专题02 特殊平行四边形的判定（六大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题02 特殊平行四边形的判定 题型一 添一个条件使四边形是菱形 1．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是的中点，添加下列条件，可以判定四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·河南信阳·期末）如图，在中，对角线和相交于点，添加下列条件不能判定四边形是菱形的是（    ） A． B． C．平分 D． 3．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，已知为任意四边形，，，，分别为，，，的中点，添加下列哪个条件，不能判断四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且． (1)求证：； (2)不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形是菱形；并给予证明． 5．（2023·河南郑州·一模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E，F在上，且． （1）求证：； （2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形是菱形；并给予证明． 题型二 证明四边形是菱形 6．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）四条边都相等的四边形是（    ） A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 7．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就可以得到一个（      ） A．三角形 B．长方形 C．菱形 D．六边形 8．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，的对角线交于点O，下列条件不能判定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，是 的角平分线． (1)请用圆规和无刻度的直尺作的垂直平分线，分别交，于点，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，，试判断四边形的形状，并证明． 10．（21-22九年级上·河南驻马店·期末）如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D，依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O． (1)判断四边形ABCD的形状并说明理由； (2)求四边形ABCD的面积． 11．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）如图，AE∥BF，点D、C分别是AE和BF上的点，连接AC、BD交于点O，此时OA＝OC．若AC＝6，BD＝8，AB＝5，AM⊥BC于M，解决下列问题： （1）求证：OB＝OD； （2）求证：四边形ABCD是菱形； （3）求AM的长． 12．（20-21九年级上·河南平顶山·期末）如图，矩形ABCD中，EF垂直平分对角线BD，垂足为O，点E和F分别在边AD，BC上，连接BE，DF． （1）求证：四边形BFDE是菱形； （2）若AE＝OF，求∠BDC的度数． 13．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作，交BC于点F． （1）求证：四边形DBFE是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形；为什么． 14．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD为菱形． 题型三 添加一个条件使四边形变矩形 15．（22-23九年级上·河南安阳·期末）如图，在四边形中，对角线相交于点O，，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 16．（21-22九年级上·河南焦作·期末）如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，在平行四边形中，对角线与交于点．添加一个条件： ，则可判定四边形是矩形． 18．（21-22九年级上·河南驻马店·期末）如图，D、E、F是△ABC各边中点，请在△ABC中添加一个条件： ，使四边形DFAE是矩形． 19．（20-21九年级上·河南开封·期末）如图，平行四边形中，，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)①直接写出：当　 　时，四边形是菱形（不需要说明理由）； ②当　 　时，四边形是矩形，请说明理由． 20．（22-23九年级上·河南开封·期末）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线． (1)求证：AF与DE互相平分； (2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由． 题型四 判定四边形是矩形 21．（23-24九年级上·河南郑州·期末）下列说法中正确的是（    ） A．矩形的对角线互相垂直平分 B．菱形的对角线相等 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．有三边相等的四边形是菱形 22．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）下列命题为假命题的是（        ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D．一个角是直角的四边形是矩形 23．（22-23九年级上·河南濮阳·期末）已知：如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点．求证：四边形为矩形． 24．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，且，连接，，，交于点O，已知． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求对角线的长． 25．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）已知点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，请直接写出的长． 26．