专题03 特殊平行四边形的折叠问题（三大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题03 特殊平行四边形的折叠问题 题型一 菱形的折叠 1．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为，若菱形的边长为，，那么为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·河南开封·期末）如图，甲、乙两人分别用一张矩形纸做一个折菱形的游戏．甲沿折叠使得点落在上，沿折叠使得点落在上，甲说得到的四边形为菱形；乙沿折叠使得与重合，再折出，，乙说得到的四边形为菱形；下列说法正确的是（    ） A．甲一定成立，乙可能成立 B．甲可能成立，乙一定不成立 C．甲一定成立，乙一定不成立 D．甲可能成立，乙也可能成立 3．（20-21九年级上·河南濮阳·期末）如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形的边长为4，，则的值是（   ） A． B．2 C． D．4 4．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，点是菱形的边上一点，将沿折叠，点的对应点恰好在边上，若，点为的中点，则的长度为（    ） A．2 B． C． D． 5．（20-21九年级上·河南驻马店·期末）如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片分别沿，所在直线进行折叠，使得菱形的两边，重合于．若此时，则 ． 6．（22-23九年级上·河南许昌·期末）如图，在菱形中，，，点为边的中点，为射线上一动点，连接，把沿折叠，得到，当与菱形的边垂直时，线段的长为 ． 7．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）菱形是矩形纸片按如图所示的方式折叠而成，若菱形的面积为，则长为 ． 8．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，点E是菱形的边上一点，将沿折叠，点D的对应点F恰好在边上，设．若点F是边的中点，则 ．    9．（20-21九年级上·河南安阳·期末）将矩形按如图所示的方式折叠，得到菱形，若，则菱形的周长为 . 题型二 矩形的折叠 10．（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（   ）    A． B． C． D．2 11．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，有一张矩形纸片．先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕﹐同时得到线段，．观察所得的线段，若，则（    ）    A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 14．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△ABC沿AC折叠，点B落到E点，此时AE交CD于F，则AF：EF＝（　　）    A．24：7 B．25：7 C．2：1 D．3：1 15．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在矩形纸片中，，，为边上一点，将沿折叠，得到．点关于对称，若，则的度数为 ． 16．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，点是矩形的边上的动点，沿直线将折叠，，，则当点恰好落在了矩形的对称轴上时， ． 17．（23-24八年级上·河南濮阳·期末）把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则 °． 18．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，在矩形中，，，是延长线上的一点，且，是边上的一个动点（点不与点，重合），将沿折叠，当点的对应点落在矩形任意一边所在的直线上时，的长为 ． 19．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，矩形中，，，点P是边上一个动点，且不与点B，C重合，将沿直线AP折叠得到，点落在矩形的内部，连接，则周长的最小值为 ． 20．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，矩形的边长为4，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再以为折痕，将进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为 ． 21．（21-22九年级上·河南郑州·期末）如图，在矩形ABCD中，，，点E为射线CB上一动点（不与点C重合），将沿DE所在直线折叠，点C落在点处，连接，当为直角三角形时，CE的长为 ． 22．（21-22九年级上·河南漯河·期末）如图，已知点E是长方形ABCD中AD边上一点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，折叠后点C的对应点为，点D的对应点为，若点A在上，且AB＝10，BC＝8，则AE＝ ． 23．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，矩形OABC在平面直角坐标系内，其中点A（2，0），点C（0，4），点D和点E分别位于线段AC，AB上，将△ABC沿DE对折，恰好能使点A与点C重合．若x轴上有一点P，能使△AEP为等腰三角形，则点P的坐标为 ． 24．（21-22九年级上·河南平顶山·期末）如图，已知点，轴，点C为射线上的一个动点，连接，将沿折叠，点A落在点D处，过点D作x轴的垂线，分别交x轴，于点M，N．当时，点C的坐标为 ． 25．（18-19九年级上·河南郑州·期末）已知，如图，在矩形ABCD中，，，点E为线段AB上一动点不与点A、点B重合，先将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点H，若折叠后，点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上，则AE的长是 ． 26．（23-24九年级上·河南南阳·期末）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．           