七年级上学期期中13大压轴考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（浙教版2024）

浙教版七年级上学期期中常考压轴题专题 目录 类型一、绝对值化简 1 类型二、绝对值的意义 3 类型三、幻方幻圆类有理数加减法应用 7 类型四、多个有理数的乘法 10 类型五、数轴上的动点问题 11 类型六、平方根立方根计算的规律探究题 18 类型七、无理数的整数与小数部分 21 类型八、实数运算的规律题 23 类型九、数字规律类的探究 25 类型十、图形的规律 28 类型十一、整式加减中无关型问题 30 类型十二、整式化简求值 33 类型十三、定义新运算问题 34 类型一、绝对值化简 1．数在数轴上所对应点如图所示：化简 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，绝对值的意义，利用数，，在数轴上所对应点的位置，判断出，的符号是解题的关键． 利用数，，在数轴上所对应点的位置，判断出，的符号，再利用绝对值的意义化简求值即可． 【详解】解：由题意得：，， ，， ． 故答案为：． 2．数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定， (1)当时，则___ ， ___ ． (2)当时，则___ ． (3)当，且，求c的值． 【答案】(1)3，7 (2)2或 (3)c的值为或或或 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，化简绝对值，绝对值方程．熟练掌握化简绝对值，并分类讨论是解题的关键． （1）将值代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当时，当时，当时，三种情况化简绝对值，计算求解即可； （3）由题意知，当时，，，然后分当时；当时；当时；三种情况化简绝对值，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 故答案为：3，7； （2）解：由题意知，当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴， 当时，解得，； 当时，解得，； 故答案为：2或； （3）解：当时，，， 当时，，则， 解得，； 当时，，则， 解得，； 当时，，， ∴， 当时，解得，； 当时，解得，； 综上所述，c的值为或或或 ． 3．请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：    (1)有理数、、在数轴上的位置如图，化简：． (2)请你找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1)； (2)或； 【分析】本题考查了绝对值的应用，关键是掌握分类讨论的思想． （1）观察数轴上、、的正负，去除绝对值符号，化简； （2）分区间讨论符合条件的整数； 【详解】（1）解：由题意得, , ∴，，， ∴ ． （2）解：①当时, ， ∴， 解得：； ②当时, ∴， ∵， ∴等式不成立． ③当时, 由， 得， 解得：， ∴或时，． 类型二、绝对值的意义 4．同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得 ，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 【答案】(1) (2)，，， (3)或 (4)有，最小值为，和为 【分析】本题考查绝对值的意义；整式的加减、数轴、绝对值； （1）根据距离公式即可解答； （2）利用绝对值和数轴求解即可； （3）根据表示到的和为，则分，两种情形讨论，求得最小值，即可求解． （4）|理解为：在数轴上表示到、、和的距离之和，当在与之间的线段上时取得最小值，进而即可求解． 【详解】（1）数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为， 故答案为； （2）表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 为到之间的整数，这样的整数有、、、， 故答案为、、、； （3）∵的最小值是， 即表示到的和为 由于与之间的距离为，小于最小值，则或； ①当时，即，则在到之间时，最小值为 ∴ ∴ ②当时，即， ∴ 综上所述，或 （4）有最小值， 理由是|理解为：在数轴上表示到、、和的距离之和， ∴当在和之间时，取得最小值， ∴最小值为 ∴符合条件的整数为 ∴所有符合条件的整数的和为 5．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_______________；式子的几何意义是______________________________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，________； (3)当表示的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是________； (4)探究：的最小值是________；的最小值为________，此时满足的条件是________． 【答案】(1)，数轴上表示数的点与数的点之间的距离 (2)或5 (3)7 (4)8；16； 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据的几何意义求解可得； （3）根据绝对值的性质得一元一次方程进行解答便可； （4）当时化简绝对值方程便可求得的最小值．当时便可求得的最小值． 【详解】（1）数轴上表示数2的点与数的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离； 故答案为：，数轴上表示数的点与数的点之间的距离； （2）等式的几何意义是表示到数2的距离为3的点， 则的值为或5； 故答案为：或5； （3）表示的点在与5之间移动时， ， 故答案为：7； （4）当时，的值最小， 的最小值为8； 当时，有最小值为：； 故答案为：8；16；． 6．若有理数，，满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质．根据绝对值的性质分别得出，，的取值范围，进而得出，，的取值范围进而得出答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 所以可知， 同理可得： ， ， 所以， 所以， ， ， 所以， ， ， 的最小值是：． 故答案为：． 7．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何意义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离． （1）一般地，点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和如何表示？