23.3.2 相似三角形及其判定 基础训练 2024-2025学年华东师大版九年级数学上册

《相似三角形及其判定》基础训练 一、选择题（ 本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）已知△ABC的三边长分别为7.5，9和10.5，△DEF的一边长为5，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（　　） A．4，5 B．5，6 C．6，7 D．7，8 2．（5分）如图，由下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　） A．＝ B．∠B＝∠ADE C．＝ D．∠C＝∠AED 3．（5分）如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（　　） A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D． 4．（5分）如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝ D．＝ 5．（5分）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（　　） A．∠A＝55°，∠D＝35° B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8 C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8 D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9 二、填空题（ 本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）如图，已知∠BAC＝∠DAE，请你再补充一个条件　 　，使得△ABC∽△ADE． 7．（5分）在△ABC和△DEF中，＝．要使△ABC∽△DEF，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是　 　（只需填写一个正确的答案）． 8．（5分）△ABC中，AB＝10，AC＝6，点D在AC上，且AD＝3，若要在AB上找一个点E，使△ADE与△ABC相似，则AE＝　 　． 9．（5分）如图，已知∠1＝∠2＝∠3，图中有　 　对相似三角形． 10．（5分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，∠B的平分线交AC于点D，则与△ABC相似的三角形为　 　． 三、解答题（ 本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）如图，在△ABC和△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5，AB＝4，当BD的长是多少时，图中的两个直角三角形相似？ 12．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，CE⊥CD，且＝，＝．求证：△ACD∽△ECF． 13．（10分）如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD＝，AB＝3，BC＝2 （1）△BCD与△BAC相似吗？请说明理由． （2）若CD＝，求AC的长． 14．（10分）在△ABC中，CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠1＝∠2，求证：△AFG∽△ABC． 15．（10分）如图，在△ABC和△ADE中，＝＝，点B、D、E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE． 《相似三角形及其判定》基础训练 参考答案与试题解析 一、选择题（ 本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）已知△ABC的三边长分别为7.5，9和10.5，△DEF的一边长为5，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（　　） A．4，5 B．5，6 C．6，7 D．7，8 【分析】先计算出ABC的三边比为5：6：7，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似进行判断． 【解答】解：△ABC的三边长分别为7.5，9和10.5，三边的比为7.5：9：10.5＝5：6：7， 而△DEF的一边长为5， 所以当△DEF的另两边长分别为6、7时，这两个三角形相似． 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的性质：三组对应边的比相等的两个三角形相似． 2．（5分）如图，由下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　） A．＝ B．∠B＝∠ADE C．＝ D．∠C＝∠AED 【分析】利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对A、C进行判断；根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对B、C进行判断． 【解答】解：∵∠EAD＝∠BAC， ∴当∠AED＝∠C时，△AED∽△ACB； 当∠AED＝∠B时，△AED∽△ABC； 当＝时，△AED∽△ABC； 当＝时，△AED∽△ACB． 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 3．（5分）如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（　　） A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D． 【分析】A、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论； B、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论； C、其夹角不相等，所以不能判定相似； D、其夹角是公共角，根据两边的比相等，且夹角相等，两三角形相似． 【解答】解：A、∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B， ∴△ACP∽△ABC， 所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC； B、∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB， ∴△ACP∽△ABC， 所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC； C、∵， 当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC， 所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC； D、∵， 又∠A＝∠A， ∴△ACP∽△ABC， 所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC， 本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键． 4．（5分）如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝ D．＝ 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠DAE＝∠BAC， ∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE 选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 【点评】此题考查了相似三角形的判定： ①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； ②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似； ③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 5．（5分）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（　　） A．∠A＝55°，∠D＝35° B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8 C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8 D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9 【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可． 