专题04 特殊平行四边形的综合应用（三大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题04 特殊平行四边形的综合应用 题型一 中点四边形 1．（22-23九年级上·河南郑州·期末）若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形的两条对角线一定是(   ) A．互相平分 B．互相垂直 C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等 【答案】D 【分析】由题意作出图形，然后根据正方形的判定定理可进行排除选项． 【详解】解：如图所示，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AD、DC、BC、AB的中点， ∴， ∴四边形EFGH是平行四边形， 对于A选项：对角线互相平分，四边形EFGH仍是平行四边形，故不符合题意； 对于B选项：对角线互相垂直，则有，可推出四边形EFGH是矩形，故不符合题意； 对于C选项：对角线互相平分且相等，则有，可推出四边形EFGH是菱形，故不符合题意； 对于D选项：对角线互相垂直且相等，则有，，可推出四边形EFGH是正方形，故符合题意； 故选D． 2．（23-24九年级上·河南信阳·期末）下列说法： 四边相等的四边形一定是菱形 顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形 对角线相等的四边形一定是矩形 经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分 其中正确的有　　个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】∵四边相等的四边形一定是菱形，∴①正确； ∵顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，∴②错误； ∵对角线相等的平行四边形才是矩形，∴③错误； ∵经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，∴④正确； 其中正确的有2个， 故选：C． 3．（22-23九年级上·河南开封·期末）如图，已知点分别是四边形的边的中点，顺次连接得到四边形，我们把四边形叫做四边形的“中点四边形”．若四边形是菱形，则它的“中点四边形”一定是（    ）    A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定，涉及三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质及矩形的性质，根据题意，结合三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质及矩形的性质逐步推理即可得到答案，熟记三角形中位线的判定与性质、平行四边形及特殊平行四边形的判定是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示：   点分别是四边形的边的中点， 是的中位线、是的中位线、是的中位线， ，且；，且；， ，且，即四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ，， ， 平行四边形是矩形， 故选：B． 4．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）依次连接矩形各边中点所得到的四边形是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】连接、，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到四边形为菱形． 【详解】解：连接、，   四边形是矩形， ， 、分别是、的中点， ，， 同理，，，，，，， ， 四边形为菱形， 故选：B． 5．（23-24九年级上·河南安阳·期末）若顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是菱形，则原四边形一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．对角线相等的四边形 【答案】D 【分析】画出图形，由菱形的四边相等和中位线性质可知该四边形的两条对角线相等. 【详解】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点， ∴EF=FG=GH=EH，BD=2EF，AC=2FG， ∴BD=AC． ∴原四边形一定是对角线相等的四边形． 故选D． 6．（22-23九年级上·河南驻马店·期末）如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ） A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形 B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形 C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形 D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形 【答案】D 【分析】根据连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断，即可求解 【详解】解：A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确； B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确； C．当E，F，G，H不是各边中点时，EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH为平行四边形，故C正确； D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可能为菱形，故D错误； 故选D． 7．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）任意四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，当四边形ABCD满足条件 时，四边形EGFH是菱形．（填一个使结论成立的条件） 【答案】AB=CD 【分析】E、G分别是AD，BD的中点，那么EG就是三角形ADB的中位线，同理，HF是三角形ABC的中位线，因此EG、HF同时平行且相等于AB，因此EG∥HF且EG=HF．因此四边形EHFG是平行四边形，E、H是AD，AC的中点，那么EH=CD，要想证明EHFG是菱形，那么就需证明EG=EH，那么就需要AB、CD满足AB=CD的条件． 需添加条件AB=CD． 【详解】解：需添加条件AB=CD． ∵点E，G分别是AD，BD的中点， ∴EG∥AB，且EG=AB同理HF∥AB，且HF=AB， ∴EG∥HF，EG=HF． ∴四边形EGFH是平行四边形． ∵EG=AB， 又可同理证得EH=CD， ∵AB=CD， ∴EG=EH， ∴四边形EGFH是菱形． 故答案为AB=CD． 8．（22-23九年级上·河南焦作·期末）如图所示,在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O,点E，F，G,H分别为边AD，AB，BC，CD的中点.若AC＝8，BD＝6,则四边形EFGH的面积为 ． 【答案】12 【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形．利用中位线定理可得出四边形矩形，根据矩形的面积公式解答即可． 【详解】解：点、分别为四边形的边、的中点， ，且． 同理求得，且， 又， ，且． 四边形是矩形． 四边形的面积，即四边形的面积是12． 故答案是：12． 9．