图1                         图2 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】请直接写出线段的数量关系______． 【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 题型三 正方形的折叠 27．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）如图所示，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 28．（23-24九年级上·河南焦作·期末）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（   ） A．3 B．6 C． D． 29．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，正方形的边长为，分别是边上的一点，将正方形沿折叠，使点恰好落在的中点处，点的对应点为点，则折痕的长为 ． 30．（2022·河南周口·二模）如图，在正方形中，，点是边上一个动点（不与点，重合），将沿翻折到，再将沿翻折得到．当点恰好落在正方形的边所在的直线上时，线段的长度为 ．      31．（22-23九年级上·河南郑州·期末）已知正方形的边长为12，点P是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使点A落在点上，延长交于E，当点E与的中点F的距离为2时，则此时的长为 ． 32．（21-22九年级上·河南平顶山·期末）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若，则CF的长为 cm． 33．（21-22九年级上·河南郑州·期末）如图，正方形中，点E为边的中点，点P为边上一个动点，连接，以为对称轴折叠得到，点B的对应点为点F，若，当射线经过正方形边的中点（不包括点E）时，的长为 ． 34．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝2，则BF的长为 ． 35．（19-20九年级上·河南平顶山·期末）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，若AF＝3，E为AB上一个动点，把△AEF沿着EF折叠，得到△PEF，若△BPE为直角三角形，则BP的长度为 ． 36．（19-20九年级上·河南郑州·期末）如图，正方形的面积为81，点是边上的一个动点，沿过点的直线将正方形折叠，使顶点恰好落在边上的三等分点处，则线段的长是 37．（23-24九年级上·河南新密·期末）如图，正方形的边长为，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是 ． 38．（22-23九年级上·河南郑州·期末）实践与探究 操作一：如图①，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部点M，再将纸片沿过点A的直线AF折叠，使与重合，此时______度． 操作二：如图②，将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N．当点E在边某一位置时，点N恰好落在折痕上，此时______度． 在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题： （1）设与的交点为点P．求证：； （2）若，则线段的长______． 39．（23-24九年级上·河南新郑·期末）数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展活动． 【操作】： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点(点不与重合)，沿折叠，使点落在正方形内部处，把纸片展平，连结，延长交于点，连结． 【琛究】： （1）如图①，当点在上时，______． （2）改变点在上位置，如图②，判断线段之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【应用】： 若正方形纸片的边长为，当时，的长为______． 40．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）“玩转数学”实践活动，是一种非常有效的学习方式，我们一起来动手、动脑玩转数学吧．如图①，折一折：将正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接． (1)_______°； 转一转：如图②，将图①中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q，连接． (2)猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； (3)若正方形的边长为6，，求的长． 41．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）【问题背景】 如图1，已知正方形的边长为3，点E是边上的一点，把沿直线对折后，点A落在点F处． 【问题探究】 （1）如图2，当时，正方形的对角线与相交于点M，与正方形另一条对角线相交于点O，连接并延长，交线段于点G． ①求的值，并说明点M是的中点； ②试探究与有怎样的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，点H是线段上的一点，且，连接、．在点E从点A运动到点B的过程中，求的最小值． 42．（23-24九年级上·河南信阳·期末）综合与实践 已知正方形纸片． 第一步：如图1，将正方形纸片沿、分别折叠，然后展开后得到折痕、，折痕相交于点． 第二步：如图2，将正方形纸片折叠，使点的对应点恰好落在上，得到折痕，与相交于点，然后展开，连接、． 问题解决： (1)的度数是________． (2)已知的边长是4，求的长， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 特殊平行四边形的折叠问题 题型一 菱形的折叠 1．