第四章 对数运算与对数函数知识归纳与题型突破（10知识点+16题型）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（北师大版2019必修第一册）

第四章 对数运算与对数函数知识归纳与题型突破（10知识点+16题型） 知识点一：对数的基本概念 （1）对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 log10N记为lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e＝2.718 28… logeN记为ln N 知识点二：对数与指数的关系 （1）对数与指数的关系 ①若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x. ②对数恒等式：alogaN＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)． （2）对数的性质 ①loga1＝0 (a>0，且a≠1)． (2)logaa＝1 (a>0，且a≠1)． ③零和负数没有对数． 知识点三：对数运算性质 （1）如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). ④loganM＝logaM(n∈R) ⑤logamMn＝logaM(n∈R，m≠0). 知识点四：换底公式 （1）对数换底公式：logab＝=(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). (a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). （2）特别地：（1）logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1). (2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)． 知识点五：对数函数的基本概念及特征 （1）对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． （2） 对数函数的特征 ①对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a>0，且a≠1. ②logax前边的系数必须是1。 ③自变量x在真数的位置上，且只有x。 知识点六：对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值 的变化 当0<x<1时，y<0， 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y>0， 当x>1时，y<0 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 知识点七：对数函数底数大小关系 一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴；如图. 　　　 知识点八：反函数的概念及性质 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数； 两个函数互为反函数具有以下性质： ①一个函数的定义域和值域正好是另一个函数的值域和定义域； ②互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称； ③互为反函数的两个函数的单调性相同．但单调区间不一定相同 知识点九：y＝logaf(x)型函数性质 1.定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域. 2.值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域. 3.单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定) 4.奇偶性：根据奇偶函数的定义判定. 5.最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值. 知识点十：对数及对数型函数解不等式 (1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). (2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. 题型一 对数的概念 例1．已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 【答案】D 【分析】根据对数式和指数式的互化，利用指数的运算即可求得答案. 【详解】由，得， 故， 故选：D 例2．对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可. 【详解】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故选：C 巩固训练 1．已知，则 . 【答案】 【分析】根据指数与对数的运算法则计算． 【详解】由得，则， 所以， 故答案为：. 2．将下列指数式与对数式进行转换： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式与对数式的互化可依次将其转化. 【详解】（1）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （2）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （3）根据指数式和对数式的关系，可化为 （4）根据指数式和对数式的关系，可化为 3．求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)27 (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）将对数化为指数，结合指数运算求解； （3）（4）根据对数的定义逐步去对数，进而可得结果. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，可得， 又因为且，得． （3）因为，得， 则，所以． （4）因为，可得， 则，所以． 题型二 对数计算 例1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数的运算求出，再结合对数和指数的运算化简即可. 【详解】由题得， 所以. 故选：A. 例2．若，则（ ） A．3 B．4 C．9 D．16 【答案】D 【分析】利用对数的运算性质化简给定式子求解即可. 【详解】因为，所以， 故得，化简得， 所以，故，故D正确. 故选：D. 巩固训练 1．若，则（    ） A．60 B．45 C．30 D．15 【答案】C 【分析】利用指数，对数的运算进行化简求值即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：C. 2．已知，，则用，表示 【答案】 【分析】化简，，结合对数的换底公式，准确运算，即可求解. 【详解】由，，可得， 又由. 故答案为：. 3．已知，，则 ． 【答案】 【分析】利用对数运算法则计算可得结果. 【详解】易知； 故答案为： 4．