（22-23九年级上·河南鹤壁·期末）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形； （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想； （3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明） 【答案】（1）证明见解析；（2）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（3）四边形EFGH是正方形 【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可． （2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可． （3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明． 【详解】（1）证明：如图1中，连接BD． ∵点E，H分别为边AB，DA的中点， ∴EH∥BD，EH=BD， ∵点F，G分别为边BC，CD的中点， ∴FG∥BD，FG=BD， ∴EH∥FG，EH=GF， ∴中点四边形EFGH是平行四边形． （2）四边形EFGH是菱形． 证明：如图2中，连接AC，BD． ∵∠APB=∠CPD， ∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD， 即∠APC=∠BPD， 在△APC和△BPD中， ∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD， ∴△APC≌△BPD（SAS）， ∴AC=BD． ∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点， ∴EF=AC，FG=BD， ∵四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH是菱形． （3）四边形EFGH是正方形． 证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N． ∵△APC≌△BPD， ∴∠ACP=∠BDP， ∵∠DMO=∠CMP， ∴∠COD=∠CPD=90°， ∵EH∥BD，AC∥HG， ∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°， ∵四边形EFGH是菱形， ∴四边形EFGH是正方形． 10．（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形． (1)四边形的形状是______，请证明你的结论； (2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形； (3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种． 【答案】(1)平行四边形．证明见解析 (2)； (3)矩形的中点四边形是菱形． 【分析】（1）连接，根据三角形的中位线定理得到，，，，推出，，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形； （2）根据有一组是邻边的平行四边形是菱形，可知当四边形的对角线满足的条件时，四边形是菱形； （3）矩形的中点四边形是菱形．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，再根据矩形对角线相等，然后根据四边相等的四边形是菱形． 【详解】（1）四边形的形状是平行四边形．理由如下： 如图，连接． 、分别是、中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形； （2）当四边形的对角线满足的条件时，四边形是菱形．理由如下： 如图，连接、． 、、、分别为四边形四条边上的中点， ，，，， ， ， 又四边形是平行四边形 平行四边形是菱形； 故答案为：； （3）矩形的中点四边形是菱形．理由如下： 连接、． 、、、分别为四边形四条边上的中点， ，，，，，， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形． 题型二 特殊平行四边形的动点问题 11．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，点O为矩形的对称中心，点E从点A出发沿向点B运动，移动到点B停止，延长EO交于点F，则四边形形状的变化依次为（    ）    A．矩形→菱形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形 【答案】B 【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况：这个四边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点E与点B重合时是矩形． 【详解】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形． 故选：B． 12．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）如图，在菱形中，，，点、同时由、两点出发，分别沿、方向向点匀速移动（到点为止），点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接BD，证出△ADE≌△BDF，得到AE=BF，再利用AE=t，CF=2t，则BF=BCCF=52t求出时间t的值． 【详解】解：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°， ∴AB=AD，∠ADB=∠ADC=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD=BD， 又∵△DEF是等边三角形， ∴∠EDF=∠DEF=60°， 又∵∠ADB=60°， ∴∠ADE=∠BDF， 在△ADE和△BDF中， ∴△ADE≌△BDF(ASA)， ∴AE=BF， ∵AE=t，CF=2t， ∴BF=BC−CF=5−2t， ∴t=5−2t ∴t=， 故选：D. 3．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，已知AB＝8，P为线段AB上一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】A 【分析】连接PM、PN，推出∠MPN=60°+30°=90°，在Rt△PMN中利用勾股定理即可. 【详解】连接PM、PN． ∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP=60°， ∴∠APC=120°，∠EPB=60°， ∵M，N分别是对角线AC，BE的中点， ∴∠CPM=∠APC=60°，∠EPN=∠EPB=30°， ∴∠MPN=60°+30°=90°， 设PA=2a，则PB=8﹣2a，PM=a，PN=（4﹣a）， ∴MN=， ∴a=3时，MN有最小值，最小值为2， 故答案选：A． 14．（18-19九年级上·河南郑州·期末）如图所示，在等边三角形中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为．    (1)连接，当经过边的中点时，求证：四边形是平行四边形； (2)填空：①当为________时，四边形是菱形；②当为________时，的面积是的面积的倍． 【答案】(1)见解析 (2)①8；②或 【分析】（1）判断出得出，即可得出结论； （2）①先求出，进而判断出，即可得出结论； ②先判断出和的边和上的高相等，进而判断出，再分两种情况，建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，    ∵， ∴，， ∵经过边的中点D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①如图2，    ∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，且点F在延长线上， 由运动知，，， ∴，， 将代入中，得，符合题意， 即：秒时，四边形是菱形， 故答案为8； ②设平行线与的距离为h， ∴边上的高为h，的边上的高为h， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， 当点F在线段上时，，， ∴， ∴； 当点F在的延长线上时，，， ∴， ∴， 即： 秒或秒时，的面积是的面积的2倍， 故答案为：或． 15．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图1，在四边形中，，于点，且，，，动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度平移．