第14讲椭圆及其标准方程（3个知识点+3个要点+5种题型+4个易错点+过关检测）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修一）

第14讲椭圆及其标准方程 （3个知识点+3个要点+5种题型+4个易错点+过关检测） 知识点1：椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 知识点2：椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a＞b＞0) 焦点 (－c,0)与(c,0) (0，－c)与(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 知识点3：点与椭圆的位置关系 要点1：利用待定系数法确定椭圆的标准方程 用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤 (1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能． (2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)． (3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求． 要点2：求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法 利用代入法求轨迹方程的步骤 (1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M(x，y)，已知曲线上动点坐标为P(x1，y1)． (2)求关系式：用点M的坐标表示出点P的坐标，即得关系式 (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可． 要点3：椭圆中焦点三角形的问题 椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|，|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解． 题型1：求椭圆的标准方程 【例题1】（23-24高二上·四川巴中·期末）已知椭圆的焦点在x轴上，，，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆经过点，，则的标准方程为 ． 【变式2】（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）求满足下列条件的曲线的方程． (1)经过两条直线和的交点，且平行于直线； (2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，求它的标准方程． 【变式3】（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点，且与椭圆有相同的焦点． (2)经过两点，． 题型2：椭圆的定义及其应用 【例题2】（23-24高二上·吉林·阶段练习）椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点且，则（    ） A． B． C． D．2 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的右焦点为，记与轴正半轴的交点为，点在上，则周长的最大值为 ． 【变式3】（23-24高二上·四川成都·期中）已知的周长为． (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的面积． 题型3：椭圆方程中的参数问题 【例题3】（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知椭圆的焦距是，则m的值为 . 【变式3】（23-24高二上·广东揭阳·阶段练习）对于方程， (1)若该方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围； (2)若该方程表示椭圆，求实数的取值范围. 题型4：点与椭圆位置关系的判断 【例题4】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【变式1】（24-25高二上·全国·课堂例题）已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 【变式2】（20-21高二上·全国·课后作业）已知点(3，2)在椭圆上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是 . 【变式3】（24-25高二上·全国·课前预习）若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是 ． 题型5：与椭圆有关的轨迹问题 【例题5】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知曲线，将曲线上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线；将曲线上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半，得到曲线．则曲线与的一个公共点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·宁夏固原·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 【变式2】．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点，，，动点P满足：，且，则点P的轨迹长度为 . 【变式3】（24-25高二上·全国·课堂例题）如图所示，以过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．其中，椭圆上任意一点满足，求椭圆的标准方程． 易错点1：忽视椭圆定义中的限制条件 【例题1】（22-23高二上·四川巴中·阶段练习）设满足：，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不存在 【变式1】（24-25高二上·全国·课前预习）设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【变式2】（23-24高二上·广西河池·阶段练习）平面上任意一点满足，则该点的轨迹是 ． 【变式3】（21-22高二·全国·课后作业）若动点的坐标满足方程，试判断动点的轨迹，并写出其标准方程． 易错点2：对椭圆的标准方程认识不清 【例题2】（24-25高二上·江西·阶段练习）若方程表示椭圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）设方程表示椭圆，则实数的取值范围是 ． 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）已知方程＝1. (1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 易错点3：忽视焦点的具体位置致误 【例题3】（高二上·湖南长沙·期中）已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【变式1】（22-23高二上·山东威海·期末）已知椭圆的焦距为2，则实数m＝（    ） A． B． C．