考点8 整式乘除中的求值问题-人教版八年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 8 整式乘除中的求值问题 1．如果 2 4x mx  是一个完全平方式，那么m  ； 2．已知 6x y   ， 8xy  ，则 2 2x y  ． 3．若代数式    2 2 23 2 3 3mx x y x nx y    的值与 x的取值无关，则 2023 2024m n 的值为（ ） A．2 B． 2 C． 1 2 D． 1 2  4．已知  21 169 3m  ， 2 13 9 324n n   ，求m n 的值． 5．在分解因式时 2x ax b  时，甲看错了 a的值，分解的结果是   1 9x x  ；乙看错b的值，分 解的结果是    2 4x x  ．请你把 2x ax b  进行正确的因式分解． 6．小明遇到下面一个问题： 计算．     2 4 82 1 2 1 2 1 2 1    ． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差 公式解决问题，具体解法如下：     2 4 82 1 2 1 2 1 2 1           2 4 82 1 2 1 2 1 2 1 2 1          2 2 4 82 1 2 1 2 1 2 1        4 4 82 1 2 1 2 1      8 82 1 2 1   162 1  ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： (1)          2 4 8 162 1 2 1 2 1 2 1 2 1     (2)      2 4 8 163 1 3 1 3 1 3 13 1     原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 (3) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 11 1 1 1 1 2 3 4 49 50                                    7．数学探究活动课上，八年级的同学发现由幂的运算逆向思维可以得到 ,m n m na a a   , ( ) ( )m n m n mn m n n ma a a a a a     ，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂 的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙解决 (1)若 248 16 32 2m m m   ，求 m的值； (2)若 99 66 333 , 4 , 5a b c   ，试比较 a，b，c的大小关系． 8．先仔细阅读材料,再尝试解决问题:我们在求代数式 2 2 3x x  的最大或最小值时,通过利用公 式  22 22a ab b a b    对式子作如下变形:  22 22 3 2 1 2 1 2x x x x x         , 因为  21 0x   ,所以  21 2 2x    ,因此  21 2x   有最小值 2, 所以,当 1x  时,  2 21 2 2, 2 3x x x     的最小值为 2． 同理,可以求出 2 4 3x x   的最大值为 7． 通过上面阅读,解决下列问题: (1)填空:代数式 2 4 5x x  的最小值为______；代数式 22 2 7x x   的最大值为______； (2)求代数式 2 2 2x mx m x m    的最大或最小值,并写出对应的 x m、 的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 8 整式乘除中的求值问题 参考答案 1．4 或-4 【难度】0.65 【分析】这里首末两项是 x和 2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去 x和 2积的 2倍． 【详解】∵ 2 4x mx  是一个完全平方公式， ∴ 2 4x mx  =(x±2) 2 ， ∴m=±4， 故答案为 4或-4. 【点睛】此题考查完全平方式，解题关键在于掌握其运算法则. 2．20 【难度】0.85 【分析】先把等式 x+y＝﹣6两边分别平方，得到 x2+y2+2xy＝36，再把 xy＝8代入，即可求出 x2+y2的值． 【详解】解：∵x+y＝﹣6， ∴（x+y）2＝36， 即 x2+y2+2xy＝36， ∵xy＝8， ∴x2+y2+2×8＝36， ∴x2+y2＝20， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2， 是本题解题关键． 3．C 【难度】0.65 【分析】本题考查了整式的混合运算，先化简整式，根据代数式的值与 x无关，求出 m、n得 值，再逆用积的乘方法则和同底数幂公式求出代数式的值． 【详解】解：原式 2 2 23 3 3 6 6 2mx x y x nx y      原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 2 23 6 3 6 3 2( ) ( )m x n x y y      ． 代数式 2 2 2( ) ( )3 2 3 3mx x y x nx y     的值与 x的取值无关， 3 6 0m   ，3 6 0n  ． 2m  ， 1 2 n   ． 2023 2024m n 2023 2023m n n  2023( )mn n  2023 1 12 2 2                      2023 1)1 2 (         11 2         1 2  ． 故选：C． 4．5 【难度】0.65 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，求代数式的值，由  21 169 3m  得出 4 4 163 3m  ，从而 得到 4 4 16m   ，即可得出m 的值，根据 2 13 9 324n n   得出  23 3 1 324n    ，从而得出 2 43 3n  ，即 可得出 n的值，代入计算即可． 【详解】解：∵  21 169 3m  ， ∴   212 163 3 m     ， ∴ 4 4 163 3m  ， ∴ 4 4 16m   ， ∴ 3m  ， ∵ 2 13 9 324n n   ， ∴  2 1 23 3 324nn   ， ∴ 2 1 23 3 324n n   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∴  23 3 1 324n    ， ∴ 23 81n  ， ∴ 2 43 3n  ， ∴ 2 4n  ， ∴ 2n  ， ∴ 3 2 5m n    ． 