3.7 正多边形 课件 2024--2025学年浙教版九年级数学上册

3.7 正多边形 第3章 圆的基本性质 浙教版 九年级上册 学习目标 学习目标 1.了解正多边形的概念. 2.了解正多边形与圆的关系. 3.了解正多边形的一般画法. 4.会用尺规作正六边形. 复习回顾 几何语言： ∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠A+∠C=180º ∠B+∠D=180º 圆内接四边形对角互补. 【1】圆内接四边形的性质定理： 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 3 复习回顾 Ｏ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ E 几何语言： ∵∠DCE是圆内接四边形ABCD的外角 ∴∠DCE=∠A 圆内接四边形的外角等于它的内对角。 【2】圆内接四边形的性质定理的推论 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 4 判定方法： 【3】满足什么条件的四边形会有外接圆呢？ （2）四边形的两个对角互补。 （1）四边形中同一边所对的两个边与对角线所成的角相等。（如∠1=∠2） 复习回顾 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 5 新知学习 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 【探究】以下图形有何特征？ 各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形. 【新知1】正多边形 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 6 新知学习 【例1】已知一个正多边形的内角为176.4°，问这个正多边形是几边形?有没有内角为100°的正多边形? 解 设正多边形的边数为n，由内角为176.4°，得 =176.4, 解得n=100. 所以内角为176.4°的正多边形为100边形. 设正n边形的内角为100°，则 =100 ，解得n=4.5. 因为n应是整数，所以不存在内角为100°的正多边形. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 7 新知学习 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 【探究】用直尺和圆规作出下列正多边形的外接圆。 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 8 新知学习 我们把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形也就叫作圆内接正多边形。 任何正多边形都有一个外接圆. 【新知2】圆内接正多边形 A B C D E 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 9 新知学习 【例2】如图，已知⊙O，用直尺和圆规作⊙O的内接正六边形. 分析 如图，设AB是⊙O的内接正六边形的一条边，连结OA，OB，则∠AOB=60°，所以△AOB为等边三角形，AB与⊙O的半径相等.因此，只要以⊙O的半径为半径，从⊙O上任取一点开始，依次在⊙O上截取五次，就把⊙O六等分.也就是说，依次连结这些分点，就得到所要求作的⊙O的内接正六边形. O A B 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 10 新知学习 作法 如图. 2.依次连结AB，BC，CD，DE，EF，FA. 所得的六边形ABCDEF就是所求作的⊙O的内接正六边形. 1.在⊙O上任取一点A.从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B，C，D，E，F. 【总结】正六边形的外接圆半径等于正六边形的边长. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 11 【例3】如图，AB，AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三角形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n等于(　　) A．8 B．10 C．12 D．16 新知学习 C　 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 12 新知学习 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 13 新知学习 【解析】圆的内接正十二边形可以看成由12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为30°，如图是其中一个等腰三角形OAB，过点B作BC⊥OA交OA于点C. 【答案】C 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 14 新知学习 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 15 新知学习 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 16 新知学习 【例6】如图①，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图②，①作直径AF；②以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N；③连结AM，MN，NA. (1)求∠ABC的度数； (2)△AMN是等边三角形吗？请说明理由； (3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 17 新知学习 (2)△AMN是等边三角形吗？请说明理由； 解：△AMN是等边三角形，理由如下： 如图，连结ON，FN，由作图知FN＝FO. ∵ON＝OF，∴ON＝OF＝FN， ∴△OFN是等边三角形，∴∠OFN＝60°， ∴∠AMN＝∠OFN＝60°. 同理∠ANM＝60°，∴∠MAN＝60°， 即∠AMN＝∠ANM＝∠MAN，∴△AMN是等边三角形． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 18 新知学习 (3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 19 【1】将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是(　　) A．60° B．90° C．180° D．360° 学以致用 B 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 20 学以致用 【2】如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在CD上，那么∠APB的度数为(　　) A．