2.6 直角三角形（第1课时 直角三角形的性质）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上学期考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

八年级浙教版数学上册 第二章 特殊三角形 2.6 直角三角形 第一课时 直角三角形的性质 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.进一步认识直角三角形；会用符号和字母表示直角三角形. 2.掌握直角三角形两个锐角互余的性质；会用”两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形. 情景导入 在现实生活中,我们常常会接触到各种各样的直角三角形,如广告牌的支架、电线杆的固定装置、楼梯的侧面等 我们平常使用的三角板也是直角三角形. 测量上图中三角板的各个锐角的度数，你发现了什么？ 新知探究 直角三角形可以用符号“Rt△”表示， 如图所示的三角形可记为Rt△ABC. C B 直角边 直角边 A 斜 　边 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 你能举出生活中用到直角三角形的例子吗? 概念归纳 斜边 直 角 边 直角边 直角三角形的两个锐角互余 直角三角形的性质定理： 在Rt△ABC中，∠C=90° 则∠A+∠B=__________ 90° 概念归纳 做一做 1.已知直角三角形两个锐角的度数之比为3：2，求这两个锐角的度数。 解：∵三角形内角和是180°，直角三角形中有一个角是90° ∴直角三角形的两个锐角度数的和是90°， 又3+2=5， ∴这两个锐角分别为：90°×=54°； 90°×=36°， 答：这个三角形两个锐角的度数分别是 54°，36°． 2.已知：如图，D是Rt△ABC斜边AB上的一点，BD=CD，求证：AD=CD 证明：∵∠ACB=90°, ∴∠A+∠B=90°,∠ACD+∠BCD=90°, ∵BD=CD,∴∠B=∠BCD, ∴∠A=∠ACD(等角的余角相等), ∴AD=CD. D 做一做 从本题中,你发现直角三角形斜边上的中线有什么性质? 直角三角形还有以下性质定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 数学语言表述为： 在Rt△ABC中， ∵CD是斜边AB上的中线 ∴CD=AD=BD=AB D 概念归纳 例1 如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B。已知AB=200m,问这名滑雪运动员的高度下降了多少米? 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 直角三角形的两个锐角互余 A B C D 30° 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 解：作Rt△ABC的斜边上的中线CD， 则CD=AD=AB=×200=100（m） （_________________________________________） ∵∠B=30° ∴∠A=90°-∠B=60°（_______________________________） ∴△ADC是等边三角形（为什么？） ∴AC=AD=100（m） 答：这名滑雪运动员的高度下降了100m。 课本例题 课内练习 1.如图,在 Rt△ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB. 找出全部互余的角。 解:互余的角:∠A与∠B,∠A 与∠ACD,∠ACD与∠DCB，∠DCB与∠B 2.已知在 Rt△ABC 中,斜边上的中线 CD=5 cm,求斜边 AB 的长 解:AB=2CD=10 cm. 知识点1：直角三角形的两个锐角互余 1. [2023·黄冈]如图，Rt△ ABC 的直角顶点 A 在直线 a 上，斜边 BC 在直线 b 上，若 a ∥ b ，∠1＝55°，则∠2＝(　C　) A. 55° B. 45° C. 35° D. 25° (第1题) C 分层练习-基础 2. 在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的2倍，则这个锐角是(　C　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 40° C 3. [新趋势·跨学科 2023·江西]如图，平面镜 MN 放置在水平地面 CD 上，墙面 PD ⊥ CD 于点 D ，一束光线 AO 照射到镜面 MN 上，反射光线为 OB ，点 B 在 PD 上，若∠ AOC ＝35°，则∠ OBD 的度数为(　C　) A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° (第3题) C 4. 如图，在Rt△ ACB 中，∠ ACB ＝90°， CD ⊥ AB 于点 D ，则图中与∠ B 互余的角有 ，与∠ B 相等的角有 ⁠. ∠ DCB 和∠ A 　 ∠ ACD 　 知识点2：直角三角形斜边上中线的性质 5. [新考向·知识情境化 2023·株洲]一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知∠ ACB ＝90°，点 D 为边 AB 的中点，点 A ， B 对应的刻度分别为1，7，则 CD ＝(　B　) A. 3.5 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 6 cm (第5题) B 6. [2024·温州期中]如图， CD 是Rt△ ABC 斜边 AB 上的高线，将△ BCD 沿 CD 折叠，点 B 恰好落在 AB 的中点 E 处，则∠ A ＝(　C　) A. 60° B. 45° C. 30° D. 25° (第6题) C 7. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝10， BC ＝8， AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D ， E 为 AC 的中点，连结 DE ，则△ CDE 的周长为(　C　) A. 12 B. 13 C. 14 D. 20 (第7题) C 8. 如图，在△ ABC 中，点 D 是边 BC 上的一点， AB ＝ AD ，点 E ， F 分别是 AC ， BD 的中点，若 EF ＝2，则 AC 的长是 ⁠. (第8题) 4　 9. 如图，∠ ABC ＝∠ ADC ＝90°， M ， N 分别是 AC ， BD 的中点.求证： MN ⊥ BD . 【证明】连结 BM ， DM . ∵∠ ABC ＝∠ ADC ＝90°， M 是 AC 的中点， ∴ BM ＝ DM ＝ AC . 又∵点 N 是 BD 的中点，∴ MN ⊥ BD . 10. [情境题·工程应用 2024·烟台期末]如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置 OP1， OP2与线绳(线绳垂直于地面)的夹角分别是35°和80°，则吊杆前后两次的夹角∠ P1 OP2的度数为(　B　) A. 55° B. 45° C. 40° D. 35° (第10题) B 分层练习-巩固 11. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ ABC ＝∠ ADC ＝90°，∠ BCD ＝135°，连结 AC ， BD ， M 是 AC 的中点，连结 BM ， DM . 若 AC ＝10，则△ BMD 的面积为 ⁠. 　 (第11题) ∵∠ ABC ＝∠ ADC ＝90°，∠ BCD ＝135°， M 是 AC 的中点， AC ＝10， ∴∠ BAD ＝2×180°－2×90°－135°＝45°， BM ＝ DM ＝ AM ＝ AC ＝5， ∴∠ MAB ＝∠ MBA ，∠ MAD ＝∠ MDA ， ∴∠ BMC ＝∠ MAB ＋∠ MBA ＝2∠ MAB ， ∠ DMC ＝∠ MAD ＋∠ MDA ＝2∠ MAD ， ∴∠ BMD ＝∠ BMC ＋∠ DMC ＝2∠ MAB ＋2∠ MAD ＝2∠ BAD ＝90°， ∴△ BMD 是等腰直角三角形， ∴△ BMD 的面积为 MB · MD ＝ ×5×5＝ . 12. 如图，在△ ABC 中， BD ， CE 分别是 AC ， AB 边上的高，点 F 是 BC 的中点，连结 EF ， FD ， DE . (1)求证：△ DEF 是等腰三角形； 【证明】∵ BD ， CE 分别是 AC ， AB 边上的高， ∴∠ BDC ＝∠ BEC ＝90°. 又∵点 F 是 BC 的中点， ∴ EF ＝ BC ， DF ＝ BC ， ∴ EF ＝ DF ，∴△ DEF 是等腰三角形. (2)若∠ A ＝60°， DE ＝2，求 BC 的长. 【解】∵点 F 是 BC 的中点，∴ BF ＝ CF ＝ BC ，∴ EF ＝ DF ＝ BF ＝ CF ， ∴∠ EBF ＝∠ BEF ，∠ FDC ＝∠ DCF ，∴∠ BFE ＝180°－2∠ EBF ， ∠ DFC ＝180°－2∠ DCF . ∵∠ BAC ＋∠ ABC ＋∠ ACB ＝180°，∠ A ＝60°， ∴∠ EBF ＋∠ DCF ＝180°－∠ A ＝120°， ∴∠ DFE ＝180°－(∠ BFE ＋∠ DFC ) ＝180°－(360°－2∠ EBF －2∠ DCF ) ＝2(∠ EBF ＋∠ DCF )－180°＝60°. 又∵△ DEF 是等腰三角形，∴△ DEF 是等边三角形， ∴ EF ＝ DE ＝2，∴ BC ＝2 EF ＝4. 13. [情境题 生活应用]如图，一根长2 a 的木棍( AB )斜靠在与地面( OM )垂直的墙( ON )上，设木棍的中点为 P . 若木棍 A 端沿墙下滑，且 B 端沿地面向右滑动. (1)请判断木棍在滑动的过程中，点 P 到点 O 的距离是否改变，并说明理由. 分层练习-拓展 【解】点 P 到点 O 的距离不改变. 理由：连结 OP ，∵点 P 为 AB 的中点，∠ AOB ＝90°， ∴ OP ＝ AB . ∵斜边 AB 的长度不变， ∴斜边 AB 上的中线 OP 的长度也不变， 即点 P 到点 O 的距离不改变. (2)在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△ AOB 的面积最大？说明理由，并求出△ AOB 面积的最大值. 【解】当△ AOB 斜边 AB 上的高等于中线 OP 时，△ AOB 的面积最大. 理由：设斜边 AB 上的高为 h . ∵ AB ＝2 a ，∴ OP ＝ a . 易知 h ≤ OP ，当 h 与 OP 相等，即 h ＝ a 时，△ AOB 的面积最大，此时 ＝ AB · h ＝ ×2 a · a ＝ a2， ∴△ AOB 的面积的最大值为 a2. 课堂小结 ① 直角三角形的两个锐角互余； ② 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； $$