（用含绝对值的式子表示）． （2）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，求出这些点表示的数的和． （3）在数轴上找到一点a，使|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，求出a的值及该式的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）时，有最小值7． 【分析】（1）根据题意和数轴上两点间的距离解答即可； （2）等式=7表示数x到﹣2的两点间的距离和x到5的两点间的距离之和为7，再结合题意可确定数x在﹣2与5之间，进而可确定整数x的值，然后求和计算即可； （3）式子|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|表示数a的点与表示数﹣3、1、4的点的距离之和，由于数1在﹣3与4之间，可先考虑求|a+3|+|a﹣4|的最小值，易知数轴上当表示数a的点在表示数﹣3的点的左边和表示数4的点的右边时，|a+3|+|a﹣4|的值均大于﹣3与4的距离，故当表示数a的点在表示数﹣3和4之间时，|a+3|+|a﹣4|的值最小，此时只要求|a﹣1|的最小值即可，显然当a＝1时满足要求，再把a＝1代入原式计算即可． 【详解】解：（1）因为点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1， 所以点A到B的距离为，点A到C的距离为， 所以A到B的距离与A到C的距离之和是； （2）因为=7表示数x到﹣2的两点间的距离和x到5的两点间的距离之和为7，且数轴上﹣2与5的两点间的距离为7， 所以数x在﹣2与5之间， 因为x为整数， 所以x=﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5， 它们的和为﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5=12； （3）因为|a+3|+|a﹣4|表示数a的点到表示数﹣3和4的点的距离之和， 所以当表示数a的点在表示数﹣3的点的左边和表示数4的点的右边时，|a+3|+|a﹣4|的值均大于﹣3与4的距离，此时|a+3|+|a﹣4|的值均大于7， 所以当表示数a的点在表示数﹣3和4的点之间时，|a+3|+|a﹣4|的值最小，此时|a+3|+|a﹣4|=7； 又因为当a=1时，|a﹣1|的值最小，且数轴上表示数1的点在表示数﹣3和4的点之间， 所以当a＝1时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小， 此时|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|=4+0+3=7． 即时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|有最小值7． 【点睛】本题以数轴为载体，主要考查了绝对值的几何意义、数轴上两点间的距离和有理数的加法运算，正确理解题意、灵活应用数形结合的思想是解题的关键． 类型三、幻方幻圆类有理数加减法应用 8．如图，在一个由六个圆圈组成的三角形里，把-1，-2，-3，-4，-5，-6这6个数分别填入图中圆圈里，要求三角形每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（   ） A．-9 B．-10 C．-12 D．-13 【答案】A 【分析】三角形每条边上的三个数的和S，那么3S是三角形的三个顶点的数字要重复一次的总和，故三个顶点的数字最大时，S取最大值. 【详解】解：六个数的和为：， 最大三个数的和为：，， S=． 填数如图： 故选A． 【点睛】考查了有理数的加法， 注重考查学生的思维能力， 中等难度 ． 9．如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】共有个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这 个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果． 【详解】解：因为共有个数，每一条边上个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为， 所以这一行最后一个圆圈数字应填， 则所在的横着的一行最后一个圈为， 这一行第二个圆圈数字应填， 目前数字就剩下， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填， 所以这一行第三个圆圈数字应为， 则所在的横行，剩余3个圆圈里分别为，要使和为2，则为 故选： 【点睛】本题主要考查了幻方的应用，找到每一行的规律并正确进行填数是解题的关键． 10．如图，是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中的△、⊙分别表示一个数，则△-⊙的值为 ．    【答案】或1 【分析】根据题意先得到内外两圈上以及横、竖上的4个数字之和都为，进而求出⊙，小圆圈上空白圆圈上数字为，从而求出△或2，即可求出答案． 【详解】解：由题意得， ∴内外两圈上以及横、竖上的4个数字之和都为， ∴⊙， ∴小圆圈上空白圆圈上数字为， ∴△或2， ∴△-⊙或1． 故答案为：或1 【点睛】本题考查了有理数的加法，减法运算，熟知题意，理解“横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等”是解题关键． 类型四、多个有理数的乘法 11．如果四个互不相同的正整数满足，则的最大值为（　　） A．40 B．53 C．60 D．70 【答案】B 【分析】由题意确定出的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】∵四个互不相同的正整数，满足， ∴要求的最大值，即m最大，4-m最小，则有：，，，， 解得：， 则． 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．若四个互不相同的正整数，，，满足，则的值为 【答案】20. 【分析】根据题意确定出a，b，c，d的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵四个互不相同的正整数a，b，c，d， ∴（5﹣a）、（5﹣b）、（5﹣c）、（5﹣d）也为四个互不相同的整数， ∵4=（-1）×1×（-2）×2，只有这一种情况 ∴可设，5﹣a＝1，5﹣b＝﹣1，5﹣c＝2，5﹣d＝﹣2， 解得：a＝4，b＝6，c＝3，d＝7， 则a+b+c+d＝20， 故答案为：20． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，把4拆成四个不同整数的积是解本题的关键． 13．如果四个不同的整数a，b，c，d满足，求的值． 【答案】40 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，根据、、、是四个不同的整数可知四个括号内的值分别是：，，据此可得出结论． 