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图：直线，的顶点E、H分别在直线、上，交于F点，，为的角平分线． (1)用尺规作图：作的角平分线（不写过程，需保留作图痕迹）； (2)的角平分线交直线于M，连接，求证：四边形为矩形． 27．（23-24九年级上·河南开封·期中）如图：在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点，直接写出与之间的关系为___________． 28．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点，当，时，直接写出的长． 29．（22-23九年级上·河南许昌·期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．    题型五 添加一个条件使四边形是正方形 30．（21-22九年级上·河南信阳·期末）四边形的对角线和相交于点，设有下列条件：①；②；③与互相平分；④矩形；⑤菱形；⑥正方形，则下列推理成立的是（　　） A． B． C． D． 32．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 33．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，和是菱形的对角线，若再补充一个条件能使其成为正方形，下列条件：①；②；③；④，其中符合要求的是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 34．（22-23九年级上·河南周口·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ）    A． B． C． D．平分 35．（22-23七年级上·甘肃白银·期末）如图所示，菱形中，对角线相交于点O，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是 ．（只填一个条件即可） 36．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，在中，是的中点，连接，是的中点，过点作，与的延长线交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)填空：①当满足条件时，四边形是_______； ②当满足条件_______时，四边形是正方形． 37．（22-23九年级上·河南郑州·期末）数学活动课上，何老师布置了一道题目：如图，你能用一张锐角三角形纸片折出一个以为内角的菱形吗？石雨的折法如下： 第一步，折出的平分线，交于点D， 第二步，折出的垂直平分线，分别交、于点E、F，把纸片展平， 第三步，折出、，得到四边形， (1)请根据石雨的折法在图中画出对应的图形，并证明四边形是菱形； (2)满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 38．（23-24九年级·河南焦作·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC的垂直平分线EF交AC于点D，交AB于点F，且CE=BF. （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）当∠BAC的度数为多少时，四边形AECF是正方形. 题型六 判定四边形为正方形 39．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，点，同时从点出发在线段上以0.5cm/s的速度反向运动（点，分别到达，两点时停止运动），设运动时间为．连接，，，，已知是边长为4cm的等边三角形，当 s时，四边形为正方形． 40．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，． (1)用尺规作图法作出的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，垂足分别为，，判断四边形的形状，并说明理由． 41．（22-23九年级上·河南开封·期末）[问题提出]在等腰中，AB＝BC，，点D，E分别在边，上（不同时在点A），连接，将线段DE绕点E顺时针旋转，得到线段，连接，探究与的位置关系． (1)[问题探究]先将问题特殊化，如图1，点D，E分别与点B，C重合，直接写出与的位置关系； (2)再探讨一般情形，如图2，证明（1）中的结论仍然成立． [问题拓展] (3)如图3，在等腰中，，，D为的中点，点E在边上，连接，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，点G是点C关于直线的对称点，若点G，D，F在一条直线上，求的值． 42．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，D为的中点，四边形是平行四边形． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)填空： ①当且时，四边形的周长等于______； ②当时，四边形的形状为______． 43．（22-23九年级上·河南开封·期末）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形． 44．（22-23九年级上·河南安阳·期末）在中，，的平分线交于点D，过点B作交的平分线于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形． 45．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图是直角三角尺（）和等腰直角三角尺（）放置在同一平面内，斜边BC重合在一起，，，．交AB于点E；作交AC的延长线于点F． (1)求证：四边形AEDF是正方形． (2)当时，求正方形AEDF的边长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 特殊平行四边形的判定 题型一 添一个条件使四边形是菱形 1．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是的中点，添加下列条件，可以判定四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理证得四边形为平行四边形，再根据菱形的判定，即可求解． 【详解】解：添加，可以判定四边形为菱形，理由： ∵点E，F，G，H分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，， ∴四边形为菱形． 故选：C. 2．（22-23九年级上·河南信阳·期末）如图，在中，对角线和相交于点，添加下列条件不能判定四边形是菱形的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法逐一进行分析即可． 【详解】A. 若添加，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断四边形ABCD为菱形，故不符合题意； B.