专题01 集合与充要条件-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（四川专用）

专题01 集合与充要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解集合的概念 · 掌握集合的表示方法：列举法和描述法 · 了解元素与集合的关系 · 理解集合与集合之间的关系 · 理解集合的运算 考点预测 · 集合的三个特征 · 元素与集合、集合与集合间的关系 · 集合的运算 · 判断充分条件、必要条件及充要条件 · 理解充要条件、必要条件和充要条件的意义 要点自测 （一）集合的概念及表示方法 集合的相关概念 （1） 集合：一般地，把某些 确定的 对象看成一个整体，就构成了集合. （2） 元素：构成集合的 所有元素 都叫作集合的元素. 集合用大写英文字母表示，元素用小写英文字母表示. 元素与集合的关系 （1） 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 a∈A ，读作“a属于A”； （2） 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 a∉A ，读作“a不属于A”. 集合中元素特征 确定性 、 互异性 、无序性 集合的表示方法 列举法 、 描述法 、韦恩图法 集合的分类 按元素的数目分类： 空集 、有限集、 无限集 重点集合：数集、点集 常见数集符号 N（自然数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）、N*或N+（正整数集） （二）集合之间的关系 关系 定义 表示方法 性质 子集 对于两个集合A和B，如果集合B的任一个元素都是集合A的元素，那么集合B叫做集合A的子集. 或 ①任何一个集合是它本身的 子集 ； ②空集是任何集合的 子集 ； ③若A⊆B，B⊆C，则 A⊆C . 真子集 对于两个集合A和B，如果集合B是集合A的子集，并且集合A中至少有一个元素不属于集合B，那么把集合B叫做集合A的真子集. A⫋B或 B⫋A ①空集是任何非空集合的 真子集 ； ②若A⫋B，B⫋C，则 A⫋C . 相等 如果两个集合的元素完全相同，那么我们就说这两个集合相等. 如果A=B，那么A⊆B且B⊆A. 含有n个元素的集合，有 2n 个子集， 2n-1 个真子集， 2n-1 个非空子集， 2n-2 个非空真子集. （三）集合的运算 运算 定义 表示方法 性质 交集 由集合A，B的相同元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B . （1）图示： （2）数学表达式： A∩B={x｜x∈A且 x∈B} ①A∩B= B∩A ； ②A∩A= A ； ③A∩Ø= Ø ； ④如果A⊆B，那么A∩B= A . 并集 由集合A，B的所有元素所组成的集合，叫做A与B的并集记作A∪B ． （1）图示：（2）数学表达式： A∩B={x｜x∈A且 x∈B} ①A∪B= B∪A ； ②A∪A= A ； ③A∪Ø= A ； ④如果A⊆B，那么A∪B= B . 全集 如果一个集合含有我们所研究的各个集合的全部元素，在研究过程中，可以将这个集合叫做全集，一般用U来表示，所研究的各个集合都是这个集合的子集． U / 补集 如果集合A是全集U的一个子集，那么，由U中 不属于A的所有元素组成的集合叫做集合A在全集U中的补集，记作CUA． （1）图示： （2）数学表达式： CUA={x｜x∈U且 x∉A} ①A∪CUA= U ； ②A∩CUA= Ø ； ③CU(CUA)= A ； ④CUU= Ø ； ⑤CUØ= U ； （四）充要条件 要点 定义 充分条件 如果 p⇒q ，那么p是q的充分条件. 必要条件 如果 q⇒p ，那么p是q的必要条件. 充要条件 如果 p⇔q ，那么p是q的充要条件. 考点突破 考点1 集合的定义 【例1】下列各组对象能构成集合的是（   ） A．与0非常接近的数 B．中国著名科学家 C．某校高一所有学生 D．好心的人 【答案】C 【解析】对于A，与0非常接近的数没有确定范围，不符合确定性，故A选项错误； 对于B，中国著名科学家，著名程度没确定，不符合确定性，故B选项错误； 对于C，某校高一所有学生有具体数量，符合确定性，故C选项正确； 对于D，好心的人，好心的定义不明确，不符合确定性，故D选项错误； 故选：C. 【突破训练】下列对象不能组成集合的是（    ） A．小于10的自然数 B．方程的解 C．不等式的解 D．与1相差无几的实数的全体 【答案】D 【详解】题目中小于10的自然数，方程的解，不等式的解，这些对象符合构成集合元素的特性，故选项可以构成集合； 选项D中，与1相差无几的实数的全体是不确定的，故不能构成集合. 故选：D. 