4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

人教A版选择性必修第二册 4.2 等差数列 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时） 第四章 数列 学习目标 1 2 3 能推导等差数列的前项和公式，并熟练掌握 ，，，， 之间的关系，能够由其中三个求另外两个，培育数学运算的核心素养 能够利用等差数列的前 项和公式的函数特征判断等差数列以及求其前 项和的最值，培育逻辑推理、数学运算的核心素养 能较熟练应用等差数列前n项和公式求和 复习回顾 1. 等差数列定义： 2. 等差数列通项公式： (2) an＝am＋(n－m)d . (3) an＝pn＋q (p、q是常数) (1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1). an－an－1 ＝d (n≥2) 或 an+1－an ＝d. 3. 几种计算公差d的方法: 4. 等差中项 5. 等差数列的性质 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m,n,p,q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 下面，我们将利用这些知识解决等差数列的求和问题。 新课导入 高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献. 据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 1＋2＋3＋‧‧‧＋100=？ 当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案: (1+ 100)+(2+99)+‧‧‧+ (50+51)=101×50= 5050. 高斯的算法实际上解决了求等差数列 1，2，3，‧‧‧，n，‧‧‧ ① 前100项的和的问题. 问题1 你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗?你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗? 新课讲授 高斯的算法： 这里用到了数列的性质： 若m+n=p+q,则am+ an=ap+ aq. 不同数的求和 相同数的求和 转化 新课讲授 问题2 你能用高斯的方法求1+2+…+100+101吗？ 思路4（拿出中间项，再首尾配对） 原式=(1+101)+ (2+100)+ (3+99)+… + (50+52)+51 思路1（拿出末项，再首尾配对） 原式=(1+2+3+… + 100)+101 思路3（先凑成偶数项，再配对） 原式=(1+2+3+… + 101+102)-102 思路3（先凑成偶数项，再配对） 原式=0+1+2+3+… + 100+101 结论：当n为奇数时，“首尾配对”不太方便. 新课讲授 问题3 你能用高斯的方法计算1＋2＋3＋… ＋n吗？ 将上述方法推广到一般，可以得到: 当n是偶数时，有 于是有 当n是奇数时，有 ∴对任意正整数n，都有 新课讲授 问题4 我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦. 能否设法避免分类讨论? ① ② 倒序相加求和法 新课讲授 问题5 那么，对于一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？ ① ② 左右两边分别相加 n个 这就是等差数列前n项和的公式！ 概念生成 等差数列前n项和公式 如果等差数列{an}的首项a1, 公差为d, 那么该等差数列的前n项和公式为 (1) 把等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d带入上式，得 (2) 追问 等差数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1, d, n, an, Sn”五个量,已知几个量就可以确定其他量？ 知三求二！ 深化概念 (1) (2) 深化概念 问题6 不从公式(1)出发，你能用其他方法得到公式(2)吗？ (1) (2) 解： 结论： 典例分析 [例1] 已知数列{an}是等差数列. 解： 典例分析 [例2] 已知一个等 差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗? 法1： 追问 Sn=？ 典例分析 [例2] 已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗? 法2： ① ② ②ￚ①得 结论： 一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定。 学以致用 教材P22 根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an }的前n项和Sn . (1) a1＝5, an＝95, n＝10; (2) a1＝100, d＝－2, n＝50; (3) a1＝－4, a8＝－18, n＝10; (4) a1＝14.5, d＝0.7, an＝32. 学以致用 教材P22 根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an }的前n项和Sn . (1) a1＝5, an＝95, n＝10; (2) a1＝100, d＝－2, n＝50; (3) a1＝－4, a8＝－18, n＝10; (4) a1＝14.5, d＝0.7, an＝32. 学以致用 教材P22 2. 等差数列－1, －3, －5, ‧‧‧的前多少项的 和是－100 ? 4. 在等差数列{an}中，若S15＝5(a2+a6+ak)，求k. 学以致用 教材P22 能力提升 题型一 求等差数列的前n项和 例题 1. 在等差数列{an}中，若其前n项和为Sn ，已知a4+a5+a6=15 ，则S9=( @5@ ) A. B. C. D. C [解析] 由等差数列的性质可得 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . 能力提升 题型一 求等差数列的前n项和 例题 2. 已知等差数列{an}满足a3+a2=8，a4+a3=12，则数列{an}列的前 项和 _____． <m></m> [解析] 设等差数列的公差为 <m></m> ， 因为等差数列 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> ， 所以 <m></m> ，所以 <m></m> ，得 <m></m> ， 则数列 <m></m> 的前 <m></m> 项和 <m></m> ． 方法总结 求等差数列的前n项和的常用方法 能力提升 （1）求出四个基本量 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> 中的任意三个，可灵活使用两个公式求和； （2）利用等差中项的性质直接求出 <m></m> ，再利用公式求和. 能力提升 题型二 已知等差数列的前n项和求其他基本量 例题 3.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， 为常数，则下列等于 的是( @9@ ) A. B. C. D. C [解析] 由 <m></m> ， <m></m> 为常数， 得 <m></m> ， 所以 <m></m> . 能力提升 题型二 已知等差数列的前n项和求其他基本量 例题 4.已知等差数列 的前 项和为 , ，若 ，且 ，则 的值为 ( @11@ ) A. B. C. D. B [解析] ∵等差数列 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，故选B. 解题感悟 等差数列的基本量有 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，知道其中任何三个量，都可以求出其余的两个量，即“知三求二”，这里主要运用了方程的思想解决问题. 课堂小结 等差数列的前n项和公式: (1) (2) 在两个求和公式中, 各有五个元素, 只要知道其中三个元素, 结合通项公式就可求出另两个元素——知三求二. $$