期中考试仿真模拟试卷03-考试范围（客观题不含数列、平面解析几何、复数、计数原理、统计以及概率；主观题不含数列）-2024-2025学年高三数学上学期期中仿真模拟试卷（新高考地区专用）

2024-2025高三数学上学期期中考试仿真模拟试卷03 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2．已知角的终边在直线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 3．在中，分别是的中点，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4．塑料制品给人们来了极大的方便，但由于其难以自然降解，也给环境造成了不小的污染，某种塑料在自然界降解后的残留量与自然降解时间（年）之间的关系为，其中为初始量，为降解系数，已知该种塑料经过年自然降解后的残留量为初始量的，则要使得其残留量不超过初始量的，该种塑料至少需要自然降解的年数为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 5．已知，则（ ） A. B. C. D. 6．已知函数，且，则的大小关系（ ） A. B. C. D. 7．当时，曲线与交点的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8．已知定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且．满足不等式的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 点为图象的一个对称中心 C. 若在上有两个实数根，则 D. 若的导函数为，则函数的最大值为 10．已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 若，则x的取值范围为 11．如图所示，四面体的各棱长均为分别为棱的中点，为棱上异于顶点的点，则以下结论正确的为（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 四面体的外接球体积为 D. 平面截四面体所得的截面图形的周长最小值为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则______． 13．已知，，且，则的最小值为_______. 14.已知函数，若存在，使得，且的最小值为1，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算过程． 15．（13分）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，.，. （1）求； （2）若，求的周长. 16．（15分）如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点是 的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值最大时的值． 17．（15分）某校为了解该校学生对篮球及羽毛球的喜爱情况，对学生进行简单随机抽样，获得的数据如下表： 单位：人 球类 男生 女生 喜欢 不喜欢 喜欢 不喜欢 篮球 400 100 200 100 羽毛球 350 150 250 50 假设所有学生对篮球及羽毛球是否喜爱相互独立， （1）分别估计该校男生喜欢篮球的概率､该校女生喜欢篮球的概率； （2）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人喜欢篮球的概率； （3）将该校学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，假设该校高一年级有500名男生和400名女生，除高一年级外其他年级学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，试比较与的大小（结论不要求证明） 18．（17分）如图（1），已知抛物线的焦点为，准线为，过点的动直线与交于A，B两点（其中点A在第一象限），以AB为直径的圆与准线相切于点C，D为弦AB上任意一点，现将沿CD折成直二面角，如图（2）． （1）证明：； （2）当最小时， ①求，两点间的最小距离； ②当，两点间的距离最小时，在三棱锥内部放一圆柱，使圆柱底面在面BCD上，求圆柱体积的最大值． 19．（17分）已知函数，（且）. （1）令是的导函数，判断的单调性； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高三数学上学期期中考试仿真模拟试卷03 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意集合，，，则，. 故选：A. 2．已知角的终边在直线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为角的终边在直线上，所以. 所以 故选：D. 3．在中，分别是的中点，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】因为是的中点， 所以， 所以，所以． 故选：D． 4．塑料制品给人们来了极大的方便，但由于其难以自然降解，也给环境造成了不小的污染，某种塑料在自然界降解后的残留量与自然降解时间（年）之间的关系为，其中为初始量，为降解系数，已知该种塑料经过年自然降解后的残留量为初始量的，则要使得其残留量不超过初始量的，该种塑料至少需要自然降解的年数为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由已知当时，， 即，则， 令，即， 解得，即， 解得， 即至少需要自然降解年， 故选：B. 5．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，因为，所以. 故选：A. 6．已知函数，且，则的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，当时，， 所以在单调递增， 因为，所以，即. 故选：D 7．当时，曲线与交点的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】与在上的函数图象如图所示， 由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个. 故选：D. 8．已知定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且．满足不等式的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】将不等式化简可得； 令，可得， 即对任意的，，都有， 所以函数在上单调递减， 则等价于， 即，可得， 又，所以， 所以等价于， 因此可得，解得, 可得x的取值范围是. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 点为图象的一个对称中心 C. 若在上有两个实数根，则 D. 若的导函数为，则函数的最大值为 【答案】ACD 【解析】由题意可得，故A正确； ，所以不是图象的一个对称中心，故B错误； 令，由得， 根据题意可转化为直线与曲线，有两个交点， 数形结合可得，故C正确； 设为的导函数， 则，其中， 当且仅当，即当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：ACD． 10．已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 若，则x的取值范围为 【答案】BC 【解析】对于A，在中， 令得，因此， 再令得，则，故A错； 对于B，令得， 所以，是偶函数，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，在上是增函数， 从而，故C正确； 对于D，是偶函数，则，又在上是增函数，所以，解得且，故D错误. 