若添加，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断四边形ABCD是菱形，故不符合题意； C.若添加平分，则有∠DAC=∠BAC， ∵平行四边形ABCD中，AD//CB， ∴∠DAC=∠BCA， ∴∠BCA =∠BAC， ∴AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形，故不符合题意； D. 若添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判断四边形ABCD是矩形，故符合题意， 故选D． 3．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，已知为任意四边形，，，，分别为，，，的中点，添加下列哪个条件，不能判断四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意连接BD，AC，根据三角形中位线定理与菱形的判定求解即可． 【详解】如图连接BD，AC， 因为E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，根据三角形中位线定理，故，,，，故四边形EFGH是平行四边形． A选项： ，邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意． B选项： ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意． C选项： ，根据三角形中位线定理 ，，故，即邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意． D选项： 不能证明四边形EFGH是菱形，符合题意． 故选：D 4．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且． (1)求证：； (2)不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形是菱形；并给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)补充：，证明见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质知，，，得到，又有，故由证得； （2）平行四边形的性质知，，，由可求得，根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，由可得平行四边形是菱形． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ； （2）补充的条件是：． 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 5．（2023·河南郑州·一模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E，F在上，且． （1）求证：； （2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形是菱形；并给予证明． 【答案】（1）见解析；（2）补充的条件是：，证明见解析．（答案不唯一） 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得，再证明，从而可得答案； （2）补充的条件是：．（答案不唯一） 由四边形是平行四边形，可得，，再证明，证明四边形是平行四边形，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 又∵， ∴． （2）补充的条件是：．（答案不唯一） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． 题型二 证明四边形是菱形 6．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）四条边都相等的四边形是（    ） A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】C 【分析】题目主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题关键．根据菱形的判定定理求解即可． 【详解】解：四条边都相等的四边形是菱形， 故选：C． 7．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就可以得到一个（      ） A．三角形 B．长方形 C．菱形 D．六边形 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定，折叠问题，根据题目中给出的图形判断出虚线代表的正好是剪下的图形的边，虚线代表的四条边都相等，即可得出最后结论． 【详解】解：根据题意可知：长方形的纸经两次对折后，则图三共有四层沿虚线剪下的图形由四个完全相同的三角形组成，虚线代表的正好是剪下的图形的边，虚线代表的四条边都相等，根据菱形判定定理，四条边都相等的四边形是菱形可以判定剪下的图形即是菱形， 故选：C． 8．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，的对角线交于点O，下列条件不能判定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的判定，掌握对角线垂直的垂直或邻边相等的平行四边形是菱形解题的关键． 根据菱形的判定方法逐项判断即可解答． 【详解】解：A．由、，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得：四边形是菱形，故该选项不符合题意； B．由可得，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得：四边形是菱形，故该选项不符合题意； C．由,根据对角线垂直的平行四边形是菱形可得：四边形是菱形，故该选项不符合题意； C．是的对边，不能说明四边形是菱形，故该选项符合题意． 故选：D． 9．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，是 的角平分线． (1)请用圆规和无刻度的直尺作的垂直平分线，分别交，于点，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，证明见解析 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据要求作出图形； （2）结论：四边形是菱形．证明四边相等可得结论． 【详解】（1）图形如图所示： （2）结论：四边形是菱形． 理由：设交于点． 垂直平分线段， ，， 平分， ， ，， ， ， 四边形是菱形． 10．