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为，若菱形的边长为，，那么为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，根据菱形性质得出，平分，求出，求出，、，根据折叠得出，平分，推出，可证得，根据相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：连接、，与相交于点G，如图， ∵四边形是菱形， ，平分， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 沿折叠与O重合， ，平分， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．（22-23九年级上·河南开封·期末）如图，甲、乙两人分别用一张矩形纸做一个折菱形的游戏．甲沿折叠使得点落在上，沿折叠使得点落在上，甲说得到的四边形为菱形；乙沿折叠使得与重合，再折出，，乙说得到的四边形为菱形；下列说法正确的是（    ） A．甲一定成立，乙可能成立 B．甲可能成立，乙一定不成立 C．甲一定成立，乙一定不成立 D．甲可能成立，乙也可能成立 【答案】B 【分析】由折叠的方法可知，四边形和四边形为平行四边形；再判断它们邻边是否相等即可得出结论； 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴     ∴， 由折叠知：， ∴    ∴∥, ∴四边形是平行四边形 当时，四边形是平行四边形， ∴， 又∵，， ∴， 故时，四边形为菱形，甲甲可能成立， 而由乙折叠方法可知，所以，故四边形为不可能为菱形． 综上所述：甲可能成立，乙一定不成立， 故选B． 3．（20-21九年级上·河南濮阳·期末）如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形的边长为4，，则的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据菱形的性质证明△ABD是等边三角形，求得BD=4，再证明EF是△ABD的中位线即可得到结论． 【详解】解：连接AC，BD ∵四边形ABCD是菱形， ∴，BD平分∠ABC， ∴∠ ∵ ∴△ABD是等边三角形， ∴ 由折叠的性质得：，EF平分AO， 又∵， ∴ ∴EF为△ABD的中位线， ∴ 故选：B． 4．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，点是菱形的边上一点，将沿折叠，点的对应点恰好在边上，若，点为的中点，则的长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，折叠性质，关键是证明．延长，与的延长线交于点H，证明，求出，根据，便可求得结果． 【详解】解：延长，与的延长线交于点H， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 由折叠性质知，， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．（20-21九年级上·河南驻马店·期末）如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片分别沿，所在直线进行折叠，使得菱形的两边，重合于．若此时，则 ． 【答案】30°/30度 【分析】根据菱形的性质得∠B=∠D，∠B+∠BAD=180°，再由折叠的性质得∠B=∠AOM，∠D=∠AON，∠BAM=∠OAM=∠DAN=∠OAN=∠BAD，所以∠AOM=∠AON=(360°-∠MON )=140°，所以∠B=∠AOM=140°,从而可求得∠BAD=40°,继而求得 ∠OAM=10°,再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴∠B=∠D，∠B+∠BAD=180°， 由折叠的性质得：∠B=∠AOM，∠D=∠AON，∠BAM=∠OAM=∠DAN=∠OAN=∠BAD， ∵∠MON=80°， ∴∠AOM=∠AON=(360°-80°)=140°， ∴∠B=∠AOM=140°, ∴∠BAD=40°, ∴∠OAM=10°, ∴∠AMO=180°-140°-10°=30°, 故答案为:30°． 6．（22-23九年级上·河南许昌·期末）如图，在菱形中，，，点为边的中点，为射线上一动点，连接，把沿折叠，得到，当与菱形的边垂直时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】存在两种情况①当点F在线段AB上时，由题意得出AE的长，在中可求出AG的长，由根据折叠的性质，可知 在中，可求出GF的长，即可得出AF的长．②当点F在线段AB延长线上时，由得出 由中，求出由得出即可得出结果． 【详解】解：如图1所示：当点F在线段AB上时，过点E作于G， ∵四边形是菱形， ∵点E是AD的中点， 如图2所示：当点F在线段AB延长线上时，过点E作交AD于点H， ∵四边形是菱形， ∵点E是AD的中点， 又 故答案为：或 7．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）菱形是矩形纸片按如图所示的方式折叠而成，若菱形的面积为，则长为 ． 【答案】 【分析】本题解题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据的直角三角形中各边之间的关系求得的长．根据折叠的性质结合菱形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质结合勾股定理与菱形的面积即可求得结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， 由折叠的性质可知，， 又， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∵菱形的面积为， ∴； ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 8．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，点E是菱形的边上一点，将沿折叠，点D的对应点F恰好在边上，设．若点F是边的中点，则 ．    【答案】2 【分析】延长，与的延长线交于点H，证明，便可求得结果． 【详解】延长，与的延长线交于点H，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 由折叠性质知，， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 9．（20-21九年级上·河南安阳·期末）将矩形按如图所示的方式折叠，得到菱形，若，则菱形的周长为 . 