专题02 不等式-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（四川专用）

专题02 不等式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解比较实数大小的方法 · 理解不等式的基本性质 · 理解区间的概念 · 掌握一元一次不等式和一元一次不等式组的解法 · 掌握一元二次不等式解法 · 了解含绝对值的不等式（c＞0）［｜ax+b｜＜c（或＞c）］ 考点预测 · 不等式的基本性质 · 区间的概念 · 掌握一元二次不等式解法 · 含绝对值的不等式解法 要点自测 1.不等式的概念 用符号“≠、>、<、≥、≤”表示数量之间不等关系的式子叫作不等式.如实数a的绝对值是非负数，即 2.实数大小的基本性质 (1)a-b>0<↔a>b (2)a-b=0↔a=b (3)a-b<0↔a<b 3.比较实数大小的方法 (1)观察数轴上对应点的位置进行直观比较. (2)作差法:a-b>0↔a>b; a-b=0↔a=b; a-b<0↔a<b. (3)作商法: 4.不等式的性质 (1)对称性:a>b↔b<a (2)传递性:a>b，b>c→ a>c (3)加法性质:a>b，a+c>b+c; a>b，c>d → a+c>b+d 即不等式的两边同时加上(或减去)同一个实数，不等号的方向不变. (4)乘法性质:a>b，c>0→ac>bc;a>b，c<0=ac<bc;a>b>0，c>d>0= ac>bd 5.区间及有关概念： （1）一般区间表示，设,且，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 开区间 左闭右开区间 左开右闭区间 闭区间 （2）特殊区间的表示 定义 符号 6．一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是 7．一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 不等式． (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 ． (3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 ，小于号 ”求解集． (4)一元二次不等式的解： 二次函数 （）的图象 8.绝对值不等式 (1)绝对值的代数意义:表示数轴上一个点到原点的距离。 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零、 (2)绝对值的几何意义: 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. (3)两个数的差的绝对值的几何意义: |a-b|表示在数轴上，数a和数b之间的距离. (4)绝对值不等式: |x|< a(a >0)的解集是: |x|>a(a >0)的解集是: |ax +b|< c(c > 0)↔ |ax +b| >c(c >0)↔ 考点突破 考点1 比较实数的大小 【例1】若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系与x的取值有关 【突破训练】比较与的大小关系为（   ） A．＞ B．＜ C．＝ D．不能确定 考点2 不等式的基本性质 【例2】下列叙述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．当，则 【突破训练】若实数，，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 考点3 区间的概念 【例3】下列数轴表示区间正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【突破训练】已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 考点4 一元一次不等式和一元一次不等式组的解法 【例4】不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【突破训练】不等式组的解集是（ ） A． B． C． D． 考点5 一元二次不等式的解法 【例5】求下列不等式的解集： (1)； (2)． 【突破训练】解下列一元二次不等式： (1) (2) 考点6 含绝对值的解法 【例6】解下列不等式 (1)； (2)； 【突破训练】解下列不等式 (1) ；(2)． 考点7 含参数的一元二次不等式 【例7】已知关于的一元二次不等式的解集为． (1)求和的值； (2)求不等式的解集． 【突破训练】已知，不等式的解集是. (1)求的解析式； (2)求的解集. 考点8 含参数的绝对值不等式 【例8】已知 的解集是，求，的值. 【突破训练】已知关于x的不等式的解集为． (1)a，b的值； (2)试求的解集． 模拟演练 一、单选题 1．下列各项中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若则 D．若，则 2．设，比较与的大小（    ） A． B． C． D． 3．比较两个实数与的大小，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．以上均错误 4．若不大于，那么实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．不等式的解集用区间表示为（    ） A． B． C． D． 6．不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 7．一元二次不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 9．不等式解集为（    ） A． B． C． D． 10．已知不等式的解集是，则a，b的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 11．比较大小： . 12．已知不等式的解集是，则不等式的解集是 ． 13．若条件，条件，则是的 .（填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件或既不充分也不必要条件） 14．小明在QQ中玩一种知识竞赛的游戏，知识竞赛共有25道题，答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，这次竞赛中小明得分在85分及85分以上，小明至少答对了 道题. 15．