（21-22九年级上·河南驻马店·期末）如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D，依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O． (1)判断四边形ABCD的形状并说明理由； (2)求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)四边形是菱形．理由见解析 (2)面积是24 【分析】（1）根据四边相等解可判断菱形 （2）根据勾股定理求出OB长，从而利用菱形面积公式：对角线长相乘除以二求出菱形面积 【详解】（1）四边形是菱形． 理由是：由作图可知， ∴四边形是菱形． （2）由（1）知四边形是菱形， ∴． ∴， 由勾股定理得：， ∴， 所以四边形的面积是24． 11．（23-24九年级上·河南濮阳·期末）如图，AE∥BF，点D、C分别是AE和BF上的点，连接AC、BD交于点O，此时OA＝OC．若AC＝6，BD＝8，AB＝5，AM⊥BC于M，解决下列问题： （1）求证：OB＝OD； （2）求证：四边形ABCD是菱形； （3）求AM的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AM＝． 【分析】（1）证，即可得出结论； （2）先证四边形为平形四边形，再由勾股定理的逆定理证为直角三角形，，则，即可得出结论； （3）由菱形的面积得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， 四边形为平形四边形， ，，， ， 为直角三角形，， ， 平行四边形是菱形； （3）解：四边形是菱形， ，， ， 即， ． 12．（20-21九年级上·河南平顶山·期末）如图，矩形ABCD中，EF垂直平分对角线BD，垂足为O，点E和F分别在边AD，BC上，连接BE，DF． （1）求证：四边形BFDE是菱形； （2）若AE＝OF，求∠BDC的度数． 【答案】（1）见解析；（2）60°． 【分析】（1）首先判定平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可； （2）AE＝OF，四边形BFDE是菱形，BE=BF，可证△ABF≌△OBF, ∠ABF=∠OBF, ∠FBO=∠OBF, ∠OBF=30°，即可求解． 【详解】证明:(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴ AD∥BC,AD=BC, ∴∠EDO=∠OBF, ∵EF垂直平分BD, ∴BO=DO,∠EOD=∠BOF=90°, ∴△DEO=△BFO(ASA) ∴OE=OF, ∴四边形EBFD是平行四边形, 又EF⊥BD, ∴四边形EBFD是菱形; (2)∵四边形EBFD是菱形, ∴ED=EB 又 AE＝OF，∠A=∠BOF ∴△ABF≌△OBF ∴∠ABF=∠OBF, ∵∠FBO=∠OBF, ∴∠ABF =∠FBO=∠OBF, ∴ ∠OBF=30° ∴∠BDC=60°． 13．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作，交BC于点F． （1）求证：四边形DBFE是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形；为什么． 【答案】（1）证明见解析；（2）当AB=BC时，四边形DBEF是菱形，理由见解析． 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明. （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明． 【详解】解：（1）∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴ 又∵， ∴四边形DBFE是平行四边形. （2）当AB=BC时，四边形DBEF是菱形． 理由如下： ∵D是AB的中点， ∴BD= AB， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE=BC， ∵AB=BC， ∴BD=DE， 又∵四边形DBFE是平行四边形， ∴四边形DBFE是菱形． 14．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD为菱形． 【答案】详见解析． 【分析】先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，证出四边形ABCD是平行四边形，再由AD＝AB，即可得出结论． 【详解】证明：∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠DCA， ∵AC平分∠BAD． ∴∠OAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD＝AB， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴四边形ABCD是菱形． 题型三 添加一个条件使四边形变矩形 15．（22-23九年级上·河南安阳·期末）如图，在四边形中，对角线相交于点O，，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知四边形是平行四边形，然后再根据四个选项所给条件一一进行判断即可得出答案． 【详解】解：在四边形中，对角线相交于点O，， 四边形是平行四边形， A、添加条件，可得四边形是菱形，但不一定是矩形，故符合题意； B、若，则，故四边形是矩形，故不符合题意； C、若，则，故四边形是矩形，故不符合题意； D、若，则，则，故四边形是矩形，故不符合题意； 故选：A． 16．（21-22九年级上·河南焦作·期末）如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可； 【详解】解：A、四边形是平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项A符合题意； B、四边形ABCD是平行四边形，， ，， ， 选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B不符合题意； C、四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，故选项D不符合题意； 故选：A． 17．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，在平行四边形中，对角线与交于点．添加一个条件： ，则可判定四边形是矩形． 【答案】（或）（答案不唯一，正确即可） 【分析】此题考查了矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定定理是解答此题的关键． 根据矩形的判定定理求解即可． 【详解】解：若使变为矩形，可添加的条件是： ；（对角线相等的平行四边形是矩形） 等．