对下列式子求值： (1) (2) 【答案】(1)4 (2)7 【分析】（1）利用指数幂的运算性质及对数的概念化简求值即可. （2）利用对数的运算性质化简求值即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 5．（1）计算：； （2）化简求值：； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）2；（3）4 【分析】（1）根据对数的运算法则进行运算即可. （2）运用对数的运算法则，结合进行化简求值. （3）运用对数的运算法则，结合对数相等的概念，把问题转化成二次方程求解. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）由已知可得， 因为， 所以，化简可得， 解得（舍去），或， 所以 题型三　对数实际应用计算 例1．“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者”的2倍（参考数据：，，） A．35 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可． 【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍， 列方程得， 解得， 即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍． 故选：A． 例2．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的（   ）倍． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过里氏震级的计算公式求出不同震级对应的最大振幅，然后计算两者的倍数关系.计算时运用对数的性质和公式即可 【详解】由里氏震级的计算公式，可得，进一步变形得到，从而得出. 当时，根据，可得地震的最大振幅为. 当时，同样根据，可得地震的最大振幅为. . 故选：B 巩固训练 1．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 【答案】B 【分析】由题意先得，接着由和得，再结合对数运算性质解不等式即可得解. 【详解】由题，，所以， 又由题当时，，即， 所以，令即即， 解得，故， 所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为73. 故选：B. 2．核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（    ） （参考数据：，） A．36.9% B．41.5% C．58.5% D．63.4% 【答案】C 【分析】由题意，代入解方程即可. 【详解】由题意可知，，即， 所以，解得. 故选：C 3．里氏震级（M）是表示地震规模大小的标度，它是由观测点处地震仪所记录到的地震波最大振幅（A）与观测点所在地规模标准地震所应有的振幅（）比值的常用对数演算而来的，其计算公式为.2023年8月6日2时33分，山东省德州市平原县发生5.5级地震，29分钟后又发生3.0级地震，用A5.5和A3.0分别表示震级为5.5和3.0的地震波最大振幅，则（    ）（参考数据：） A．25 B．31.6 C．250 D．316 【答案】D 【分析】结合题意，利用对指数互化与指数运算进行计算即可得解． 【详解】由题意得，，， 从而，， 因此． 故选：D． 题型四　对数函数的基本概念 例1．下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【答案】B 【分析】利用对数函数的定义求解． 【详解】根据对数函数的定义且, 分析A,B,C,D函数形式， 函数为对数函数. 故选：B. 例2．已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对数函数解析式求参即可. 【详解】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 巩固训练 1．已知函数是对数函数，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据，求得对数函数解析式，再将代入计算即可. 【详解】设，且， 因为， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 2．函数为对数函数，则 ． 【答案】3 【分析】利用对数函数的定义，列式计算即得. 【详解】函数为对数函数， 则，且，所以. 故答案为：3 3．函数是对数函数，则实数a＝ . 【答案】1 【分析】利用对数函数的定义知，，解出的值，验证底数即可. 【详解】由题意得， 解得或1， 又且， 所以 故答案为：1 题型五　对数（型）函数的定义域 例1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据已知列出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】要使有意义，则应有， 解得且. 故选：D. 例2．函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据函数定义域得到不等式，解得答案. 【详解】定义域满足，解得且. 故选：D. 巩固训练 1．若函数的定义域为，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，在上恒成立，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可解得实数的取值范围. 【详解】由题意，函数的定义域为， 等价于在上恒成立， 若，则在上恒成立，满足条件； 若，则，解得. 综上，实数的取值范围是， 故选：A． 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式和对数有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，要使有意义， 只需要，解得， 所以， 所以函数的定义域为. 故选：D. 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据抽象函数、对数函数的定义域求法以及分母不等于零求得结果. 【详解】已知函数的定义域为， 所以，， 所以函数的定义域为， 又，且，解得，且， 所以定义域为. 故答案为：. 4．若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是 ． 【答案】(-2,2) 【分析】根据定义域为R得到在R上恒成立，然后列不等式求解即可. 【详解】由题意得在R上恒成立，所以，解得. 故答案为：. 题型六　指数（型）函数的值域 例1．函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断出在上单调递增即可求解． 【详解】， 在上单调递增， 在上单调递增， 当时，， 当时，， 在上的值域为， 故选：B． 例2．已知函数的定义域为集合，值域为集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先令，解出一元二次不等式，即可求出函数的定义域，从而求出函数的值域，最后求出补集. 