专题04 指数函数与对数函数-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（四川专用）

i 专题04 指数函数与对数函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解分数指数幂，实数指数幂的运算法则 · 了解幂函数的举例 · 理解指性质数函数的图像与性质 · 理解对数的概念积，商，幂的对数概念 · 了解对数函数的图像与性质 · 了解指数函数与对数函数的实际应用举例 考点预测 · 实数指数幂，对数的计算法则 · 指数函数的图像与性质 · 对数函数的图像与性质 · 会解决指数函数与对数函数的实际应用问题 要点自测 1．根式 (1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 － 表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±． ③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ＝0． (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|. 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝1.这里a≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂：＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (6)有理指数幂的运算性质 ①； ②； ③． 3．指数函数的图象及性质 定义 一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数 图 象 a＞1 0＜a＜1 定义域 R　 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1) 在R上是增函数 在R上是减函数 4．幂函数 （1）定义：一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）几个常用的幂函数的图象与性质 定义 幂函数y＝xα(α∈R) 图象 α＞0 α＜0 性 质 (1)图象过点(0，0)和(1，1) 图象过点(1，1) (2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，＋∞)上是增函数 在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，＋∞)上是减函数 (3)在第一象限内，当α＞1时，图象下凸当0＜α＜1时，图象上凸 在第一象限内，图象都下凸 5．对数 (1)对数：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两类重要的对数 ①常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作lgN； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记作lnN． 注：(1)无理数e＝2.718 28…；(2)负数和零没有对数；(iii)loga1＝0，logaa＝1. (3)对数与指数之间的关系: 当a＞0，a≠1时，ax＝N ⇔ x＝logaN. (4)对数运算的性质: 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0， 那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM；一般地，＝ logaM； (5)换底公式及对数恒等式 ①对数恒等式：＝N； ②换底公式：logab＝ (a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)．特别地，logab＝. 6．对数函数的图象及性质 定义 一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0) 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 考点突破 考点1 实数指数幂以及运算 【例1】 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，， 所以. 故选：B. 【突破训练】（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】,故选:B. 考点2 对数的运算 【例2】若（且），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为（且），所以. 故选：A. 【突破训练】若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以，，所以. 故选：D 【例3】的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】因为， 故选：D. 【突破训练】计算等于（    ） A．－1 B． C．3 D．－5 【答案】A 【分析】根据对数的运算性质及对数恒等式计算即可 【详解】 故选：A 考点3 指数函数的图像与性质 【例4】已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据指数函数性质知，即， 又因为，则. 故选：D. 【突破训练】已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据指数函数性质知，即， 又因为，则. 故选：D. 考点4 对数函数的图像与性质 【例5】函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以. 故选：D. 【突破训练】已知，则等于（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】函数，则， 所以. 故选：B 【例6】使对数有意义的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用真数为正，列不等式可解. 【详解】令，解得. 故对数有意义的x的取值范围为. 故选：C. 【突破训练】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数有意义，得，解得， 所以所求定义域为. 故选：B 考点5 函数的应用 【例7】随着我国经济的不断发展，2023年年底某地区农民人均年收入为7000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6％的年平均增长率增长，那么2030年年底该地区的农民人均年收入为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【详解】设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元， 根据题意可得，从2023年年底到2030年年底共经过了7年， 所以2030年年底该地区的农民人均年收入为元． 故选：B. 【突破训练】半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用表示从开始，晶体管数量随时间变化的函数，，若是以年为单位，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】晶体管数量的倍增期是两年，也就是晶体管数量每两年增加一倍， 根据时间以年为单位，以及，得. 故选：C． 考点6 函数的综合题 【例8】已知函数. (1)求函数定义域; (2)若函数，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，解得，∴， ∴函数的定义域 （2） 则，由解得. 