过点作垂直于直线，垂足为点，设点平移的时间为秒． (1)当 时经过点； (2)与四边形重叠部分的面积为．请写出与的关系式，并写出的取值范围； (3)如图2，当经过时，将绕点逆时针针旋转度，记旋转后的为，、的对应点分别是、．直线、直线和直线分别交于、M．在整个旋转过程中，能否为等腰三角形？若存在，请直接写出此时旋转角度的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)存在，满足条件的的值为或或或 【分析】（1）如图中，作于．则四边形是矩形，，．求出的长即可解决问题； （2）分四种情形①如图中，当时，重叠部分是．②如图中，当时，重叠部分是四边形．③如图中，当时，重叠部分是五边形．④如图中，当时，重叠部分是梯形；分别求解即可； （3）观察图，图，图，图可知，满足条件的的值为或或或． 【详解】（1）解：如图中，作于．则四边形是矩形，，． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为 （2）①如图中，当时，重叠部分是，． ②如图中，当时，重叠部分是四边形． ． ③如图中，当时，重叠部分是五边形． ④如图5中，当时，重叠部分是梯形， 综上所述， （3）能．理由如下： ①如图6中， ∵，， ∴当时，是等腰直角三角形． ②如图7中，， 即当时，是等腰三角形． ③如图8中，当时，是等腰三角形． ④如图9中，，则， 即当时，是等腰三角形． 综上所述，满足条件的的值为或或或． 16．（23-24九年级上·河南济源·期末）如图，矩形ABCD中，，点E、F、G、H，分别是BC、CD、AD、AB上的动点（顶点除外），若； (1)在图1中，点E，F，G，H分别是BC，CD，AD，AB上的中点． ①判断四边形EFGH的形状，并证明； ②若四边形EFGH是正方形，求BC的长； (2)在图2中，已知，判断四边形EFGH的周长是否会随着点G的变化而变化，如不变化，求出其周长，若会变化，说明理由； 【答案】(1)①菱形，证明见解析；②4 (2)周长不会变化， 【分析】（1）①根据题意先进行判断，再利用矩形的性质证明全等从而证明四边形的四条边都相等即可求证；②根据正方形的性质求解即可； （2）通过延长GH交CB的延长线于点N，延长GF交BC的延长线于点M，如图（见详解），证明，，求出MN的长度，再证明 ，得到，过点G作于点K之后即可利用勾股定理求出四边形EFGH的周长． 【详解】（1）解：①四边形EFGH是菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形，点E，F，G，H分别是BC，CD，AD，AB上的中点， ∴,， 且, ∴， ∴， ∴四边形EFGH是菱形． ②若四边形EFGH是正方形，则； （2）解：四边形EFGH的周长不会随着DG的变化而变化； 如图，延长GH交CB的延长线于点N，延长GF交BC的延长线于点M． ∵，， ∴． 且，, ∴． ∴，， 同理：，． ∴． ∵，， ∴． ∴． 过点G作于点K，则， ∴， ∴四边形EFGH的周长为． 17．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，在矩形中，，，点P从点A出发，每秒个单位长度的速度沿方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线方向运动．已知两点同时出发，当点Q到达点A时，两点同时停止运动，连接，设运动时间为t秒． (1)_______，_______． (2)当t为何值时，的面积为． (3)在运动过程中，是否存在一个时刻t，使所得沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)当点P关于点Q的对称点落在的内部（不包括边上）时，请求出t的取值范围．（直接写出答案） 【答案】(1)3，6 (2) (3)或或 (4) 【分析】（1）根据矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质解答即可； （2）根据直角三角形的性质和三角形的面积公式解答即可； （3）分三种情况，分别利用翻折的性质解答即可； （4）根据对称的性质解答即可． 【详解】（1）∵矩形ABCD， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：，． 故答案为：3；6； （2）过点Q作QH⊥AB，垂足为H， 由题意得，，， 在中，， ∴， ∴， 解得：，； （3）①当沿翻折时，则，如图， 则， 所以； ②当沿翻折时，则如图： 过点Q作，垂足为M， 则， 在直角三角形中，， 所以， 所以，即， 解得：； ③当沿翻折时，则如图， 过点P作，垂足为M， 则， 在直角三角形中，， 所以， 所以，即， 解得：； （4）由题意知，，， ∴在中， 满足， 解得：． 18．（23-24九年级上·河南开封·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D为BC中点，点P从点B出发沿折线B﹣A﹣C运动，速度为每秒5个单位，到点C停止．在点P的运动过程中，过点P作PQ⊥BC于Q，以PQ为边作矩形PQMN，且MN与AD始终在PQ同侧，且PN＝2PQ．设运动时间为t秒． （1）当点N在AC上时，直接写出t值． （2）当点N在AB上时，求PQ的长． （3）当矩形PQMN与△ABC重叠部分为五边形时，求t的取值范围． （4）当点P在线段AB上运动时，点N落在△ABC一边的垂直平分线上时，直接写出t的值． 【答案】（1）；（2）；（3）＜t＜或＜t＜；（4）或或． 【分析】（1）证明△PQB≌△NMC（AAS），可得BQ＝MC，再根据BC＝BQ＋QM＋CM，构建方程求解即可． （2）根据PN＝2PQ，构建方程求解即可． （3）求出当点P在线段AB上时，点M与C重合时，t的值，求出当点P在AC上时，点M与B重合时，t的值，结合（1）（2）即可判断． （4）分三种情形：如图3中，当点N落在AB的中垂线GK上时，如图4中，当N落在BC的垂直平分线AD上时，如图5中，当点N落在AC的垂直平分线上时，分别求解即可． 【详解】解：（1）当N在AC上时，如图1所示， ∵D为BC中点， ∴BD＝CD＝4， ∵AB＝AC＝5， 由勾股定理可得：AD＝， 由题意知，PB＝5t，PQ＝3t，BQ＝4t，PN＝6t， ∵PQ＝NM，∠PQB＝∠NMC，∠B＝∠C， ∴△PQB≌△NMC（AAS）， ∴BQ＝MC， ∴BC＝BQ＋QM＋MC＝4t＋6t＋4t＝8， 解得：t＝； （2）当N在AB上时，如图2所示， 由题意知，CP＝10﹣5t，CQ＝8﹣4t，PQ＝6﹣3t， ∴AP＝5t﹣5，PE＝4t﹣4，PN＝8t﹣8， ∵PN＝2PQ， ∴8t﹣8＝2（6﹣3t）， 解得：t＝， ∴PQ＝． （3）当点P在线段AB上时，点M与C重合时，此时CQ＝8﹣4t，PN＝6t， 可得：8﹣4t＝6t， 解得：t＝， 观察图象可知，当＜t＜时，矩形PQMN与△ABC重叠部分为五边形， 当点P在AC上时，点M与B重合时，BQ＝8﹣CQ＝8﹣（8﹣4t）＝4t，PQ＝6﹣3t， ∵BQ＝2PQ， ∴4t＝2（6﹣3t）， 解得：t＝， 观察图象可知，当＜t＜时，矩形PQMN与△ABC重叠部分为五边形． 综上所述，满足条件的t的取值范围为＜t＜或＜t＜． （4）如图3中，当点N落在AB的中垂线GK上时（AB的中垂线交AB于G，交BC于K）， 由题意，PB＋PG＝BG， ∴5t＋6t•＝， 解得t＝． 如图4中，当N落在BC的垂直平分线AD上时， 由题意BQ＋QD＝4， ∴4t＋6t＝4， ∴t＝． 如图5中，当点N落在AC的垂直平分线上时（AC的垂直平分线交AC于T，交BC于H）， 连接AH，设DH＝m，则AH＝CH＝4﹣m， 根据勾股定理得，， ∴m＝， ∴HM＝10t﹣4﹣， 由题意：， ∴， ∴t＝， 综上所述，满足条件的t的值为或或． 19．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为6，点A、C分别在x、y正半轴上，点B在第一象限．点P是x正半轴上的一动点，且OP＝t，连结PC，将线段PC绕点P顺时针旋转90度至PQ，连结CQ，取CQ中点M． （1）当t＝2时，求Q与M的坐标； （2）如图2，连结AM，以AM、AP为邻边构造平行四边形APNM．记平行四边形APNM的面积为S． ①用含t的代数式表示S（0t6）． ②当N落在△CPQ的直角边上时，求∠CPA的度数； （3）在（2）的条件下，连结AQ，记△AMQ的面积为，若S＝，则t＝　 　（直接写出答案）． 