（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 故答案为：或． 18．（21-22九年级上·河南驻马店·期末）如图，D、E、F是△ABC各边中点，请在△ABC中添加一个条件： ，使四边形DFAE是矩形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据中位线定理判定出四边形DFAE是平行四边形，再依据矩形的判定定理，即有一个内角是的平行四边形是矩形即可得出答案． 【详解】解：∵D、E、F是△ABC各边中点， ∴DE和DF是△ABC的中位线， ∴，， ∴四边形DFAE是平行四边形． 当时，四边形DFAE是矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 19．（20-21九年级上·河南开封·期末）如图，平行四边形中，，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)①直接写出：当　 　时，四边形是菱形（不需要说明理由）； ②当　 　时，四边形是矩形，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①4；②7，理由见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质先证明，进而证明，得到，再由，即可证明四边形是平行四边形； （2）①根据平行四边形的性质可得，因此只需要保证是等边三角形，即可证明，从而证明平行四边形是菱形，据此求解即可；②当cm时，平行四边形是矩形，过A作于M，可证明，得到，即可证明平行四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：①当时，四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， 故答案为：4； ②当cm时，平行四边形是矩形，理由如下： 如图，过A作于M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和△中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， 故答案为：7． 20．（22-23九年级上·河南开封·期末）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线． (1)求证：AF与DE互相平分； (2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)AF=BC，理由见解析 【分析】（1）易知点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，所以线段DF与EF也为△ABC的中位线，由中位线定理证得四边形ADFE是平行四边形，因为平行四边形的对角线相互平分，此题可证； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形，结合已知条件可知，当AF=BC时，平行四边形ADFE为矩形． 【详解】（1）证明：∵线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线， ∴D，E，F分别是AB，AC，BC的中点， ∴线段DF与EF也为△ABC的中位线， ∴DFAC，EFAB， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∴AF与DE互相平分． （2）解：当AF=BC时，四边形ADFE为矩形，理由如下： ∵线段DE为△ABC的中位线， ∴DE=BC， 由（1）知四边形ADFE为平行四边形，若ADFE为矩形，则AF=DE， ∴当AF=BC时，四边形ADFE为矩形． 题型四 判定四边形是矩形 21．（23-24九年级上·河南郑州·期末）下列说法中正确的是（    ） A．矩形的对角线互相垂直平分 B．菱形的对角线相等 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．有三边相等的四边形是菱形 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形、菱形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 利用矩形、菱形的性质和判定解答即可． 【详解】解：A．矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直，故本选项不合题意； B．菱形的对角线互相垂直平分，但不相等，故本选项不符合题意； C．有三个角是直角的四边形是矩形，故本选项合题意； D．四条边都相等的四边形是菱形，故本选项不合题意． 故选：C． 22．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）下列命题为假命题的是（        ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D．一个角是直角的四边形是矩形 【答案】D 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；原说法正确，不符合题意； B．对角线相等的平行四边形是矩形；原说法正确，不符合题意； C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，原说法正确，不符合题意； D．一个角是直角的四边形是矩形，原说法错误，符合题意； 故选：D 23．（22-23九年级上·河南濮阳·期末）已知：如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点．求证：四边形为矩形． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查矩形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明． 【详解】证明：，是的平分线， ，． ， 为的外角的平分线， ． ， ， ． 四边形为矩形． 24．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，且，连接，，，交于点O，已知． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求对角线的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据一组对边平行且相等，证明四边形是平行四边形，根据等腰三角形的判定与性质，可得，进而结论得证； （2）由（1）知，则，进而可求． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，． 点E在的延长线上，， ，． 四边形是平行四边形． ，， ． ，即． 平行四边形是矩形． （2）解：由（1）知， ，， ． ． 25．