4.1.1 n次方根与分数指数幂 （教学设计）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第四章 指数函数与对数函数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 教学设计 1、 教学目标 1.掌握n次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算. 2.了解分数指数塞的含义,学会根式与分数指数塞之间的相互转化. 3.理解有理数指数幂的含义及其运算性质. 2、 重点难点 教学重点：1.根式的定义和性质.2.根式与分数指数幂的联系.3.正分数指数幂与负分数指数幂的联系． 教学难点：1.指数幂的含义及其与根式的互化. 2.与()n的区别与联系． 3.能利用根式的性质对根式进行运算. 3、 学情分析&教材分析 学生在初中已经学习过整数指数幂，在幕函数的学习中，接触过形如S开的以分数为指数的幂，那么这种以分数为指数的幂的意义是什么？它具有怎样的运算性质？它和整数指数幕有什么联系和区别？这些都是自然而然要研究的问题.教科书就是从这样的问题出发引入本节内容. 平方、开平方以及立方、开立方是学生熟悉的运算，它们两两互为逆运算.为了一般化，教科书首先把平方根、立方根的概念推广到n次方根，介绍n次方根的性质；然后在此基础上，建立n次方根与分数指数幂的关系，说明分数(有理数)指数幕的意义，并把整数指数幕的运算性质推广到有理数指数幂的情形. 4、 学习目标 1.理解n次方根、根式的概念. 2.能正确运用根式的运算性质化简、求值． 3.会对分式和分数指数幂进行转化． 4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质化简、求值． 5、 导入新知 公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生．这就是本节课我们要学习的根式． 一、n次方根 问题1　如果x2＝a，那么x叫做a的什么？这样的x有几个？x3＝a呢？ 提示　如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，这样的x有两个；如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，这样的x有一个． 问题2　类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根、10次方根等，你认为n次方根应该是什么？ 提示　比如(±2)4＝16，我们把±2叫做16的4次方根；(±3)4＝81，我们把±3叫做81的4次方根；(－2)5＝－32，我们把－2叫做－32的5次方根；(±2)10＝1 024，我们把±2叫做1 024的10次方根等．类比上述过程，我们可以得到：如果2n＝a，那么我们把2叫做a的n次方根． 为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数． 初中已经学过整数指数幂．在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长关于面积的函数记作．像这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究． 我们知道： 如果，那么叫做的平方根．例如，就是的平方根． 如果，那么叫做的立方根．例如，2就是8的立方根． 类似地，由于，我们把叫做16的4次方根；由于，2叫做32的5次方根． 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且． 当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．这时，的次方根用符号表示．例如，，，． 当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示．正的次方根与负的次方根可以合并写成．例如， ，，．为什么负数没有偶次方根？ 负数没有偶次方根． 0的任何次方根都是0，记作． 式子叫做根式(radical)， 这里叫做根指数，叫做被开方数． 根据次方根的意义，可得 例如，， ． 探究 表示的次方根，一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么？ 可以得到： 当为奇数吋， ； 当为偶数吋，． 6、 应用新知 例1 求下列各式的值： （1） ； （2）； （3）； （4）． 解：（1） （2） （3） （4） 【变式】已知－3<x<3，求－的值． 【解析】原式＝－＝|x－1|－|x＋3|， ∵－3<x<3， ∴当－3<x<1时， 原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2； 当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4. ∴原式＝ 反思感悟　正确区分与()n (1)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性． (2)()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围． 根据次方根的定义和数的运算，我们知道 ， ． 这就是说，当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除吋，根式可以表示为分数指数幂的形式． 思考 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数冪的形式？ 把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把，，等写成下列形式： 数学中，引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则相容． 我们希望整数指数幂的运算性质，如，对分数指数幂仍然适用． 由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式． 