【详解】由，即，解得或， 所以函数的定义域为集合，则值域为集合， 所以. 故选：D 巩固训练 1．已知函数，的最小值是 . 【答案】2 【分析】先求出函数的定义域，然后利用基本不等式求得内层函数的值域，然后利用对数函数的单调性求得外层函数的值域，即可解答. 【详解】根据题意得到，，解得，即，则的定义域是． 由于函数. 化简得到，由于， 则，当且仅当，即时取最值． 所以，则的最小值是2． 故答案为：2 2．函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的单调性即可求解. 【详解】由于， 所以， 所以原函数的值域为 故答案为： 3．函数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据对数的运算性质将函数化简为，再结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为 ， 当，即时，取到最小值，且. 故答案为： 4．已知函数，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，进而求出的范围，利用换元法结合二次函数求函数的值域. 【详解】因为已知函数的定义域为 且，定义域需满足， 可得， 令，则， 则， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增， 当时，；当时，； 可知函数的值域为. 故答案为：. 5．求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对函数的单调性即可求解， （2）根据对数的运算性质，结合对数函数的单调性以及二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）的定义域为R． ∵，∴． ∴， ∴的值域为． （2）∵ ， 又∵，∴， ∴当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值2， ∴函数的值域是 6．若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 【答案】A 【分析】对参数的取值分类讨论，根据对数函数单调性，求得最值，结合题意，即可求得参数值. 【详解】由题意解得或（舍去）， ①当时，函数在定义域内为增函数， 则由题意得， 所以即，解得或（舍去）； ②当时，函数在定义域内为减函数， 则由题意得， 所以即，解得； 综上可得：或． 故选：A. 题型七　对数（型）的值域求参数取值范围 例1．“”是“函数的值域为”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出函数的值域为时的范围，再根据充分条件和必要条件的定义判断． 【详解】，时，，值域是， 若，则（需要函数才存在），函数的值域不可能是， 若，则的最小值是，因此，又，故解得， 综上有， 因此“”是“函数的值域为”的充分不必要条件． 故选：C． 例2．若函数（其中，且）的最小值是3，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用分段函数的性质，结合对数的运算法则，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数（其中，且）的最小值是3， 当时，函数为单调递减函数，所以， 则当时，函数为单调递增函数，则 且满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D. 巩固训练 1．若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断时，，无最大值，由判断在时的单调性，可得单调性，确定最大值，结合题意列出不等式，即可求得答案. 【详解】当时，在上单调递增，此时，无最大值； 又因为在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 结合题意可得，解得， 即实数的取值范围为， 故选：B 2．已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据对数函数、指数函数的性质求出、的值域，依题意可得，即可得到不等式，解出即可得. 【详解】因为，所以，所以，即， 由，则，即， 因为对于任意，存在，使得， 所以，则，解得，即. 故答案为：. 3．已知函数的最大值为2，则 ． 【答案】6 【分析】根据二次函数与对数函数的性质计算可得. 【详解】因为函数由与复合而成， 而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值， 由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得． 故答案为： 4．已知函数 (1)若在区间上的最大值是，求实数a的值； (2)若函数的值域为，求不等式的实数t的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】(1) 分两种情况讨论，利用对数函数单调性和最值，即可求解； (2) 设，则因为函数的值域为，求的值，利用单调性和定义域解对数不等式. 【详解】（1））① 当时，在上单调递减， 所以,解之可得， ② 当时，在上单调递减， 所以，可得， 综上所述：或. （2）设，则， 因为函数的值域为，即， 所以， 即，得， 根据是单调递增函数，设 则， 所以实数t的取值范围是. 题型八　对数（型）函数的图像与性质 例1．若，且函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质可得，再根据函数图像平移判断即可. 【详解】因为，且，故，故为减函数，且过， 又的图像为的图像向右平移1个单位，则A满足. 故选：A 例2．对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图象，分别讨论和时，的单调性和的开口方向以及根的位置即可求解. 【详解】选项A、B中，由对数函数图象得，则二次函数中二次项系数，其对应方程的两个根为， 选项A中，由图象得，从而，选项A可能； 选项B中，由图象得，与相矛盾，选项B不可能； 选项D中，由对数函数的图象得，则，二次函数图象开口向下，选项D不可能； 选项C中，由图象与轴的交点的位置得，与相矛盾，选项C不可能. 故选：A. 巩固训练 1．函数的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的图象，结合函数图象的变换，即可求得结果. 【详解】的图象可由在轴下方的图象向上翻折得到， 而的图象可由的图象向左平移1个单位得到. 又的图象过点，则过点，且为连续函数，故其图象为A中所画. 故选：A. 2．已知（且且），则函数与的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由对数的运算性质可得，讨论的范围，结合指数函数和对数函数的图象的单调性，即可得到答案. 【详解】由，即为，即有； 当时，， 函数在上为增函数，在为增函数，选项B满足； 当时，， 函数在上为减函数，在为减函数， 四个图象均不满足，在同一坐标系中的图象只能是B． 故选：B 3．