【答案】24 【分析】根据折叠的性质得AD=AO，CO=BC，∠BCE=∠OCE，所以AC=2BC，则根据含30度的直角三角形三边的关系得∠CAB=30°，于是BC=AB=3，∠ACB=60°，接着计算出∠BCE=30°，然后计算出BE=BC=3，CE=2BE=6，于是可得菱形AECF的周长． 【详解】解：∵矩形ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF， ∴AD=AO，CO=BC，∠BCE=∠OCE， 而AD=BC， ∴AC=2BC， ∴∠CAB=30°， ∴BC=AB=3，∠ACB=60°， ∴∠BCE=30°， ∴BE=BC=3， ∴CE=2BE=6， ∴菱形AECF的周长=4×6=24． 故答案为24 题型二 矩形的折叠 10．（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（   ）    A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】连接，如图，根据折叠的性质得到，，当点、、三点共线时，最小，此时的最小值，根据勾股定理得到，得到长度的最小值，设，则，根据勾股定理得到根据三角形的面积公式得到的面积是． 【详解】解：连接，如图，   沿翻折至， ， ，， ， 当点、、三点共线时，最小，此时的最小值， 四边形是矩形， ， ，， ， 长度的最小值， 设，则， ， ， ， ， 解得，， 的面积是， 故选：． 11．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，有一张矩形纸片．先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕﹐同时得到线段，．观察所得的线段，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，得出 ，，进而得到，在中，由特殊锐角的三角函数可求即可． 【详解】解：根据折叠的性质可知：，，，， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：． 12．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质结合平行线的性质即可求解． 【详解】解： 由折叠可知： 故选：B 13．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到DE的长． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3， ∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处， ∴AF＝AD＝5，EF＝DE， 在Rt△ABF中，BF＝＝＝4， ∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1， 设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x， 在Rt△ECF中，CE2+FC2＝EF2， ∴x2+12＝（3﹣x）2， 解得x＝， ∴DE＝3﹣x＝， 故选：B． 14．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△ABC沿AC折叠，点B落到E点，此时AE交CD于F，则AF：EF＝（　　）    A．24：7 B．25：7 C．2：1 D．3：1 【答案】B 【分析】设EF的长为x，则AF的长为4－x，根据勾股定理列方程求出x的值，进而可得AF：EF. 【详解】设EF的长为x，则AF的长为4－x，依题意有，所以△ADF≌△CEF，所以DF＝EF＝x，再Rt△ADF中，根据勾股定理可得，即，解得x＝，所以EF＝，AF＝，所以AE：EF＝25:7.故选B. 15．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在矩形纸片中，，，为边上一点，将沿折叠，得到．点关于对称，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，分两种情况解答即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：当点在上方时，如图， 连接， ∵点关于对称， ∴垂直平分， ∵四边形是矩形， ∴， 若，则是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 当点在下方时，如图， 由图可得，； ∴的度数为或， 故答案为：或． 16．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，点是矩形的边上的动点，沿直线将折叠，，，则当点恰好落在了矩形的对称轴上时， ． 【答案】或 【详解】设，则，，分两种情况讨论：当点恰好落在了矩形的横向对称轴上，即、分别为、的中点，用勾股定理解和，即可求解，恰好落在了矩形的纵向对称轴上，即、分别为、的中点，过点作，交于点，交于点，用勾股定理解和，即可求解，本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理，解题的关键是：熟练掌握基本知识，学会构建方程解决问题． 【解答】解：设：，则，， 当点恰好落在了矩形的横向对称轴上时， 、分别为、的中点， ， 在， ， ， 在中， ，即：， 解得： ， 当恰好落在了矩形的纵向对称轴上，即、分别为、的中点，过点作，交于点，交于点， ， 在中， ， ， 在中， ，即：， 解得：， 故答案为：或． 17．（23-24八年级上·河南濮阳·期末）把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，熟记性质是解题的关键．根据翻折的性质求出，根据两直线平行，内错角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】解：如图，由题意，得，， ， ， ， ， 故答案为： 18．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，在矩形中，，，是延长线上的一点，且，是边上的一个动点（点不与点，重合），将沿折叠，当点的对应点落在矩形任意一边所在的直线上时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，用勾股定理解三角形，先根据矩形的性质找到边长之间的关系，设出边长的值，构造出直角三角形，根据勾股定理求出的长，然后再根据勾股定理可得到有关的一元二次方程，求解即可，作辅助线，根据直角三角形三边关系得到等式是解题的关键． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴， ∵， ∴, 设， ∵沿折叠得到， ∴，， ①当点F落在上时，过点F作的平行线交于一点M，如图所示： ， 此时， ∵， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：； ②当点F落在直线上时，延长边,过点F作的平行线交的延长线于一点N，如图所示： ， 在中，， 即， ∴， 在中，， 即， 解得：， 综上的长为或， 故答案为：或． 19．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，矩形中，，，点P是边上一个动点，且不与点B，C重合，将沿直线AP折叠得到，点落在矩形的内部，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】/（写法不唯一） 【分析】根据勾股定理求出，由翻折可知，由三角形两边之差小于第三边得，从而求解． 【详解】解：连接，由题意可知， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 20．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，矩形的边长为4，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再以为折痕，将进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为 ． 【答案】或 【分析】根据题意分两种情况讨论：①当点恰好落在上时，由翻折以及矩形的性质利用可证明，然后根据等腰三角形的性质求出的长，再依据勾股定理求解即可；②当点恰好落在上时，同理利用可证明，根据全等三角形的性质可得出的长，再根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】∵四边形为矩形， ∴，， ∵沿对角线翻折得到， ∴，， ∵以为折痕，将进行翻折，得到， ∴，， ①当点恰好落在上时，如图， 在和中， ∴ ∴，即为等腰三角形， ∵ ∴点为中点， ∴， 在中，有， 即，解得 ②当点恰好落在上时，如图， ∵ ∴四边形为矩形， ∴， ∵沿进行翻折，得到， ∴ 在中， ， 在和中， ∴≌（） ∴ ∴． 故答案为：或． 21．（21-22九年级上·河南郑州·期末）如图，在矩形ABCD中，，，点E为射线CB上一动点（不与点C重合），将沿DE所在直线折叠，点C落在点处，连接，当为直角三角形时，CE的长为 ． 【答案】2或8/8或2 【分析】由折叠的性质得：C'D＝CD＝4，C'E＝CE，∠DC'E＝∠C＝90°，设CE＝C'E＝x，分点C'在矩形内与矩形外两种情况，如图1，在△AC'D利用勾股定理求得AC'的长，在 Rt△ABE中，利用勾股定理得到关于x的方程，然后求解方程即可；如图2，同理1进行求解即可． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝4， 由折叠的性质得：C'D＝CD＝4，C'E＝CE，∠DC'E＝∠C＝90°， 设CE＝C'E＝x， 当△AC′D为直角三角形时，则∠AC'D＝90°， ∴∠AC'D+∠DC'E＝180°， ∴A、C'、E三点共线， 分两种情况： ①点E在线段CB上时，如图1所示： 则∠DC'E＝∠C＝90°， ∴∠AC'D＝90°， ∴AC'＝， 在Rt△ABE中，BE＝5﹣x，AE＝x+， 由勾股定理得：（5﹣x）2+42＝（x+）2， 解得：x＝2， ∴CE＝2； ②点E在线段CB的延长线上时，如图2所示： 则∠DC'E＝∠C＝90°， ∴AC'＝， 在Rt△ABE中，BE＝x﹣5，AE＝x﹣3， 由勾股定理得：（x﹣5）2+42＝（x﹣3）2， 解得：x＝8， ∴CE＝8； 综上所述，当△AC′D为直角三角形时，CE的长为2或8； 故答案为：2或8． 22．（21-22九年级上·河南漯河·期末）如图，已知点E是长方形ABCD中AD边上一点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，折叠后点C的对应点为，点D的对应点为，若点A在上，且AB＝10，BC＝8，则AE＝ ． 【答案】5 【分析】先求出，，设，则，运用勾股定理列出关于的方程，求出即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD为长方形，AB＝10，BC＝8， ∴∠D＝∠C＝∠DAB＝90°，AB＝DC＝10，AD＝BC＝8， ∵折叠， ∴，，，； ∵在中，， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：5． 23．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，矩形OABC在平面直角坐标系内，其中点A（2，0），点C（0，4），点D和点E分别位于线段AC，AB上，将△ABC沿DE对折，恰好能使点A与点C重合．若x轴上有一点P，能使△AEP为等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【答案】（﹣，0）或（，0） 【分析】由矩形的性质可得BC＝2＝OA，AB＝OC＝4，∠B＝90°＝∠OAE，由折叠的性质可得AE＝CE，由勾股定理可求AE的长，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：∵矩形OABC，且点A（2，0），点C（0，4）， ∴BC＝2＝OA，AB＝OC＝4，∠B＝90°＝∠OAE， ∵将沿DE对折，恰好能使点A与点C重合． ∴AE＝CE， ∴ 在中： ∵CE2＝BC2+BE2， ∴CE2＝4+（4﹣CE）2， ∴CE＝， ∴AE＝， ∵为等腰三角形，且∠EAP＝90°， ∴AE＝AP＝， 又∵ ∴点P坐标，或 故答案为：（﹣，0）或（，0） 24．（21-22九年级上·河南平顶山·期末）如图，已知点，轴，点C为射线上的一个动点，连接，将沿折叠，点A落在点D处，过点D作x轴的垂线，分别交x轴，于点M，N．当时，点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】由题意可证四边形AOMN是矩形，可得OA=MN=3，AN=OM，由折叠的性质可得DM=1，DN=2，由勾股定理可求OM的长，可得AN=，由勾股定理可求AC的长，即可求解． 