【详解】解：∵整数a，b，c，d各不相同， ∴整数，，，也各不相同， 又∵， ∴， ∴． 类型五、数轴上的动点问题 14．已知数轴上两点对应的数分别是6，，为数轴上三个动点，点从A点出发，速度为每秒2个单位，点从点出发，速度为点的3倍，点从原点出发，速度为每秒1个单位． (1)若点向右运动，同时点向左运动，求多长时间点与点相距46个单位？ (2)若点同时都向右运动，求多长时间点到点的距离相等？ (3)若点同时运动，当时间满足时，两点之间（包括两点），两点之间（包括两点），两点之间（包括两点）分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出的值． 【答案】(1)4秒 (2)13秒或72秒 (3)秒，秒 【分析】本题主要考查了点在数轴上的移动，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，动点表示的数的表示，列方程，是解题的关键． （1）利用M、N之间的距离为最初的距离加上各自行驶的路程即可得到一个关于t的方程，解方程即可得出答案； （2）先将M，N，P三点在数轴上的位置用含t的代数式表示出来，然后分点N在点P左侧和点N在点P右侧两种情况分别讨论即可； （3）根据M，N，P之间整数点的个数，可以确定出M，N，P三点的位置，从而找到的值． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒， 由题意可得：， ∴， ∴运动4秒点M与点N相距46个单位； （2）解：设运动时间为t秒， 由题意可知：M点运动到，N点运动到，P点运动到t， 由，得， 解得或13， ∴运动13秒或72秒时点P到点M，N的距离相等； （3）解：由题意可得：M、N、P三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小，M、N两点距离最大，M、P两点距离最小，可得出M、P两点向右运动，N点向左运动． 当秒时， P在4，M在14，N在， 再往前一点，之间的距离即包含10个整数点，之间有37个整数点； ②当N继续以6个单位每秒的速度向左移动，P点向右运动， 若N点移动到时， 此时N、P之间仍为37个整数点， 若N点过了−33时， 此时N、P之间为38个整数点， 故（秒）， ∴秒，秒． 15．如图，在数轴上有A，B两点，分别表示的数为a，b，且．点P从A点出发以每秒19个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒3个单位长度向左匀速运动，当点Q到达A点时，点P，Q停止运动． (1)________（填空），并求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数； (2)点C在数轴上对应的数为81，在数轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M对应的数，若不存在，说明理由； (3)求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；在整个过程中，点P和点Q一共相遇了多少次？ 【答案】(1)132；6；61 (2)存在点M，使，点M对应的数为或 (3)当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数为，点P和点Q一共相遇了次 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间距离； （1）根据可得，故可得的长度，再利用时间等于路程除以速度和，即可解答；再根据求得时间，即可得到相遇点表示的数； （2）设点表示的数为，考虑两种情况，即点在点左边，点在点和点中间，再根据，列方程即可解答； （3）求出点运动的时间，即可算出点运动的路程，再求出点的位置即可，再根据点来回次数，求得和点相遇次数． 熟练利用代数式表示动点表示的位置是解题的关键． 【详解】（1）解：根据，可得，， ， （秒）， 相遇的点为； （2）解：设点表示的数为， ①当点在点左边时， ，，， 根据，可列方程， 解得； ②点在点和点中间时， ，，， 根据，可列方程， 解得； 综上所述，存在点M，使，点M对应的数为或； （3）解：点运动的时间为（秒）， ， 所以可得点总共往返6趟，且最后停止在处， 综上所述，点P和点Q一共相遇了7次． 16．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】（）；（）当时，的中点所对应的数为； （） ；当时，存在定值，为． 【分析】（）先由非负数的性质求出，进而可得的中点所对应的数； （）求出点表示的数为，点表示的数为，然后根据的中点所对应的数为，得即可； （）依题意可得出对应的数； 由（）可知：点所表示的数为，点表示的数为，再求出点所表示的数为，点所表示的数为，进而求出，，从而得，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案； 此题主要考查了数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：（）， ∴，， ∴，， ∴点对应的数为，点对应的数为 ∴的中点所对应的数为， 故答案为：； （）由题意可得，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 解得， 当时，的中点所对应的数为； （）根据题意：五等分点公式点对应的数为， 故答案为：； 由题意，得点表示的数为，点所表示的数为， ∴，， ∴， ∴当时，，不是定值； 当时，，是定值； 当时，，不是定值， ∴当时，存在定值，为． 17．如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2)①或；②t的值为或或5.5 【分析】（1）根据A点，B点对应的数，得到，根据与的比值，得到，，得到C点对应的数是； （2）①当M、N未相遇， M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是，得到，解得，此种情况不存在；当P与M第一次相遇后，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是，得到，解得；当P与N相遇后，未与M第二次相遇时，P表示的数是，，解得；当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是， M表示的数是4，得到，解得，根据，得到这种情况不存在；当P运动到A后，若N为的中点，此时，，解得． 本题主要考查了数轴上动点问题，熟练掌握数轴上动点表示的数，两点间的距离公式，相遇与追及问题，列代数式，列方程，分类考虑动点的位置，是解题关键． 