或 D．或1 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）椭圆的焦距为4，则m＝ ． 【变式3】（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知曲线方程，． (1)若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； (2)若方程表示焦距为2的椭圆，求的值． 易错点4：求轨迹方程忘记约束条件致误 【例题4】（20-21高二上·全国·单元测试）△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知的三边a，b，c成等差数列，且，A、C两点的坐标分别为，则顶点B的轨迹方程为 ． 【变式2】（21-22高二上·江西赣州·阶段练习）已知， 且 的周长等于20，求顶点的轨迹方程 . 【变式3】（22-23高二·江苏·假期作业）已知B，C是两个定点，，且的周长等于18．求这个三角形的顶点A的轨迹方程． 一、单选题 1．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在 3．（21-22高二上·吉林四平·阶段练习）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·河北邯郸·阶段练习）直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）如图，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，，则椭圆C的标准方程为（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24高二上·吉林延边·期中）点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 7．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A．5 B．9 C．4 D．3 8．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·课后作业）若焦点在轴的椭圆两个顶点之间的距离为4，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）下列是真命题的是（    ） A．已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆 B．已知定点，则满足的点的轨迹为线段 C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆 D．若点到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点的轨迹为椭圆 11．（24-25高二上·全国·课后作业）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A．， B．为直角三角形 C．的面积为6 D．的面积为12 三、填空题 12．（21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆的标准方程为，并且焦距为6，则实数的值为 13．（24-25高二上·上海）焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为 . 14．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的上、下焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，点在射线上，若，求点的轨迹方程． 16．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点. (1)若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，的面积为4，求b的值. 17．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）求出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程 (3)过点，且与椭圆有相同焦点椭圆方程.； 18．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）求下列曲线方程： (1)求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程. (2)已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程． 19．（20-21高二上·北京丰台·期末）已知椭圆过点，且． (1)求椭圆ω的方程； (2)设O为原点，过点的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点．求证为定值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲椭圆及其标准方程 （3个知识点+3个要点+5种题型+4个易错点+过关检测） 知识点1：椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 知识点2：椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a＞b＞0) 焦点 (－c,0)与(c,0) (0，－c)与(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 知识点3：点与椭圆的位置关系 要点1：利用待定系数法确定椭圆的标准方程 用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤 (1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能． (2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)． (3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求． 要点2：求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法 利用代入法求轨迹方程的步骤 (1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M(x，y)，已知曲线上动点坐标为P(x1，y1)． (2)求关系式：用点M的坐标表示出点P的坐标，即得关系式 (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可． 要点3：椭圆中焦点三角形的问题 椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|，|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解． 