第二十四章 圆（单元重点综合测试卷，人教版）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记•巧练（山东专用）

第二十四章 圆（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列说法正确的是（    ） A．圆的对称轴是直径 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．等弧所对的弦相等 D．相等的弦所对的圆心角相等 2．如图，为圆O的直径，弦与交于点E，为等腰三角形，为底，，求圆弧所对的圆心角（   ） A． B． C． D． 3．如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（   ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 4．若圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是，该扇形的半径是，则圆锥底面圆的半径是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的个数是（    ） ①两条射线组成的图形叫作角；②同一平面内不相交的两条直线必平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部；⑤两直线平行，同旁内角相等；⑥经过圆心的线段一定是直径． A．0 B．1 C．2 D．3 6．如图，是正五边形的外接圆，点P是上的的一点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，一块直角三角板的角的顶点落在半径为6的上，两边分别交于，两点，连接，则的长为（   ） A．6 B．3 C． D． 8．如图所示，中弦垂直直径于E，则下列结论：①弧弧；②弧弧；③；④，其中正确的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①④ 9．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”蕴含了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（   ） A． B．3 C． D．3.14 10．如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足，，则弧的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．平面上有及内一点，到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为 ． 12．已知：如图，在⊙O中，弦、相交于点P，，，，则 ． 13．数学活动课上，同学们想测量出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点，，连接，再作出的垂直平分线，交于点，交弧与点，测出，的长度，即可计算得出轮子的半径，现测出，，则轮子的半径为 ． 14．如图，四边形内接于为的直径，平分，若，，则的长为 ． 15．如图，为圆的直径，为圆弧上的三等分点，已知，求阴影部分的面积 ． 16．如图，四边形内接于，是的直径，，则的度数是 ． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题10分）已知：如图，．求作：以为弦的，使到和的距离相等． 18．（本题9分）如图，圆O是边长为6的正方形的内切圆，切圆O于P点，交、于点E，F，求的周长． 19．（本题9分）如图，在中，，点B是上一点，的角平分线交以为直径的于点E，过点B作，垂足为F， 恰好过点C． (1)求证：是切线； (2)若，求的长． 20．（本题10分）如图，在以为直径的中，弦于点H，与弦交于点F，连接，已知，． (1)求的半径； (2)若，求的长． 21．（本题10分）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的正方形网格图形中，M，N分别是上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连结，则所有满足的中，求边的长的最大值． 22．（本题12分）如图，四边形为平行四边形，为上一点，以为半径作，与、的延长线分别相切于点、，与相交于点．    (1)求的度数； (2)试探究、、之间的数量关系，并证明． 23．（本题12分）如图，在中，为直径， 弦于点，连接． (1)如图1，求证： ； (2)如图2，连接，过点作于点，求证： ； (3)如图3，在（2）的条件下，点在弧上，，连接，，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列说法正确的是（    ） A．圆的对称轴是直径 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．等弧所对的弦相等 D．相等的弦所对的圆心角相等 【答案】C 【分析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等对各选项进行判断． 【详解】解：A、圆的对称轴是直径所在的直线，原说法错误，本选项不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法错误，本选项不符合题意； C、等弧所对的弦相等，本选项符合题意； D、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，为圆O的直径，弦与交于点E，为等腰三角形，为底，，求圆弧所对的圆心角（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质．连接，，根据圆周角定理可得，再由，可得，从而得到，再由圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵为等腰三角形，为底，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴圆弧所对的圆心角为． 故选：A 3．如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（   ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 【答案】C 【分析】连接，作和的垂直平分线，交点为，则圆心的坐标为，然后求出的半径，比较即可解答． 【详解】解：如图： 连接，作和的垂直平分线，交点为， ∴圆心M的坐标为， ∵， ∴， ∵线段， ∴半径， ∴点D在内， 故选：C． 4．若圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是，该扇形的半径是，则圆锥底面圆的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据弧长公式求出圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆的半径是，根据圆的周长公式得出，再求出即可． 