期中考试仿真模拟试卷01-2024-2025学年高三数学上学期期中仿真模拟试卷（新高考地区专用）

2024-2025高三数学上学期期中考试期中考试仿真模拟试卷01 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，则集合为（ ） A. B. C. D. 2．样本数据，，，，，，，，，的平均数和第百分位数分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3．设，为非零向量，则“”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5．已知，则（ ） A. B. C. D. 6．定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期为2 B. 函数的图象关于对称 C. 函数为偶函数 D. 函数的图象关于对称 7．某游乐场一段滑水道的示意图如下所示，A点、B点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为40．两点之间为滑水弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分（该三次函数在A，B两点处取得极值），考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成的夹角，则A，B两点在水平方向的距离约为（ ） A. B. C. D. 8．已知某圆台上下底面半径分别为2.5和6，母线长为7，则该圆台内能放入最大球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的最大值为3，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 图象的一条对称轴是 C. 在上单调递增 D. 函数是奇函数 10．已知，，，下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11．已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. ，不等式恒成立，则正实数的最小值为 C. 若有两个零点，则 D. 若，且，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，则x＋2y的值为____________. 13．在中，角，，所对的边分别为，，且．当取最小值时，则______． 14.若定义在上的函数满足：对任意的，都有：，当时，还满足：，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算过程． 15．（13分）《黑神话：悟空》是由游戏科学公司制作的动作角色扮演游戏，为了调查玩家喜欢该款游戏是否与性别有关，特选取了100名玩家进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表. 男性 女性 合计 喜欢 20 不喜欢 8 合计 在100名玩家中随机抽取1人，若抽到不喜欢该游戏的概率为0.2. （1）依据小概率值的独立性检验，分析男、女玩家对该款游戏的喜爱是否有差异？ （2）从喜欢该游戏的玩家中用分层抽样的方法抽取8名玩家，再在这8名玩家中抽取3人调查其喜欢的游戏，用表示3人中女生的人数，求的分布及数学期望 16．（15分）已知锐角的三个内角所对边为，若. （1）求的值； （2）若的外接圆半径，求的面积的取值范围. 17．（15分）如图，圆柱的轴截面为正方形，点在底面圆周上，且为上的一点，且为线段上一动点（不与重合） （1）若，设平面面，求证：； （2）当平面与平面夹角为，试确定点的位置. 18．（17分）南昌地铁1号线在2015年12月26日正式通车运营，共24站.第1站为双港站，第24站是瑶湖西站.如果乘客乘坐从第1站开往第24站的地铁，则称他为正向乘车，否则称他为反向乘车.假设每隔5分钟，在1号线上的任何一个站点（除去第1站和第24站），乘客可以正向乘车，也可以反向乘车.在五一劳动节的5天假期期间，张爸爸带着大张和小张一起去南昌旅游.他们约定每天由一人统一管理三人的手机，相邻两天管理手机的人不相同.若某天是张爸爸管理手机，则下一天有的概率是大张管理手机；若某天是大张或小张管理手机，则下一天有的概率是张爸爸管理手机，第一天由张爸爸管理手机. （1）记这5天中，张爸爸保存手机的天数为X，求X的分布列及期望． （2）在张爸爸管理手机的某天，三人在第13站八一广场站下地铁后，失去了联系.张爸爸决定按照事先安排，独自前往景点.大张和小张都决定乘坐地铁，每到一个站点，下车寻找对方.只要他们出现在同一个站点，就会寻找到对方，然后一起前往景点，和张爸爸汇合，如果没有寻找到对方，则他们继续乘车寻找.大张和小张正向乘车、反向乘车的概率均为.求在25分钟内（包含25分钟），他们寻找到对方的概率. 19．（17分）已知函数，其中． （1）讨论函数的单调性； （2）若，证明：函数有唯一的零点； （3）若，求实数a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高三数学上学期期中考试期中考试仿真模拟试卷01 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，则集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】集合或， 则， 集合， 故. 故选：B. 2．样本数据，，，，，，，，，的平均数和第百分位数分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】样本数据的平均数， 由，得样本数据的第百分位数为. 故选：B 3．设，为非零向量，则“”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，，化简得，即，，即与共线 当与共线时，则存在唯一实数，使得 ，，与不一定相等，即不一定相等 故“”是“与共线”的充分不必要条件 故选：A 4．