若函数（，且）的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数经过点，求出，并代入选项，借助基本初等函数逐一判断即可. 【详解】从函数（，且）的图象可知：该函数经过， 所以，即，解得， 对于选项A: ，由指数函数可知在定义域上单调递减，故选项A错误； 对于选项B: ，当时，则， 由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴，故选项B错误； 对于选项C: 该函数为，可看成的图象关于轴对称，对称后在单调递增，故选项C错误； 对于选项D: ，由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴，故选项D正确. 故选：D. 4．已知，则，且与，且的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数运算得到，再结合指数函数与对数函数的性质即可判断选项. 【详解】因为， 所以，， 若，则，排除C， 若，则，排除AB. 故选：D 5．若，则函数与在同一坐标系内的大致图像可能是（    ） A．     B．     C．   D．   【答案】BC 【分析】由已知分两种情况，当时，，当时，，结合函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为， 所以当时，得， 所以在定义域内单调递减，且， 函数的定义域为， 且由简单函数，复合而成， 由复合函数的单调性可知在定义域范围内单调递减， 且当趋近于时，取得无穷小， 故B正确，D错误； 当时，得， 所以在定义域内单调递增，且， 当无穷小时，无限趋近于， 此时在内单调递增， 且当趋近于时，取得无穷大， 故C正确，A错误. 故选：BC. 题型九　对数（型）的图像的应用 例1．函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数经过的定点，再带入直线可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为函数且的图象恒过定点， 所以，即， 所以， 所以， 当且仅当且，即时取等号. 故选：B. 例2．已知函数，若，且a，b是的图象与直线的两个交点对应的横坐标，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】画出函数的图象，得出关系式后，利用基本不等式得结果. 【详解】根据题意画出图象如下图所示： 易知，又，可知， 所以，即，∴， 所以， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为4. 故选： 巩固训练 1．已知函数．若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像可得、各有两解，从而可用表示四根之和，结合的范围可求和的范围. 【详解】 的图象如图所示，设， 结合图像可得：，且，， 而，故， 故， 设，而在为增函数， 故， 故选：D. 2．已知函数，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用得出，然后利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】，故， 因为，且为则增函数， 故，即， 故，且 则， 因为为对勾函数，在上单调递减， 当时，， 故. 故选：C 题型十　求对数（型）函数的单调性 例1．下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式，直接判断函数的单调性即可． 【详解】对于A，二次函数对称轴为，所以在单调递减，在单调递增，故A错误； 对于B，由对数函数的单调性得，在上单调递增，故B错误； 对于C，当时，，由指数函数单调性得，在上单调递减，故C正确； 对于D，因为和在上单调递增，故在上单调递增，故D错误； 故选：C． 例2．关于函数，以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在区间单调递增 D．在区间单调递减 【答案】BC 【分析】根据奇偶性的定义，先求函数的定义域，利用定义，可得A、B的正误； 根据复合函数单调性的判别，结合对数函数和对勾函数的单调性，可得C、B的正误. 【详解】由，则，当时，等号成立，则的定义域为， 为偶函数，故A错误，B正确； 当时，函数且单调递增，函数且单调递增，函数单调递增， 函数在单调递增，故C正确，D错误. 故选：BC. 巩固训练 1．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用排除法.先判断函数的奇偶性，排除AB，再分析函数的单调性，排除C，可得问题答案. 【详解】是奇函数，既不是奇函数也不是偶函数，排除AB； C，D中函数都是偶函数，时，是减函数，排除C． 对于D，，当时，为增函数且, 而在为增函数，故在上为增函数， 故D正确． 故选：D． 2．已知二次函数满足，则函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】由已知，求得，则，根据二次函数、对数函数性质求定义域并研究单调性，结合复合函数单调性确定单调递增区间. 【详解】设， 则 ， 所以，，，则， 故， 由，得， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以根据复合函数的单调性可知，的单调递增区间为. 故答案为：. 3．函数的单调增区间 . 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性原理和对数函数的性质求解即可 【详解】由得或． 又，对称轴为， 所以当时，关于为减函数，当时，关于为增函数． 又为上的减函数， 所以时，原函数单调递增； 时，原函数单调递减． 故函数的单调增区间为． 故答案为： 4．函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数同增异减的性质即可求解 【详解】由题可知，或， 可看作，则为增函数. ，当时，单调递减，当时，单调递增. 根据复合函数单调性，结合定义域，知当时，为减函数. 故答案为：. 题型十一　已知对数（型）函数的单调性求参数范围 例1．设函数在上单调递减，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数函数、二次函数的单调性，结合复合函数单调性列式求解即得. 【详解】由函数在上单调递减，得函数在上单调递减， 且，，而函数的图象开口向下，对称轴方程为， 因此，解得. 故选：D 例2．已知是上的增函数，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合对数函数单调性列式求解即得. 【详解】函数是上的增函数， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 巩固训练 1．已知，若在上单调，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由在上单调且恒为正可得． 【详解】由题意在上单调且恒为正， 所以或，且，解得或， 故选：D． 2．若函数在区间上单调递增．则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性结合复合函数及对数函数的定义域计算求解. 