本题考查了圆锥的计算，能求出圆锥底面圆的周长是解此题的关键． 【详解】解：圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥底面圆的半径是， 则， 解得：， 即圆锥底面圆的半径是， 故选：B． 5．下列说法正确的个数是（    ） ①两条射线组成的图形叫作角；②同一平面内不相交的两条直线必平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部；⑤两直线平行，同旁内角相等；⑥经过圆心的线段一定是直径． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，三角形的高，角平分线，中线的定义，直径的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据平行线的判定，三角形的高，角平分线，中线的定义，直径的定义一一判断即可． 【详解】解：①有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，原说法错误，故本选项不符合题意； ②同一平面内不相交的两条直线必平行，原说法正确，故本选项符合题意； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，故本选项不符合题意； ④三角形的角平分线、中线都在三角形的内部，但三角形的高不一定在三角形的内部，原说法错误，故本选项不符合题意； ⑤两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，故本选项不符合题意； ⑥通过圆心且两端都在圆上的线段，一定是圆的直径，原说法错误，故本选项不符合题意． 故选：B 6．如图，是正五边形的外接圆，点P是上的的一点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆内接多边形性质，以及同弧所对圆周角等于圆心角的一半，根据圆内接多边形性质求得，再根据圆周角定理得到，即可解题． 【详解】解： 是正五边形的外接圆， ， ， ， 故选：B． 7．如图，一块直角三角板的角的顶点落在半径为6的上，两边分别交于，两点，连接，则的长为（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理及等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．根据圆周角定理得出，即可证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得答案． 【详解】解：由题意可知：，， ∵、分别是所对的圆周角和圆心角， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A． 8．如图所示，中弦垂直直径于E，则下列结论：①弧弧；②弧弧；③；④，其中正确的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①④ 【答案】B 【分析】此题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧．据此进行判断解答． 【详解】解：∵中弦垂直直径于E，由垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧知：①弧弧；②弧弧；③； ④，故④错误， 其中正确的有①②③， 故选：B 9．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”蕴含了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（   ） A． B．3 C． D．3.14 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解． 【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点， ，的半径为1， ， ， 故圆内接正十二边形的面积为：， 的面积为， ，即的估计值为． 故选：B． 10．如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足，，则弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，弧长公式，等边三角形的性质与判定，由圆内接四边形对角互补得到求出，再证明是等边三角形，得到，，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图，连接 ， ， ， ∴是等边三角形， ∴，， 的长为， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．平面上有及内一点，到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了圆的基础知识，根据距离最长可得点是在圆的直径上的点，由此作图分析即可求解． 【详解】解：根据直径是圆中最长线段，作图如下， ∴， ∴圆的半径为， 故答案为：7 ． 12．已知：如图，在⊙O中，弦、相交于点P，，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆周角定理及相似三角形判定与性质．利用三角形相似得到，然后把，，代入计算即可． 【详解】解：连接， 由题意得，， ， ， ， ，，， ∴． 故答案为：4． 13．数学活动课上，同学们想测量出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点，，连接，再作出的垂直平分线，交于点，交弧与点，测出，的长度，即可计算得出轮子的半径，现测出，，则轮子的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的基本性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握圆的基本性质，勾股定理的应用，根据题意，设点是圆心，根据垂径定理，则，根据垂直平分线的性质，勾股定理，则，即可． 【详解】设点是圆心，连接， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴轮子的半径为：． 故答案为：． 14．如图，四边形内接于为的直径，平分，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据圆周角定理结合角平分线性质可推出是等腰直角三角形，先根据勾股定理求出的长，再根据弧长公式即可求出的长． 【详解】解：连接， ∵四边形内接于为的直径， ， 平分， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 在中，， ， ∴， 则的长， 故答案为：． 15．