【突破训练】已知函数． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性． 【答案】(1) (2)偶函数 【详解】（1）由题意可知：， 故函数的定义域为， （2）由（1）知定义域关于原点对称， ， 所以为偶函数， 【例9】已知函数在区间上的最大值与最小值之和为7． (1)求a的值； (2)证明：函数是上的增函数． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）因为在区间上单调递增， 所以函数在区间上的最大值与最小值之和为， 所以，解得， 又因为，所以． （2）由（1）知，， 任取，且，则 ． 因为，所以，， 所以，即， 所以是上的增函数． 【突破训练】已知函数（为常数，且），且. (1)求的值； (2)解不等式. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为函数所以，即. （2）由（1）知，. 因为，所以，所以的解集为. 模拟演练 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】． 故选：C． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，所以. 故选：D 3．计算等于（    ） A．－1 B． C．3 D．－5 【答案】A 【详解】 故选：A 4．若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 5．函数与的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 【答案】C 【详解】设函数与的图象关于直线对称， 因为函数图象关于对称图象的函数解析式为， 所以，解得. 故选：C. 6．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得, 又所以, 又， 所以. 故选：D. 7．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数有意义，得，解得， 所以所求定义域为. 故选：B 8．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，即， 则，解得. 故选：D. 9．函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数在定义域上单调递减， 当时，，即，且当时， 所以函数，的值域是. 故选：A 10．某林区的森林面积每年比上一年平均增长，要增长到原来的倍，需经过年，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，则，即， 显然选项ABC不符合题意，D符合. 故选：D 二、填空题 11．下列函数是指数函数的序号为 ．（请填入全部正确的序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤． 【答案】②③⑤ 【详解】形如且的函数叫做指数函数， 因此②③⑤对. 故答案为：②③⑤. 12．已知函数，则 【答案】5 【详解】因为函数， 所以， 所以. 故答案为：5. 13．若，则 ． 【答案】2 【详解】因为，所以. 故答案为：2 14．的值为 . 【答案】8 【详解】 . 故答案为：8. 15．函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】令，所以． 故答案为：. 三、解答题 16．计算下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)4(2) 【详解】（1）由题意可得，，， ，，将上述结果代入原式，可得： ； （2）由对数的运算性质可得， 因为，则， 因为，则 ； 且， 将上述结果代入原式，可得： . 胡最终计算得到：. 17．求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3). 【答案】(1){且x≠2}； (2)； (3)﹒ 【详解】（1）有意义，满足且， 解得定义域为{且x≠2}； （2）有意义，满足， 即， ∵为减函数， 故定义域为； （3）有意义，满足， 解得， 故定义域为. 18．已知函数. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并给予证明； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)； (2)函数为奇函数，证明见解析； (3)见解析. 【详解】（1）根据题意，函数， 所以，解可得， 所以函数的定义域为； （2）由（1）得函数的定义域为，关于原点对称， 因为函数， 所以， 所以函数为奇函数. （3）根据题意，即， 当时，有，解可得，此时不等式的解集为； 当时，有，解可得，此时不等式的解集为 所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 19．秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与药熏时间（小时）成正比：当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）的函数关系式为（为常数，）.已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）关于时间（小时）的变化曲线如图所示. (1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； (2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于毫克时，学生方可进入教室，那么从药薰开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室. 【答案】(1) (2)至少需要经过后，学生才能回到教室 【详解】（1）依题意，当时， 可设，且，解得， 又由，解得， 所以； （2）令， 即，解得， 即至少需要经过后，学生才能回到教室. 20．已知指数函数（，且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵指数函数（，且）过点， ∴，∴解得， ∴函数的解析式为. （2）若，则， ∴， 由指数函数的单调性知，在上单调递减， ∴，解得， ∴实数的取值范围是. $$i 专题04 指数函数与对数函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解分数指数幂，实数指数幂的运算法则 · 了解幂函数举例 · 理解指数函数的图像与性质 · 理解对数的概念积，商，幂的对数概念 · 了解对数函数的图像与性质 · 了解指数函数与对数函数的实际应用举例 考点预测 · 实数指数幂，对数的计算法则 · 指数函数的图像与性质 · 对数函数的图像与性质 · 会解决指数函数与对数函数的实际应用问题 要点自测 1．根式 (1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 － 表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±． ③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ＝0． (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|. 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝ .这里a≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂：＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (6)有理指数幂的运算性质 ①； ②； ③． 