【详解】在区间上单调递增，令单调递减， 则在区间上单调递减且恒为正， 所以且，所以． 故选：D． 3．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用对数复合函数单调性及定义域求参. 【详解】因为单调递增 令， 又因为为单调增区间，所以是单调递增， 所以,所以, 又因为,所以, 所以. 故选：D. 4．已知函数（，且）在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的复合函数的单调性求参即可. 【详解】若，则在上恒成立，不符合条件． 若，则在上单调递增，得解得. 故选：D. 5．已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据对数函数性质分析可知：在上单调递增，且，结合二次函数列式求解即可. 【详解】因为在定义域内单调递增， 由题意可得：在上单调递增，且， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 题型十二　比较大小 例1．设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数，对数函数单调性可得答案. 【详解】由函数在上单调递增，可得， . 因函数在R上单调递增，则.故， 即. 故选：A 例2．若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂函数、指数函数的单调性得到，又，即可求出结果. 【详解】因为在定义上单调递减，所以， 又在区间上单调递增，所以，得到， 又，所以. 故选：C. 巩固训练 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过对数的运算将，分别换成底数相同的对数，只需要比较真数的大小即可判断出他们的大小关系. 【详解】， ∵，且 ∴ 同理， ∵ ∴ ∴ 故选：A 2．已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，根据的单调性得，取满足条件的特殊值排除选项ACD，可证得选项B正确； 【详解】由得， 令，即 因为在R上为增函数，在R上为减函数，故在R上为增函数，所以. 对A：取，则，故A错误； 对B：由得，所以，故B正确； 对C：取，则，故C错误； 对D：取，则，故D错误； 故选：B 3．定义在R上的奇函数满足：任意，都有，设，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得在R上单调递增，，利用对数函数及指数函数的单调性可得，从而即可得答案. 【详解】因为是在R上的奇函数，且任意，都有， 所以在R上单调递增， 又因为， 所以， 又因为，， 所以， 所以 即. 故选：C. 4．已知奇函数 ​在​上是增函数，​， 则​的大小关系为​（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】A 【分析】根据已知判断的奇偶性和单调性，进而判断函数值的大小. 【详解】奇函数​在R​上是增函数，则当时，，且，​ ，则， ​在单调递增， 又​，则为偶函数. ，则， 则，所以. 故选：A 题型十三　对数（型）函数奇偶性判断和求值解析式 例1．下列既是奇函数，又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据函数的奇偶性可排除BC，利用观察法分析AD两个函数的单调性可得答案. 【详解】对A：因为，所以函数为奇函数.且当时，单调递增； 根据奇函数的性质，在上也是单调递增，所以在上为增函数，故A正确. 对B：因为函数的定义域为，所以函数非奇非偶，故B错误； 对C：因为，所以函数一定不是奇函数，故C错误； 对D：应为，所以，所以为奇函数， 且随的增大而增大，随的增大而减小， 所以随着的增大，的值在增大，即在上为增函数，故D正确. 故选：AD 例1．，若实数，满足，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先利用定义判断出函数是奇函数，且为增函数，由奇函数的定义可求出的值. 【详解】对任意，，函数的定义域为， ，则函数为奇函数， 当时，由于函数为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由于该函数为奇函数，则函数在上也为增函数， 所以，函数在上为增函数，由，得， 可得出，故A正确. 故选：A. 巩固训练 1．已知是偶函数，当时，，则 . 【答案】2 【分析】运用偶函数性质，结合对数运算性质计算即可. 【详解】是偶函数，. 故答案为：2. 2．函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数， 当时，，则， 所以. 故答案为：. 3．若是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得，由函数是定义在上的奇函数，结合，且，即可求解. 【详解】当时，，可得， 因为函数是定义在上的奇函数，可得，且， 所以． 故答案为：. 4．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则 . 【答案】 【分析】根据偶函数的性质及指数对数恒等式计算可得. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且当时，， 所以. 故答案为： 题型十四　对数（型）函数奇偶性求参数 例1．已知函数为偶函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合偶函数的定义利用对数的运算性质即可求解. 【详解】因为函数为偶函数， 所以，即， ，即， 即，即， 化简得，解得. 故选：C. 例2．若函数的图像关于轴对称，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】先证得为定义域上的奇函数，结合题意，得到函数为奇函数，即可求解. 【详解】由函数有意义，满足，解得或， 即函数的定义域为，关于原点对称， 又由，所以为奇函数， 因为函数图像关于轴对称， 则为偶函数， 所以函数为奇函数，所以. 故选：B. 巩固训练 1．若是偶函数，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性列方程来求得的值. 【详解】的定义域为， 由于是偶函数，所以， 所以， ， ， 所以. 故选：A 2．函数是奇函数且在上单调递增，则k的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义得得，即可验证单调性求解. 【详解】是奇函数，故， 则，，解得， 当时，，由于在为单调递增函数，故在单调递减，不符合题意， 当时，，由于在为单调递增函数且，故为单调递增，根据奇函数的性质可得在上单调递增，符合题意， 故， 故选：C 3．已知函数为奇函数，且有意义，则实数的值为 . 【答案】1 【分析】由有意义，则待定，再验证奇偶性可得. 【详解】因为为奇函数，且有意义， 所以，解得. 则，解得. 当时，， 由解得， 故定义域为，关于原点对称. 又，， 故，是奇函数，满足题意. 故答案为：. 题型十五　对数（型）函数解不等式 例1．