如果，那么 .（用不等号“”或“”填空） 三、解答题 16．已知，比较两个代数式与的大小. 17．用区间表示下列集合： (1)；(2)；(3)；(4). 18．解不等式组的解集，并用区间表示. 19．已知不等式的解集是，求不等式的解集. 20．已知的解集是，求的值. $$ 专题02 不等式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解比较实数大小的方法 · 理解不等式的基本性质 · 理解区间的概念 · 掌握一元一次不等式和一元一次不等式组的解法 · 掌握一元二次不等式解法 · 了解含绝对值的不等式（c＞0）［｜ax+b｜＜c（或＞c）］ 考点预测 · 不等式的基本性质 · 区间的概念 · 掌握一元二次不等式解法 · 含绝对值的不等式解法 要点自测 1.不等式的概念 用符号“≠、>、<、≥、≤”表示数量之间不等关系的式子叫作不等式.如实数a的绝对值是非负数，即 2.实数大小的基本性质 (1)a-b>0<↔a>b (2)a-b=0↔a=b (3)a-b<0↔a<b 3.比较实数大小的方法 (1)观察数轴上对应点的位置进行直观比较. (2)作差法:a-b>0↔a>b; a-b=0↔a=b; a-b<0↔a<b. (3)作商法: 4.不等式的性质 (1)对称性:a>b↔b<a (2)传递性:a>b，b>c→ a>c (3)加法性质:a>b，a+c>b+c; a>b，c>d → a+c>b+d 即不等式的两边同时加上(或减去)同一个实数，不等号的方向不变. (4)乘法性质:a>b，c>0→ac>bc;a>b，c<0=ac<bc;a>b>0，c>d>0= ac>bd 5.区间及有关概念： （1）一般区间表示，设,且，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 开区间 左闭右开区间 左开右闭区间 闭区间 （2）特殊区间的表示 定义 符号 6．一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是 a=0,b<0 ． 7．一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 一元二次 不等式． (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 解集 ． (3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 两边 ，小于号 中间 ”求解集． (4)一元二次不等式的解： 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 8.绝对值不等式 (1)绝对值的代数意义:表示数轴上一个点到原点的距离。 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零、 (2)绝对值的几何意义: 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. (3)两个数的差的绝对值的几何意义: |a-b|表示在数轴上，数a和数b之间的距离. (4)绝对值不等式: |x|< a(a >0)的解集是:{x|-a <x<a}， |x|>a(a >0)的解集是:{x|x<-a或x>a}， |ax +b|< c(c > 0)↔ -c <ax +b<c; |ax +b| >c(c >0)↔ax+b>c或ax+b<-c; 考点突破 考点1 比较实数的大小 【例1】若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系与x的取值有关 【答案】B 【解析】因为， 所以， 所以. 故选：B. 【突破训练】比较与的大小关系为（   ） A．＞ B．＜ C．＝ D．不能确定 【答案】B 【解析】∵， ∴. 故选：B. 考点2 不等式的基本性质 【例2】下列叙述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．当，则 【答案】D 【解析】对于A，因为，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，当时，则，故C错误； 对于D，当，则，故D正确. 故选：D. 【突破训练】若实数，，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A项，令显然,所以A项错误; 对于B项，若，则有,所以B项错误； 对于C项，依据不等式的基本性质：不等式的两边同时减去同一个实数，不等号方向不变，所以C项正确； 对于D项，令显然,所以D项错误. 故选：C 考点3 区间的概念 【例3】下列数轴表示区间正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】已知区间，则在数轴上能取到点，取不到点， 故点为实心点，点为空心点，图象为    故选：B. 【突破训练】已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知集合， 则. 故选：A. 考点4 一元一次不等式和一元一次不等式组的解法 【例4】不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题， 解得，，解得，， ∴不等式组无解，∴不等式组的解集在数轴上为： 故选：． 【突破训练】不等式组的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，解之得， 故该不等式组的解集是. 故选：C. 考点5 一元二次不等式的解法 【例5】求下列不等式的解集： (1)； (2)． 【答案】(1)(2)或 【解析】（1）∵， ∴， ∴， ∴不等式解集为； （2），， ∴， ∴或， ∴不等式解集为或. 【突破训练】解下列一元二次不等式： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【解析】（1）(解法一：配方法) 原不等式可化为 ， 移项得， 配方得即 ，等价于， 即 或 ，解得 或. 所以原不等式的解集为. (解法二：因式分解法) 原不等式可化为， 因式分解得， 解得或 . 所以原不等式的解集为. （2）原不等式可化为， 所以， 所以原不等式的解集为. 