考点2 元素与集合的关系 【例2】下列所给出的关系中，正确的个数是（    ）. ①；② ；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】是实数，①正确；是有理数，②错误；，③错误；，④错误， 所以正确的个数为个， 故选：. 【突破训练】下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项，没有元素，所以，故错误； 选项，为无理数，所以，故错误； 选项，，故错误； 选项，，故正确； 故选：. 考点3 集合中元素的特征 【例3】若集合，且，则实数x的值为（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．36 【答案】C 【详解】因为集合，且， 所以，解得或. 故选：C. 【突破训练】若集合中只有一个元素，则实数 ． 【答案】或 【详解】当时，，即，解得， 则集合中只有一个元素，符合题意； 当时，中只有一个元素，则判别式等于零， ，即，解得； 综上或； 故答案为：或. 考点4 集合的表示方法 【例4】用列举法表示集合：为 . 【答案】 【解析】由题知：=. 故答案为：. 【突破训练】用描述法表示大于–1且小于3的所有实数组成的集合为 . 【答案】 【详解】由集合的描述法可得， 表示大于–1且小于3的所有实数组成的集合为. 故答案为：. 考点5 集合之间的关系 【例5】用符号“”“”“”“”或“=”填空.（1） ；（2）a ；（3） ；（4）0 . 【答案】 = 【解析】（1）集合中的元素都是集合中的元素，并且集合中的元素1不是集合中的元素，∴； （2）a是集合中的元素，所以； （3）的解集为或，用列举法表示为， 所以； （4）空集是不含任何元素的集合，所以. 故答案为：；；=；. 【突破训练】满足条件的集合有 个. 【答案】8 【详解】由题，， 则或或或， 或或或或，共个， 故答案为： 考点6 集合的运算 【例6】全集，，． (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1），， . （2），， . （3），， . 【突破训练】设全集，集合，，求： (1) ，(2)，(3) 【答案】(1)，(2)，(3)或 【详解】（1）因为集合，， 所以，. （2）因为全集，集合，， 所以，. （3）由（1）可知， 所以或. 考点7 求含字母的集合的运算 【例7】已知集合，，，，求： (1)的值； (2)集合和集合； (3)，的值. 【答案】(1)(2)，(3)， 【详解】（1）因为，所以， 所以一元二次方程的一个根为3， 代入可得，则. （2）因为，所以， 由（1）可得， 又因为，所以. （3）由（2）可知， 则一元二次方程有两根：3和5， 利用韦达定理可得， 则，. 【例8】集合，，. (1)若，求实数a的取值范围， (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，所以， 因为， 所以，即，所以实数的取值范围为； （2）因为，且， 所以，又因为，所以或， 即或，所以实数的取值范围为. 【突破训练】已知集合，，若，求的值. 【答案】 【详解】集合，， ∵，∴而， ∴当，即时，集合， 此时与矛盾； 当，即，集合，此时符合， 综上，故. 考点8 充要条件的判定 【例9】对于任意实数a，b，c，有以下命题： ①“”是“”的充要条件； ②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件； ③“”是“”的充分条件； ④“”是“”的必要条件. 其中正确命题的序号是 . 【答案】②④ 【解析】∵①中“”则“”为真命题，充分性成立， “”若，则“”不一定成立，则为假命题，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，故①为假命题； ∵②中“是无理数”则“a是无理数”为真命题，充分性成立， “a是无理数”则“是无理数”也为真命题，必要性成立， 故“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故②为真命题； ∵③“”，即或， 故“”是“”的必要条件，故③为假命题； ∵④中比范围小 ，故“”是“”的必要条件，故④为真命题. 故正确命题的序号是②④. 故答案为：②④ 【突破训练】用充分条件、必要条件或充要条件填空： （1）是的 ； （2）是的 ； （3）若则且是的 ； 【答案】 充分条件 充分条件 充要条件 【详解】若，则，“”能推出“”， 若，则或，“”不能推出“”. 所以是的充分条件. 若，则，所以“”能推出“ ”， 若，则或， 所以“ ”不能推出“”， 所以是的充分条件. 若且，则，“且”能推出“”， 若，则且，“”能推出“且”. 所以且是的充要条件. 故答案为：充分条件，充分条件，充要条件. 