已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数性质解不等式即可. 【详解】由题意可知，则，解得， 即不等式的解集为. 故选：D. 例2．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性、单调性、对数运算等知识列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，是偶函数，且在区间上单调递减， 由得， 所以，所以或， 所以或， 所以的取值范围是. 故选：D 巩固训练 1．函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用分段函数及指对数不等式计算求解即可. 【详解】因为或， 所以或, 所以或. 则不等式的解集为. 故选：B. 2．设函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知为定义在上的奇函数，且为增函数，结合函数性质，对数函数单调性解不等式即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 可知为定义在上的奇函数， 且当，则在内单调递增， 可知在内单调递增，所以在上单调递增， 因为，则， 可得，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：B. 3．已知是偶函数，它在上是增函数．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由偶函数和单调性之间的关系，再结合对数函数的单调性求解即可； 【详解】由是偶函数，在上是增函数， 可得在上为减函数， 又， 所以， 即或， 解得或， 所以的取值范围是， 故选：B. 4．已知是定义在上的奇函数，且在单调递增，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数性质及其单调性可得，解对数不等式即可求得结果. 【详解】根据奇函数性质可知在上单调递增，且； 因此不等式可化为， 即，解得. 所以的取值范围是. 故选：A 5．已知函数，若，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】讨论，结合对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】， 当时，， 当时，，因为， 所以， 故选：A 题型十六　对数（型）函数的综合应用 例1．若，是方程的两个根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由根与系数的关系结合对数的运算即可求解. 【详解】由根与系数的关系，得，， ， . 故选：. 例2．已知2024是不等式的最小整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】结合分式不等式和对数函数与指数函数互换的性质变形不等式，再分大于零和小于零时分类讨论即可； 【详解】由题意可得， 变形不等式可得， 当时， 有，由指数函数和对数函数的互化并整理可得， 即，解得或（舍去）， 从而， 又时， 所以要使2024是不等式的最小整数解，有， 解得， 所以， 当时，注意到， 此时，不等式的分子大于零，不符合题意， 综上，的取值范围为. 故答案为：. 巩固训练 1．已知函数为奇函数． (1)解不等式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据奇偶性的定义直接可得参数值，化简不等式，结合指数函数性质解不等式. （2）由（1）可得的值域，再利用换元法设，可得的值域，根据，列不等式可得解. 【详解】（1）函数中，，由是奇函数，得， 即，整理得，解得， 函数定义域为， 由，得，即，整理得，解得， 所以不等式的解集为. （2）因为函数在上单调递增， 故当时，， 由（1）得在的值域， 又， 设，则，， 当时，，当时，， 因此函数在上的值域， 由对任意的，总存在，使得成立，得， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. 2．已知函数，. (1)求函数的单调减区间; (2)若函数在区间的最小值为，求实数a的值; (3)证明的图象是轴对称图形. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先求定义域，然后利用复合函数的同增异减求单调递减区间即可； （2）利用函数在的单调性求最值，然后计算的值即可； （3）因为定义域关于对称，所以如果函数的图像是轴对称图形，则对称轴必为，所以判断成立即可. 【详解】（1）由得，所以的定义域为， 于是 令，该函数在单调递增， 而在上单调递减， 所以的单调减区间为 （2），，令 当时，，因为，则， 所以，即，所以，综上得． （3）证明： 所以关于直线对称. 3．已知函数，，则实数a的值为 . 【答案】 【分析】根据分段函数的定义计算函数值后，解方程可得． 【详解】，所以，所以，解得. 故答案为： 4．已知函数，其中且. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若，判断的单调性； (3)当的定义域为时，的值域为，求的值. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)在和上都为减函数； (3). 【分析】（1）先判断函数奇偶性，接着按奇偶性判定步骤去判断即可证明； （2）由为增函数，在和上都为减函数即可判断； （3）由题意结合（2）得在上为减函数，进而得，从而得，解该方程即可得解. 【详解】（1）函数为奇函数，证明如下： 由得或，即的定义域为或关于原点对称， 因为， 所以为奇函数. （2）由和复合而成， 当时，为增函数，在和上都为减函数， 所以由复合函数的单调性知在和上都为减函数. （3）由题意，所以由（2）可知在上为减函数， 因为当时，，故， 即，解得， 因为，所以. 5．已知函数是且的反函数，且函数. (1)若，求及的值； (2)若函数在上有最小值，最大值7，求的值. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）由题意可得，，结合题意解得，进而可得，结合换底公式运算求解； （2）换元令，根据二次函数值域结合的值域特征分析可得，列式求解即可. 【详解】（1）因为函数是且的反函数，则， 即， 则，解得或（舍）， 可得，即，， 又因为，即， 所以. （2）由（1）可知：，且， 令，则时)或时）， 可得， 若函数在上有最小值，最大值7， 可知的最小值，最大值7， 令，解得； 令，解得或； 且与互为相反数，可知， 则或，解得或， 综上所述，或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 对数运算与对数函数知识归纳与题型突破（10知识点+16题型） 知识点一：对数的基本概念 （1）对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 log10N记为lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e＝2.718 28… logeN记为ln N 知识点二：对数与指数的关系 （1）对数与指数的关系 ①若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x. ②对数恒等式：alogaN＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)． （2）对数的性质 ①loga1＝0 (a>0，且a≠1)． (2)logaa＝1 (a>0，且a≠1)． ③零和负数没有对数． 