【详解】（1）∵A点对应的数是，B点对应的数是8， ∴， ∵， ∴，， ∴C点对应的数是， 答：C点对应的数是4； （2）①∵运动t秒时， 当M、N未相遇，则M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或； ②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是， ∵ ∴， 解得（舍去），此种情况不存在， 由已知得，P与M在时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是， ∴， 解得， 由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过秒，即时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是， ∴， 解得， 当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是，M在C点处，M表示的数是4， 次情况， ∴， 解得，不合， ∴这种情况不存在， 当P运动到A后，若N为的中点，此时， ∴， 解得， 综上所述，t的值为，或，或5.5． 类型六、平方根立方根计算的规律探究题 18．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位． （2）已知，，则_____；______． （3），，，…… 小数点的变化规律是_______________________． （4）已知，，则______． 【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01 【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可； （2）利用得出的规律计算即可得到结果； （3）归纳总结得到规律，写出即可； （4）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】解：（1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位． 故答案为：两；右；一； （2）已知，，则；； 故答案为：12.25；0.3873； （3），，，…… 小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位； （4）∵，， ∴， ∴， ∴y=-0.01． 【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键． 19．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 【答案】(1)①两；②9；③3；39 (2)①；②0.81 【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小． 通过比较立方根的大小，即可得出答案． 【详解】（1）解：①，，， ， 是两位数， 故答案为：两； ②的个位上的数是9，而， 个位上都是9， 的个位上的数是9， 故答案为9； ③，，， 的十位上的数是3， 又 的个位上的数是9， ， 故答案为：3，39； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵的前三位为117，后三位为649，，， ， 十位上的数为4， ∵的个位上的数是9，而， 个位上是9， ∴的立方根为49， ∴； ②∵， ∵，，， ， 是两位数， ∵的前三位为531，后三位为441，而， ∴， ∴十位数为8， ∵， ∴个位数是1， ∴531441的立方根为81， ∴， 故答案为：，0.81． 20．先阅读材料，再解答问题： 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出，给出了答案，众人十分惊讶，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试： （1）我们知道，，那么，请你猜想：59319的立方根是_______位数 （2）在自然数1到9这九个数字中，________，________，________． 猜想：59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是________． （3）如果划去59319后面的三位“319”得到数59，而，，由此可确定59319的立方根的十位数字是________，因此59319的立方根是________． （4）现在换一个数103823，你能按这种方法得出它的立方根吗？ 【答案】（1）两；（2）125，343，729，9；（3）3，39；（4）47 【分析】（1）根据夹逼法和立方根的定义进行解答； （2）先分别求得1至9中奇数的立方，然后根据末位数字是几进行判断即可； （3）先利用（2）中的方法判断出个数数字，然后再利用夹逼法判断出十位数字即可； （4）利用（3）中的方法确定出个位数字和十位数字即可． 【详解】（1）∵1000＜59319＜1000000， ∴59319的立方根是两位数； （2）∵ 125，343，729， ∴59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是9； （3）∵ ，且59319的立方根是两位数， ∴59319的立方根的十位数字是3， 又∵59319的立方根的个位数字是9， ∴59319的立方根是39； （4）∵1000＜103823＜1000000， ∴103823的立方根是两位数； ∵ 125，343，729， ∴103823的个位数字是3，则103823的立方根的个位数字是7； ∵ ，且103823的立方根是两位数， ∴103823的立方根的十位数字是4， 又∵103823的立方根的个位数字是7， ∴103823的立方根是47． 【点睛】考查了立方根的概念和求法，解题关键是理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数． 类型七、无理数的整数与小数部分 21．若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“＋”“－”依次相间）的值为 ． 【答案】-22 【分析】按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算． 【详解】解：∵即时，，此时n=1，2，3， ∴； ∵即时，，此时n=4，5，6，7，8， ∴； ∵即时，，此时n=9，10，11，12，13，14，15， ∴=； 由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3， ∵，， ∴即时，， ∴=-44， ∴ =1-2+3-4+5-6+…+43-44 =(1-2)+(3-4)+…+(43-44) = =-22， 故答案为：-22． 【点睛】本题考查了实数的新定义运算，解题的关键是正确运用估算思想，确定整数部分中的运算规律． 22．已知的小数部分是，的小数部分是，则 ． 【答案】1 【分析】根据4＜7＜9可得，2＜＜3，从而有7＜5+＜8，由此可得出5+的整数部分是7，小数部分a用5+减去其整数部分即可，同理可得b的值，再将a，b的值代入所求式子即可得出结果． 