如图，为圆的直径，为圆弧上的三等分点，已知，求阴影部分的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查求不规则图形面积，涉及等边三角形的判定与性质、平行线的判定、同底等高三角形面积及扇形面积公式等知识，连接，如图所示，由等边三角形的判定与性质及平行线的判定得到，进而确定阴影部分的面积，利用扇形面积公式代值求解即可得到答案，根据题意，准确作出辅助线，数形结合将不规则图形面积转化为规则图形面积是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 为圆弧上的三等分点， ， ， 是等边三角形，则， ， ， ， 线段与构成的弓形面积始终不变， 阴影部分的面积， 故答案为：． 16．如图，四边形内接于，是的直径，，则的度数是 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，由圆周角定理得出，从而求出，再由圆内接四边形对角互补计算即可得出答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题10分）已知：如图，．求作：以为弦的，使到和的距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图：角平分线与线段的垂直平分线，圆的相关性质，．根据题意，先作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆即可． 【详解】解：作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求． 理由： 平分 到和的距离相等 垂直平分 是半径 即为的弦． 故即为所求． 18．（本题9分）如图，圆O是边长为6的正方形的内切圆，切圆O于P点，交、于点E，F，求的周长． 【答案】 【分析】过O分别作于M，于N，证是正方形，求出正方形边长，根据切线长定理对线段进行转换即可． 【详解】解：过O分别作于M，于N， ， ， 是正方形， 由题意可知：， 圆O是的正方形的内切圆，切圆O于P点， ， 19．（本题9分）如图，在中，，点B是上一点，的角平分线交以为直径的于点E，过点B作，垂足为F， 恰好过点C． (1)求证：是切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图所示，连接，先根据等边对等角得到，由圆周角定理得到，再利用三角形内角和定理求出即可证明结论； （2）由是直径，得到，再由含30度角的直角三角形的性质得到，由角平分线的定义得到，即可证明是等腰直角三角形，则． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵点C在上， ∴：是切线； （2）解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 20．（本题10分）如图，在以为直径的中，弦于点H，与弦交于点F，连接，已知，． (1)求的半径； (2)若，求的长． 【答案】(1)5 (2)6 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，设半径，由垂径定理可得，从而得到，由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由（1）得：直径，，，证明出，从而得到，最后由勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 设半径， ，，，是的直径， ，， ， 解得， 的半径为； （2）解：由（1）得：直径，，， ∵ ∴， ， ， ． 21．（本题10分）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的正方形网格图形中，M，N分别是上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连结，则所有满足的中，求边的长的最大值． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，得出边的长的最大值等于圆的直径是解题的关键．作线段中点，作的垂直平分线，并使 ，以为圆心，为半径作圆，通过图形可知，当点在位置时，恰好过格点且经过圆心，此时最大，等于圆的直径，得出 ，则，即可求解． 【详解】解：作线段中点，作的垂直平分线，并使 ，以为圆心，为半径作圆，如图， ∵为垂直平分线且 ， ∴， ， ， ∴弦所对的圆的圆周角为， ∴点在圆上，为圆的弦， 通过图形可知，当点在位置时，恰好过格点且经过圆心， ∴此时最大，等于圆的直径， ＝，＝， ， ， ， ． 即边的长的最大值为． 22．（本题12分）如图，四边形为平行四边形，为上一点，以为半径作，与、的延长线分别相切于点、，与相交于点．    (1)求的度数； (2)试探究、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）连接，由平行四边形的性质，得到，，，根据圆的切线的性质，得出是等腰直角三角形，进而得到，即可求出的度数； （2）连接，根据圆的切线的性质，得出是等腰直角三角形，进而得出，由勾股定理，得出，再结合，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接， 四边形为平行四边形， ，，， 与相切于点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ；    （2）解：，证明如下： 如图，连接， 与相切于点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中，，， ， ， ．    23．（本题12分）如图，在中，为直径， 弦于点，连接． (1)如图1，求证： ； (2)如图2，连接，过点作于点，求证： ； (3)如图3，在（2）的条件下，点在弧上，，连接，，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)证明过程见详解 (3)的长为 【分析】（1）根据垂径定理可得，由此可证，根据全等三角形的性质即可求证； （2）连接，根据垂径定理可得点是中点，由此可得是中位线，可得，由（1）可得，根据弦、弧的关系，可得，由此即可求证； （3）根据题意，连接，根据圆的基础知识，可证，可得，运用勾股定理可得的值，在中可求出的值，的值，由（2）的结论可得的值． 【详解】（1）证明：∵是直径，弦， ∴，且， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵是直径， ∴，，， ∴，点是的中点，且点是的中点， ∴，即， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接， 由（1）可知，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 由（2）可得，， ∴的长为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$