考点6 含绝对值的解法 【例6】解下列不等式 (1)； (2)； 【答案】(1)(2) 【解析】（1）得 所以，即不等式的解集为． （2）得或 所以或，即不等式的解集为． 【突破训练】 解下列不等式 (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【解析】 （1）对任意实数，都有，所以解集为． （2）对任意实数，不存在使，所以解集． 考点7 含参数的一元二次不等式 【例7】已知关于的一元二次不等式的解集为． (1)求和的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)，(2)答案见解析 【解析】（1）由题意知和是方程的两个根且， 由根与系数的关系得，解得； （2）由、，不等式可化为， 即，则该不等式对应方程的实数根为和． 当时，，解得，即不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为空集， 当时，，解得，即不等式的解集为， 综上：当时，解集为， 当时，解集为空集， 当时，解集为. 【突破训练】 已知，不等式的解集是. (1)求的解析式； (2)求的解集. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）已知， 因为不等式的解集是， 所以时，即时，两根分别为， 所以有，即， 所以. （2）由（1）可得， 所以时，， 即，等价于， 解得或， 所以解集为. 考点8 含参数的绝对值不等式 【例8】已知 的解集是，求，的值. 【答案】， 【分析】利用绝对值不等式的解集求参数即可. 【详解】由 得，，解得 由题意可得 ，解得， 所以，. 【突破训练】已知关于x的不等式的解集为． (1)a，b的值； (2)试求的解集． 【答案】(1)(2)R 【解析】（1）由不等式解得， 所以不等式的解为， 又因为不等式的解集为， 所以， 解得. （2）由（1）可知， 所以不等式为， 又因为方程无解， 所以不等式恒成立， 则不等式的解集为R. 模拟演练 一、单选题 1．下列各项中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则（当时才成立），故B错误； 对于C，若，则（当时才成立），故C错误； 对于D，若，则的大小关系不确定，故D错误. 故选：A. 2．设，比较与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 所以， 故选：A. 3．比较两个实数与的大小，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．以上均错误 【答案】A 【详解】已知两个实数与， 则， 所以. 故选：A. 4．若不大于，那么实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为不大于， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A 5．不等式的解集用区间表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，不等式解集中左端包含端点值为闭区间，右端不包含端点值为开区间， 故表示为， 故选：C. 6．不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，解得，由，解得， 综上所述不等式的解集为，故不等式的解集为. 故选：B. 7．一元二次不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，解得， 所以不等式的解集为.故选：A. 8．关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】关于x的不等式的解集为， ∴方程的两根为与， ∴且， ∴，， 故选：C． 9．不等式解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，则， 所以不等式解集为. 故选：A. 10．已知不等式的解集是，则a，b的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】化简不等式得，解得， 又不等式得解集是，，解得， a，b的值分别是，. 故选：C. 二、填空题 11．比较大小： . 【答案】< 【详解】因为， 所以.故答案为：<. 12．已知不等式的解集是，则不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】由题意知，，是方程的根，且. 所以，解得. 所以不等式即为，解集为． 故答案为：． 13．若条件，条件，则是的 .（填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件或既不充分也不必要条件） 【答案】必要不充分条件 【详解】由不等式，得，即， 由不等式，得，即，即， 所以集合是集合的真子集，即是的必要不充分条件.故答案为：必要不充分条件. 14．小明在QQ中玩一种知识竞赛的游戏，知识竞赛共有25道题，答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，这次竞赛中小明得分在85分及85分以上，小明至少答对了 道题. 【答案】 【详解】设小明答对了x道题，则他答错或不答的的共有道题，根据题意，可得 ，解得. 所以小明至少答对道题. 故答案为： 15．如果，那么 .（用不等号“”或“”填空） 【答案】 【详解】因为，则， 又，所以，则.故答案为：. 三、解答题 16．已知，比较两个代数式与的大小. 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以. 17．用区间表示下列集合： (1)；(2)；(3)；(4). 【答案】(1).(2).(3).(4). 【详解】（1）， 所以区间表示为：. （2）， 所以区间表示为：. （3）， 所以区间表示为：. （4）， 所以区间表示为：. 18．解不等式组的解集，并用区间表示. 【答案】 【详解】因为，可得， ，，即， 所以不等式组的解集为，区间表示为. 19．已知不等式的解集是，求不等式的解集. 【答案】 【详解】已知不等式的解集是， 所以，且方程的两根分别是和， 由此可知，， 得， 则即为， 所以不等式的解集为. 20．已知的解集是，求的值. 【答案】. 【详解】不等式可化为， 即. 又∵不等式的解集为， ∴解得 $$