题型1：求椭圆的标准方程 【例题1】（23-24高二上·四川巴中·期末）已知椭圆的焦点在x轴上，，，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质即可求解. 【详解】由，可得， 由于焦点在x轴上，所以椭圆方程为， 故选：A 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆经过点，，则的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程待定系数法可得解. 【详解】设，则， 解得， 所以的标准方程为， 故答案为：. 【变式2】（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）求满足下列条件的曲线的方程． (1)经过两条直线和的交点，且平行于直线； (2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，求它的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解出交点坐标，然后根据平行关系设出直线方程，代入交点坐标可求直线方程； （2）设出椭圆方程，根据椭圆定义求解出的值，根据可知的值，则椭圆标准方程可求. 【详解】（1）因为，所以，所以交点为， 设所求直线方程为，代入， 所以，解得， 故所求直线方程为； （2）由条件可知椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为， 因为， 所以， 所以，所以， 又因为，所以， 所以椭圆的标准方程为. 【变式3】（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点，且与椭圆有相同的焦点． (2)经过两点，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由共焦点求得，再通过点在椭圆上，列出方程即可求解； （2）通过待定系数法即可求解. 【详解】（1）因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在轴上，且． 设所求椭圆的标准方程为． 因为所求椭圆过点，所以有① 又，② 由①②解得． 故所求椭圆的标准方程为． （2）设椭圆方程为，且，在椭圆上， 所以，则椭圆方程. 题型2：椭圆的定义及其应用 【例题2】（23-24高二上·吉林·阶段练习）椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出结果. 【详解】椭圆的长半轴长，依题意，，而， 所以. 故选：D 【变式1】（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义结合条件即得. 【详解】椭圆得，，， 设，，则， ，， ， ， ，即． 故选：A． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的右焦点为，记与轴正半轴的交点为，点在上，则周长的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用椭圆定义求解即得. 【详解】设椭圆的左焦点为，则，而，则， 则的周长为， 而，则， 当且仅当三点共线时取等号， 所以周长的最大值为． 故答案为：    【变式3】（23-24高二上·四川成都·期中）已知的周长为． (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2)7 【分析】 （1）结合椭圆定义可得的轨迹方程. （2）利用及椭圆定义可列出方程，求解，即可算出的面积． 【详解】（1）的周长为14且， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点，以8为长轴长的椭圆， 即，故顶点的轨迹方程为， 又为三角形的顶点，故所求的轨迹方程为． （2）①． 点在椭圆上，且为焦点， ， 故②． 由①②可得，， 故． 的面积为7． 题型3：椭圆方程中的参数问题 【例题3】（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程，结合题意，建立方程组，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 【变式1】（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】借助椭圆定义与充要条件的定义计算即可得. 【详解】若表示椭圆，则有， 解得或. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知椭圆的焦距是，则m的值为 . 【答案】或 【分析】利用椭圆焦距的定义和性质即可求解. 【详解】因为椭圆的焦距是， 所以或， 解得或. 故答案为：或. 【变式3】（23-24高二上·广东揭阳·阶段练习）对于方程， (1)若该方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围； (2)若该方程表示椭圆，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据椭圆标准方程的特征，列式计算可得解. 【详解】（1）因为表示焦点在轴上的椭圆， 所以， 所以. （2）因为表示椭圆，所以， 解得且， 所以. 题型4：点与椭圆位置关系的判断 【例题4】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【答案】B 【分析】将点代入椭圆即可求解. 【详解】由于，所以在内， 故选：B 【变式1】（24-25高二上·全国·课堂例题）已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 【答案】A 【分析】由直线与圆没有公共点得，再利用放缩法得，可判断点与椭圆的位置关系. 【详解】直线与圆没有公共点， 圆心到直线的距离，即， ， 又， 点在椭圆内部. 故选：A. 【变式2】（20-21高二上·全国·课后作业）已知点(3，2)在椭圆上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是 . 【答案】点在椭圆外 【分析】由已知得=1，继而有，由此可得答案. 【详解】解：因为点(3，2)在椭圆上，所以=1，又，所以，故点(-3，3)在椭圆外. 故答案为：点在椭圆外. 【变式3】（24-25高二上·全国·课前预习）若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆焦点在轴上可得，再根据点在椭圆内部列式求解. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，则， 又因为点在椭圆内部，则，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：. 题型5：与椭圆有关的轨迹问题 【例题5】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知曲线，将曲线上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线；将曲线上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半，得到曲线．