【解答】解：A、相似：∵∠A＝55°∴∠B＝90°﹣55°＝35°∵∠D＝35°∴∠B＝∠D∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF； B、相似：∵AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8，∴，∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF； C、有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似； D、相似：∵AB＝10，BC＝6，DE＝15，EF＝9，∴，∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF； 故选：C． 【点评】此题主要要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例． 二、填空题（ 本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）如图，已知∠BAC＝∠DAE，请你再补充一个条件　∠B＝∠D等　，使得△ABC∽△ADE． 【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案． 【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE， ∠B＝∠D， ∴△ABC∽△ADE， 故答案为：∠B＝∠D等 【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基础题型． 7．（5分）在△ABC和△DEF中，＝．要使△ABC∽△DEF，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是　∠B＝∠E（答案不唯一）　（只需填写一个正确的答案）． 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：在△ABC和△DEF中，＝．要使△ABC∽△DEF，需要添加的条件是∠B＝∠E（答案不唯一）， 故答案为：∠B＝∠E． 【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 8．（5分）△ABC中，AB＝10，AC＝6，点D在AC上，且AD＝3，若要在AB上找一个点E，使△ADE与△ABC相似，则AE＝　5或　． 【分析】分两种情况讨论，由∠A是公共角，当，即时，△ADE∽△ACB，当，即时，△ADE∽△ABC，可求AE的值． 【解答】解：∵∠A是公共角， ∴当，即时，△ADE∽△ACB 解得：AE＝5 当，即时，△ADE∽△ABC 解得：AE＝ 故答案为：5或 【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意分类讨论思想的应用． 9．（5分）如图，已知∠1＝∠2＝∠3，图中有　4　对相似三角形． 【分析】根据相似三角形的判定方法，可以证明图中有四对相似三角形． 【解答】解：∵∠A＝∠A，∠1＝∠2， ∴∠ADE∽△ABC， ∵∠A＝∠A， ∠1＝∠3， ∴△ADE∽△ACD， ∴△ABC∽△ACD， ∵∠1＝∠2， ∴DE∥BC， ∴∠EDC＝∠DCB， ∴DE∥CB， ∴∠DCB＝∠CDE， ∵∠2＝∠3， ∴△BDC∽△CED， 故答案为4 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10．（5分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，∠B的平分线交AC于点D，则与△ABC相似的三角形为　△BCD　． 【分析】先根据等腰三角形的性质得∠ABC＝∠C，则根据三角形内角和定理可计算出∠ABC＝∠C＝72°，则∠CBD＝∠A，加上∠BCD＝∠ACB，于是根据三角形相似的判定方法即可得到△BCD∽△ABC． 【解答】解：如图，∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABC＝36°， ∴∠CBD＝∠A， 而∠BCD＝∠ACB， ∴△BCD∽△ABC． 故答案为△BCD． 【点评】本题考查了三角形相似的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的性质． 三、解答题（ 本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）如图，在△ABC和△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5，AB＝4，当BD的长是多少时，图中的两个直角三角形相似？ 【分析】先利用勾股定理计算出BC＝3，再根据相似三角形的判定方法进行讨论：当＝时，Rt△DBA∽Rt△BCA，即＝，当＝时，Rt△DBA∽Rt△BAC，即＝，然后利用比例性质求出对应的BD的长即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝＝＝3， ∵∠ABC＝∠ADB＝90°， ∴当＝时，Rt△DBA∽Rt△BCA，即＝，解得BD＝， 当＝时，Rt△DBA∽Rt△BAC，即＝，解得， 综上所述，当BD的长是或时，图中的两个直角三角形相似． 【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 12．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，CE⊥CD，且＝，＝．求证：△ACD∽△ECF． 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似求出△ACB∽△ECD，再根据相似三角形对应角相等可得∠A＝∠E，利用同角的余角相等求出∠ACD＝∠ECF，然后根据两角对应相等，两个三角形相似证明． 【解答】证明：∵CE⊥CD， ∴∠ECD＝90°， ∴∠ACB＝∠ECD， 又∵＝＝， ∴△ACB∽△ECD， ∴∠A＝∠E， ∵∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠ACB﹣∠BCD＝∠ECD﹣∠BCD， 即∠ACD＝∠ECF， ∴△ACD∽△ECF． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质，难点在于需要二次证明三角形相似，先确定出△ACB∽△ECD是解题的关键． 13．（10分）如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD＝，AB＝3，BC＝2 （1）△BCD与△BAC相似吗？请说明理由． （2）若CD＝，求AC的长． 【分析】（1）利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判定△BCD∽△BAC； （2）根据相似三角形的性质计算AC的长． 【解答】解：（1）△BCD∽△BAC．理由如下： ∵BD＝，AB＝3，BC＝2， ∴＝＝，＝， ∴＝， 而∠DBC＝∠CBA， ∴△BCD∽△BAC； （2）∵△BCD∽△BAC， ∴＝，即＝， ∴AC＝． 【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 14．（10分）在△ABC中，CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠1＝∠2，求证：△AFG∽△ABC． 【分析】由条件可证得∠AFG＝∠B，结合公共角，可证得结论． 【解答】证明：∵CF⊥AB，ED⊥AB， ∴∠EDB＝∠CFA＝90°， ∴∠1+∠B＝∠2+∠AFG＝90°，且∠1＝∠2， ∴∠AFG＝∠B，且∠FAG＝∠GAB， ∴△AFG∽△ABC． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即有两角对应相等的两个三角形相似． 15．（10分）如图，在△ABC和△ADE中，＝＝，点B、D、E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE． 【分析】由在△ABC和△ADE中，＝＝，可证得△ABC∽△ADE，即可证得∠BAD＝∠CAE，又由＝，即可证得：△ABD∽△ACE． 【解答】证明：∵在△ABC和△ADE中，＝＝， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵， ∴， ∴△ABD∽△ACE． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 第14页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $$