高一数学期中考试模拟试卷（B卷）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019，北京专用）

2024-2025学年度第一学期期中考试模拟试卷（B卷） 高一数学 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题中选出符合题目要求的一项。 1．设全集，则（    ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．设，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 4．已知函数，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是增函数 C．是偶函数，且在上是减函数 D．是奇函数，且在上是减函数 5．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 7．物理学中，声衰减是声波在介质中传播时其强度（声强）随着传播距离的增加而逐渐减弱的现象，划分为几何衰减､散射衰减和吸收衰减三种类型.声波的散射衰减和吸收衰减都遵从指数规律，即声强（单位：瓦/平方米）与传播距离（单位：米）之间有如下的函数关系：，其中为初始声强，为声波的衰减系数，且.若某声波传播米时，声强减小了，则声强减小时，传播距离大约为（    ）（参考数据：，） A．8.5米 B．9.0米 C．9.6米 D．10.2米 8．已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D． 9．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿运动时，点P经过的路程x与的面积y的函数的图象的形状大致是（　　）    A．   B．   C．   D．   10．已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．能够说明“若，则”是假命题的一组整数，的值依次是 12． . 13．已知幂函数在上单调递减，则 . 14．已知集合．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，，则下列说法正确的有 ①．当时， ②． ③．函数的值域为 ④．当时，函数的值域为 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．已知集合. (1)求 (2)，； (3)若，求实数a的取值范围. 17．定义运算，函数. (1)写出的解析式 (2)在坐标系中画出的图象 (3)写出的单调区间和值域. 18．某新建居民小区欲建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m，如图所示（图中单位：m）.设矩形绿地的南北侧边长为x米. (1)当人行道的占地面积不大于时，求x的取值范围； (2)问x取多少时，才能使人行道的占地面积最小. 19．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 20．已知不等式的解集为. (1)求m，n的值，并求不等式的解集； (2)当实数时，解关于x的不等式. 21．已知函数的定义域为，，且对于任意实数，，有，当时，. (1)求的值； (2)求证：在定义域上是单调递增函数； (3)求证：为奇函数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期中考试模拟试卷（B卷） 高一数学 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题中选出符合题目要求的一项。 1．设全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的并集与补集运算求解即可. 【详解】因为， 所以，所以. 故选：D 2．命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接写出结论即可. 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 因此命题“，”的否定是，. 故选：A 3．设，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】由可推出同号，则根据分类讨论可得出，根据，两边同乘可得，即可选出选项. 【详解】由题知，则同号， 当时，有， 当时，有， 故能推出， 当成立时，又， 对不等式两边同时乘以可得， 故“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 4．已知函数，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是增函数 C．是偶函数，且在上是减函数 D．是奇函数，且在上是减函数 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义验证为奇函数，根据增函数加增函数为增函数可判断为增函数. 【详解】的定义域为．．即函数为奇函数． 当时．为增函数，为减函数．故函数在时为增函数． 故选：B 5．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数性质以及中间量“1”即可比较大小. 【详解】根据指数函数性质知，即， 又因为，则. 故选：D. 6．设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分段建立方程，可得临界点，作图，可得答案. 【详解】由题意，令，解得或， , 则作图如下：    由图可得不等式的解集是. 故选：A. 7．物理学中，声衰减是声波在介质中传播时其强度（声强）随着传播距离的增加而逐渐减弱的现象，划分为几何衰减､散射衰减和吸收衰减三种类型.声波的散射衰减和吸收衰减都遵从指数规律，即声强（单位：瓦/平方米）与传播距离（单位：米）之间有如下的函数关系：，其中为初始声强，为声波的衰减系数，且.若某声波传播米时，声强减小了，则声强减小时，传播距离大约为（    ）（参考数据：，） A．8.5米 B．9.0米 C．9.6米 D．10.2米 【答案】C 【分析】利用声强与传播距离的函数关系结合指数与对数的运算即可求解. 【详解】解：由题知，当声波传播米时，声强减小了 所以，即 当声强减小时， 即 所以 由 所以，即 所以，即 因为， 所以米 故选：C. 8．已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由题意可得出，由此可求得实数的取值范围. 【详解】因为命题“，使”是假命题， 所以，解得或， 故实数的取值范围是或. 故选：A. 9．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿运动时，点P经过的路程x与的面积y的函数的图象的形状大致是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先分点P在AB上时，点P在BC上时，点P在CD上时求得函数，再利用函数的性质来判断． 【详解】点P在AB上时,； 点P在BC上时， ； 点P在CD上时，； 所以 画出分段函数的大致图象，如图所示． 故选：A． 10．已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给条件可知函数单调递减，又由函数图象平移可知，据此建立不等式求解即可. 【详解】因为不等式对于任意给定的不等实数恒成立， 所以函数是定义在上的减函数， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以函数的图象过原点，即函数的图象过，即， 则由， 可得2，解得. 故选： 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．能够说明“若，则”是假命题的一组整数，的值依次是 【答案】，（答案不唯一） 【分析】分别取大于，小于的整数即可得到答案. 【详解】取，，满足，但， 所以命题“若，则”是假命题. 故答案为：，.（答案不唯一） 12． . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算化简求值. 【详解】原式. 故答案为：. 13．已知幂函数在上单调递减，则 . 【答案】 【分析】先根据函数是幂函数计算求参得出或，最后结合函数的单调性计算得出符合题意的参数. 【详解】由题意可得为幂函数，则，解得或. 当时，为增函数，不符合题意； 当时，在单调递减，符合题意. 故答案为:. 14．已知集合．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先解出集合，再由条件得到，且，再由集合间的关系列不等式求解即可； 【详解】因为或，所以， 又是的必要不充分条件，所以，且， 所以或，解得或， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，，则下列说法正确的有 ①．当时， ②． ③．函数的值域为 ④．当时，函数的值域为 【答案】①③④ 【分析】对于①，直接由高斯函数定义来验证即可；对于②，注意到，使得，即可运算判断；对于③，由②选项可得的周期，故只需讨论在上的值域即可；对于④，分别求出每一段的值域，再求并集即可. 【详解】对于①，当时，，正确； 对于②，因为，使得，此时， 从而，错误； 对于③，由②选项分析可知，函数是以1为周期的周期函数， 故只需讨论在上的值域即可， 当时，，即函数的值域为，正确； 对于④，当时，，当时，， 当时，，依次类推，当时，，取并集得函数的值域为，正确. 故选：①③④. 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．已知集合. (1)求 (2)，； (3)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，； (2)，； (3). 【分析】（1）由交集与并集的意义求解即可； （2）利用补集的意义结合（1）可求，求得，进而利用交集的意义可求； （3）由题意可得，进而可得，求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， ； （2）由（1）知，所以， 由，得， 所以； （3）由，可得， 又， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 17．定义运算，函数. (1)写出的解析式 (2)在坐标系中画出的图象 (3)写出的单调区间和值域. 【答案】(1)； (2)图象见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）解不等式，后结合题意可得的解析式； （2）由（1）结合分段函数定义域可得函数图象； （3）由（2）中图象可得单调区间与值域. 【详解】（1）， 则或. 则； （2）由（1）可得图象如下： （3）由（2）可得在上单调递减，在上单调递增； 的值域为： . 18．某新建居民小区欲建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m，如图所示（图中单位：m）.设矩形绿地的南北侧边长为x米. (1)当人行道的占地面积不大于时，求x的取值范围； (2)问x取多少时，才能使人行道的占地面积最小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）表达出人行道占地面积，得到不等式，求出； （2）在（1）的基础上，利用基本不等式求出面积最小值. 【详解】（1）矩形绿地东西侧边长为m， 则人行道占地面积为， 故，解得， 故x的取值范围为； （2） ， 当且仅当，即m时，等号成立， 故x为m时，才能使人行道的占地面积最小. 19．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数的定义求出解析式. （2）利用单调性定义证明在上单调递增，再利用单调性及奇偶性脱去法则，转化为恒成立求解. 【详解】（1）任取，则，， 当时，，而符合上式， 所以函数在上的解析式. （2）任取且， ， 由，得，，，， 则，即，因此在上单调递增， 而是奇函数，原不等式化为， 于是，即，依题意，对，恒成立， 而，当且仅当时取等号，从而， 所以实数的取值范围为. 20．已知不等式的解集为. (1)求m，n的值，并求不等式的解集； (2)当实数时，解关于x的不等式. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意得，再结合韦达定理即可得，再求解一元二次不等式即可； （2）结合（1）得，再分类讨论即可得答案. 【详解】（1）由题意知，和是方程的实数根， 故由韦达定理得：，解得， 则， 即的解集为. （2）由（1）得：，， 当，不等式， 当时，， 则， 当时，， 则不等式无解， 当时，， 则， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 21．已知函数的定义域为，，且对于任意实数，，有，当时，. (1)求的值； (2)求证：在定义域上是单调递增函数； (3)求证：为奇函数. 【答案】(1)0 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）首先计算，再通过赋值求的值，即可求解； （2）首先设，，代入条件，判断的正负，结合函数单调性的定义，即可证明； （3）通过赋值，再结合奇函数的定义，即可证明. 【详解】（1）令，则，得， 令，，则 即； （2）设，， 所以， 即， 因为，所以， 则， 所以函数在上单调递增； （3）令，， 则，得， 即， 所以函数是奇函数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$