【详解】解：∵4＜7＜9， ∴2＜＜3，∴-3＜-＜-2， ∴7＜5+＜8，2＜5-＜3， ∴5+的整数部分是7，5-的整数部分为2， ∴a=5+-7=-2，b=5--2=3-， ∴12019=1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出各数的小数部分是解题关键． 23．已知，x为的整数部分，y为的小数部分．求的值． 【答案】 【分析】由，可得a+b=33，再根据x为的整数部分，y为的小数部分，确定x、y的值代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴∴． ∵，x为的整数部分，y为的小数部分， ∴，．∴． 答：的值为． 【点睛】本题考查了非负数的性质，以及估算无理数的大小，求出x、y的值是解决问题的关键． 24．阅读理解，回答问题. 我们都知道是无理数，因为无理数是无限不循环小数，因此不可能把的小数部分全部写出来，于是小磊用表示的小数部分，请你根据小磊的思路完成下列问题： （1）的小数部分是 ； （2）已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分. ①的取值范围是 ； ②当是5的倍数时，求的值. 【答案】（1）；（2）①；②当是5的倍数时，的值为24或31. 【分析】（1）仿照小磊的方法表示即可； （2）①根据表示的小数部分可得m的取值范围； ②根据①中的结果，可求出m的值，分别代入中计算即可. 【详解】解：（1）∵＜＜， ∴2＜＜3， ∴的小数部分是； （2）①∵表示的小数部分， ∴3＜＜4， ∴； ②∵且是5的倍数， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上，当是5的倍数时，的值为24或31. 【点睛】本题考查了无理数的估算，利用被开方数越大算术平方根越大得出2＜＜3和3＜＜4是解题的关键. 类型八、实数运算的规律题 25．观察等式：；；；，已知按一定规律排列的一组数：，，．若，用含的式子表示这组数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析式子猜想规律，利用规律计算解题． 【详解】解：； ； ； ， ， ， ， 原式． 故选：D． 【点睛】本题考查规律问题，找准不变化的量和变化的量是解题关键． 26．若规定，例如；，则＝ . 【答案】20 【分析】利用公式求出每个的结果，再利用结果探寻规律即可解题. 【详解】解：∵ƒ（1）=8 ƒ（2）=5-2+∣2-5∣=6 ƒ（3）=5-3+∣3-5∣=4 ƒ（4）=5-4+∣4-5∣=2 ƒ（5）=5-5+∣5-5∣=0 ƒ（6）=5-6+∣6-5∣=0 ƒ（7）=5-7+∣7-5∣=0 …… ∴ƒ（2019）=5-2019+∣2019-5∣=0 ∴原式=8+6+4+2+0+…+0=20 【点睛】此题考查规律的探究方法，通过计算发现规律是解题关键. 27．阅读材料：求的值． 解：设①，将等式①的两边同乘以2， 得②， 用②－①得，即． 即． 请仿照此法计算： (1)请直接填写的值为 ； (2)求值； (3)请计算出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了阅读学习，正确读懂新方法是解题的关键． (1)根据规律，当时，计算即可． (2)仿照阅读的新方法，计算即可． (3)仿照阅读的新方法，计算即可． 【详解】（1）根据题意，得， 当时， ， 故答案为：15． （2）设①， 把等式①两边同时乘以5，得：② 由，得：， ， ． （3）设①， 把等式①两边同时乘以10， 得：② 由得：， 故． 类型九、数字规律类的探究 28．a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2019＝（    ） A．3 B．﹣2 C． D． 【答案】C 【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案． 【详解】∵a1＝3， ∴a2＝＝﹣2， a3＝， a4＝， a5＝， ∴该数列每4个数为1周期循环， ∵2019÷4＝504…3， ∴a2019＝a3＝． 故选：C． 【点睛】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 29．用表示组成的所有数字的乘积，例如：，，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化类，根据题中的定义，列式计算即可，找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴ ， 故答案为：． 30．给出一列数：，在这列数中，记第60个值等于1的项的序号为m，则 ． 【答案】7081 【分析】本题主要考查数字类规律探究．值为的项只有，，……，所以第个值为的应该，而只能出现在分母为开始的分数中，得到出现在分母为开始的分数中，进行求解即可． 【详解】根据题意，值为的项只有，，…… 所以第个值为的应该， 观察已有数字可知：出现在分母为开始的分数中，出现在分母为开始的分数中，出现在分母为开始的分数中， ∴只能出现在分母为开始的分数中， ∴出现在分母为开始的分数中， ∵共有个数， 分母为119开始之前的数的个数为：， 出现在分母为开始的分数中的第60个， ∴； 故答案为：7081 31．在数轴上有理数a，分别用点A，A1表示，我们称点A1是点A的“差倒数点”．已知数轴上点A的差倒数点为点A1；点A1的差倒数点为点A2；点A2的差倒数点为点A3…这样在数轴上依次得到点A，A1，A2，A3，…，An．若点A，A1，A2，A3，…，An在数轴上分别表示的有理数为a，a1、a2、a3、…，an．则当a时，代数式a1+a2+a3+…+a2020的值为 ． 【答案】 【分析】先根据已知求出各个数，根据求出的数得出规律，即可得出答案． 【详解】解：∵a， ∴， ∴， ∴， ∴， …， ∵2020÷3＝673……1， ∴ ∴a1+a2+a3+…+a2020 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴和有理数的计算，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 类型十、图形的规律 32．我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图有1颗弹珠；图有3颗弹珠；图有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；如图中画出了最上面的四层．若用表示图的弹珠数，其中，2，3，…，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可找出规律：，从而可将化为，对其进行裂项运算，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， … 第个图：； ； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形规律问题，根据题意找出规律，并会利用规律对代数式进行裂项计算是解题的关键． 33．观察图形的变化规律,则第10个小房子用了（   ）颗石子． A．