第3讲：三角形辅助线作法及分类讨论2024-2025学年苏科版数学八年级上册

三角形的常见辅助线作法及分类讨论 一、三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。 1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形． 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形． 3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。 4) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 2、 与等腰三角形有关的分类讨论 （1） 与角有关的分类讨论 （2）与边有关的分类讨论 一、三角形中常见辅助线的作法： （1）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 1. 如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：． 1. 已知为的中线，，的平分线分别交于、交于．求证：． 【例3】在中，是斜边的中点，、分别在边、上，满足．若，，则线段的长度为_________． 【例4】在中，点为的中点，点、分别为、上的点，且． （1）若，以线段、、为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？ （2）如果，求证． （2）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 【例5】如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。   求证：DE=DF。 【例6】△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。 （3）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 【例7】如图所示，已知，P为BN上一点，且于D，AB+BC=2BD，求证：。 【例8】如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证：AB-AC＞PB-PC 二、与等腰三角形有关的分类讨论 （1）与角有关的分类讨论 1．等腰三角形的一个内角是75°，它的顶角是（　　） A．30° B．75° C．30°或75° D．105° 【变式】等腰三角形的一个内角等于50°，则其他两个内角分别为（　　） A．65° 65° B．80°50° C．65°65°或80°50° D．无法确定 （2）与边有关的分类讨论 2．等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（　　） A．12cm B．15cm C．12或15cm D．18cm或36cm 【变式】若等腰三角形的一边长为5cm，周长为13cm，则这个等腰三角形的腰长为（　　） A．5cm B．4cm C．5cm或4cm D．不能确定 （3）与高有关的分类讨论 3． 一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成30°，则此等腰三角形的顶角的度数是　 　． 【变式1】等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为　 　． 【变式2】为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长为10米的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长． 【巩固练习】 1.如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（　　） A．50 B．62 C．65 D．68 2. 如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，若点O到三角形三边的距离相等，则∠AOC＝_________. 3. 如图，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且BC⊥DE.若AB＝2，CD＝6，则AE＝_______. 4．如图所示，已知在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O， 求证：AE＋CD＝AC． 5. 在四边形ABCP中，BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，且AB＋BC＝2BD. 求证：∠BAP＋∠BCP＝180°. 6. 如图：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$