5．  22 6 9 3x x x    【难度】0.65 【分析】根据“甲看错了 a的值，分解的结果是   1 9x x  ”可确定b的值，根据“乙看错b的 值，分解的结果是    2 4x x  ”可确定 a的值，进而确定 2x ax b  ，再进行因式分解即可． 【详解】解：∵    21 9 10 9x x x x     ，甲看错了 a的值，∴ 9b  ； ∵     22 4 6 8x x x x     ，乙看错了b的值，∴ 6a   ； 所以这个多项式为 2 6 9x x  ，  22 6 9 3x x x    【点睛】本题考查多项式乘法，因式分解，解决此题关键是掌握公式法分解因式． 6．(1) 322 1 (2)  3212 3 1 (3) 51 100 【难度】0.65 【分析】此题考查了平方差公式，以及多项式乘多项式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）原式补上  2 1 ，利用平方差公式计算即可得到结果； （2）原式补上  1 3 1 2  ，利用平方差公式计算即可得到结果； （3）原式利用平方差公式展开，然后利用分数乘法约分即可求解． 【详解】（1）解：       2 4 8 162 1 2 1 2 1 2 1 2 1             2 4 8 162 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1       原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4      2 2 4 8 162 1 2 1 2 1 2 1 2 1          4 4 8 162 1 2 1 2 1 2 1        8 8 162 1 2 1 2 1      16 162 1 2 1   322 1  ； （2）解：       2 4 8 163 1 3 1 3 1 3 1 3 1             2 4 8 161 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 12            2 2 4 8 161 3 1 3 1 3 1 3 1 3 12          4 4 8 161 3 1 3 1 3 1 3 12        8 8 161 3 1 3 1 3 12      16 161 3 1 3 12    321 3 12  （3） 2 2 2 2 2 1 1 1 1 11 1 1 1 1 2 3 4 49 50                                    1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 49 49 50 50                                                            3 1 4 2 5 3 50 48 51 49 2 2 3 3 4 4 49 49 50 50          L 5 1 51 2 0   51 100  7．(1) 2m  (2) a b c  【难度】0.65 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方． （1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方把各个底数都换成 2，再进行计算即可； （2）把 a、b、c换算成同指数幂，再比较底数大小即可． 【详解】（1）解：∵ 248 16 32 2m m m   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∴      3 4 5 242 2 2 2m m m   ， ∴ 3 4 5 242 2 2 2m m m   ， ∴ 3 4 5 242 2m m m   ， ∴ 12 242 2m  ， ∴12 24m  ， 解得 2m  ； （2）解：∵  3399 3 333 3 27a    ，  3366 2 334 4 16b    ， 335c  ，且27 16 5  ， ∴ 33 33 331627 5  ， ∴ a b c  ． 8．(1)1； 15 2 (2)最小值为 1 ，此时 0, 1x m  【难度】0.85 【分析】本题考查配方法的应用,能够准确配方是解决本题的关键． （1）将 2 4 5x x  进行配方得到 2( 2) 1x   ,根据题意可得出当 2x   时, 2 4 5x x  有最小值为1; 将 22 2 7x x   式子配方得到 2 1 152( ) 2 2 x   ,根据题意可得出当 1 2 x  时, 22 2 7x x   有最大值为 15 2 ; （2）将 2 2 2x mx m x m    式子配方得到 2 21 3 6 1( ) 2 4 m m mx     ,当 1 2 mx  时, 2 2 2x mx m x m    有最小值为 23 6 1 4 m m  ,再对 23 6 1 4 m m  分子进行配方得到 23( 1) 4 4 m   ,当 1m  时有最小值为 1 ,即为本题答案． 【详解】（1）解:∵ 2 2 24 5 4 4 1 ( 2) 1x x x x x         , ∵ 2( 2) 0x   , ∴ 2( 2) 1 1x    ，即 2( 2) 1x   有最小值1， ∴当 2x   时， 2( 2) 1 1x    ， 2 4 5x x  有的最小值为1； ∵ 22 1 152( ) 2 2 2 2 7x xx      ， ∵ 2 12( ) 0 2 x   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∴ 2 1 15 152( ) 2 2 2 x    ，即 2 1 152( ) 2 2 x   有最大值 15 2 ， 故答案为：1； 15 2 ； （2）解:∵ 22 2 2 2 21 3 6 1( 1) 2 ( ) 2 2 4 m m mm x mm m xx mx m x x             ， ∵ 2 1( ) 0 2 mx  ≥ ， ∴ 2 2 21 3 6 1 3 6 1( ) 2 4 4 m m m m mx       ≥ ，即 2 21 3 6 1( ) 2 4 m m mx     有最小值 23 6 1 4 m m  ， ∴当 1 2 mx  时，最小值为 23 6 1 4 m m  ， ∵ 2 23 6 1 3( 1) 4 4 4 m m m     ， ∴当 1m  时有最小值 1 ，此时 0x  , 故答案为：最小值为 1 ，此时 0, 1x m  ．