则曲线与的一个公共点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出曲线与的方程，再联立求出交点坐标即可. 【详解】设曲线上任意点，则点在曲线上，于是得曲线：， 同理得曲线：，由，解得， 因此曲线与的公共点坐标为. 故选：C 【变式1】（23-24高二上·宁夏固原·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 【答案】A 【分析】对给定式子研究几何意义，结合椭圆定义即可证明. 【详解】观察给定式子，， 表示到，的距离之和为， 结合椭圆定义可得的轨迹是椭圆. 故选：A 【变式2】．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知点，，，动点P满足：，且，则点P的轨迹长度为 . 【答案】0 【分析】分别求出两种条件下动点P满足的轨迹方程，再结合图形即可求解. 【详解】因为， 所以动点P的轨迹为椭圆，且，则， 所以， 所以满足的动点P的轨迹方程为. 设，由，得， 整理得，即， 所以满足的动点P的轨迹在以为圆心，以2为半径的圆上及圆的内部，且不过点. 如图，动点P的两种轨迹没有交点，则动点P的轨迹不存在，因此点P的轨迹长度为0. 故答案为：0. 【变式3】（24-25高二上·全国·课堂例题）如图所示，以过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．其中，椭圆上任意一点满足，求椭圆的标准方程． 【答案】． 【分析】直接按求曲线的方程步骤求解即可. 【详解】设椭圆上任意一点，焦点，， 因为． 则， 即， 两边平方得， 整理得，， 两边平方得， 整理得． 两边同除以得，. 由椭圆定义知，即，所以． 令，得． 即椭圆的标准方程为． 易错点1：忽视椭圆定义中的限制条件 【例题1】（22-23高二上·四川巴中·阶段练习）设满足：，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不存在 【答案】B 【分析】根据椭圆定义分析判断. 【详解】∵表示为到定点的距离之和为5，即， ∴点的轨迹为椭圆. 故选：B. 【变式1】（24-25高二上·全国·课前预习）设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【答案】D 【分析】利用基本不等式求出的范围，根据椭圆的定义可得答案. 【详解】因为，所以， 当且仅当时等号成立， 当时，，而，此时点的轨迹是线段； 当时，， 此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆． 综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段. 故选：D. 【变式2】（23-24高二上·广西河池·阶段练习）平面上任意一点满足，则该点的轨迹是 ． 【答案】椭圆 【分析】由两点距离公式与椭圆定义即可得解. 【详解】由满足知， 点到定点与的距离之和为， 又与之间距离为， 根据椭圆定义可知，该点的轨迹为椭圆. 故答案为：椭圆. 【变式3】（21-22高二·全国·课后作业）若动点的坐标满足方程，试判断动点的轨迹，并写出其标准方程． 【答案】动点的轨迹是椭圆，其标准方程为 【分析】根据题意，由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，故，由此求得椭圆的标准方程. 【详解】由于点满足，即点到两个定点，的距离之和等于常数， 由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，故， 故椭圆的标准方程为. 易错点2：对椭圆的标准方程认识不清 【例题2】（24-25高二上·江西·阶段练习）若方程表示椭圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆标准方程的形式求解即可. 【详解】因为方程表示椭圆， 所以，解得， 故选：D. 【变式1】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程即可求解m的范围. 【详解】依题意，解得或 故选：D 【变式2】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）设方程表示椭圆，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由方程表示椭圆，得到不等式组，求解即可得到答案． 【详解】由题意，方程表示椭圆， 则满足，解得且， 则实数的取值范围是， 故答案为： 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）已知方程＝1. (1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的标准方程求解； （2）根据椭圆的标准方程求解； （3）根据椭圆的标准方程求解. 【详解】（1）依题意，有，解得. 故实数m的取值范围为. （2）依题意，有，解得. 故实数m的取值范围为. （3）依题意，有，解得，且， 故实数m的取值范围是. 易错点3：忽视焦点的具体位置致误 【例题3】（高二上·湖南长沙·期中）已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据焦点在轴上的椭圆的标准方程特征，结合椭圆焦距公式进行求解即可. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以有， 因为该椭圆的焦距为，所以有. 故选：B 【变式1】（22-23高二上·山东威海·期末）已知椭圆的焦距为2，则实数m＝（    ） A． B． C．或 D．或1 【答案】D 【分析】分焦点在上和焦点在上讨论，利用列方程求. 【详解】焦距为2，即. 当焦点在上时，，得； 当焦点在上时，，得； 综合得或. 故选：D. 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）椭圆的焦距为4，则m＝ ． 【答案】9或17 【分析】对椭圆的焦点在轴上或在轴上分情况讨论，然后根据椭圆中即可求解. 【详解】解：因为表示椭圆，所以且， 又椭圆的焦距为4，所以，即， 当椭圆的焦点在轴上时，，所以，即； 当椭圆的焦点在轴上时，，所以，即； 故答案为：9或17. 【变式3】（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知曲线方程，． (1)若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； (2)若方程表示焦距为2的椭圆，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据椭圆方程的性质建立关于k的不等式，解出即可； （2）根据椭圆方程的类型，分类讨论确定，根据求解即可. 【详解】（1）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则， 解得， 即的取值范围为； （2）若方程表示焦距为2的椭圆，则，所以 当方程表示焦点在轴上的椭圆，则，且 又，得； 当方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得 所以， 又，得； 综上，或. 