119 B．121 C．140 D．142 【答案】C 【分析】根据前4个图形归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】第1个小房子所用石子的颗数为， 第2个小房子所用石子的颗数为， 第3个小房子所用石子的颗数为， 第4个小房子所用石子的颗数为， 归纳类推得：第n个小房子所用石子的颗数为，其中n为正整数， 则第10个小房子所用石子的颗数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了用代数式表示图形的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 34．观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗；③中共有11颗星，图形①中共有17颗星，……，按此规律，图形⑦的颗数是（    ） A．43 B．45 C．41 D．536 【答案】C 【分析】设图形n中星星的颗数是（n为正整数），列出部分图形中星星的个数，根据数据的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：设图形n中星星的颗数是（n为正整数） ∵ =2=1+1 =6=(1+2)+3 =11=(1+2+3)+5 =17=(1+2+3+4)+7 ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了规律型中的图形的变化类，根据图形中数的变化找出变化规律是解题的关键． 35．这是一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，如图所示，在如图的虚线上第一行0，第二行6，第三行21，那么第8行的数是 ． 【答案】231 【分析】根据前四行的数归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】第1行的数是0， 第2行的数是， 第3行的数是， 第4行的数是， 归纳类推得：第n行的数是，其中且为整数， 则第8行的数是， ， ， ， 故答案为：231． 【点睛】本题考查了用代数式表示数的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 类型十一、整式加减中无关型问题 36．已知，． （1）当时，化简： ． （2）若的值与x的值无关，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，牢记运算顺序“先合并同类项，再代入求值”是解题关键． 【详解】解：（1） 将代入得： ． （2） 的值与x的值无关， ， 37．已知P＝xy﹣5x+3，Q＝x﹣3xy+1，若无论x取何值，代数式2P﹣3Q的值都等于3，则y＝ ． 【答案】 【分析】先计算2P﹣3Q，再根据与x值无关确定x的系数，求y值即可． 【详解】解：2P﹣3Q=2（xy﹣5x+3）-3（x﹣3xy+1） =2xy﹣10x+6-3x+9xy-3 =11xy-13x+3 =(11y-13)x+3 ∵无论x取何值，代数式2P﹣3Q的值都等于3， ∴(11y-13)x+3=3， ∴11y-13=0， y=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的加减和代数式的值，解题关键是明确与某个字母的值无关，就是这个字母的系数为0． 38．化简求值： （1）已知求的值； （2）关于的多项式不含二次项，求的值． 【答案】（1）-8；（2）-2 【分析】)先利用去括号法则和合并同类项法则化简，然后把字母的值代入进行计算可得结果； 先合并同类项，根据多项式不含二次项得出字母的值，然后代入代数式进行计算可得结果． 【详解】解：原式， 当，时， 原式； （2） ， 由结果不含二次项，得到，， 解得：，， 则 ． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值和求代数式的值，关键是熟练掌握去括号及合并同类项法则． 39．已知：M=3a2+4ab -5a-6，N=a2-2ab-4 (1)化简：5M-(3N + 4M)，结果用含a、b的式子表示. (2)若式子5M-(3N + 4M)的值与字母a的取值无关，求b4+M-N-的值. 【答案】(1)10ab－5a+6；(2). 【分析】(1).直接把M，N带入到待解的代数式中直接求解 (2)把5M-(3N + 4M)整理成，因为结果与a无关，这只需，求B代入b4+M-N-即可. 【详解】（1）由题意，得： 原式= ∵M=3a2+4ab -5a-6，N=a2-2ab-4 ∴原式= （2）若式子5M-(3N + 4M)的值与字母a的取值无关， ∴ 当时，可知5M-(3N + 4M)的值与字母a的取值无关，此时， 题中原式=b4+M-N- = 【点睛】与某个未知量无关可以简单理解为不论这个未知量取何值时，代数式大小不表．然后带入最为简单的数值求解另一个未知量． 类型十二、整式化简求值 40．先化简，再求值：，其中. 【答案】2021. 【分析】将多项式展开，合并同类项，代入参数的值，计算结果，即可. 【详解】原式= 当时， 原式 【点睛】本题考查整式的化简求值，关键得到化简式子，代入参数值是解题的关键. 41．关于x，y的多项式6mx2＋4nxy＋2x＋2xy－x2＋y＋4不含二次项，求多项式2m2n＋10m－4n＋2－2m2n－4m＋2n的值． 【答案】4 【分析】已知多项式合并后，根据结果不含二次项求出m与n的值，原式合并得到最简结果，将m与n的值代入计算即可求出值． 【详解】6mx2＋4nxy＋2x＋2xy－x2＋y＋4 =(6m－1)x2＋(4n＋2)xy＋2x＋y＋4， ∵该多项式不含二次项， ∴6m－1＝0，4n＋2＝0， 解得：m＝，n＝， ∴2m2n＋10m－4n＋2－2m2n－4m＋2n＝6m－2n＋2＝6×－2×(－)＋2＝4. 【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值以及多项式的知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 42．已知，，求的值，其中，． 【答案】-4. 【详解】分析：先把式子 化为最简，再把，代入后，去括号合并同类项化为最简，最后把x=2，y=-1代入求值即可. 详解： ， ， ，， 原式， ， 把，代入得：． 点睛：本题考查了整式的加减-化简求值，化简求值是课程标准中所规定的一个基本内容，它涉及对运算的理解以及运算技能的掌握两个方面，也是一个常考的题材． 类型十三、定义新运算问题 43．定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ． 【答案】0 【分析】本题为新定义问题，考查了绝对值的意义，有理数混合运算，有理数的大小比较等知识．根据绝对值的意义求出，，再分，、，、，、，分别求出的值，比较大小，即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∵， ∴的最大值为0． 