考点10 尺规作图综合-人教版八年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 10 尺规作图综合 1．如图，直线 l l l 、 、 表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公距离 相等，则可供选择的地址有（ ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 2．如图，在Rt ABC△ 中， 90A  ， 62ACB  ， 按以下步骤作图：（1）以点 B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段BA， BC于点 M，N； （2）以点 C为圆心， BM 的长为半径画弧，交线段CB于点 D；（3）以点 D为圆心，MN的长 为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点 E；（4）过点 E作射线 CE，与BA相交于点 F，则 AFC  ． 3．如图，在 ABC 中， AB AC ， AD BC ，垂足为点D，点 E在 AD的延长线上. (1)尺规作图：作 ACB 的平分线交 AD于点 F（按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹）； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 (2)填空：在（1）的条件下，若 2 EBD ABC  ，试说明DE DF . 证明：∵ AB AC ， AD BC ， ∴ BD  ① ， ABC  ② ， ∵ 2 EBD ABC  ， ∴ 2 EBD  ③ ， 又∵CF平分 ACB ， ∴2 ④ ACB  ， ∴ EBD  ⑤ ， 在 BED 和 CFD△ 中， EBD FCD BD CD BDE CDF         ， ∴  ASABED CFD  ， ∴DE DF . 4．如图，已如 ABCV 中， ,AB AC BD 平分 ABC ． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段 BD的垂直平分线，分别交 AB、BD、BC于点 E、O、F， 连接DE；（不写作法，保留清晰的作图痕迹） (2)求证：DE BF ，请根据下列证明思路完成填空： 证明： BDQ 平分 ABC ① EF 是线段 BD的垂直平分线，  90BOE BOF     ， 在 BEO△ 和 BFOV 中， ABD CBD BOE BOF         ② BEO BFO△ ≌△ （③ ）. ④ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 EF 是线段 BD的垂直平分线， BE ⑤ DE BF  ． 5．如图，在 ABC 中， 30B  ． (1)尺规作图：作边 AB 的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D，交 AB 于 E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，连接 AD，求 ADC 的度数． 6．如图，点 D在△ABC 的 AB 边上，且∠ACD=∠A． （1）作∠BDC 的平分线 DE，交 BC 于点 E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，判断直线 DE 与直线 AC 的位置关系（不要求证明）． 7．如图，已知 ABC ． (1)用直尺和圆规作出 ABC 的外角 DAC 的角平分线 AP和 BC边的垂直平分线MN（不写作法， 保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下， AP交MN于点 E，EF AC 于点 F，求证： 2AB AC CF  ． 8．如图，点 M，N是 AOB 内部两点．尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 (1)作 ' ' 'AO B AOB   ： (2)作 AOB 的平分线： (3)求作点 P，使PM PN ，且点 P到OA，OB的距离相等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 10 尺规作图综合 参考答案 1．D 【难度】0.85 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，由三角形内角平分线的交 点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性 质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，可得可供选择的地址有 4个． 【详解】解：作直线 l l l 、 、 所围成的三角形的外角平分线和内角平分线， 如图所示：外角平分线分别相交于点 1 2 3, ,P P P ， 且内角平分线相交于点 4P ， ∴角平分线的性质可得到这 4个点到三条公路的距离分别相等． 故选：D． 2．56 【难度】0.85 【分析】本题考查了尺规作图，三角形外角的性质，直角三角形的性质，关键是由基本作图得 到 BCF B   ． 由作图可知： BCF B   ，由直角三角形的性质得到 90 28B ACB    ，由三角形外角的性质 求出 56AFC B BCF     ． 【详解】解：由作图知： BCF B   ， ∵ 90A  ， 62ACB  ， ∴ 90 28B ACB    ， ∴ 28BCF  ， ∴ 56AFC B BCF     ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 故答案为：56． 3．(1)作图见解析 (2)CD， ACB ， ACB ， BCF ， DCF 【难度】0.65 【分析】对于（1），以点 C为圆心，以小于 BC为半径画弧，交 BC于点 M，交 AC于点 N，再 分别以点 M，N为圆心，以大于 1 2 MN为半径画弧，两弧交于点 P，作射线CP，交 AD于点 F； 对于（2），先根据等腰三角形的性质得 BD CD ， AABC CB ∠ ，结合已知条件得2 EBD ACB   ， 再根据角平分线定义可得 EBD DCF  ，然后根据“ ASA”证明 BED ≌ CFD△ ，最后根据全等 三角形的性质得出答案． 