第9讲：动点与函数解析式讲义 2024—2025学年苏科版数学八年级上册

第九讲 动点与函数解析式 动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系，这部分压轴题主要是在图形运动变化的过程中探求两个变量之间的函数关系，并根据实际情况确定自变量的取值范围即定义域． 【例1】 如图所示，已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，点D是斜边AB中点，作DE⊥AB，交直线AC于点E； （1） 若∠A=30°，求线段CE的长； （2） 当点E在线段AC上时，设BC=x，CE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；A B C D E （3） 若CE=1，求BC的长． 【例2】 已知：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，P是AB边上不与A点、B点重合的任意一个动点，PQ⊥BC于点Q，QR⊥AC于点R． （1）设BP=x，CR=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （2）当x为何值时，PR∥BC． 【例3】 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC＝90º，AB＝BC＝8，点E在边AB上，DE⊥CE，DE的延长线与CB的延长线相交于点F． （1）求证：DF＝CE； （2）当点E为AB中点时，求CD的长； （3）设CE＝x，AD＝y，试用x的代数式表示y． A B C D E F H 【例4】 如图所示，已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，P是边AB上的一个动点，PQ⊥PC．交线段CB的延长线与点Q．当∠A=30°，AB=4时，设BP=x，BQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． A Q C P B H 【例5】 如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，点D是边AB上的动点(点D与点A、B不重合)，过点D作DE垂直于AB交射线AC与E，连接BE，点F是BD的中点，连接CD、CF、DF． （1）当点E在边AC上（点E与点C不重合）时，设AD=x，CE=y． ①直接写出y关于x的函数解析式及定义域； ②求证：△CDF是等边三角形； （2）如果BE=，求出AD的长． A B C D E F 【例6】 如图，已知：在△ABC中，∠CBA=90°，∠A=30°，BC=3，D是边AC上的一个动点，DE⊥AB，垂足为E，点F在CD上，且DE=DF，作FP⊥EF，交线段AB于点P，交线段CB的延长线交于点G． （1） 求证：AF=FP； （2） 设AD=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3） 若点P到AC的距离等于线段BP的长，求线段AD的长． A B C D E F G P 【例7】 如图，三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10．将纸片折叠使B落在AC边上的点D处，折痕与BC、AB分别交于点E、F． （1）设BE=x，DC=y，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围； （2）当△ADF是等腰三角形时，求BE的长． A B C D E F 【例8】 如图，已知：△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD的中点． （1）求证：CM=EM； （2）如果BC=，设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化?如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化． 【例9】 已知△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，点D是AB边中点，将一块直角三角板的直角顶点放在D点旋转，直角的两边分别与边AC、BC交于E、F． （1） 取运动过程中的某一瞬间，画出△ADE关于D点的中心对称图形，E的对称点为，试判断BC与B的位置关系，并说明理由； （2） 设AE=x，BF=y，求y与x的函数关系式，并写出定义域． A B C D E F E， 【例10】 一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图2），将△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一直线上），当点D1与点B重合时停止平移，在平移的过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、C2B分别交于点F、P． （1）当△AC1D1平移到如图3所示位置时，猜想D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想； （2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1和△BC2D2重叠（阴影）部分面积为y，试求y与x的 函数关系式，并写出自变量x的取值范围． A B C D图1 C1C2 D1D2图2 A B C2 C1 A B P D1图3 E F D2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$