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定 这里，略去了规定合理性的说明. 例如，，． 与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定， 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义． 规定了分数指数幂的意义以后，幂中指数的取值范围就从整数拓展到了有理数． 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数均有下面的运算性质． （1）； （2）； （3） 例2 求值： （1） ； (2)． 解：（1） ； （2） ． 【变式2】求值：　(1)； (2)(x，y>0)． 【解析】(1)原式＝＝－1－＋＝. (2)原式＝＝x2y. 例3 用分数指数幂的形式表示下列各式(其中)： （1） ； （2）． 【解析】（1） ； （2）． 【变式3】将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)(a>0)； (2)； (3)(b>0)． 【解析】(1)原式＝ (2)原式＝ (3)原式＝ 反思感悟　根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 例4 计算下列各式(式中字母均是正数)： （1）； （2）； （3）． 【解析】（1） ； （2）； （3）． ． 【变式】计算：. 【解析】原式＝－－1＋2＝2. 反思感悟　关于指数式的化简、求值问题 (1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减． (2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错． 7、 能力提升 题型一 根式的化简与求值 【练习1】化简下列各式： (1)＋()5；(2)＋()6； (3). 【解析】　(1)原式＝(－3)＋(－2)＝－5. (2)原式＝|－3|＋2＝3＋2＝5. (3)原式＝|a－3|＝ 【感悟提升】根式化简与求值的注意点 (1)分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简与求值． (2)在化简含有字母的根式时要注意字母的取值范围． (3)运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差、完全平方、完全立方公式的运用． (4)注意分类讨论思想的应用． 题型二：根式与分数指数幂的互化 【练习2】用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(式子中字母均是正数)： (1)·；(2)；(3)·；(4)()2·. 【解析】　(1)原式＝a·a＝a. (2)原式＝a·a·a＝a. (3)原式＝a·a＝a. (4)原式＝(a)2·a·b＝ab. 【感悟提升】根式与分数指数幂互化的依据 (1)熟记根式与分数指数幂的转化式子：a＝和a－＝＝，其中字母a要使式子有意义． (2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂． 题型三：有理数指数幂的运算 【练习3】计算或化简下列各式： 　(1)； (2)(x，y>0)． 【解析】(1)原式＝＝－1－＋＝. (2)原式＝＝x2y. 【感悟提升】　指数幂运算的解题通法 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一． 题型四：含条件的求值问题 【练习4】 化简下列各式： (1)； (2)＋； (3)(a≤1)； (4)＋. 【解析】　(1)＝－2. (2)＋＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0. (3)∵a≤1， ∴＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a. (4)＋＝a＋|1－a|＝ 方法技巧： 条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程. 8、 课堂总结 1.n次方根的概念、表示及性质． 根式 符号表示 备注 如果,那么叫做的次方根 且 当为奇数时,正数的次方根是一个正数;负数的次方根是一个负数 零的次方根是0 当为偶数时,正数的次方根有2个,它们互为相反数 零的次方根是0,负数没有偶次方根 2.根式的概念及性质． (1)根式的概念:式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)负数没有偶次方根． (3)0的任何次方根都是0，记作＝0. (4)当n为奇数时，()n＝a(n∈N*，且n>1)． (5)当n为偶数时，＝|a|＝(n∈N*，且n>1)． 3.分数指数幂与根式的相互转化． (1)整数指数幂:当时,;当是负整数时,. (2)分数指数幂: ,且,且. (3)无理数指数幂: 若是无理数,则是一个确定的正实数. 4.分数指数幂的运算性质． （1）； （2）； （3） 5．常见误区： (1)对于，当n为偶数时，忽略a≥0. (2)混淆()n和. 9、 作业设计 1.P107 练习1.2.3题； 2.P109 练习1题&习题第1、2、4、5题. 设计意图：巩固学生对根式的定义、有理数指数量运算法则的理解. 练习（第107页） 1．用根式的形式表示下列各式（）： （1）； （2）； （3）； （4）． 1．解析：（1）； （2）； （3）； （4）． 2．用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 2．解析：（1）； （2）； （3）； （4）． 3．计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 3．解析：（1）； （2） ； （3）； （4）． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$