易错点4：求轨迹方程忘记约束条件致误 【例题4】（20-21高二上·全国·单元测试）△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由周长得AB+AC＝6，从而知A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，再根据已知条件可求得轨迹方程．注意范围． 【详解】解：∵△ABC的两顶点B（﹣1，0），C（1，0），周长为8，∴BC＝2，AB+AC＝6， ∵6＞2，∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2a＝6，c＝1，b＝2， 所以椭圆的标准方程是. 故选：A. 【点睛】结论点睛：本题考查求轨迹方程，解题方法是定义法，根据恬条件确定轨迹是椭圆，由已知确定焦距和实轴长，由此易得方程，解题还要注意隐藏条件，因此要去掉直线上的两点．否则出错． 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知的三边a，b，c成等差数列，且，A、C两点的坐标分别为，则顶点B的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】由的三边a，b，c成等差数列，可得点B的轨迹满足椭圆的定义，可求出椭圆方程，再结合和B、A、C三点构成，可得顶点B的轨迹是此椭圆的部分，可得其轨迹方程. 【详解】因为的三边a，b，c成等差数列，A、C两点的坐标分别为， 所以，即， 所以点B的轨迹满足椭圆的定义，此椭圆是以A、C为焦点，长轴长为4的椭圆， 故椭圆方程为， 因为，所以，所以， 又因为B、A、C三点构成，所以B、A、C三点不能在一条直线上，所以， 所以顶点B的轨迹方程为. 故答案为： 【变式2】（21-22高二上·江西赣州·阶段练习）已知， 且 的周长等于20，求顶点的轨迹方程 . 【答案】 【分析】根据题意可得出，从而得到顶点的轨迹是以为焦点的椭圆(去掉与轴的交点)，从而可求出顶点的轨迹方程. 【详解】因为，所以，又因为 的周长等于20， 所以， 所以顶点的轨迹是以为焦点的椭圆(去掉与轴的交点)，所以， 所以， 所以顶点的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式3】（22-23高二·江苏·假期作业）已知B，C是两个定点，，且的周长等于18．求这个三角形的顶点A的轨迹方程． 【答案】 【分析】以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，根据三角形周长公式，结合椭圆的定义进行求解即可. 【详解】以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示．    由，可知点． 由的周长等于18．得， 因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，但点A不在x轴上． 设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为，则这个椭圆上的点与两焦点的距离之和， ， 得， 所以动点A的轨迹方程是. 一、单选题 1．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的焦点位置可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为表示焦点在轴上的椭圆，则，解得. 故选：B. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在 【答案】D 【分析】根据与的关系判断点的轨迹. 【详解】由题设知， 则动点P的轨迹不存在． 故选：D 3．（21-22高二上·吉林四平·阶段练习）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点和椭圆位置关系的判断方法，分别把点的坐标代入椭圆方程的左侧部分，计算其数值大于的点即为答案. 【详解】由椭圆方程为， 因为，所以点在椭圆内部，A错误； 因为，所以点在椭圆内部，B错误； 因为，所以点在椭圆外部，C正确； 因为，所以点在椭圆内部，D错误. 故选：C. 4．（22-23高二上·河北邯郸·阶段练习）直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由直线过定点，结合点与椭圆的位置关系列出不等式，即可得到结果. 【详解】直线过定点，只需该点落在椭圆内或椭圆上，∴， 解得，又， 故选：C． 5．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）如图，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，，则椭圆C的标准方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行关系得到相似关系，得到，，结合题目条件，求出，得到椭圆方程. 【详解】由题意得， 当时，，解得，故， 所以， 因为，所以，即，解得， 故， 所以，解得， 所以， 椭圆C的标准方程为. 故选：A 6．（23-24高二上·吉林延边·期中）点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程求出，由椭圆的定义可求出，然后利用等面积法可求出P点的纵坐标. 【详解】由，得， 所以， 所以， 设的内切圆半径为， 因为 所以，得. 故选：B 7．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A．5 B．9 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义及基本不等式求解即可. 【详解】由已知得，，， 设，则，所以， 从而或时取最小值为4. 故选：C. 8．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】D 【分析】在中，结合椭圆定义及勾股定理可得，进而求得的面积. 【详解】由椭圆定义可得， 又因为，所以由勾股定理可得， 即，解得， 则的面积为. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·课后作业）若焦点在轴的椭圆两个顶点之间的距离为4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用椭圆的性质分类讨论计算即可. 【详解】由题且， 若左右顶点距离为4，则， 若上下顶点距离为4，则， 若上顶点与右顶点距离为4，则， 结合选项代入可知ABD正确，C错误． 故选：ABD 10．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）下列是真命题的是（    ） A．已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆 B．已知定点，则满足的点的轨迹为线段 C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆 D．若点到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点的轨迹为椭圆 【答案】BD 【分析】根据椭圆定义可依次判断各个选项. 