【答案】（1）Q（8，2），M（4，4）；（2）①；②112.5°或22.5°；（3）或． 【分析】（1）过点Q作QD⊥x轴于点D，证△COP≌△PDQ（AAS），得OP＝QD＝2，OC＝PD＝6，则OD＝OP+PD＝8，得Q（8，2），再由中点坐标公式得M（4，4）； （2）①由全等三角形的性质得OP＝OQ＝t，OC＝PD＝6，则OD＝t+6，得Q（t+6，t），再由中点坐标公式得M（，），由平行四边形面积公式即可得出答案； ②分两种情况：当N在PC上时，连接OB、PM，先证△COM≌△AOM（SAS），得CM＝AM，再证PM＝AM，然后证AM⊥PQ，得∠PMA＝∠QMA＝45°，最后由等腰三角形的性质得∠MPA＝67.5°，即可得出答案； 当N在PQ上时，连接PM、OM，同理可证MA＝MP，∠AMP＝45°，∠MPA＝67.5°，则∠CPA＝67.5﹣45＝22.5°； （3）过点M作MH⊥x轴于点H，过点Q作QG⊥x轴于点G，分两种情况：①当0＜t＜6时，即点AP在点A左侧时；②当t＞6时，即点P在点A右侧时；由面积关系得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）过点Q作QD⊥x轴于点D，如图1所示： ∵OP＝t，t＝2， ∴OP＝2， ∵正方形的边长为6， ∴OC＝6， ∴C（0，6）， 由旋转的性质得：CP＝PQ，∠CPQ＝90°， ∴∠CPO+∠QPD＝90°， ∵∠QPD+∠PQD＝90°， ∴∠CPO＝∠PQD， 在△COP和△PDQ中， ， ∴△COP≌△PDQ（AAS）， ∴OP＝QD＝2，OC＝PD＝6， ∴OD＝OP+PD＝8， ∴Q（8，2）， ∵M是CQ的中点，C（0，6）， ∴M（4，4）； （2）①∵△COP≌△PDQ， ∴OP＝OQ＝t，OC＝PD＝6， ∴OD＝t+6， ∴Q（t+6，t）， ∵C（0，6）， ∴M（，）， 当0＜t＜6时，S＝AP×yM＝（6﹣t）×＝； ②分两种情况： a、当N在PC上时，连接OB、PM，如图2﹣1所示： ∵点M的横、纵坐标相等， ∴点M在对角线BD上， ∵四边形OABC是正方形， ∴OC＝OA，∠COM＝∠AOM， 又∵OM＝OM， ∴△COM≌△AOM（SAS）， ∴CM＝AM， 在Rt△CPQ中，CP＝PQ，M为CQ的中点， ∴PM⊥CQ，∠CPM＝∠MPQ＝45°，PM＝CQ＝CM＝MQ， ∴PM＝AM， ∵点N在PC上，四边形APNM是平行四边形， ∴NP∥AM， ∵∠CPQ＝90°， ∴NP⊥PQ， ∴AM⊥PQ， ∴∠PMA＝∠QMA＝45°， 又∵PM＝AM， ∴∠MPA＝（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠CPA＝45°+67.5＝112.5°； b、当N在PQ上时，连接PM、OM，如图2﹣2所示： 同理可证MA＝MP，∠AMP＝45°， ∴∠MPA＝（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠CPA＝67.5﹣45＝22.5°； 综上所述，当点N在△CPQ的直角边上时，∠CPA的度数为112.5°或22.5°； （3）过点M作MH⊥x轴于点H，过点Q作QG⊥x轴于点G， ∵， ∴＝（+t）•﹣（6﹣）•﹣t•t＝3t， ①当0＜t＜6时，即点AP在点A左侧时，如图3所示： ∵S＝， ∴＝3t， 解得：t＝﹣3+3，或t＝﹣3﹣3（舍去）； ②当t＞6时，即点P在点A右侧时，如图4所示： S＝AP×=（t﹣6）×＝， ∵S＝， ∴＝3t， 解得：t＝3+3，或t＝3﹣3（舍去）； 综上所述，t的值为3+3或－3+3， 故答案为：或3+3或－3+3． 20．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、 运动的时间是秒．过点作于点，连接、． （1）请用含有的式子填空：______，______，______； （2）是否存在某一时刻使四边形为菱形？如果存在，求出相应的值；如果不存在，说明理由； （3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由． （备用图） 【答案】（1），，；（2）存在，当时四边形为菱形；（3）或时为直角三角形． 【分析】（1）在 中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长，由PM=PB则可得出答案； （2）证明四边形AQMP是平行四边形，当AP=AQ时，平行四边形AQMP是菱形，可得出20-2t=t，求出t的值即可； （3）分三种不同的情况，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】解：（1）∵点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动， ∴AQ=t， ∵∠C=90°，AC=10，∠A=60， ∴∠B=30°， ∴AB=2AC=20， ∴AP=AB-BP=20-2t， ∵PM⊥BC， ∴∠PMB=90， ∴PM=PB=t． 故答案为： ，，． （2）存在，理由如下：由（1）知， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形． 当时，是菱形 即，解得． 故当时四边形为菱形． （3）为直角三角形有3种可能： ①当时：此时四边形为矩形 在中， ∴ ∴，即，解得 ②当时：由（2）知 ∴． ∵ ∴， ∴，即，解得． ③当时：此种情况不存在． 综上所述，或时为直角三角形． 31．（23-24九年级上·河南焦作·期末）在四边形ABCD中，AD//BC．∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm．BC＝26cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．求：从运动开始，使PQ＝CD，需要经过的时间是多少？ 【答案】8s或s 【分析】设运动时间为t秒，则有AP＝t，CQ＝2t，分PQ//CD和PQ与CD不平行两种情况进行讨论，再根据平行四边形或梯形的性质建立方程即可求解． 【详解】解：（1）当PQ//CD时， ∵AD//BC， ∴四边形PDCQ是平行四边形， ∴PD＝CQ， 而AP＝t，CQ＝2t，PD＝AD－AP＝24－t， 即：2t＝24－t 解得： t＝8． （2）当PQ与CD不平行时，而AD//BC，PQ＝CD， ∴四边形PDCQ是等腰梯形， 作PM⊥BC于M，DN⊥BC于N，则四边形ABND、PMND均是矩形， ∴AD＝BN＝24，CN＝BC－BN＝2，QM＝CN＝2，PD＝MN， 而CQ＝QM＋MN＋NC， ∴ 2t＝24－t＋2＋2， 解得： t＝． 32．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图①，已知正方形ABCD的边长为3，点Q是AD边上的一个动点，点A关于直线BQ的对称点是点P，连接QP、DP、CP、BP，设AQ=x． （1）BP＋DP的最小值是_______，此时x的值是_______； （2）如图②，若QP的延长线交CD边于点M，并且∠CPD=90°． ①求证：点M是CD的中点；②求x的值． （3）若点Q是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDP为等腰三角形时x的值．      【答案】（1）；；（2）①见详解；②x=1；（3）△CDP为等腰三角形时x的值为：或或． 【分析】（1）BP+DP为点B到D两段折线的和．由两点间线段最短可知，连接DB，若P点落在BD上，此时和最短，且为．考虑动点运动，这种情形是存在的，由AQ=x，则QD=3-x，PQ=x．又PDQ=45°，所以QD＝PQ，即3-x=x．求解可得答案； （2）由已知条件对称分析，AB=BP=BC，则∠BCP=∠BPC，由∠BPM=∠BCM=90°，可得∠MPC=∠MCP．那么若有MP=MD，则结论可证．再分析新条件∠CPD=90°，易得①结论．②求x的值，通常都是考虑勾股定理，选择直角三角形QDM，发现QM，DM，QD都可用x来表示，进而易得方程，求解即可． （3）若△CDP为等腰三角形，则边CD比为改等腰三角形的一腰或者底边．又P点为A点关于QB的对称点，则AB=PB，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，则P点只能在弧AB上．若CD为腰，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧交点即为使得△CDP为等腰三角形（CD为腰）的P点．