期中考试仿真模拟试卷02-2024-2025学年高三数学上学期期中仿真模拟试卷（新高考地区专用）

2024-2025高三数学上学期期中考试仿真模拟试卷02 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2．若，则（ ） A. B. C. D. 3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5． 已知，为第三象限角，则（ ） A. B. C. D. 6．已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7．如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8．已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在正方体中，分别为棱的中点，点是面的中心，则下列结论正确的是（ ） A. 四点共面 B. 平面被正方体截得的截面是等腰梯形 C. 平面 D. 平面平面 10．函数的部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则下列说正确的是（ ） A. B. 为图象的一条对称轴 C. 可以等于8 D. 的最小值为2 11．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是以8为周期的周期函数 C. D. 存在函数，使得对，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则______． 13．已知正三棱柱的体积与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为______． 14.函数满足恒成立，则的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算过程． 15．（13分）在中，角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若的面积为，且，求的最小值. 16．（15分）已知函数与其导函数的定义域均为，且为奇函数，当时，. （1）判断的奇偶性； （2）解不等式. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，，为等边三角形． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面所成角的余弦值． 18．（17分）足球比赛积分规则为：球队胜一场积分，平一场积分，负一场积分．常州龙城足球队年月将迎来主场与队和客场与队的两场比赛．根据前期比赛成绩，常州龙城队主场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为；客场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立． （1）求常州龙城队月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分的概率； （2）用表示常州龙城队月与队和队比赛获得积分之和，求的分布列与期望． 19．（17分）已知函数.设曲线与轴负半轴相交于点，曲线在点处的切线为， （1）证明：曲线上的点都不在直线的下方. （2）若关于的方程（为负实数）有两个不相等的实根，，证明：①；②. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高三数学上学期期中考试仿真模拟试卷02 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意得，又因为，所以， 所以， 故选：C. 2．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，则，可得， 所以，. 故选：B. 3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设圆锥母线长为，高为，底面半径为， 则由，得，所以， 所以． 故选：B． 4．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，与的夹角为， 所以， 则， 所以在上的投影向量为． 故选：B. 5． 已知，为第三象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为， 所以， 即， 由为第三象限角知， ， 所以， 故选：A 6．已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为函数 在 上单调递增， 所以在上单调递增，所以. 且在恒大于0，所以或. 综上可知： 故选：B 7．如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图正八面体，连接和交于点， 因为，， 所以，，又和为平面内相交直线， 所以平面，所以为正八面体的中心， 设正八面体的外接球的半径为，因为正八面体的表面积为，所以正八面体的棱长为， 所以， 则． 故选：B． 8．已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，定义域关于原点对称， ， 所以为上的偶函数， 当时,，设， 则，，， 所以即在上单调递减,所以, 所以在上单调递减,又因为为偶函数, 所以在上单调递增， 又因为,, 又因为, 因为,，所以, 所以，即, 所以, 所以 即. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在正方体中，分别为棱的中点，点是面的中心，则下列结论正确的是（ ） A. 四点共面 B. 平面被正方体截得的截面是等腰梯形 C. 平面 D. 平面平面 【答案】BD 【解析】对于A：如图经过三点的平面为一个正六边形，点在平面外，四点不共面，选项A错误； 对于B：分别连接和，则平面即平面，截面是等腰梯形，选项B正确； 对于C：分别取的中点，则平面即为平面， 由正六边形，可知，所以不平行于， 又平面，所以，所以平面， 所以不平行于平面，故选项错误； 对于D：因为是等腰三角形，， ，， 是的中点，易证，由正方体可得平面， 平面，又平面，， 平面，平面， 平面，平面平面故选项D正确． 故选：BD． 10．函数的部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则下列说正确的是（ ） A. B. 为图象的一条对称轴 C. 可以等于8 D. 