【详解】解：∵MN⊥x轴，AB∥x轴， ∴MN⊥AB， 又∵∠AOM=90°， ∴四边形AOMN是矩形， ∴OA=MN=3，AN=OM， ∵DN=2DM， ∴DM=1，DN=2， ∵将△OAC沿OC折叠， ∴OD=OA=3，AC=CD， ∴OM=， ∴AN=， ∵CD2=CN2+DN2， ∴AC2=（AC）2+4， ∴AC=， ∴点C（，3）， 故答案为：（，3）． 25．（18-19九年级上·河南郑州·期末）已知，如图，在矩形ABCD中，，，点E为线段AB上一动点不与点A、点B重合，先将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点H，若折叠后，点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上，则AE的长是 ． 【答案】或 【分析】依据点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上，分两种情况讨论：F在横对称轴上与F在竖对称轴上，分别求出BF的长即可． 【详解】解：分两种情况： 当F在横对称轴MN上，如图所示， 此时，， ， ， 由折叠得，，， ， 即， ， ； 当F在竖对称轴MN上时，如图所示， 此时， ， ， ， ， 由折叠的性质得，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 综上所述，点B的对应F落在矩形ABCD的对称轴上，此时AE的长是或． 故答案为或． 26．（23-24九年级上·河南南阳·期末）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．           图1                         图2 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】请直接写出线段的数量关系______． 【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】[猜想] ；[应用]（1）,理由见解析；（2）5 【分析】此题是四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 【猜想】根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得解； 【应用】（1）根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得出，结合即可得解； （2）根据矩形的性质、折叠的性质得出，，，设，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：【猜想】矩形纸片沿所在的直线折叠， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 故答案为：； 【应用】（1）；理由如下： 由四边形折叠得到四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 即； （2）矩形沿所在直线折叠， ，，， 设， ， 在中，， ， ， 解得， ， ． 题型三 正方形的折叠 27．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）如图所示，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了矩形与折叠、勾股定理、等腰三角形的判定．证得，则，设，则在中，根据勾股定理求x，于是得到，即可得到结果． 【详解】解：∵是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠可得，，， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解之得：， ∴， ∴． 故选：C． 28．（23-24九年级上·河南焦作·期末）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形与折叠，含30度角的直角三角形，根据正方形的性质，折叠的性质，得到，进而得到，，设，则，，即可得到，求解即可．解题的关键是掌握正方形的性质和折叠的性质． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵将四边形沿折叠，点恰好落在边上， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得：． 故选：B． 29．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，正方形的边长为，分别是边上的一点，将正方形沿折叠，使点恰好落在的中点处，点的对应点为点，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】连接交于点，作，分别交、于点、点，由正方形的性质得，，则，所以，由垂直平分，得，则，可证明四边形是平行四边形，得，再证明，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点，作，分别交、于点、点， ∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∵点为边的中点， ∴， ∴， 由折叠得点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 30．（2022·河南周口·二模）如图，在正方形中，，点是边上一个动点（不与点，重合），将沿翻折到，再将沿翻折得到．当点恰好落在正方形的边所在的直线上时，线段的长度为 ．      【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当点落在边上时，证明是等腰直角三角形，设，利用勾股定理列式计算求解；当点落在的延长线上，证明，利用含30度的直角三角形的性质和勾股定理求解即可. 【详解】解：①当点落在边上时，    ∵四边形是正方形， ∴，， 根据折叠可知， 在与中，， ∴， ∴，∴． ∴是等腰直角三角形， 设，则，， ∴，解得． ②当点落在的延长线上时，    ∴， ∴， 综上可知，或． 故答案为：或． 31．（22-23九年级上·河南郑州·期末）已知正方形的边长为12，点P是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使点A落在点上，延长交于E，当点E与的中点F的距离为2时，则此时的长为 ． 【答案】2.4或6 【分析】分两种情况讨论：E点在线段上和E点在线段上.接，先根据折叠的性质和HL得到，.设，则，，求出，把用含有x的式子表示出来.中，根据勾股定理列方程求出x即可. 【详解】解：①如图1，当E点在线段上时，连接, ∵四边形是正方形， ∵折叠后， 又 (HL) ∴           设,则， 在Rt中，      解得 ②如图2，E点在线段上时，连接,            设,则， 在Rt中 解得          故答案为：2.4或6 32．（21-22九年级上·河南平顶山·期末）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若，则CF的长为 cm． 【答案】 【分析】设BF=x，则FG=x，CF=2-x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得，从而得到关于x方程，求解x，最后用2-x即可． 【详解】解：∵正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，， ∴ 设BF=x，则FG=x，CF=2-x． 在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE=， 根据折叠的性质可知AG=AB=2， 所以． 在Rt△GEF中，利用勾股定理可得， 在Rt△FCE中，利用勾股定理可得， 所以 解得． 则． 故答案为： 33．（21-22九年级上·河南郑州·期末）如图，正方形中，点E为边的中点，点P为边上一个动点，连接，以为对称轴折叠得到，点B的对应点为点F，若，当射线经过正方形边的中点（不包括点E）时，的长为 ． 【答案】1或 【分析】分EF经过正方形ABCD另三边三种情况求解即可 【详解】解：①EF经过CD边中点O时， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，， ∵点O是CD边中点，点E是BC边中点， ∴． ∵CE=CO=1， ∴， 由折叠得， ∴． ∴， 作FG⊥AB于G，作EH⊥FG于H，如图， 设FH=x，则BG=EH=FH=x， ∵， ∴PG＝FG=x+1， ∴BP=2x+1， 由勾股定理得， 由折叠得PB=PF， ∴， 解得． ∴， ∴点P在AB外，不符合题意； ②EF经过AD边中点，如图， 此时，， ∴BP=BE=1； ③EF经过AB中点，如图， ∵B=BE， ∴． 由折叠得， 设PF=x，则， ∴， ∴x=，即BP=， 综上，BP的长为1或， 故答案为：1或． 34．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝2，则BF的长为 ． 【答案】﹣1 【分析】设BF＝x，则FG＝x，CF＝2﹣x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（2﹣x）2+12，从而得到关于x的方程，求解x即可． 【详解】解：设BF＝x，则FG＝x，CF＝2﹣x． 在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝． 根据折叠的性质可知AG＝AB＝2，所以GE＝﹣2． 在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣2）2+x2， 在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（2﹣x）2+12， 所以（﹣2）2+x2＝（2﹣x）2+12， 解得x＝﹣1， ∴BF＝﹣1， 故答案为：﹣1． 35．（19-20九年级上·河南平顶山·期末）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，若AF＝3，E为AB上一个动点，把△AEF沿着EF折叠，得到△PEF，若△BPE为直角三角形，则BP的长度为 ． 【答案】2或． 【分析】根据题意可得分两种情况讨论：①当∠BPE＝90°时，点B、P、F三点共线，②当∠PEB＝90°时，证明四边形AEPF是正方形，进而可求得BP的长． 【详解】根据E为AB上一个动点， 把△AEF沿着EF折叠，得到△PEF， 若△BPE为直角三角形， 分两种情况讨论： ①当∠BPE＝90°时，如图1， 点B、P、F三点共线， 根据翻折可知： ∵AF＝PF＝3，AB＝4， ∴BF＝5， ∴BP＝BF﹣PF＝5﹣3＝2； ②当∠PEB＝90°时，如图2， 根据翻折可知： ∠FPE＝∠A＝90°， ∠AEP＝90°， AF＝FP＝3， ∴四边形AEPF是正方形， ∴EP＝3，BE＝AB﹣AE＝4﹣3＝1， ∴BP＝＝＝． 综上所述：BP的长为：2或． 故答案为：2或． 36．（19-20九年级上·河南郑州·期末）如图，正方形的面积为81，点是边上的一个动点，沿过点的直线将正方形折叠，使顶点恰好落在边上的三等分点处，则线段的长是 【答案】或5 【分析】分两种情况讨论：①EC=BC，②EC=BC，设DH=x，则CH=9-x，在Rt△CEH中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】∵正方形ABCD的面积为81 ∴BC=CD=9 设DH=x，则CH=9-x，由折叠的性质可得EH=DH=x ∵E点为BC的三等分点 ①若EC=BC=3， 在Rt△CEH中，CE2+CH2=EH2 即 解得 ②若EC=BC=6， 在Rt△CEH中，CE2+CH2=EH2 即 解得 综上可得，DH的长为或5， 故答案为：或5． 37．（23-24九年级上·河南新密·期末）如图，正方形的边长为，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理．由翻折知，得点在以为圆心，为半径的圆上运动，可知当点、、三点共线时，最小，再利用勾股定理可得的长，继而解题． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴，， ∵点G是边的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点、、三点共线时，最小， 由勾股定理得，, ∴， 故答案为：． 38．（22-23九年级上·河南郑州·期末）实践与探究 操作一：如图①，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部点M，再将纸片沿过点A的直线AF折叠，使与重合，此时______度． 操作二：如图②，将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N．当点E在边某一位置时，点N恰好落在折痕上，此时______度． 在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题： （1）设与的交点为点P．