若CD为底边，则作CD的垂直平分线，其与弧AC的交点即为使得△CDP为等腰三角形（CD为底）的P点．则如图所示共有三个P点，那么也共有3个Q点．作辅助线，利用直角三角形性质求之即可． 【详解】解：（1）连接DB，若P点落在BD上，此时BP+DP最短，如图： 由题意，∵正方形ABCD的边长为3， ∴， ∴BP＋DP的最小值是； 由折叠的性质，，则， ∵∠PDQ=45°，∠QPD=90°， ∴△QPD是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：； 故答案为：；； （2）如图所示： ①证明：在正方形ABCD中，有 AB=BC，∠A=∠BCD=90°． ∵P点为A点关于BQ的对称点， ∴AB=PB，∠A=∠QPB=90°， ∴PB=BC，∠BPM=∠BCM， ∴∠BPC=∠BCP， ∴∠MPC=∠MPB-∠CPB=∠MCB-∠PCB=∠MCP， ∴MP=MC． 在Rt△PDC中， ∵∠PDM=90°-∠PCM， ∠DPM=90°-∠MPC， ∴∠PDM=∠DPM， ∴MP=MD， ∴CM=MP=MD，即M为CD的中点． ②解：∵AQ=x，AD=3， ∴QD=3-x，PQ=x，CD=3． 在Rt△DPC中， ∵M为CD的中点， ∴DM=QM=CM=， ∴QM=PQ+PM=x+， ∴(x+)2＝(3−x)2+()2， 解得：x=1． （3）如图，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧分别交于P1，P3．此时△CDP1，△CDP3都为以CD为腰的等腰三角形．作CD的垂直平分线交弧AC于点P2，此时△CDP2以CD为底的等腰三角形． ①讨论P1，如图作辅助线，连接BP1、CP1，作QP1⊥BP1交AD于Q，过点P1，作EF⊥AD于E，交BC于F． ∵△BCP1为等边三角形，正方形ABCD边长为3， ∴P1F＝，P1E＝． 在四边形ABP1Q中， ∵∠ABP1=30°， ∴∠AQP1=150°， ∴△QEP1为含30°的直角三角形， ∴QE=EP1＝． ∵AE=， ∴x=AQ=AE-QE=． ②讨论P2，如图作辅助线，连接BP2，AP2，过点P2作QG⊥BP2，交AD于Q，连接BQ，过点P2作EF⊥CD于E，交AB于F． ∵EF垂直平分CD， ∴EF垂直平分AB， ∴AP2=BP2． ∵AB=BP2， ∴△ABP2为等边三角形． 在四边形ABP2Q中， ∵∠BAD=∠BP2Q=90°，∠ABP2=60°， ∴∠AQG=120° ∴∠EP2G=∠DQG=180°-120°=60°， ∴P2E＝， ∴EG=， ∴DG=DE+GE=， ∴QD=， ∴x=AQ=3-QD=． ③对P3，如图作辅助线，连接BP1，CP1，BP3，CP3，过点P3作BP3⊥QP3，交AD的延长线于Q，连接BQ，过点P1，作EF⊥AD于E，此时P3在EF上，不妨记P3与F重合． ∵△BCP1为等边三角形，△BCP3为等边三角形，BC=3， ∴P1P3＝，P1E＝， ∴EF＝． 在四边形ABP3Q中 ∵∠ABF=∠ABC+∠CBP3=150°， ∴∠EQF=30°， ∴EQ=EF=． ∵AE=， ∴x=AQ=AE+QE=+． 综合上述，△CDP为等腰三角形时x的值为：或或． 题型三 四边形中的线段最值问题 33．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP = CQ，连接CP，QD，则PC + QD的最小值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE、CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接BP， 在矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC=6， ∵AP=CQ， ∴AD-AP=BC-CQ， ∴DP=QB，DP∥BQ， ∴四边形DPBQ是平行四边形， ∴PB∥DQ，PB=DQ， 则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值， 在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE，CE， 则BE=2AB=8， ∵PA⊥BE， ∴PA是BE的垂直平分线， ∴PB=PE， ∴PC+PB=PC+PE， 连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE， ∴CE==10， ∴PC+PB的最小值为10， 即PC+QD的最小值为10， 故选：B． 34．（23-24九年级上·河南登封·期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是（　　） A．4 B．8 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当CP⊥P1P2时，PC取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知CP1⊥P1P2，故CP的最小值为CP1的长，由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 当点F与点D重合时，点P在P1处，AP1＝DP1， 当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝AP2， ∴P1P2∥DE且P1P2＝DE 当点F在ED上除点D、E的位置处时，有AP＝FP 由中位线定理可知：P1P∥DF且P1P＝DF ∴点P的运动轨迹是线段P1P2， ∴当CP⊥P1P2时，PC取得最小值 ∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点， ∴△ABE、△CDE、△DCP1为等腰直角三角形，DP1＝2 ∴∠BAE＝∠DAE＝∠DP1C＝45°，∠AED＝90° ∴∠AP2P1＝90° ∴∠AP1P2＝45° ∴∠P2P1C＝90°，即CP1⊥P1P2， ∴CP的最小值为CP1的长 在等腰直角CDP1中，DP1＝CD＝4， ∴CP1＝4 ∴PB的最小值是4． 故选：D． 35．（23-24九年级上·河南济源·期末）如图，正方形 的边长是12，分别是上的点，已知，，求周长的最小值 ．    【答案】 【分析】作点E关于的对称点N，连接，交于点G，根据两点之间线段最短，所以为的最小值，过点F作于点M，在直角中，求得的最小值为13，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，    作点E关于的对称点N， 因为正方形是轴对称图形，且为对称轴， 所以点N在上， 连接，交于点G，根据两点之间线段最短， 所以为的最小值， 过点F作于点M， 则，， 根据轴对称性质可知：， 所以， 在直角中，由勾股定理，得： ， 所以， 即的最小值为13， 在中，， 所以， 所以周长的最小值是． 36．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，正方形中，，E是边的中点，F是正方形内一动点，且，连接，，，并将绕点D逆时针旋转得到（点M，N分别为点E，F的对应点）．连接，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点M作，垂足为P，连接，由旋转的性质得到，，，根据正方形的性质求出，证明，得到，，利用勾股定理求出，根据即可求出的最小值． 【详解】解：过点M作，垂足为P，连接， 由旋转可得：，，， 在正方形中，，E为中点， ∴， ∵， ∴，又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵C，M位置固定， ∴，即， ∴，即的最小值为， 故答案为：． 37．（22-23九年级上·河南安阳·期末）如图，，是菱形的边，的中点，是菱形的对角线上的动点，若，，则的最小值是 ． 【答案】13 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，此时有最小值，最小值为，求出即为所求． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，最小值为， 四边形是菱形， 是菱形的一条对称轴， 是的中点， 点是的中点， ， ， ， 连接，是的中点，， ， 在中，， 的最小值为13， 故答案为：13． 38．