的最小值为2 【答案】BCD 【解析】由函数图象，可得，所以， 所以，解得， 又由函数的图象过点，且， 当时，可得，所以， 解得，因为，可得； 当时，可得，所以， 解得，因为，不存在，舍去， 综上可得，，，所以，所以A不正确，B正确； 又因为，所以是函数的一条对称轴，所以B正确； 将函数的图象向右平移个单位后，得到， 因为在上单调递减，则满足． 解得， 当时，，而，故可能等于8，所以C正确． 当时，，又因为，所以，所以D正确． 故选：BCD. 11．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是以8为周期的周期函数 C. D. 存在函数，使得对，都有 【答案】ABC 【解析】对于A，根据题意由可得； 又为奇函数，联立， 两式相加可得，因此的图象关于点对称，即A正确； 对于B，由A选项可知，又为偶函数，所以， 可得，即，所以， 即是以8为周期的周期函数，可知B正确； 对于C，易知，由可得， 又，所以； 所以，即C正确； 对于D，假设存在函数，使得对，都有， 由可得，可得； 因此，又， 即的函数值不唯一，构不成函数关系，因此假设不成立，即D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则______． 【答案】 【解析】由得，， 因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为， 所以，即， 所以， 所以， 故答案为：． 13．已知正三棱柱的体积与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为______． 【答案】2 【解析】设的边长为，外接圆半径为，， 由正弦定理得，则，， 设圆柱的高为，，， 正三棱柱侧面积，圆柱的侧面积， 正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为 故答案为：2. 14.函数满足恒成立，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】，设，在上单调递增， ， 令，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，又， 则的取值范围为： 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算过程． 15．（13分）在中，角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若的面积为，且，求的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】（1）由正弦定理得，即， 由余弦定理可得， 因为，所以. （2）因为的面积为，所以，所以. 因为， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 16．（15分）已知函数与其导函数的定义域均为，且为奇函数，当时，. （1）判断的奇偶性； （2）解不等式. 【答案】（1）偶函数，理由见解析 （2） 【解析】（1）因为为奇函数，定义域为， 所以， 两边同时求导可得，即， 所以为偶函数. （2）因为当时，，所以. 构造函数，则， 所以当时，在上单调递增， 又因为，所以在上大于零，在上小于零， 又因为，所以在上大于零，在上小于零， 因为是定义域为的奇函数， 所以在上小于零，在上大于零， 综上所述，的解集为. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，，为等边三角形． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）取的中点，连， 是正三角形，， 又，则, 平面，故平面， 平面，故， 四边形是直角梯形，， 平面，故平面． （2）由（1）知平面．平面, 故平面平面, 取中点，以为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， ,的高为， 则,0,，，，，， ，， , 设平面的法向量,,， 则，取，得， 设平面的一个法向量， ,取，得， 设平面与平面所成角为，则． 平面与平面所成角的余弦值为． 18．（17分）足球比赛积分规则为：球队胜一场积分，平一场积分，负一场积分．常州龙城足球队年月将迎来主场与队和客场与队的两场比赛．根据前期比赛成绩，常州龙城队主场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为；客场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立． （1）求常州龙城队月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分的概率； （2）用表示常州龙城队月与队和队比赛获得积分之和，求的分布列与期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为 【解析】（1）设事件“常州龙城队主场与队比赛获得积分为分”， 事件“常州龙城队主场与队比赛获得积分为分”， 事件“常州龙城队主场与队比赛获得积分为分”， 事件“常州龙城队客场与队比赛获得积分为分”， 事件“常州龙城队客场与队比赛获得积分为分”， 事件“常州龙城队客场与队比赛获得积分为分”， 事件“常州龙城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分”， ， ， ， 则， ∴常州龙城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分的概率为； （2）由题意可知的所有可能取值为， ， ， ， ， ， ， ∴的分布列为： ∴ 19．（17分）已知函数.设曲线与轴负半轴相交于点，曲线在点处的切线为， （1）证明：曲线上的点都不在直线的下方. （2）若关于的方程（为负实数）有两个不相等的实根，，证明：①；②. 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】（1）由题意可得. . 切线的方程为. 令函数. . 令函数，所以是减函数. 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 故曲线上的点都不在直线的下方. （2）①由（1）得. 令函数，则，所以是增函数. ， 所以存在，使得，即. 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. . 因为，所以， 所以. 故. ②因， 所以. 切线的方程为. 曲线在点处的切线为. 设直线与图象的交点的横坐标分别为，则. . 由①可得是增函数，， 所以. 因为，所以 所以， 即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$