求证：； （2）若，则线段的长______． 【答案】操作一：45；操作二：60；（1）见解析；（2） 【分析】操作一：由正方形的性质得，再由折叠的性质得：，，即可求解； 操作二：先证是等腰直角三角形，得，则，求出，即可求解； （1）由等腰直角三角形的性质得，再证，由即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得，再证，然后由含30°角的直角三角形的性质得，，设，，由得出方程即可 【详解】操作一： 解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴ ∴； 操作二： 解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 由操作一得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， （1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴； （2）由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 设， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 39．（23-24九年级上·河南新郑·期末）数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展活动． 【操作】： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点(点不与重合)，沿折叠，使点落在正方形内部处，把纸片展平，连结，延长交于点，连结． 【琛究】： （1）如图①，当点在上时，______． （2）改变点在上位置，如图②，判断线段之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【应用】： 若正方形纸片的边长为，当时，的长为______． 【答案】[探究]（1）；（2）；应用． 【分析】[探究] （1）连接，可推出，从而得出，进一步得出结果； （2）可证得，从而，进而得出结果； [应用]设，则，在中，，，，根据勾股定理得，求得的值，进一步得出结果． 【详解】解：[探究] （1）如图①，连接， 垂直平分， ， 由折叠得， ，，， 四边形是正方形， ，， ， 是等边三角形，则， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 由（1）可知：，，， ， ， ， ， ； 应用 设，则， 由（2）知：， 在中，，，， ， ， ， ， 故答案为：． 40．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）“玩转数学”实践活动，是一种非常有效的学习方式，我们一起来动手、动脑玩转数学吧．如图①，折一折：将正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接． (1)_______°； 转一转：如图②，将图①中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q，连接． (2)猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； (3)若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】(1)45 (2)，详见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）由翻折的性质可知，，再根据正方形的性质求解； （2）延长到，使，证明，即可得到结论； （3）根据题意和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由翻折的性质可知，， 正方形纸片， ， ， ， ， ； （2）解：延长到，使， 正方形纸片， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得或． 41．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）【问题背景】 如图1，已知正方形的边长为3，点E是边上的一点，把沿直线对折后，点A落在点F处． 【问题探究】 （1）如图2，当时，正方形的对角线与相交于点M，与正方形另一条对角线相交于点O，连接并延长，交线段于点G． ①求的值，并说明点M是的中点； ②试探究与有怎样的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，点H是线段上的一点，且，连接、．在点E从点A运动到点B的过程中，求的最小值． 【答案】（1）①见解析；②．理由见解析；（2）的最小值为． 【分析】(1) ①根据正方形的性质，得到等角，证明即可得证． ②根据折叠的性质，正方形的性质，结合三角形中位线定理，证明即可． (2)在上截取，连接、，利用三角形不等式，结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）①在正方形中，， ，， ， ， ． ， ，即点是的中点． ②．理由： 如图2，连接交于点， 由折叠可知垂直平分，即点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ，即． （2）如图3，在上截取，连接、， ， ， ， ， 当、、三点共线时，取得最小值， ． 的最小值为． 42．（23-24九年级上·河南信阳·期末）综合与实践 已知正方形纸片． 第一步：如图1，将正方形纸片沿、分别折叠，然后展开后得到折痕、，折痕相交于点． 第二步：如图2，将正方形纸片折叠，使点的对应点恰好落在上，得到折痕，与相交于点，然后展开，连接、． 问题解决： (1)的度数是________． (2)已知的边长是4，求的长， 【答案】(1)； (2)的长为 【分析】（1）由正方形的性质得：，由折叠的性质得，在中，根据三角形的内角和即可得答案； （2）由正方形和勾股定理求出得长，由折叠额性质得，，，，最后根据勾股定理计算可得答案． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， 由折叠的性质得：， 在中，； （2）设， 在正方形中， ，， 由折叠知：，，，，， 在中，，即， 解得：， 的长为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$