模拟演练 一、单选题 1．下列对象不能组成集合的是（   ） A．不大于5 的自然数 B．班上考试得高分的同学 C．一切小于0的数 D．班上身高超过的同学 【答案】B 【分析】根据集合中元素的确定性逐个判断即可. 【详解】A选项，不大于5 的自然数，元素确定可以构成集合， B选项，班上考试得高分的同学，元素不确定，不能构成集合， C选项，一切小于0的数，元素确定可以构成集合， D选项，班上身高超过的同学，元素确定可以构成集合， 所以不能构成集合的为B选项. 故选：B. 2．下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据常用数集的符号结合元素与集合之间的关系逐个分析即可. 【详解】为正整数集，不是正整数，所以，故A错误. 为整数集，不是整数，所以，故B错误. 为有理数集，不是有理数，所以，故C错误. 为整数集，是整数，所以，故D正确. 故选：D. 3．方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解二元一次方程组，然后利用集合的表示方法将方程组的解表示出来即可. 【详解】方程组，解得：， ∴方程组的解集为， 故选：C． 4．下列不是的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由真子集的定义判断即可. 【详解】由真子集的定义可知，集合的真子集为： ，，，，，，. 故A、C、D选项为 的真子集；B选项中不是的真子集. 故选：B. 5．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合交集的定义及运算即可求解 【详解】因为集合，集合， 所以． 故选：A． 6．数集，则列举法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找出集合中的元素，并用列举法表示即可. 【详解】已知数集，其中元素有， 所以. 故选：D. 7．已知集合，，且，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合并集的定义，结合子集的概念，即可求解. 【详解】因为， 所以， 又集合，， 所以. 故选：A. 8．已知集合，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由并集的定义求解即可. 【详解】集合，， 则. 故选：C. 9．设全集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集的概念运算即可. 【详解】已知全集，， 则. 故选：B. 10．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由必要条件的概念即可得解. 【详解】∵“”推不出“”，但“”⇒“”， ∴“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 二、填空题 11．是的 条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据充分条件和必要条件的概念即可求解. 【详解】若则，此时成立，即充分性成立； 若则或，当时不成立，即必要性不成， 所以是的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 12．学校开运动会，某班有40名学生，其中24人报名参加赛跑项目，14人参加跳远项目，两项都没参加的有8人，则两项都参加的有 人． 【答案】6 【分析】设两项都参加的有x人，画出韦恩图，根据图示列式即可求解. 【详解】设两项都参加的有x人， 因为全班有40名学生，两项都没参加的有8人，则参加跳远或赛跑的有人， 又因为24人报名参加赛跑项目，14人参加跳远项目， 所以两项都参加的有人. 故答案为：6. 13．用符号“”或“”填空： ①         ②2 【答案】 【分析】根据元素和集合的关系可判断. 【详解】根据元素与集合的关系可知， ，. 故答案为：； 14．设集合，集合，则 . 【答案】 【分析】首先求出集合，再根据交集的概念运算即可. 【详解】集合，集合， 所以. 故答案为：. 15．若全集，则集合A的真子集共有 个 【答案】7 【分析】先由补集确定集合A，再确定集合A的真子集的个数即可. 【详解】∵全集， ∴集合， ∴集合A的真子集的个数为. 故答案为：7. 三、解答题 16．选择适当方法表示下列集合： (1)方程的解构成的集合； (2)不等式的解构成的集合； (3)大于且不大于6的自然数的全体构成的集合； (4)坐标系中第二象限的点构成的集合． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】（1）求出方程的根，用列举法表示集合； （2）根据条件，用描述法表示集合； （3）列出大于且不大于6自然数，用列举法表示集合； （4）坐标系中点的集合用描述法表示集合. 【详解】（1）因为方程的解为或， 所以方程的解集为. （2）不等式的解为， 则不等式的解集为. （3）大于且不大于6的自然数有， 所以大于且不大于6的自然数构成的集合为. （4）坐标系中第二象限的点构成的集合为. 17．设集合，，且.求m的值. 【答案】 【分析】根据已知集合和集合相等求出参数即可解得. 【详解】由题，集合， 又知，则. 18．全集，，． (1)求、； (2)求、． 【答案】(1)， (2)或，或 【分析】（1）根据集合交集和并集的运算即可解得. （2）根据前一问的结论和集合补集的运算即可解得. 【详解】（1）由于，， 则，. （2）由（1）可知，，，且， 则或，或. 19．已知集合或，. (1)求，； (2)若集合是集合A的真子集，求实数k的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）先求出集合B，然后进行交集、补集和并集的运算即可. （2）根据即可得出或，解出的范围即可，注意讨论的情况. 【详解】（1）因为，或， 又或，， 所以； 所以或或. （2）集合或， 若集合是集合A的真子集， 当，则，不存在这样的实数； 当，则或，解得或 . 综上，实数的取值范围是. 20．已知集合，. (1)当时，求； (2)命题p：，命题q：，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的范围，求出补集和交集即可； （2）根据p是q的必要条件，可知，列式计算即可. 【详解】（1）当时，， 又或， ； （2）命题p：，命题q：，p是q的必要条件， ， 或，解得. $$专题01 集合与充要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解集合的概念 · 掌握集合的表示方法：列举法和描述法 · 了解元素与集合的关系 · 理解集合与集合之间的关系 · 理解集合的运算 考点预测 · 集合的三个特征 · 元素与集合、集合与集合间的关系 · 集合的运算 · 判断充分条件、必要条件及充要条件 · 理解充要条件、必要条件和充要条件的意义 要点自测 （一）集合的概念及表示方法 集合的相关概念 （1） 集合：一般地，把某些 对象看成一个整体，就构成了集合. （2） 元素：构成集合的 都叫作集合的元素. 集合用大写英文字母表示，元素用小写英文字母表示. 元素与集合的关系 （1） 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作________，读作“a属于A”； （2） 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作________，读作“a不属于A”. 集合中元素特征 __________、__________、无序性 集合的表示方法 __________、__________、韦恩图法 集合的分类 按元素的数目分类：________、有限集、________ 重点集合：数集、点集 常见数集符号 N（自然数集）、Z（______）、___（有理数集）、R（______）、_____（正整数集） （二）集合之间的关系 关系 定义 表示方法 性质 子集 对于两个集合A和B，如果集合B的__________都是集合A的元素，那么集合B叫做集合A的子集. 或 ①任何一个集合是它本身的_________； ②空集是任何集合的 ； ③若A⊆B，B⊆C，则_________. 真子集 对于两个集合A和B，如果集合B是集合A的 ，并且集合A中 不属于集合B，那么把集合B叫做集合A的真子集. A⫋B或 B⫋A ①空集是任何非空集合的_________； ②若A⫋B，B⫋C，则_________. 相等 如果两个集合的元素 ，那么我们就说这两个集合相等. 如果A=B，那么A⊆B且B⊆A. 含有n个元素的集合，有_____个子集，_____个真子集，_____个非空子集，_____个非空真子集. （三）集合的运算 运算 定义 表示方法 性质 交集 由集合A，B的 所组成的集合，叫做A与B的交集，记作 . （1）图示： （2）数学表达式： __________________________ ①A∩B=___________； ②A∩A=_______； ③A∩Ø=__________； ④如果A⊆B，那么A∩B=______. 