故答案为：0 44．若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是，-1的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推． （1）分别求出，，的值； （2）计算的值； （3）计算的值． 【答案】（1），，；（2）－1；（3）－1 【分析】本题是阅读理解题，（1）根据阅读理解差倒数的含义，利用公式直接计算可以得到答案；（2）利用第（1）的结果进行计算即可得到答案；（3）利用第（1）的结果发现这一列数是循环的，且是3个数循环，所以每这样的3个数的积相等，只要分析好2019个数中有几组这样的3个数就可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意，得：，，； （2）； （3）由（1）知，该数列循环周期为3， 所以， 则 ． 【点睛】首先，理解好阅读文段中给出的定义很关键，然后，根据具体情境抽象出规律是解决这一类题的核心钥匙． 45．观察下列式子，定义一种新运算： ； ； ． (1)根据上面式子规律，请你想一想：_____：（用含的代数式表示）： (2)若，，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】（）由给出的式子得出运算的方法即可； （）分别求出两种运算的结果，然后求出即可判断； 此题考查了定义新运算的方法，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由式子规律可得，， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵， ， ∴， ∴． 46．对于有理数，，定义一种新运算“”规定． （1）计算的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）6；（2）或． 【分析】（1）根据，可以计算出的值； （2）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得的值． 【详解】解（1）， ； （2）当时， ， ， 解得，； 当时， ， 解得，． 由上可得，的值是或． 【点睛】本题考查有理数的混合运算和化简绝对值的知识，熟悉相关性质并能进行分步讨论是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙教版七年级上学期期中常考压轴题专题 目录 类型一、绝对值化简 1 类型二、绝对值的意义 3 类型三、幻方幻圆类有理数加减法应用 7 类型四、多个有理数的乘法 10 类型五、数轴上的动点问题 11 类型六、平方根立方根计算的规律探究题 18 类型七、无理数的整数与小数部分 21 类型八、实数运算的规律题 23 类型九、数字规律类的探究 25 类型十、图形的规律 28 类型十一、整式加减中无关型问题 30 类型十二、整式化简求值 33 类型十三、定义新运算问题 34 类型一、绝对值化简 1．数在数轴上所对应点如图所示：化简 ． 2．数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定， (1)当时，则___ ， ___ ． (2)当时，则___ ． (3)当，且，求c的值． 3．请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：    (1)有理数、、在数轴上的位置如图，化简：． (2)请你找出所有符合条件的整数，使得． 类型二、绝对值的意义 4．同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得 ，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 5．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_______________；式子的几何意义是______________________________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，________； (3)当表示的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是________； (4)探究：的最小值是________；的最小值为________，此时满足的条件是________． 6．若有理数，，满足，则的最小值是 ． 7．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何意义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离． （1）一般地，点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和如何表示？（用含绝对值的式子表示）． （2）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，求出这些点表示的数的和． （3）在数轴上找到一点a，使|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，求出a的值及该式的最小值． 类型三、幻方幻圆类有理数加减法应用 8．如图，在一个由六个圆圈组成的三角形里，把-1，-2，-3，-4，-5，-6这6个数分别填入图中圆圈里，要求三角形每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（   ） A．-9 B．-10 C．-12 D．-13 9．如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 10．如图，是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中的△、⊙分别表示一个数，则△-⊙的值为 ．    类型四、多个有理数的乘法 11．如果四个互不相同的正整数满足，则的最大值为（　　） A．40 B．53 C．60 D．70 12．若四个互不相同的正整数，，，满足，则的值为 13．如果四个不同的整数a，b，c，d满足，求的值． 类型五、数轴上的动点问题 14．已知数轴上两点对应的数分别是6，，为数轴上三个动点，点从A点出发，速度为每秒2个单位，点从点出发，速度为点的3倍，点从原点出发，速度为每秒1个单位． (1)若点向右运动，同时点向左运动，求多长时间点与点相距46个单位？ (2)若点同时都向右运动，求多长时间点到点的距离相等？ (3)若点同时运动，当时间满足时，两点之间（包括两点），两点之间（包括两点），两点之间（包括两点）分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出的值． 15．如图，在数轴上有A，B两点，分别表示的数为a，b，且．