考点7 相似三角形的实际应用-北师大版九年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 7 相似三角形的实际应用 1．小新的身高是 1.7m，他的影子长为 5.1m，同一时刻水塔的影长是 42m，则水塔的高度是 m． 2．一位同学想利用树影测树高，已知在某一时刻直立于地面长1m的竹竿的影长为 2m，但当他 马上测量树影时，发现树的影子有一部分落在墙上．经测量，留在墙上的影高 1.2mCD  ，落在 地面部分影长 5.6mBC  ，则树高 AB m 3．如图 1是液体沙漏的立体图形，图 2，图 3分别是液体沙漏某一时刻沙漏上半部分液体长 度与液面距离水平面高度的平面示意图，则图 3中 AB＝ cm． 4．如图，一路灯距地面 5.6米，身高 1.6米的小方从距离灯的底部（点 O）5米的 A处，沿OA 所在的直线行走到点 C时，人影长度增长 3米，则小方行走的路程 AC 是多少米？ 5．如图所示的是一圆柱形笔筒在灯光 P 下的投影，已知该笔筒底面圆的直径 6BC  ，笔筒的高 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 8CD  ，点D在灯光 P下的投影为点 B，点A在灯光 P 下的投影为点 A，过点 P作 PE BE 于点 E ， 4CE  ，点 A， B，C ， E 在同一直线上． (1)求 PE的长； (2)求点 A到CD的距离． 6．如图所示，小明站在 B处想借助平面镜测量 D处一棵大树的高度 CD．他把平面镜平放在 水平地面上，调整平面镜的位置到点 P处，让自己通过平面镜刚好能看见大树的顶端 C． (1)若小明测得眼睛离地面的高度 AB＝1.6m，BP＝2m，则他还需要测量哪条线段的长度即可 求得大树的高度：（用字母 a 表示）； (2)在（1）的条件下，求树的高度 CD．（用字母 a 的代数式表示） 7．《铁血红安》在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩．某天小明站在地面 上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如 图）．已知小明的眼睛离地面 1.6米，凉亭顶端离地面 2米，小明到凉亭的距离为 2米，凉亭 离城楼底部的距离为 40米，小亮身高 1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 7 相似三角形的实际应用 参考答案 1．14． 【分析】设水塔的高为 xm，根据同一时刻，平行投影中物体与影长成正比得到 x：42=1.7：5.1， 然后利用比例性质求 x即可． 【详解】设水塔的高为 xm， 根据题意得 x∶42=1.7∶5.1，解得 x=14， 即水塔的高为 14m． 故答案为 14． 【点睛】本题考查了平行投影的知识，解题的关键是熟练的掌握投影的性质与运用． 2．4 【分析】 过点 C作CE AD∥ 交 AB于点 E，可得四边形 ADCE是平行四边形，再由 1 2 BE BC  ，即可求解． 【详解】解：如图，过点 C作CE AD∥ 交 AB于点 E， ∵ ,AB CD AD CE∥ ∥ ， ∴四边形 ADCE是平行四边形， ∴ 1.2mAE CD  ， ∵某一时刻直立于地面长1m的竹竿的影长为 2m， ∴ 1 2 BE BC  ，即 1 5.6 2 BE  ， 解得： 2.8BE  ， ∴ 4mAB AE BE   ． 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，根据题意得到 1 2 BE BC  是解题的关键． 3． 83 / 22 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【分析】根据题中所给的信息，利用对称性得出各个线段长度，再根据CD EF∥ 得出 BCD BEF  ， 利用相似比即可求出 AB长． 【详解】解：过D作 ED EF 交GH于G，如图所示： 根据题意可知 12 , 6 , 10 , 2GE cm GD cm GC cm EF cm    ， 根据对称性可知 6GD ED cm  ， 12 10 2CE cm   ， 4DC cm  ， AB EF ∥ ， DBC F  ， CDB CDB  ， BCD FED  ， BC CD EF ED   ，即 4= 2 6 BC ，解得 4= 3 BC ，  82 3 AB BC  ， 故答案为： 8 3． 【点睛】本题考查利用相似比求线段长，读懂题意，看懂图形，结合图形对称性找出各个线段 的长度是解决问题的关键． 4．小方行走的路程 AC是7.5米 【分析】结合题意，根据相似三角形的性质，推导得OD，再通过计算即可得到答案． 【详解】如下图，根据题意，得 5.6OF m ， 1.6AE CG m  ， 5OA m ， 3CD AB  ， AE OD ， CG OD ，OF OD 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∵ AE OD ，OF OD ， ∴ ABE OBF ∽ ∴ AB AE OB OF  ∴ AB AE OA AB OF   ∴ 1.6 5 5.6 AB AB   ， ∴经检验: 2AB m ∵ 3CD AB  ， ∴ 5CD  m， ∵CG OD ，OF OD ， D D   ∴ CGD OFD ∽ ∴ CD OD CG OF  ∴ 5 5.6 17.5 1.6 CD OFOD m CG      ∴ 17.5 5 5 7.5mAC OD OA CD       ∴小方行走的路程 AC是7.5米． 【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成 求解． 5．(1) 40 3 (2)21 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力， （1）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论； 解题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 【详解】（1）解：∵笔筒的高 8CD  ，即CD BE ， PE BE ， ∴CD PE∥ ， 90BCD BEP    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ∴ BDC BPE  ， ∴ BCD BEP ∽ ， ∴ CD BC PE BE  ， ∵ 6BC  ， 4CE  ，点 A， B，C， E在同一直线上， ∴ 8 6 6 4PE   ， ∴ 40 3 PE  经检验， 40 3 PE  是原方程的解且符合题意， 答： PE的长为 40 3 ； （2）根据题意： AB PE∥ ， ∴ A AB A PE    ， A BA A EP    ， ∴ A BA A EP ∽△ △ ， ∴ AB A B PE A E    ， ∵笔筒的高 8CD  ， 6 4 10BC CE    ， ∴ 8 40 10 3 A B A B    ， 解得： 15A B  ， 经检验， 15A B  是原方程的解且符合题意， ∴ 15 6 21A C A B BC     ． 答：点 A到CD的距离为 21． 6．(1)还需测量线段 PD的长度，PD= a (2)0.8 am 【分析】（1）根据题意以及实际测量条件限制即可求解； （2）根据相似三角形的性质与判定即可求解． 【详解】（1）解：还需测量线段 PD的长度，PD=a 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 （2）解： ∵AB⊥BD，CD⊥BD ∴∠ABP=∠CDP=90° ∵∠APB=∠CPD ∴△ABP∽△CDP ∴ AB PB CD PD  ∵AB=1.6m，BP=2m，PD= a． ∴ 1.6 2 CD a  即 CD=0.8 a（m） 答：树的高度 CD为 0.8 am 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 7．城楼的高度为8.3米 【分析】过点A作 AM EF 于点M ，交CD于点N，构造直角三角形，进而利用相似三角形的 判定与性质求解即可． 【详解】过点A作 AM EF 于点M ，交CD于点N， 由题意可得： 2AN  ， 2 1.6 0.4CN    ， 40MN  ， / /CN EM ， ACN AEM ∽ ，  CN AN EM AM  ，  0.4 2 42EM  ， 解得： 8.4EM  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 1.6AB MF  ， 故城楼的高度为：8.4 1.6 1.7 8.3   （米 )， 答：城楼的高度为8.3米． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，构造直角三角形得出相似三角形是解题的关键．