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）已知点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． （1）先利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得，根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据，最后根据矩形的判定即可得证； （2）先根据矩形的性质可得，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：由题意可知，， ∵四边形是矩形， ∴， ． 26．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图：直线，的顶点E、H分别在直线、上，交于F点，，为的角平分线． (1)用尺规作图：作的角平分线（不写过程，需保留作图痕迹）； (2)的角平分线交直线于M，连接，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，，则，，进而推得，即可得四边形为矩形． 【详解】（1）解：射线即为所求， （2）为的平分线， ， 为的平分线， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， 四边形为矩形． 27．（23-24九年级上·河南开封·期中）如图：在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点，直接写出与之间的关系为___________． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一得到，平分，平分，，得到，又由即可得到，得到结论； （2）根据矩形的性质和三角形中线得到是的中位线，即可得到结论． 此题考查了矩形的性质和判定、等腰三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键． 【详解】（1）证明：，是中线， ，平分（等腰三角形三线合一） 平分，， ， ， ， 四边形是矩形． （2）∵四边形是矩形， ∴与互相平分于点F， ∵是中线， ∴是的中位线， ∴． 故答案为： 28．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图，菱形的对角线和交于点，分别过点、作，，和交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点，当，时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，根据，可得四边形是平行四边形，即可求证； （2）根据可得，即可求出的长度，根据勾股定理求出的长度，再根据矩形的性质和菱形的性质得出和的长度，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形； （2）∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∵四边形为菱形，四边形是矩形， ∴， ∴在中，根据勾股定理可得：． 29．（22-23九年级上·河南许昌·期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．    【答案】(1)见解析；(2)OE=5，BG=2. 【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形； (2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2． 【详解】解：(1)证明:∵四边形ABCD为菱形， ∴点O为BD的中点， ∵点E为AD中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形 ∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形． (2)∵点E为AD的中点，AD=10， ∴AE= ∵∠EFA=90°，EF=4， ∴在Rt△AEF中，． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=AD=10， ∴OE=AB=5， ∵四边形OEFG为矩形， ∴FG=OE=5， ∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2． 故答案为：OE=5，BG=2． 题型五 添加一个条件使四边形是正方形 30．（21-22九年级上·河南信阳·期末）四边形的对角线和相交于点，设有下列条件：①；②；③与互相平分；④矩形；⑤菱形；⑥正方形，则下列推理成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题用到的知识点是：矩形、菱形、正方形的判定定理，如：一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形；对角线互相平分且一个角是直角的四边形是矩形．灵活掌握这些判定定理是解本题的关键．由对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案． 【详解】解：A、对角线相等的矩形不能得到正方形，故错误； B、对角线垂直的矩形是正方形，正确； C、对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形，故错误； D、对角线相等且平分的四边形是矩形，但不但能得到菱形，故错误． 故选：B． 32．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形．据此解答即可． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．即满足条件． 故选：C． 33．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，和是菱形的对角线，若再补充一个条件能使其成为正方形，下列条件：①；②；③；④，其中符合要求的是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据正方形的判定定理：有一个角为直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形逐一判断即可． 【详解】解：①若，根据对角线相等的菱形是正方形即可得菱形是正方形，①符合要求； ②是菱形具有的性质，不能得出菱形是正方形，②不符合要求； ③，则，根据有一个角为直角的菱形是正方形可得菱形是正方形，③符合要求； ④若菱形是正方形，则，由，可得，故不能得出菱形是正方形，④不符合要求； 故符合要求的为①③， 故选：B． 34．（22-23九年级上·河南周口·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ）    A． B． C． D．平分 【答案】A 【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等． 即或． 故选：A 35．（22-23七年级上·甘肃白银·期末）如图所示，菱形中，对角线相交于点O，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是 ．（只填一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了正方形的判定．根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件，即可． 【详解】解：添加，理由： ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一） 36．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，在中，是的中点，连接，是的中点，过点作，与的延长线交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)填空：①当满足条件时，四边形是_______； ②当满足条件_______时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)①菱形；②， 【分析】（1）由，得到两对内错角相等，再由E为中点，得到，利用得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，再由，等量代换得到，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证； （2）①由，为中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到由邻边相等的平行四边为菱形，即可得证； ②添加条件为，，由，根据①得到四边形为菱形，再由，利用等腰三角形的三线合一得到，根据有一个角是直角的菱形为正方形即可得证． 【详解】（1）证明：∵E为的中点，D为中点， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形； （2）解：①当满足条件时，四边形是菱形，理由为： ∵E为的中点，D为中点， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形； ∵，D是的中点， ∴ ∵四边形为平行四边形，； ∴四边形为菱形； ②当满足条件，时，四边形是正方形，理由为： 由①知当满足条件时，四边形是菱形， ∵，为中点， ∴为边上的中线， ∴，即， ∵四边形是菱形， ∴四边形为正方形； 37．（22-23九年级上·河南郑州·期末）数学活动课上，何老师布置了一道题目：如图，你能用一张锐角三角形纸片折出一个以为内角的菱形吗？石雨的折法如下： 第一步，折出的平分线，交于点D， 第二步，折出的垂直平分线，分别交、于点E、F，把纸片展平， 第三步，折出、，得到四边形， (1)请根据石雨的折法在图中画出对应的图形，并证明四边形是菱形； (2)满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)为直角三角形且，理由见解析． 【分析】（1）根据要求画出图形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）根据正方形与菱形的关系即可得知为直角三角形且，有一个角为直角的菱形为正方形． 【详解】（1）解：图形如图所示： 理由：∵ 是 的平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 同理， ∴四边形 是平行四边形， 又， ∴四边形 是菱形． （2）为直角三角形且，理由如下： ∵四边形 是菱形，， ∴四边形是正方形． 38．（23-24九年级·河南焦作·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC的垂直平分线EF交AC于点D，交AB于点F，且CE=BF. （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）当∠BAC的度数为多少时，四边形AECF是正方形. 【答案】(1)证明见详解；（2）∠BAC=45. 【分析】(1) 根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等, 有BE=EC, BF=FC, 根据四边相等的四边形是菱形即可判断; (2)由菱形的性质知,对角线平分一组对角,即当∠BAC=45时,∠EAF=90,则菱形AECF为正方形. 【详解】证明: (1) AC的垂直平分线EF交AC于点D CD=AD,∠ADF=90，EC=AE,CF=AF, 又∠ACB=90°，EF∥BC, △ADF∽△ACB, AF:AB=AD:AC, CD=AD,D为AC的中点， AF:AB=AD:AC=1：2， F为AB中点, BF=AF,在Rt△ABC中，∠ACB=90°, CF=AF, 又CE=BF, CF=AF, EC=AE,CF=AF CE= CF= AF= AE 四边形BECF是菱形. （2）当∠BAC=45时, 四边形AECF是正方形. 证明:∠BAC=45,四边形AECF是菱形, ∠EAC=∠BAC=45, ∠EAF =∠EAC+∠BAC =90, 菱形AECF是正方形. 题型六 判定四边形为正方形 39．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，点，同时从点出发在线段上以0.5cm/s的速度反向运动（点，分别到达，两点时停止运动），设运动时间为．连接，，，，已知是边长为4cm的等边三角形，当 s时，四边形为正方形． 【答案】4 【分析】由已知条件可得四边形是菱形，当BD=EF时，即为正方形． 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点，点，同时从点出发在线段上以0.5cm/s的速度反向运动， ∴OD=OB,OE=OF,DB⊥EF， ∴四边形是菱形； ∵是边长为4cm的等边三角形， ∴OD=OB=2； 运动后，OE=OF=， 当OB=OE时，四边形为正方形，即，即． 故答案为：4． 40．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，． (1)用尺规作图法作出的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，垂足分别为，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)正方形，理由见解析 【分析】（1）依据角平分线的尺规作图方法进行作图即以为圆心作圆弧，交，边于两点，在以这两点为圆心作弧相交于一点，然后连接和这点，与交于点，则为的角平分线； （2）要证四边形是正方形，则要先证明四边形是矩形，已知平分，，，故可根据有三个角是直角的四边形是矩形判定，再根据正方形的判定方法得到四边形是正方形． 