故选：BC. 11．如图所示，四面体的各棱长均为分别为棱的中点，为棱上异于顶点的点，则以下结论正确的为（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 四面体的外接球体积为 D. 平面截四面体所得的截面图形的周长最小值为8 【答案】ABD 【解析】由题意，，， 所以， 所以，故A正确； 因为为等边三角形，为棱的中点，所以， ，同理，，， 因为分别为棱的中点，所以，， 又为等边三角形，所以，， ， 设直线与所成角为，则，故B正确； 把四面体放入正方体中， 则正方体的面对角线长度等于四面体的棱长， 所以正方体的棱长为，正方体的体对角线长为， 正方体的外接球半径为，正方体的外接球体积为， 即四面体的外接球体积为，故C错误； 将四面体的侧面展开如图所示，连接，交于， 当时，平面截四面体所得的截面图形的周长最小， 此时分别为的中点， ， 所以平面截四面体所得的截面图形的周长最小值为. 故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则______． 【答案】 【解析】由得，， 因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为， 所以，即， 所以， 所以， 故答案为：． 13．已知，，且，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】，，且，得，以及， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 14.已知函数，若存在，使得，且的最小值为1，则___________. 【答案】2 【解析】当时，单调递增，当时，单调递增， 又可得，且 因为存在，使得，所以，即. 不妨设，则， 即，所以. 设函数，则. 所以在上单调递减，，解得. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算过程． 15．（13分）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，.，. （1）求； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为， 由，，所以. 由正弦定理，所以. 因为为锐角，所以. （2）由正弦定理得. 在锐角中，，即， 解得或. 当时，，B为钝角，不符合题意. 当时，经验证，符合题意. 故的周长为. 16．（15分）如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点是 的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值最大时的值． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）是正三角形，点是的中点，． 又平面平面，平面平面，平面， 平面，为直线与平面所成的角 又，，， 即直线与平面所成角的正弦值为 （2）在平面中，过点作，，垂足分别为，， 设，则，，． 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，则，，，． 设平面的法向量为 由，得，令，故， 设平面的法向量为， 则，即，令，则． 设平面与平面所成锐二面角的平面角为， ， 当时，，此时余弦值最大， 即当时，平面与平面所成锐二面角的余弦值最大． 17．（15分）某校为了解该校学生对篮球及羽毛球的喜爱情况，对学生进行简单随机抽样，获得的数据如下表： 单位：人 球类 男生 女生 喜欢 不喜欢 喜欢 不喜欢 篮球 400 100 200 100 羽毛球 350 150 250 50 假设所有学生对篮球及羽毛球是否喜爱相互独立， （1）分别估计该校男生喜欢篮球的概率､该校女生喜欢篮球的概率； （2）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人喜欢篮球的概率； （3）将该校学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，假设该校高一年级有500名男生和400名女生，除高一年级外其他年级学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，试比较与的大小（结论不要求证明） 【答案】（1）男生喜欢篮球的概率约为，女生喜欢篮球的概率约为. （2） （3） 【解析】（1）该校男生喜欢篮球的概率约为， 该校女生喜欢篮球的概率约为. （2）3人中恰有2人喜欢篮球分两种情况，①仅有2名男生喜欢篮球，②仅有1名男生喜欢篮球，1名女生喜欢篮球， 所以3人中恰有2人喜欢篮球的概率约为 （3）．理由如下： ，设该校总人数为，则该校喜欢羽毛球的人数约为， 由表可知，男生喜欢羽毛球的概率为，女生喜欢羽毛球的概率为， 所以一年级喜欢羽毛球的人数约为， 故除一年级外其他年级喜欢羽毛球的概率为． 故 18．（17分）如图（1），已知抛物线的焦点为，准线为，过点的动直线与交于A，B两点（其中点A在第一象限），以AB为直径的圆与准线相切于点C，D为弦AB上任意一点，现将沿CD折成直二面角，如图（2）． （1）证明：； （2）当最小时， ①求，两点间的最小距离； ②当，两点间的距离最小时，在三棱锥内部放一圆柱，使圆柱底面在面BCD上，求圆柱体积的最大值． 【答案】（1）证明见详解 （2）①；② 【解析】（1）过作，垂足为，过作，垂足为， 因为平面平面，且平面平面，平面， 可得平面， 由平面，可得， 且，平面，可得平面， 由平面，可得， 则， 所以. （2）因为以AB为直径的圆与准线相切于点C，可知， 则， 由（1）可得： ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，最小， ①因为平面，平面，则，， 即， 在中，则， 在中，由余弦定理可得， 则， 在中，则， 在中，则，可得， 由题意可知：焦点，准线，直线的斜率存在，且直线与抛物线必相交， 设直线，， 联立方程，消去y可得， 则， 可得， 当时，取到最小值2，根据对称性可知， 可得； 当时，则，且， 由基本不等式可得， 则； 综上所述：的最小值为2，当且仅当，时，等号成立， 所以，两点间的最小距离为； ②由（1）可知：当，两点间的距离最小时，则，， 可知为中点，且与重合， 因为， 设的内切圆半径为， 由等面积法可得：，解得， 设圆柱的底面半径为，高为， 则，可得， 所以圆柱的体积， 令，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则， 所以圆柱体积的最大值为 19．（17分）已知函数，（且）. （1）令是的导函数，判断的单调性； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）在和上单调递增； （2）. 【解析】（1），定义域为， 所以， 所以. 所以在和上单调递增. （2）法一：由题知即，即或，所以. 下证当时，对任意的恒成立. 令，则， 所以在单调递增，又， 所以当时，单调递减， 当时，递单调增， 所以，故， 要证，只需证，即证， 令，则， 若，则，所以. 若，则对称轴，所以在递增，故， 综上所述，取值范围为. 法二：由题知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立. 由（1）知在递增，又. ①若，则在递增，所以，符合； ②若，则，又， 令，则， 则为单调递增函数，令得， 当时单调递减，当时单调递增， 又，所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，则， 所以，使得，即， 且当时，单调递减，当时，单调递增， 所以. 若，同法一可证，符合题意. 若，因为，所以不符合题意. 综上所述，的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$