30° B．45° C．55° D．60° B ︵ 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 21 学以致用 【3】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为DE上一点(点P与点D，E不重合)，连结PC，PD，过点D作DG⊥PC，垂足为G，则∠PDG＝(　　) A．72° B．54° C．36° D．64° B ︵ 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 22 学以致用 【4】如图，正方形ABCD与等边三角形PRQ内接于⊙O，RQ∥BC，则∠AOR等于(　　) A．45° B．50° C．60° D．75° 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 23 学以致用 【解析】 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 24 学以致用 【答案】D 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 25 学以致用 【5】如图，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连结OM，ON. (1)图①中∠MON的度数是________； 120° (2)图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________； 90° 72° 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 26 学以致用 (1)图①中∠MON的度数是________； 120° 【解析】 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 27 学以致用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 28 学以致用 (2)图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________； 90° 72° 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 29 学以致用 【解析】 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 30 学以致用 (3)∠MON的度数与正n边形的边数n的关系是______________. 【解析】 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 31 课堂总结 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 32 【例4】我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.141 6. 如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形的面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为(　　) A. B．2 C．3 D．2 ∵∠AOB＝360°÷12＝30°，∴BC＝OB＝， ∴S△OAB＝×1×＝， ∴正十二边形的面积为12S△OAB＝12×＝3， ∴圆的面积为π×12≈3，用圆内接正十二边形的面积近似估计⊙O的面积可得π≈3. 【例5】如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，P为 eq \o\ac(BC,\s\up18(︵)) 上一动点(不与B，C两点重合)．求证：PA＝PB＋PC． 证明：连结BP并延长至点E，使PE＝PC，连结CE. ∵A，B，P，C四点共圆，∴∠BAC＋∠BPC＝180°. ∵∠BPC＋∠EPC＝180°，∴∠BAC＝∠CPE＝60°. 又∵PE＝PC，∴△PCE是等边三角形， ∴CE＝PC，∠E＝60°. 又∵∠BCE＝60°＋∠BCP，∠ACP＝60°＋∠BCP， ∴∠BCE＝∠ACP.∵△ABC与△ECP均为等边三角形， ∴CE＝CP，AC＝BC．在△BEC和△APC中，∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(CE＝CP，,∠BCE＝∠ACP，,BC＝AC，)) ∴△BEC≌△APC(SAS)，∴BE＝AP. 又∵BE＝BP＋PE＝PB＋PC，∴PA＝PB＋PC． 解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠ABC＝×(5－2)×180°＝108°. 解：如图，连结OD.∵△AMN是等边三角形， ∴∠AON＝×360°＝120°. ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠AOD＝×360°×2＝144°. ∴∠NOD＝∠AOD－∠AON＝144°－120°＝24°， ∴n＝＝15. 如图，连结OC，OQ，连结OB交RQ于点H. ∵正方形ABCD与等边三角形PRQ内接于⊙O， ∴∠AOB＝∠BOC＝＝90°， ∠ROQ＝＝120°. ∵OB＝OC，OR＝OQ， ∴∠OBC＝∠OCB＝(180°－∠BOC) ＝45°， ∠ORQ＝∠OQR＝(180°－∠ROQ)＝30°. ∵RQ∥BC，∴∠OHQ＝∠OBC＝45°. ∵∠OHQ＝∠ORH＋∠BOR， ∴∠BOR＝∠OHQ－∠ORH＝45°－30°＝15°. ∴∠AOR＝∠AOB－∠BOR＝90°－15°＝75°. 如图①，连结OB，OC，则OC＝OB. ∵△ABC是⊙O的内接正三角形， ∴∠BOC＝＝120°. 由题意易知∠OBM＝∠ABC＝30°， ∠OCN＝∠ACB＝30°，∴∠OBM＝∠OCN. 在△OMB和△ONC中， ∴△OMB≌△ONC，∴∠BOM＝∠CON， ∴∠MON＝∠BON＋∠BOM＝∠BON＋∠CON＝ ∠BOC＝120°. 如图②，连结OB，OC. ∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形， ∴∠BOC＝＝90°. 同(1)的方法可得∠MON＝∠BOC＝90°； 如图③，连结OB，OC，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠BOC＝＝72°， 同(1)的方法可得∠MON ＝∠BOC＝72°. ∠MON＝ 由上可知，∠MON的度数与正三角形边数的关系是∠MON＝，∠MON的度数与正方形边数的关系是∠MON＝，∠MON的度数与正五边形边数的关系是∠MON＝，归纳类推得∠MON的度数与正n边形的边数n的关系是∠MON＝. $$