3．指数函数的图象及性质 定义 一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数 图 象 a＞1 0＜a＜1 定义域 值域 性质 过定点( ， ) 在R上是（ ） 在R上是（ ） 4．幂函数 （1）定义：一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）几个常用的幂函数的图象与性质 定义 幂函数y＝xα(α∈R) 图象 α＞0 α＜0 性 质 (1)图象过点( ，)和( ， ) 图象过点( ， ) (2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，＋∞)上是增函数 在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，＋∞)上是减函数 (3)在第一象限内，当α＞1时，图象下凸当0＜α＜1时，图象上凸 在第一象限内，图象都下凸 5．对数 (1)对数：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的 ，记作x＝ 其中a叫做对数的 ，N叫做 ． (2)两类重要的对数 ①常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作 ； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记作 ． 注：(1)无理数e＝2.718 28…；(2)负数和零没有对数；(3)loga1＝ ，logaa＝ . (3)对数与指数之间的关系: 当a＞0，a≠1时，ax＝N ⇔ x＝ . (4)对数运算的性质: 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0， 那么：①loga(MN)＝ ；②loga＝ ；③logaMn＝ ；一般地，＝ ； (5)换底公式及对数恒等式 ①对数恒等式：＝ ； ②换底公式：logab= (a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)．特别地，logab＝ . 6．对数函数的图象及性质 定义 一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 定义域 值域 性质 过定点（ ） 在(0，＋∞)上是（ ） 在(0，＋∞)上是（ ） 考点突破 考点1 实数指数幂以及运算 【例1】 （    ） A． B． C． D． 【突破训练】（    ） A． B．2 C． D． 考点2 对数的运算 【例2】若（且），则（    ） A． B． C． D． 【突破训练】若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【例3】的值为（    ） A． B． C．1 D． 【突破训练】计算等于（    ） A．－1 B． C．3 D．－5 考点3 指数函数的图像与性质 【例4】已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【突破训练】已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 考点4 对数函数的图像与性质 【例5】函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．2 C． D． 【突破训练】已知，则等于（   ） A． B． C．1 D．2 【例6】使对数有意义的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【突破训练】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 考点5 函数的应用 【例7】随着我国经济的不断发展，2023年年底某地区农民人均年收入为7000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6％的年平均增长率增长，那么2030年年底该地区的农民人均年收入为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【突破训练】半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用表示从开始，晶体管数量随时间变化的函数，，若是以年为单位，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 考点6 函数的综合题 【例8】已知函数. (1)求函数定义域; (2)若函数，求实数的值. 【突破训练】已知函数． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性． 【例9】已知函数在区间上的最大值与最小值之和为7． (1)求a的值； (2)证明：函数是上的增函数． 【突破训练】已知函数（为常数，且），且. (1)求的值； (2)解不等式. 模拟演练 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．计算等于（    ） A．－1 B． C．3 D．－5 4．若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．函数与的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 6．设，，，则（    ） A． B． C． D． 7．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 8．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 9．函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 10．某林区的森林面积每年比上一年平均增长，要增长到原来的倍，需经过年，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．下列函数是指数函数的序号为 ．（请填入全部正确的序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤． 12．已知函数，则 13．若，则 ． 14．的值为 . 15．函数的定义域是 ． 三、解答题 16．计算下列各式的值： (1) (2) 17．求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3). 18．已知函数. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并给予证明； (3)求关于的不等式的解集. 19．秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与药熏时间（小时）成正比：当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）的函数关系式为（为常数，）.已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）关于时间（小时）的变化曲线如图所示. (1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； (2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于毫克时，学生方可进入教室，那么从药薰开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室. 20．已知指数函数（，且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围． $$