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，在边长为2的菱形中，，点是边的中点，点是菱形内一动点，且满足，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，根据菱形的性质以及直角三角形的性质求出，当点运动到线段上的点时，取得最小值，进一步求解即可． 【详解】过点作交的延长线于点，如图所示：    ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 根据勾股定理，得：， ∵， ∴， 根据勾股定理，得：， ∵， 当点运动到线段上的点时，取得最小值， ， ∴的最小值为， 故答案为：． 39．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边，上的动点，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是 ． 【答案】7.5 【分析】连接、、，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当A、P、C三点共线时，即可求解． 【详解】连接、、，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当A、P、C三点共线时， ， ∴的最小值是7.5， 故答案为：7.5． 40．（23-24九年级上·河南温县·期末）如图，长方形ABCD中，，，E为BC上一点，且，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转30°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意将线段BE绕点E顺时针旋转30°得到线段ET，连接GT，过E作，垂足为J，进而结合全等三角形判定可得当CG⊥TG时，CG的值最小，依据矩形的性质和含30°的直角三角形进行分析计算即可得出答案. 【详解】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转30°得到线段ET，连接GT，过E作，垂足为J， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=6，∠B=∠BCD=90°， ∵∠BET=∠FEG=30°， ∴∠BEF=∠TEG， 在△EBF和△TEG中， ， ∴△EBF≌△ETG（SAS）， ∴∠B=∠ETG=90°， ∴点G的在射线TG上运动， ∴当CG⊥TG时，CG的值最小， ∵∠EJG=∠ETG=∠JGT=90°， ∴四边形ETGJ是矩形， ∴∠JET=90°,GJ=TE=BE=2， ∵∠BET =30°， ∴∠JEC=180°-∠JET-∠BET=60°， ∵， ∴, ∴CG=CJ+GJ=. ∴CG的最小值为. 故答案为：. 41．（23-24九年级上·河南项城·期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为 ． 【答案】①②③ 【分析】①连接BE，可得四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG；②由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG；③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE；④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为2，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为2． 【详解】解：①连接BE，交FG于点O，如图， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠EFB＝∠EGB＝90°． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形EFBG为矩形． ∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°． 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）． ∴BE＝DE． ∴DE＝FG． ∴①正确； ②延长DE，交FG于M，交FB于点H， ∵△ABE≌△ADE， ∴∠ABE＝∠ADE． 由①知：OB＝OF， ∴∠OFB＝∠ABE． ∴∠OFB＝∠ADE． ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADE+∠AHD＝90°． ∴∠OFB+∠AHD＝90°． 即：∠FMH＝90°， ∴DE⊥FG． ∴②正确； ③由②知：∠OFB＝∠ADE． 即：∠BFG＝∠ADE． ∴③正确； ④∵点E为AC上一动点， ∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小． ∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°， ∴AC＝＝4． ∴DE＝AC＝2． 由①知：FG＝DE， ∴FG的最小值为2， ∴④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故答案为：①②③． 42．（23-24九年级上·河南林州·期末）如图,矩形中,,,连接,为上一动点,为中点,连接,则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2,再根据垂线段最短可得,当 时,取最小值,再求出 的面积,根据,即可得出答案． 【详解】 如图,由题意可知:当点E与点D重合时,点P位于CD边的中点P1处,即 , 当点E与点B重合时,点P位于CB边的中点P2处,, ∴ 且, ∵为中点,∴且, ∴点P的运动轨迹是线段P1P2, ∴当 时,取最小值, ∵四边形ABCD是矩形, ∴CD=AB=8,BC=AD=6, ∴,, 在 中,, ∵ , 即 , 解得: ． 故答案:． 43．（23-24九年级上·河南新郑·期末）如图，正方形ABCD的边长为8，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是 ． 【答案】4 【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解． 【详解】解：如图，连接AE， ∵点C关于BD的对称点为点A， ∴PE+PC＝PE+AP， 根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值， ∵正方形ABCD的边长为8，E是BC边的中点， ∴BE＝4， ∴AE， 故答案为：4． 44．（23-24九年级上·河南焦作·期末）如图，平行四边形中，，，，点E在AD上，且AE=4，点是AB上一点，连接EF，将线段EF 绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接DG，则线段DG的最小值为 ． 【答案】 【分析】结合已知条件，作出辅助线，通过全等得出ME=GN，且随着点F的移动，ME的长度不变，从而确定当点N与点D重合时，使线段DG最小． 【详解】解：如图所示，过点E做EM⊥AB交BA延长线于点M，过点G作GN⊥AD交AD于点N， ∴∠EMF=∠GNE=90° ∵四边形ABCD是平行四边形，BC=12 ∴AD∥BC，AD=BC=12， ∴∠BAD=120°， ∴∠AFE+∠AEF=60° 又∵EG为EF逆时针旋转120°所得， ∴∠FEG=120°，EF=EG， ∴∠AEF+∠GEN=60°， ∴∠AFE=∠GEN， ∴在△EMF与△GNE中，∠AFE=∠GEN，∠EMF=∠GNE=90°，EF=EG， ∴△EMF≌△GNE（AAS） ∴ME=GN 又∵∠EAM=∠B=60°，AE=4， ∴∠AEM=30°，，， ∴， ∴当点N与点D重合时，使线段DG最小，如图所示，此时， 故答案为：． 45．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）如图，矩形ABCD中，AB=20，AD=30，点E，F分别是AB，BC边上的两个动点，且EF=10，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH、GH，则GH+CH的最小值为 . 