点P从A点出发以每秒19个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒3个单位长度向左匀速运动，当点Q到达A点时，点P，Q停止运动． (1)________（填空），并求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数； (2)点C在数轴上对应的数为81，在数轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M对应的数，若不存在，说明理由； (3)求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；在整个过程中，点P和点Q一共相遇了多少次？ 16．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 17．如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 类型六、平方根立方根计算的规律探究题 18．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位． （2）已知，，则_____；______． （3），，，…… 小数点的变化规律是_______________________． （4）已知，，则______． 19．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 20．先阅读材料，再解答问题： 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出，给出了答案，众人十分惊讶，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试： （1）我们知道，，那么，请你猜想：59319的立方根是_______位数 （2）在自然数1到9这九个数字中，________，________，________． 猜想：59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是________． （3）如果划去59319后面的三位“319”得到数59，而，，由此可确定59319的立方根的十位数字是________，因此59319的立方根是________． （4）现在换一个数103823，你能按这种方法得出它的立方根吗？ 类型七、无理数的整数与小数部分 21．若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“＋”“－”依次相间）的值为 ． 22．已知的小数部分是，的小数部分是，则 ． 23．已知，x为的整数部分，y为的小数部分．求的值． 24．阅读理解，回答问题. 我们都知道是无理数，因为无理数是无限不循环小数，因此不可能把的小数部分全部写出来，于是小磊用表示的小数部分，请你根据小磊的思路完成下列问题： （1）的小数部分是 ； （2）已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分. ①的取值范围是 ； ②当是5的倍数时，求的值. 类型八、实数运算的规律题 25．观察等式：；；；，已知按一定规律排列的一组数：，，．若，用含的式子表示这组数的和是（    ） A． B． C． D． 26．若规定，例如；，则＝ . 27．阅读材料：求的值． 解：设①，将等式①的两边同乘以2， 得②， 用②－①得，即． 即． 请仿照此法计算： (1)请直接填写的值为 ； (2)求值； (3)请计算出的值． 类型九、数字规律类的探究 28．a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2019＝（    ） A．3 B．﹣2 C． D． 29．用表示组成的所有数字的乘积，例如：，，．则 ． 30．给出一列数：，在这列数中，记第60个值等于1的项的序号为m，则 ． 31．在数轴上有理数a，分别用点A，A1表示，我们称点A1是点A的“差倒数点”．已知数轴上点A的差倒数点为点A1；点A1的差倒数点为点A2；点A2的差倒数点为点A3…这样在数轴上依次得到点A，A1，A2，A3，…，An．若点A，A1，A2，A3，…，An在数轴上分别表示的有理数为a，a1、a2、a3、…，an．则当a时，代数式a1+a2+a3+…+a2020的值为 ． 类型十、图形的规律 32．我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图有1颗弹珠；图有3颗弹珠；图有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；如图中画出了最上面的四层．若用表示图的弹珠数，其中，2，3，…，则（    ）    A． B． C． D． 33．观察图形的变化规律,则第10个小房子用了（   ）颗石子． A．119 B．121 C．140 D．142 34．观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗；③中共有11颗星，图形①中共有17颗星，……，按此规律，图形⑦的颗数是（    ） A．43 B．45 C．41 D．536 35．这是一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，如图所示，在如图的虚线上第一行0，第二行6，第三行21，那么第8行的数是 ． 类型十一、整式加减中无关型问题 36．已知，． （1）当时，化简： ． （2）若的值与x的值无关，则代数式的值为 ． 37．已知P＝xy﹣5x+3，Q＝x﹣3xy+1，若无论x取何值，代数式2P﹣3Q的值都等于3，则y＝ ． 38．化简求值： （1）已知求的值； （2）关于的多项式不含二次项，求的值． 39．已知：M=3a2+4ab -5a-6，N=a2-2ab-4 (1)化简：5M-(3N + 4M)，结果用含a、b的式子表示. (2)若式子5M-(3N + 4M)的值与字母a的取值无关，求b4+M-N-的值. 类型十二、整式化简求值 40．先化简，再求值：，其中. 41．关于x，y的多项式6mx2＋4nxy＋2x＋2xy－x2＋y＋4不含二次项，求多项式2m2n＋10m－4n＋2－2m2n－4m＋2n的值． 42．已知，，求的值，其中，． 类型十三、定义新运算问题 43．定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ． 44．若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是，-1的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推． （1）分别求出，，的值； （2）计算的值； （3）计算的值． 45．观察下列式子，定义一种新运算： ； ； ． (1)根据上面式子规律，请你想一想：_____：（用含的代数式表示）： (2)若，，试比较与的大小，并说明理由． 46．对于有理数，，定义一种新运算“”规定． （1）计算的值； （2）已知，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$