【详解】对于A，，根据椭圆定义，点的轨迹不存在，故A错误； 对于B，点的轨迹为线段，故B正确； 对于C，到定点距离相等的点的轨迹为线段的垂直平分线，故错误； 对于D，到定点的距离的和为， 所以点的轨迹为椭圆，故D正确． 故选：BD. 11．（24-25高二上·全国·课后作业）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A．， B．为直角三角形 C．的面积为6 D．的面积为12 【答案】ABC 【分析】由椭圆的定义可得，结合可求出的值，然后逐个分析判断即可. 【详解】由，得，则 ， 因为P是椭圆上一点，所以， 因为，所以，，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以为直角三角形，所以B正确， 对于CD，因为为直角三角形，，所以，所以C正确，D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．（21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆的标准方程为，并且焦距为6，则实数的值为 【答案】4 【分析】根据方程得，求出，由焦距可得值． 【详解】由题意，所以，因为，故解得． 故答案为：4 13．（24-25高二上·上海）焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】由题意确定可得，进而求得标准方程. 【详解】由焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， 由焦距为可得，解得； 又椭圆经过点，故，所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 14．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ． 【答案】 【分析】应用椭圆定义可判断顶点C的轨迹，应用待定系数法求轨迹方程，要注意排除三点共线情况. 【详解】因为，，所以， 又因为 的周长为16， 所以，并且. 所以顶点在以，为焦点的椭圆上， 设椭圆方程为， 因为，，，所以，， 又因为三点不共线，所以顶点的轨迹方程为. 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的上、下焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，点在射线上，若，求点的轨迹方程． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义及点的坐标可知点的轨迹方程. 【详解】 由椭圆的定义可知， 又，所以， 即， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 即点的轨迹方程为． 16．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点. (1)若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，的面积为4，求b的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知可求出，点坐标可代入椭圆方程求出，进而求出； （2）得到椭圆标准方程根据，利用三角形面积公式和椭圆定义以及勾股定理来求解的值. 【详解】（1）已知，因为，所以.点在椭圆上，将其代入椭圆方程，可得，即，解得. 又因为，，，所以. 所以椭圆的标准方程为. （2）因为，所以的面积，则.根据椭圆定义，. 由勾股定理可得. 又，即. 在椭圆中有，将变形为，即，解得. 17．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）求出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程 (3)过点，且与椭圆有相同焦点椭圆方程.； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，设椭圆方程为，代入点解出即可； （2）设椭圆方程为，代入两点解出即可； （3）设椭圆方程为，代入点解出即可； 【详解】（1）由题意可得，设椭圆方程为， 由点在椭圆上可得， 又， 由以上两式消去并整理可得，解得或（舍去）， 所以， 所以椭圆方程为， （2）设椭圆方程为， 由题意可得，解得， 所以椭圆方程为， （3）由题意可设椭圆方程为， 代入，可得，整理可得， 解得或（舍去） 所以椭圆方程为， 18．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）求下列曲线方程： (1)求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程. (2)已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一，根据题意可得，进而得到椭圆的焦点坐标，再结合椭圆定义即可得到的值，进而求解；方法二，根据题意可得，进而将点代入椭圆方程，结合解方程组即可求解；方法三，先设椭圆的标准方程为，进而将点代入椭圆方程，解方程即可求解； （2）设圆的半径为，进而得到点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而求解即可. 【详解】（1）方法一：由题意得. 因此所求椭圆的焦点坐标为，. 由椭圆定义得， 即，所以. 故所求椭圆的标准方程为. 方法二：因为所求椭圆与椭圆的焦点相同， 所以其焦点在x轴上，且. 设所求椭圆的标准方程为，则①. 又点在所求椭圆上，所以，即②. 由①②得，，故所求椭圆的标准方程为. 方法三： 由条件设所求椭圆的标准方程为. 将点P的坐标代入，得，解得或（舍去）. 故所求椭圆的标准方程为. （2）由题意可知，动圆与圆内切，与圆外切，设圆的半径为， 则， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设点的轨迹方程， 所以，则， 所以点的轨迹方程为. 19．（20-21高二上·北京丰台·期末）已知椭圆过点，且． (1)求椭圆ω的方程； (2)设O为原点，过点的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点．求证为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题可得，进而得出，即可得出椭圆方程； （2）先考虑直线斜率不存在时，可得，当斜率存在时，设出直线方程，联立直线与椭圆，得出韦达定理，得出直线的方程，可表示出坐标，同理表示出的坐标，进而利用韦达定理可求出. 【详解】（1）因为椭圆过点，所以. 因为，所以. 所以椭圆的方程为. （2）当直线斜率不存在时，直线的方程为. 不妨设此时，， 所以直线的方程为，即. 直线的方程为，即. 所以. 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由，得. 依题意，. 设，，则，. 又直线的方程为， 令，得点的纵坐标为，即，同理. 所以 . 综上，为定值，定值为. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为形式； （5）代入韦达定理求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$