知识点三：对数运算性质 （1）如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). ④loganM＝logaM(n∈R) ⑤logamMn＝logaM(n∈R，m≠0). 知识点四：换底公式 （1）对数换底公式：logab＝=(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). (a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). （2）特别地：（1）logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1). (2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)． 知识点五：对数函数的基本概念及特征 （1）对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． （2） 对数函数的特征 ①对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a>0，且a≠1. ②logax前边的系数必须是1。 ③自变量x在真数的位置上，且只有x。 知识点六：对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值 的变化 当0<x<1时，y<0， 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y>0， 当x>1时，y<0 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 知识点七：对数函数底数大小关系 一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴；如图. 　　　 知识点八：反函数的概念及性质 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数； 两个函数互为反函数具有以下性质： ①一个函数的定义域和值域正好是另一个函数的值域和定义域； ②互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称； ③互为反函数的两个函数的单调性相同．但单调区间不一定相同 知识点九：y＝logaf(x)型函数性质 1.定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域. 2.值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域. 3.单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定) 4.奇偶性：根据奇偶函数的定义判定. 5.最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值. 知识点十：对数及对数型函数解不等式 (1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). (2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. 题型一 对数的概念 例1．已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 例2．对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知，则 . 2．将下列指数式与对数式进行转换： (1)； (2)； (3)； (4). 3．求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 对数计算 例1．若，则（    ） A． B． C． D． 例2．若，则（ ） A．3 B．4 C．9 D．16 巩固训练 1．若，则（    ） A．60 B．45 C．30 D．15 2．已知，，则用，表示 3．已知，，则 ． 11．对下列式子求值： (1) (2) 4．（1）计算：； （2）化简求值：； （3）已知，求的值. 题型三　对数实际应用计算 例1．“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者”的2倍（参考数据：，，） A．35 B．37 C．38 D．39 例2．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的（   ）倍． A． B． C． D． 巩固训练 1．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 2．核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（    ） （参考数据：，） A．36.9% B．41.5% C．58.5% D．63.4% 3．里氏震级（M）是表示地震规模大小的标度，它是由观测点处地震仪所记录到的地震波最大振幅（A）与观测点所在地规模标准地震所应有的振幅（）比值的常用对数演算而来的，其计算公式为.2023年8月6日2时33分，山东省德州市平原县发生5.5级地震，29分钟后又发生3.0级地震，用A5.5和A3.0分别表示震级为5.5和3.0的地震波最大振幅，则（    ）（参考数据：） A．25 B．31.6 C．250 D．316 题型四　对数函数的基本概念 例1．下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 例2．已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知函数是对数函数，且，则 ． 2．函数为对数函数，则 ． 3．函数是对数函数，则实数a＝ . 题型五　对数（型）函数的定义域 例1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D．且 例2．函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．且 巩固训练 1．若函数的定义域为，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 4．若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是 ． 题型六　指数（型）函数的值域 例1．函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 例2．已知函数的定义域为集合，值域为集合，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知函数，的最小值是 . 2．函数的值域为 . 3．函数的最小值为 . 4．已知函数，则函数的值域为 ． 