【详解】（1）如图所示． （2）∵ AB AC ， AD BC ， ∴ BD CD ， AABC CB ∠ ． ∵ 2 EBD ABC  ， ∴2 EBD ACB   ． ∵CF平分 ACB ， ∴2 BCF ACB   ， ∴ EBD DCF  ． 在 BED 和 CFD△ 中， EBD DCF BD CD BDE CDF         ， ∴ BED ≌ CFD△ （ ASA）， ∴DE DF ． 故答案为：CD， ACB ， ACB ， BCF ， DCF ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角 平分线的定义等，证明线段相等的常用方法是证明两个三角形全等． 4．(1)见解析 (2)① ABD CBD  ；②BO BO ；③ASA；④ BE BF ；⑤DE 【难度】0.65 【分析】本题考查作图—线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质： （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）由角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质即可补全填空． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）证明： BDQ 平分 ABC  ABD CBD  ， EF 是线段 BD的垂直平分线，  90BOE BOF     ， 在 BEO△ 和 BFO 中， ABD CBD BO BO BOE BOF         BEO BFO△ ≌△ （ASA）.  BE BF ， EF 是线段 BD的垂直平分线， BE  DE， DE BF  ． 故答案为：① ABD CBD  ；②BO BO ；③ASA；④ BE BF ；⑤DE． 5．(1)见详解 (2)60° 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 【难度】0.85 【分析】（1）分别以点 A、B为圆心，大于 AB 长的一半为半径画弧，交于两点，连接这两个 点，分别交 AB 于点 E，交 BC 于点 D，然后问题可求解； （2）由（1）可知 AD=BD，则有 30B BAD   ，然后根据三角形外角的性质可求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： ∵DE 垂直平分 AB， ∴AD=BD， ∵ 30B  ， ∴ 30B BAD   ， ∴ 2 60ADC B    ． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质， 熟练掌握线段垂直平分线的性质定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 6．（1）作图见解析； （2）DE∥AC． 【难度】0.65 【分析】(1)根据角平分线的画法画出角平分线； (2)根据角平分线的性质和三角形外角的性质得出 DE 和 AC 平行． 【详解】解：(1)如图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 （2）DE∥AC ∵DE 平分∠BDC， ∴∠BDE= 1 2 ∠BDC， ∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC， ∴∠A= 1 2 ∠BDC， ∴∠A=∠BDE， ∴DE∥AC． 【点睛】此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相 等两直线平行． 7．(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【分析】（1）根据角平分线和垂直平分线的作图方法进行作图即可； （2）过点 E作 EH AD 于点 H，连接EB、EC，根据HL证明Rt RtAEH AEF ≌ ，得出 AH AF ， 再根据HL证明Rt RtBEH CEF ≌ ，得出BH CF ，即可得出答案． 【详解】（1）解： AP即为所求作的角平分线，MN即为所求作的垂直平分线，如图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 （2）证明：过点 E作 EH AD 于点 H，连接EB、 EC， ∵ AE平分 DAC ， EH AD ，EF AC ， ∴ EH EF ， ∵ AE AE ， ∴  Rt Rt HLAEH AEF ≌ ， ∴ AH AF ， ∵MN垂直平分 BC， ∴EB EC ， ∴  Rt Rt HLBEH CEF ≌ ， ∴BH CF ， ∴ 2AB AC BH AH CF AF CF      ． 【点睛】本题主要考查角平分线和垂直平分线的作图，三角形全等的判定和性质，解题的关键 是熟记尺规作角平分线和垂直平分线的一般方法． 8．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【难度】0.65 【分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角）作 ' ' 'AO B AOB   ； （2）利用基本作图作OH平分 AOB ； （3）作线段MN的垂直平分线交OC于点 P． 【详解】（1）如图 1，图 2， ' ' 'AO B∠ 即为所求． （2）如图 1，射线OH即为所求． （3）如图 1，点 P即为所求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【点睛】本题考查作图——复杂作图，涉及到角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，解题 的关键是熟悉基本作图的方法和步骤．