并集 由集合A，B的 所组成的集合，叫做A与B的并集记作 . （1）图示：（2）数学表达式： __________________________ ①A∪B=___________； ②A∪A=_______； ③A∪Ø=__________； ④如果A⊆B，那么A∪B=______; 全集 如果一个集合含有我们所研究的各个集合的全部元素，在研究过程中，可以将这个集合叫做全集，一般用U来表示，所研究的各个集合都是这个集合的子集． U / 补集 如果集合A是全集U的一个子集，那么，由U中 A的所有元素组成的集合叫做集合A在全集U中的补集，记作 . （1）图示： （2）数学表达式： __________________________ ①A∪CUA= ； ②A∩CUA= ； ③CU(CUA)= ； ④CUU= ； ⑤CUØ= ； （四）充要条件 要点 定义 充分条件 如果 ，那么p是q的充分条件. 必要条件 如果 ，那么p是q的必要条件. 充要条件 如果 ，那么p是q的充要条件. 考点突破 考点1 集合的定义 【例1】下列各组对象能构成集合的是（   ） A．与0非常接近的数 B．中国著名科学家 C．某校高一所有学生 D．好心的人 【突破训练】下列对象不能组成集合的是（    ） A．小于10的自然数 B．方程的解 C．不等式的解 D．与1相差无几的实数的全体 考点2 元素与集合的关系 【例2】下列所给出的关系中，正确的个数是（    ）. ①；② ；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【突破训练】下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 考点3 集合中元素的特征 【例3】若集合，且，则实数x的值为（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．36 【突破训练】若集合中只有一个元素，则实数 ． 考点4 集合的表示方法 【例4】用列举法表示集合：为 . 【突破训练】用描述法表示大于–1且小于3的所有实数组成的集合为 . 考点5 集合之间的关系 【例5】用符号“”“”“”“”或“=”填空.（1） ；（2）a ；（3） ；（4）0 . 【突破训练】满足条件的集合有 个. 考点6 集合的运算 【例6】全集，，． (1)求； (2)求； (3)求． 【突破训练】设全集，集合，，求： (1)，(2)，(3) 考点7 求含字母的集合的运算 【例7】已知集合，，，，求： (1)的值； (2)集合和集合； (3)，的值. 【例8】集合，，. (1)若，求实数a的取值范围， (2)若，求实数a的取值范围. 【突破训练】已知集合，，若，求的值. 考点8 充要条件的判定 【例9】对于任意实数a，b，c，有以下命题： ①“”是“”的充要条件； ②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件； ③“”是“”的充分条件； ④“”是“”的必要条件. 其中正确命题的序号是 . 【突破训练】用充分条件、必要条件或充要条件填空： （1）是的 ； （2）是的 ； （3）若则且是的 ； 模拟演练 一、单选题 1．下列对象不能组成集合的是（   ） A．不大于5 的自然数 B．班上考试得高分的同学 C．一切小于0的数 D．班上身高超过的同学 2．下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 4．下列不是的真子集的是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 6．数集，则列举法可表示为（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，，且，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 8．已知集合，，则（  ） A． B． C． D． 9．设全集，则（   ） A． B． C． D． 10．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 11．是的 条件. 12．学校开运动会，某班有40名学生，其中24人报名参加赛跑项目，14人参加跳远项目，两项都没参加的有8人，则两项都参加的有 人． 13．用符号“”或“”填空： ①         ②2 14．设集合，集合，则 . 15．若全集，则集合A的真子集共有 个 三、解答题 16．选择适当方法表示下列集合： (1)方程的解构成的集合； (2)不等式的解构成的集合； (3)大于且不大于6的自然数的全体构成的集合； (4)坐标系中第二象限的点构成的集合． 17．设集合，，且.求m的值. 18．全集，，． (1)求、； (2)求、． 19．已知集合或，. (1)求，； (2)若集合是集合A的真子集，求实数k的取值范围. 20．已知集合，. (1)当时，求； (2)命题p：，命题q：，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围. $$