第2讲：角平分线与垂直平分线的常见题型 讲义 2024—2025学年苏科版数学八年级上册

角平分线与垂直平分线的常见题型 一、角平分线的性质和判定 1、角平分线概念：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线； 2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：（1）平分线上的点；（2）点到边的距离； 3、角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上。 4、三角形的三条角平分线交于三角形内一点，并且这个点到三角形三边的距离相等． 如图：在三角形ABC中，AD是∠BAC，BE是∠ABC的角平分线，则有IH=IG=IF。 例1. 如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD= 。 例2. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（ ） A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 例3. 已知：P是∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D.求证： （1）∠PCD=∠PDC； （2）OP是CD的垂直平分线. 例4. 如图，已知△ABC的周长是21，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC 的面积是 。 知识点讲解1: 已知条件中出现角平分线时常见辅助线添加方法 方法一：角平分线向两边引垂线 方法二：角平分线截取等长造全等 方法三：作角平分线的垂线，形成等腰三角形 方法四：有角平分线时，常作一边的平行线，构造等腰三角形。（角平分线+平行线→等腰三角形.） 例5. 如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD 例6. 如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC 例7. 已知：如图，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE，求证：BD=2CE． 例8. 已知：如图，△ABC中(AB≠AC)，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥AB,交AE于点F，DF=AC. 求证：AE平分∠BAC 二、垂直平分线的性质与判定 知识点讲解2： （1） 垂直平分线概念：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。 （2） 垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。 （3） 垂直平分线的判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。 例9. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，DE垂直平分AC，则∠BDC的度数为（ ） A.80° B.75° C.60° D.45° 例10. 如图，在△BAC中，AB=AC，AB+BC=13，AB边的垂直平分线MN交AC于D，则△BCD的周长为 。 例11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB等腰三角形，则符合条件的点P共有 个． 知识点讲解3：已知条件中出现垂直平分线时，往两端连线，形成等腰三角形 例12. 如图，已知在△ABC中，O是BC的中点，D是∠BAC平分线上的一点，且DO⊥BC，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N。求证：BM=CN 例13. 已知，如图△ABC中，AB=AC,AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有（ ）个 （1）DA平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）△AED≌△AFD；（4）AD垂直平分BC A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【巩固练习】 1. 如图，∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 2. 如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，则△PDO≌△PEO的依据是（ ） A. SSS B. SAS C. AAS D. HL 3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，AB=15，CD=4，则△ABD的面积为（ ） A.19 B.28 C.30 D.60 4. 如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D’、C’的位置，若∠EFB=65°，则∠AED’等于（ ） A.50° B.55° C.60° D.65° 5. 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 6. 如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，AC的垂直平分线MN交AB、AC于点M、N．求△BCM的周长。 7. 如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； （1） 证明：CF=EB． （2） 若AF=3，CF=2。求AB的长 8. 已知，如图，AB=BC，DE=BE，且∠B=90°，ED⊥AC于D.求证：∠EAD=∠C． 9. 如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 10. 在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且BC=CD，求证∠B+∠D＝180° 1 学科网（北京）股份有限公司 $$