【答案】45 【分析】延长BA至点使得,此时三点共线，,此时为最小值. 【详解】解：如图所示： 延长BA至点使得, 当三点共线时， , 点G为EF中点，此时，即：, 此时为最小值, 则：, 故答案为：45 46．（23-24九年级上·河南焦作·期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则△PAB周长的最小值 【答案】10+2． 【分析】首先由S△PAB＝S矩形ABCD，得到动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离，然后在Rt△ABE中，由勾股定理可求得BE的值，继而求得答案. 【详解】设△ABP中AB边上的高是h． ∵S△PAB＝S矩形ABCD， ∴AB•h＝AB•AD， ∴h＝AD＝4， ∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离． 在Rt△ABE中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8， ∴BE＝， 即PA+PB的最小值为． ∴△PAB周长的最小值＝10+， 故答案为：10+． 47．（21-22九年级上·河南三门峡·期末）如图，正方形的边长为，点、分别在、上．将该纸片沿折叠，使点落在边上的点处，折痕与相交于． (1)请判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点为的中点，随着折痕位置的变化，请求出周长的最小值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）如图1，作辅助线，构建直角三角形，证明，可得出与之间的数量关系； （2）如图2，取的中点，根据两点之间线段最短得出周长的最小值． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，过点作，交于点，交于点． ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 由折叠性质可知，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ∴． （2）如图2，取的中点，连接、、， ∵正方形的边长为， ∴， ∴， ∵点为的中点， 由折叠的对称性可知，，，， ∵点为中点，为直角三角形， ∴， ∴的周长为：， 由勾股定理得：， ∴当且仅当、、共线时的周长取得最小值，最小值为． ∴周长的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 特殊平行四边形的综合应用 题型一 中点四边形 1．（22-23九年级上·河南郑州·期末）若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形的两条对角线一定是(   ) A．互相平分 B．互相垂直 C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等 2．（23-24九年级上·河南信阳·期末）下列说法： 四边相等的四边形一定是菱形 顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形 对角线相等的四边形一定是矩形 经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分 其中正确的有　　个． A．4 B．3 C．2 D．1 3．（22-23九年级上·河南开封·期末）如图，已知点分别是四边形的边的中点，顺次连接得到四边形，我们把四边形叫做四边形的“中点四边形”．若四边形是菱形，则它的“中点四边形”一定是（    ）    A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 4．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）依次连接矩形各边中点所得到的四边形是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 5．（23-24九年级上·河南安阳·期末）若顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是菱形，则原四边形一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．对角线相等的四边形 6．（22-23九年级上·河南驻马店·期末）如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ） A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形 B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形 C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形 D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形 7．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）任意四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，当四边形ABCD满足条件 时，四边形EGFH是菱形．（填一个使结论成立的条件） 8．（22-23九年级上·河南焦作·期末）如图所示,在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O,点E，F，G,H分别为边AD，AB，BC，CD的中点.若AC＝8，BD＝6,则四边形EFGH的面积为 ． 9．（22-23九年级上·河南鹤壁·期末）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形； （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想； （3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明） 10．（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形． (1)四边形的形状是______，请证明你的结论； (2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形； (3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种． 题型二 特殊平行四边形的动点问题 11．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，点O为矩形的对称中心，点E从点A出发沿向点B运动，移动到点B停止，延长EO交于点F，则四边形形状的变化依次为（    ）    A．矩形→菱形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形 12．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）如图，在菱形中，，，点、同时由、两点出发，分别沿、方向向点匀速移动（到点为止），点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为（  ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，已知AB＝8，P为线段AB上一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（    ） A． B． C．4 D．3 14．（18-19九年级上·河南郑州·期末）如图所示，在等边三角形中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为．    (1)连接，当经过边的中点时，求证：四边形是平行四边形； (2)填空：①当为________时，四边形是菱形；②当为________时，的面积是的面积的倍． 15．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图1，在四边形中，，于点，且，，，动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度平移．