函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】当时，，因为在上单调递增，此时单调递增， 当时，易知单调递增，且当时，， 则在上单调递增， 因为，则， 所以由得， 所以，解得. 故选：A. 5．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】已知， 则. 故选：D. 6．定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期为2 B. 函数的图象关于对称 C. 函数为偶函数 D. 函数的图象关于对称 【答案】C 【解析】由题意可知，，则函数的周期为4．A选项错误； 又，即函数的图象关于对称，也关于对称， 则的图象不关于对称，B错误； 若关于对称，已知图象关于对称，则函数周期为2矛盾， D错误． 对于C，为偶函数，则，可知，故C正确． 故选：C. 7．某游乐场一段滑水道的示意图如下所示，A点、B点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为40．两点之间为滑水弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分（该三次函数在A，B两点处取得极值），考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成的夹角，则A，B两点在水平方向的距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设三次函数为，可得， 设，可得， 因为为极值点，所以， 令，可得为函数极值点， 将代入，可得，所以， 则， 即， 即，即， 可得，解得. 故选：C 8．已知某圆台上下底面半径分别为2.5和6，母线长为7，则该圆台内能放入最大球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】圆台的轴截面如图等腰梯形，过分别作垂直， 垂足为，，， 所以圆台轴截面等腰梯形底角为60°，高为， 设边长为的正三角形的内切圆半径为， 则，解得， 即边长为12的正三角形内切圆半径为，， 故能放入最大球半径为，其表面积为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的最大值为3，且，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 图象的一条对称轴是 C. 在上单调递增 D. 函数是奇函数 【答案】AC 【解析】由函数的最大值为3， 所以，由， 所以，所以，，所以， 所以，又，所以， 因为，所以，所以， 解得，所以，又， 所以，所以，故A正确； 当时，， 所以不是的对称轴，故B错误； 当时，，由在上单调递增， 所以在上单调递增，故C正确； ， 所以函数不是奇函数，故D错误. 故选：AC. 10．已知，，，下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】因为，，， 所以， 当且仅当，即时取等号，取得最小值9，故A正确； ， 根据二次函数的性质可知，当，时，取得最小值，故B错误； 因为，即， 当且仅当，即时取等号， 所以，即最大值，故C正确； ，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，故D正确． 故选：ACD． 11．已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. ，不等式恒成立，则正实数的最小值为 C. 若有两个零点，则 D. 若，且，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】对于A，当时，，令，则，， ，当时，恒成立，在上单调递增； 在上单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上为增函数，A正确； 对于B，当时，，又为正实数，， ，当时，恒成立，在上单调递增， 则由得：，即， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， ，则正实数的最小值为，B正确； 对于C，，当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增；，则； 不妨设，则必有， 若，则，等价于， 又，则等价于； 令，则， ，，，，即， 在上单调递增，，即， ，可知不成立，C错误； 对于D，由，得：，即， 由C知：在上单调递减，在上单调递增； ，，则，， ，即，； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， 即的最大值为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，则x＋2y的值为____________. 【答案】3 【解析】， . 故答案为：3 13．在中，角，，所对的边分别为，，且．当取最小值时，则______． 【答案】 【解析】由及余弦定理得：，整理得， 则，当且仅当，即时取等号， 此时，，则， 故答案为： 14.若定义在上的函数满足：对任意的，都有：，当时，还满足：，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】因为对任意的，都有： 令，可知 令，可知 令，得 故函数为偶函数， 令 要使 则 显然函数为偶函数； 因为当时， 得 所以当时函数单调递减， 此时也单调递减 因为需要 故 因为为偶函数 所以当时，的解为 故不等式的解集为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算过程． 15．（13分）《黑神话：悟空》是由游戏科学公司制作的动作角色扮演游戏，为了调查玩家喜欢该款游戏是否与性别有关，特选取了100名玩家进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表. 男性 女性 合计 喜欢 20 不喜欢 8 合计 在100名玩家中随机抽取1人，若抽到不喜欢该游戏的概率为0.2. （1）依据小概率值的独立性检验，分析男、女玩家对该款游戏的喜爱是否有差异？ （2）从喜欢该游戏的玩家中用分层抽样的方法抽取8名玩家，再在这8名玩家中抽取3人调查其喜欢的游戏，用表示3人中女生的人数，求的分布及数学期望 【答案】（1）玩家得性别对该款游戏的喜爱有差异. （2）分布列见解析，. 【解析】（1）由题意不喜欢该游戏的人数为，从而可得列联表： 男性 女性 合计 喜欢 60 20 80 不喜欢 8 12 20 合计 68 32 100 提出假设：男、女玩家对该款游戏的喜爱没有差异，根据列联表中数据可求得： . 因为当成立时，，这里的， 依据小概率值的独立性检验，认为玩家得性别对该款游戏的喜爱有差异. （2）若从喜欢该游戏的玩家中用分层抽样的方法抽取8名玩家，其中男性有6人，女性有2人， 若从抽取8名玩家中抽取3人调查， 设所抽取的女性玩家的人数为，则的可能取值为0，1，2 因为；；. 则的分布列为： 0 1 2 则. 16．（15分）已知锐角的三个内角所对边为，若. （1）求的值； （2）若的外接圆半径，求的面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为，由余弦定理得： 整理得：， 又，所以. （2） 因为是锐角三角形，所以， 所以，，即， 所以. 所以三角形面积的范围是. 17．（15分）如图，圆柱的轴截面为正方形，点在底面圆周上，且为上的一点，且为线段上一动点（不与重合） （1）若，设平面面，求证：； （2）当平面与平面夹角为，试确定点的位置. 【答案】（1）证明见解析； （2）为中点. 【解析】（1）由题知面面，则， 由为底面圆的直径，则， 由，面， 面， 又∵面，∴， 又，面， 面， 又∵面，故. 由，在中，由射影定理：， 故面面, ∴面，又面面，面， ∴. （2）由（1）知，以为原点为轴正方向，过的母线为轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设， 则， 设，， 设面的法向量为，则， 令，则， 又平面的一个法向量 设平面与平面的夹角为，则， 解得或， 其中时重合，不合题意， 故当平面与平面夹角为时，此时为中点. 18．（17分）南昌地铁1号线在2015年12月26日正式通车运营，共24站.第1站为双港站，第24站是瑶湖西站.如果乘客乘坐从第1站开往第24站的地铁，则称他为正向乘车，否则称他为反向乘车.假设每隔5分钟，在1号线上的任何一个站点（除去第1站和第24站），乘客可以正向乘车，也可以反向乘车.在五一劳动节的5天假期期间，张爸爸带着大张和小张一起去南昌旅游.他们约定每天由一人统一管理三人的手机，相邻两天管理手机的人不相同.若某天是张爸爸管理手机，则下一天有的概率是大张管理手机；若某天是大张或小张管理手机，则下一天有的概率是张爸爸管理手机，第一天由张爸爸管理手机. （1）记这5天中，张爸爸保存手机的天数为X，求X的分布列及期望． （2）在张爸爸管理手机的某天，三人在第13站八一广场站下地铁后，失去了联系.张爸爸决定按照事先安排，独自前往景点.大张和小张都决定乘坐地铁，每到一个站点，下车寻找对方.只要他们出现在同一个站点，就会寻找到对方，然后一起前往景点，和张爸爸汇合，如果没有寻找到对方，则他们继续乘车寻找.大张和小张正向乘车、反向乘车的概率均为.求在25分钟内（包含25分钟），他们寻找到对方的概率. 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】（1）由题意知，随机变量的取值为， 可得； 当时，张爸爸管理手机的情况分为：在第3天、第4天、第5天三种情况． 若在第3天管理手机，不同的手机管理方法有4种，其概率为； 若在第4天管理手机，不同的手机管理方法有4种，其概率为； 若在第5天管理手机，不同的手机管理方法有2种，其概率为； 所以． 当时，张爸爸管理手机的情况为：第3天和第5天， 此时，不同的手机管理方法有4种，可得故． 所以随机变量的分布列为 1 2 3 所以随机变量的期望为． （2）由题意知，大张和小张有的概率乘车的方向相同， 当大张和小张都乘车寻找对方时，可以视为大张在第13站不乘车， 在某个站点，小张以的概率不乘车，以的概率正向乘车两站，以的概率反向乘车两站， 现求小张在五步内，第一次回到起点的概率， 若小张经过一步，第一次回到起点，相当于小张在第一步选择了停留，其概率为， 若小张经过两步，第一次回到起点，其概率为； 若小张经过三步，第一次回到起点，则只能在第2步时停留，其概率为； 若小张经过四步，第一次回到起点，则小张有2种选择，每站都不停留； 或者停留2次，且只能在第2步和第3步停留， 其概率为； 若小张经过五步，第一次回到起点，则小张有2种选择，停留1次， 且只能在第2步或第3步或第4步停留；停留3次，且只能在第2步、第3步、第4步停留， 其概率为， 故满足条件的概率为． 19．（17分）已知函数，其中． （1）讨论函数的单调性； （2）若，证明：函数有唯一的零点； （3）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）函数的定义域为， ， ①当时，解不等式．有，令，得， 故函数的减区间为，增区间为； ②当时．，若，，，可得； 若，，，可得；若，可得． 故有，函数单调递增，增区间为，没有减区间； ③当时，解不等式，有或， 令，解得， 故函数的增区间为，，减区间为； ④当时，解不等式，有或，令得， 故函数的增区间为，，减区间为； 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）若，函数的减区间为，增区间为，且， 当时，由，有恒成立， 又，由零点存在性定理上存在唯一零点， 由上知，函数有唯一的零点； （3）由（2）知．若，必有．又由，可得． 又由，不等式可化为， 设， 有， 当且时，，，可得， 当且时，，，可得， 当时，函数单调递增， 故存在正数m使得． 若，有，，有， 与矛盾，可得， 当时，；当时，， 可得函数的减区间为，增区间为， 若，必有， 有， 又由，有， 有，有． 又由，有，可得， 有，可得， 由，及，可得， 若．则实数a的取值范围为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$