列，则，故选：B． 3．已知等差数列的前项和为，，，则的值为（    ） A．70 B．80 C．90 D．100 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为， 则，所以，故选：D. 4．已知等差数列的前项和为，则（    ） A．14 B．26 C．28 D．32 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，则， 则，所以.故选：B. 5．在等比数列，，中，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得或， 当时，，，不满足条件；当时，等比数列为，，，满足条件， 故选：B. 6．下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，不为常数，故A错误， 对于B，为常数，故B正确， 对于C, 不为常数，故C错误， 对于D，不为常数，故D错误，故选：B 7．已知数列是等比数列，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是等比数列，所以，所以.故选：. 8．已知是等比数列的前n项和，，，则公比（    ） A． B． C．3或 D．或 【答案】D 【详解】由，因，代入得，，即，解得，或.故选：D. 9．在等差数列中，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】C 【详解】由题意.故选：C. 10．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（    ） A．228里 B．192里 C．126里 D．63里 【答案】B 【详解】由题意得，该人所走路程构成以为公比的等比数列，令该数列为，其前项和为，则有，解得，故选：B. 二、填空题 11．在等差数列中，，，则其公差 . 【答案】2 【详解】由，得，故，所以.故答案为：2 12．设数列为等比数列，若，，则公比 ． 【答案】3 【详解】数列为等比数列，，，则，所以，故答案为：3． 13．已知在等差数列中，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】由题可得，解得，故．所以数列的通项公式为. 故答案为：. 14．已知等比数列满足，，则 ． 【答案】 【详解】设等比数列的公比为，由，得， 则，由，得，解得，所以.故答案为： 15．已知等比数列的前项和为，则 . 【答案】 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，所以， 又 ，故.故答案为：. 三、解答题 16．设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． (1)已知，，求及d； (2)已知，，求． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解得： （2）解得： 17．在等比数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求. 【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）因为，， 所以，； （2）因为，， 所以，解得，所以， 所以，. 18．已知在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 【答案】(1)；(2)时取得最大值为. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，故， 所以. （2）由，且，所以， 故时取得最大，最大值为. 19．已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和. 【答案】(1)或(2) 【详解】（1）设公差为，则，即 解得或 ，所以或； （2）因为数列为递增数列，，，， 所以 ； 所以. 20．水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．全国9100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占70％．国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12％，那么从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？ 【答案】4179万亩． 【详解】根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同， 所以从2000年起，每年退耕还林的面积（单位：万亩）组成一个等比数列， 其中，，, 则（万亩）． $$ 专题06 数列 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解数列的概念，理解数列的通项公式 · 理解等差数列的定义，掌握等差数列通项公式 · 理解等差数列前n项和公式 · 理解等比数列的定义，通项公式，前n项和公式 考点预测 · 等差数列的定义，通项公式，前n项和公式 · 等比数列的定义，通项公式，前n项和公式 · 数列的实际应用 · 了解数列实际应用举例 要点自测 （一）数列的概念 1．数列的定义 按照 排列的一列数称为数列，数列中的 叫做这个数列的项． 2．数列的表示方法 列表法 列出表格表示n与an的对应关系 图象法 把点 画在平面直角坐标系中 解析式法 通项公式 数列{an}的第n项an与它 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 3.数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数 的数列 无穷数列 项数 的数列 4.数列的前n项和 (1)表示：在数列{an}中，Sn＝ 叫做数列的前n项和． (2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ （二）等差数列 1.等差数列的概念 (1)定义：对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的 的差都是 ，那么称这样的数列为等差数列.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数). (2)等差中项：如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么 叫作a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A＝ . 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝ . (2)前n项和公式：Sn＝ ＝ . 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋ (n，m∈N+). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则 . （三）等比数列 1.等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从2项起，每一项与它的 的比值都是 ，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母 表示(q≠0).数学语言表达式： (n≥2，q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝ ，我们称 为a，b的 中项. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝ ； 通项公式的推广：an＝ (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝ ＝. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. 若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝ . 考点突破 考点1 数列的定义 【例1】已知数列满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【突破训练】在数列中，，，则（    ） A．8 B．1 C．18 D．19 【例2】已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】已知数列的前项和，则（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【例3】已知数列的前5项依次为，按照此规律，可知（    ） A．8 B．12 C．16 D．32 【突破训练】已知数列，，则是这个数列的（    ） A．第21项 B．第23项 C．第25项 D．第27项 考点2 等差数列通项公式 【例4】在等差数列中，，公差，则首项（   ） A． B．4 C．0 D． 【突破训练】在公差为的等差数列中，若，则（    ） A．4 B． C．3 D． 考点3 等差数列前n项和 【例5】在等差数列中，，则其前10项和（    ） A．72 B．80 C．36 D．40 【突破训练】已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．48 B．42 C．24 D．21 考点4 等比数列的通项公式 【例6】等比数列中，，公比，若，则（    ） A． B． C． D． 【突破训练】已知数列是公比为的等比数列，且，则（    ） A． B． C． D． 考点5 等比数列的前n项和 【例7】等比数列的首项，公比，则等于（    ） A． B．31 C． D．63 【突破训练】已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前5项和为（    ） A．11 B．16 C． D． 【例8】记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 【突破训练】已知等比数列的前n项和为，，，则（    ） A．62 B．50 C．40 D．22 考点6 数列的实际应用 【例9】《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道“今有女善织，日益功疾”的题．若第一天织布5尺（长度单位），从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，现1个月（按30天计）共织390尺布，则第2天比前一天多织布（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【突破训练】《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（    ） A．1 B． C．2 D． 【例10】某工厂去年产值为，计划今后年内每年比上年产值增加，则从今年起到第年，这个厂的总产值为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】某型号计算机的成本不断降低，若每隔两年该型号计算机价格降低，现在的价格是5400元，则6年后价格降低为（    ） A．2200元 B．1600元 C．2400元 D．3600元 考点7 等差数列与等比数列的综合题 【例11】设为等差数列的前n项和，，． (1)求数列的通项公式； (2)求； (3)若，，成等比数列，求m的值． 【突破训练】已知数列满足，且成等比数列， (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值及此时的值. 【例12】已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【突破训练】已知为等差数列，为等比数列，的前项和，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 模拟演练 一、单选题 1．已知数列满足，，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 2．在等差数列中，满足，，则（    ） A．11 B．14 C．15 D．17 3．已知等差数列的前项和为，，，则的值为（    ） A．70 B．80 C．90 D．100 4．已知等差数列的前项和为，则（    ） A．14 B．26 C．28 D．32 5．在等比数列，，中，等于（    ） A． B． C． D． 6．下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 7．已知数列是等比数列，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知是等比数列的前n项和，，，则公比（    ） A． B． C．3或 D．或 9．在等差数列中，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 10．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（    ） A．228里 B．192里 C．126里 D．63里 二、填空题 11．在等差数列中，，，则其公差 . 12．设数列为等比数列，若，，则公比 ． 13．已知在等差数列中，，则数列的通项公式为 ． 14．已知等比数列满足，，则 ． 15．已知等比数列的前项和为，则 . 三、解答题 16．设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． (1)已知，，求及d； (2)已知，，求． 17．在等比数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求. 18．已知在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 19．已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和. 20．水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．全国9100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占70％．国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12％，那么从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？ $$