5．求下列函数的值域： (1)； (2)． 6．若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 题型七　对数（型）的值域求参数取值范围 例1．“”是“函数的值域为”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．若函数（其中，且）的最小值是3，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为 . 3．已知函数的最大值为2，则 ． 4．已知函数 (1)若在区间上的最大值是，求实数a的值； (2)若函数的值域为，求不等式的实数t的取值范围． 题型八　对数（型）函数的图像与性质 例1．若，且函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 例2．对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．函数的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 2．已知（且且），则函数与的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   3．若函数（，且）的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则，且与，且的图象可能为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）若，则函数与在同一坐标系内的大致图像可能是（    ） A．     B．     C．   D．   题型九　对数（型）的图像的应用 例1．函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例2．已知函数，若，且a，b是的图象与直线的两个交点对应的横坐标，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 巩固训练 1．已知函数．若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十　求对数（型）函数的单调性 例1．下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 例2．（）多选关于函数，以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在区间单调递增 D．在区间单调递减 巩固训练 1．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数满足，则函数的单调递增区间为 . 3．函数的单调增区间 . 4．函数的单调递减区间为 ． 题型十一　已知对数（型）函数的单调性求参数范围 例1．设函数在上单调递减，则的范围是（    ） A． B． C． D． 例2．已知是上的增函数，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知，若在上单调，则的范围是（   ） A． B． C． D． 2．若函数在区间上单调递增．则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数（，且）在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 . 题型十二　比较大小 例1．设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 例2．若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．定义在R上的奇函数满足：任意，都有，设，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．已知奇函数 ​在​上是增函数，​， 则​的大小关系为​（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 题型十三　对数（型）函数奇偶性判断和求值和解析式 例1．（多选）下列既是奇函数，又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 例2．，若实数，满足，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 巩固训练 1．已知是偶函数，当时，，则 . 2．函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 ． 3．若是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 4．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则 . 题型十四　对数（型）函数奇偶性求参数 例1．已知函数为偶函数，则（ ） A． B． C． D． 例2．若函数的图像关于轴对称，则（    ） A． B．0 C． D．1 巩固训练 1．若是偶函数，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．1 2．函数是奇函数且在上单调递增，则k的取值集合为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数为奇函数，且有意义，则实数的值为 . 题型十五　对数（型）函数解不等式 例1．已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例2．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．设函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．已知是偶函数，它在上是增函数．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知是定义在上的奇函数，且在单调递增，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 题型十六　对数（型）函数的综合应用 例1．若，是方程的两个根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．已知2024是不等式的最小整数解，则的取值范围为 ． 巩固训练 1．已知函数为奇函数． (1)解不等式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 2．已知函数，. (1)求函数的单调减区间; (2)若函数在区间的最小值为，求实数a的值; (3)证明的图象是轴对称图形. 3．已知函数，，则实数a的值为 . 4．已知函数，其中且. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若，判断的单调性； (3)当的定义域为时，的值域为，求的值. 5．已知函数是且的反函数，且函数. (1)若，求及的值； (2)若函数在上有最小值，最大值7，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$