过点作垂直于直线，垂足为点，设点平移的时间为秒． (1)当 时经过点； (2)与四边形重叠部分的面积为．请写出与的关系式，并写出的取值范围； (3)如图2，当经过时，将绕点逆时针针旋转度，记旋转后的为，、的对应点分别是、．直线、直线和直线分别交于、M．在整个旋转过程中，能否为等腰三角形？若存在，请直接写出此时旋转角度的值；若不存在，请说明理由． 16．（23-24九年级上·河南济源·期末）如图，矩形ABCD中，，点E、F、G、H，分别是BC、CD、AD、AB上的动点（顶点除外），若； (1)在图1中，点E，F，G，H分别是BC，CD，AD，AB上的中点． ①判断四边形EFGH的形状，并证明； ②若四边形EFGH是正方形，求BC的长； (2)在图2中，已知，判断四边形EFGH的周长是否会随着点G的变化而变化，如不变化，求出其周长，若会变化，说明理由； 17．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，在矩形中，，，点P从点A出发，每秒个单位长度的速度沿方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线方向运动．已知两点同时出发，当点Q到达点A时，两点同时停止运动，连接，设运动时间为t秒． (1)_______，_______． (2)当t为何值时，的面积为． (3)在运动过程中，是否存在一个时刻t，使所得沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)当点P关于点Q的对称点落在的内部（不包括边上）时，请求出t的取值范围．（直接写出答案） 18．（23-24九年级上·河南开封·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D为BC中点，点P从点B出发沿折线B﹣A﹣C运动，速度为每秒5个单位，到点C停止．在点P的运动过程中，过点P作PQ⊥BC于Q，以PQ为边作矩形PQMN，且MN与AD始终在PQ同侧，且PN＝2PQ．设运动时间为t秒． （1）当点N在AC上时，直接写出t值． （2）当点N在AB上时，求PQ的长． （3）当矩形PQMN与△ABC重叠部分为五边形时，求t的取值范围． （4）当点P在线段AB上运动时，点N落在△ABC一边的垂直平分线上时，直接写出t的值． 19．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为6，点A、C分别在x、y正半轴上，点B在第一象限．点P是x正半轴上的一动点，且OP＝t，连结PC，将线段PC绕点P顺时针旋转90度至PQ，连结CQ，取CQ中点M． （1）当t＝2时，求Q与M的坐标； （2）如图2，连结AM，以AM、AP为邻边构造平行四边形APNM．记平行四边形APNM的面积为S． ①用含t的代数式表示S（0t6）． ②当N落在△CPQ的直角边上时，求∠CPA的度数； （3）在（2）的条件下，连结AQ，记△AMQ的面积为，若S＝，则t＝　 　（直接写出答案）． 20．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、 运动的时间是秒．过点作于点，连接、． （1）请用含有的式子填空：______，______，______； （2）是否存在某一时刻使四边形为菱形？如果存在，求出相应的值；如果不存在，说明理由； （3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由． （备用图） 31．（23-24九年级上·河南焦作·期末）在四边形ABCD中，AD//BC．∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm．BC＝26cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．求：从运动开始，使PQ＝CD，需要经过的时间是多少？ 32．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图①，已知正方形ABCD的边长为3，点Q是AD边上的一个动点，点A关于直线BQ的对称点是点P，连接QP、DP、CP、BP，设AQ=x． （1）BP＋DP的最小值是_______，此时x的值是_______； （2）如图②，若QP的延长线交CD边于点M，并且∠CPD=90°． ①求证：点M是CD的中点；②求x的值． （3）若点Q是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDP为等腰三角形时x的值．      题型三 四边形中的线段最值问题 33．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP = CQ，连接CP，QD，则PC + QD的最小值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．20 34．（23-24九年级上·河南登封·期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是（　　） A．4 B．8 C．2 D．4 35．（23-24九年级上·河南济源·期末）如图，正方形 的边长是12，分别是上的点，已知，，求周长的最小值 ．    36．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，正方形中，，E是边的中点，F是正方形内一动点，且，连接，，，并将绕点D逆时针旋转得到（点M，N分别为点E，F的对应点）．连接，则线段长度的最小值为 ． 37．（22-23九年级上·河南安阳·期末）如图，，是菱形的边，的中点，是菱形的对角线上的动点，若，，则的最小值是 ． 38．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，在边长为2的菱形中，，点是边的中点，点是菱形内一动点，且满足，连接，则的最小值为 ．    39．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边，上的动点，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是 ． 40．（23-24九年级上·河南温县·期末）如图，长方形ABCD中，，，E为BC上一点，且，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转30°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为 ． 41．（23-24九年级上·河南项城·期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为 ． 42．（23-24九年级上·河南林州·期末）如图,矩形中,,,连接,为上一动点,为中点,连接,则的最小值是 ． 43．（23-24九年级上·河南新郑·期末）如图，正方形ABCD的边长为8，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是 ． 44．（23-24九年级上·河南焦作·期末）如图，平行四边形中，，，，点E在AD上，且AE=4，点是AB上一点，连接EF，将线段EF 绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接DG，则线段DG的最小值为 ． 45．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）如图，矩形ABCD中，AB=20，AD=30，点E，F分别是AB，BC边上的两个动点，且EF=10，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH、GH，则GH+CH的最小值为 . 46．（23-24九年级上·河南焦作·期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则△PAB周长的最小值 47．（21-22九年级上·河南三门峡·期末）如图，正方形的边长为，点、分别在、上．将该纸片沿折叠，使点落在边上的点处，折痕与相交于． (1)请判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点为的中点，随着折痕位置的变化，请求出周长的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$