【详解】（1）解：如图所示，以为圆心作圆弧，交，边于两点，在以这两点为圆心作弧相交于一点，然后连接和这点，与交于点，则为的角平分线； （2）证明：∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． 41．（22-23九年级上·河南开封·期末）[问题提出]在等腰中，AB＝BC，，点D，E分别在边，上（不同时在点A），连接，将线段DE绕点E顺时针旋转，得到线段，连接，探究与的位置关系． (1)[问题探究]先将问题特殊化，如图1，点D，E分别与点B，C重合，直接写出与的位置关系； (2)再探讨一般情形，如图2，证明（1）中的结论仍然成立． [问题拓展] (3)如图3，在等腰中，，，D为的中点，点E在边上，连接，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，点G是点C关于直线的对称点，若点G，D，F在一条直线上，求的值． 【答案】(1)互相平行，证明过程见解析． (2)证明过程见解析． (3)3 【分析】（1）由可得，再根据可证，从而可得四边形是平行四边形，即可证明． （2）过E作交的延长线于点M，根据可得，又因为，可证，又因为从而证明，可得，所以即可证明． （3）连接、，过E作于点G，延长交于点H，根据可知，从而证明可得，可证四边形是正方形，再根据旋转的性质可得，从而证明，即可证明即可求值． 【详解】（1）解：，理由如下： 由旋转的性质得：， ∴四边形是平行四边形 ． （2）证明：如图2，过E作交的延长线于点M，则 ， ∴是等腰直角三角形 ， 由旋转的性质得：， 即 ∴ ∴ ∴ ∴． （3）解：如图3，连接、，过E作于点N，延长交于点H， 则 由（1）可知， ， ∵D为的中点， ∴ ∴ ∴ ∵点G是点C关于直线的对称点 ∴ ∴四边形是平行四边形 ， ∴平行四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ ∴， 由旋转的性质得：， ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴． 42．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，D为的中点，四边形是平行四边形． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)填空： ①当且时，四边形的周长等于______； ②当时，四边形的形状为______． 【答案】(1)矩形，理由见解析 (2)①；②正方形 【分析】（1）由四边形为平行四边形，证明且．再证明，可得．证明四边形为平行四边形．．从而可得结论； （2）①由且，，可得，，结合四边形为矩形可得答案；②证明，可得，结合四边形为矩形，可得四边形的形状为正方形． 【详解】（1）证明：四边形为矩形． 理由如下：∵四边形为平行四边形， ∴且． ∵D为BC的中点， ∴， ∴． ∵B，D，C三点共线且， ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵，D为的中点， ∴， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形． （2）①∵且，， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴四边形的周长为； ②∵，，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形的形状为正方形． 43．（22-23九年级上·河南开封·期末）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行四边形的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形； （2）由BE=BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的内角和定理可得∠CBE=180°× =45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形． 【详解】（1）在△ADE与△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE， ∴∠ADE=∠CDE， ∵AD∥BC， ∴∠ADE=∠CBD， ∴∠CDE=∠CBD， ∴BC=CD， ∵AD=CD， ∴BC=AD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AD=CD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）∵BE=BC， ∴∠BCE=∠BEC， ∵∠CBE：∠BCE=2：3， ∴∠CBE=180°× =45°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABE=45°， ∴∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形． 44．（22-23九年级上·河南安阳·期末）在中，，的平分线交于点D，过点B作交的平分线于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）由，平分，可得，由是的外角平分线，可得，则，即，，证明，进而可证四边形是矩形； （2）由，平分，，可得，则，进而结论得证． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵是的外角平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形； （2）解：当时，四边形是正方形．理由如下： ∵，平分，， ∴， ∴， ∴矩形为正方形． 45．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图是直角三角尺（）和等腰直角三角尺（）放置在同一平面内，斜边BC重合在一起，，，．交AB于点E；作交AC的延长线于点F． (1)求证：四边形AEDF是正方形． (2)当时，求正方形AEDF的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2)正方形AEDF的边长是 【分析】（1）由题意知 ，，可知四边形AEDF是矩形，，可得，进而可说明四边形AEDF是正方形． （2）解：由题意得，，设，可得，求出的值，根据正方形的边长是计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵ ∴四边形AEDF是矩形 ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴四边形AEDF是正方形． （2）解：∵，， ∴， 设 得 解得： ∴正方形AEDF的边长是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$