专题04 函数奇偶性与单调性-【中职专用】2025年“3+X证书”高考数学二轮复习专项突破（广东专用）

专题04 函数奇偶性与单调性 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 考点、题型预测 考点一：函数单调性与奇偶性定义 题型一：利用奇偶性定义求函数值※ 题型二：利用单调性定义比较函数值大小与解不等式※ 题型三：单调性与奇偶性综合求参数值 考点二：常见函数单调性与奇偶性 题型四：判断函数单调性与奇偶性※ 考点、题型突破 考点一：函数单调性与奇偶性定义 函数单调性定义： 一般地，设函数的定义域为，区间，如果 (1) 当时，，那么就称在区间上为增函数； (2) 当时，，那么就称在区间上为减函数； 函数奇偶性定义： 函数 奇函数 偶函数 定义域 关于原点对称 函数表达式 函数图象 关于原点对称 关于轴对称 注意：若是定义域为的奇函数，且，则. 题型一：利用奇偶性定义求函数值 例1．设函数是定义在上的奇函数，且，则（ ） A． B． C． D． 例2. 偶函数的图像经过点，则该函数图像也一定经过点 . 例3．已知函数为奇函数，且当时，，则等于（    ） A． B．0 C．1 D．2 例4. 已知函数，若，则的值是（    ）. A． B．4 C． D．1 【突破训练】 1．若函数为上的偶函数，且，则（    ） A． B．3 C．2 D． 2．函数是奇函数，的图象经过点，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在定义域上是奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 题型二：利用单调性定义比较函数值大小与解不等式 例1．已知函数）是减函数，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 例2. 已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．已知函数在定义域内单调递减，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【突破训练】 1．已知函数在上为增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．若在上是增函数，则的解集为 . 3．函数是定义域在上的增函数，且，则实数的取值集合是 ． 题型三：单调性与奇偶性综合求参数值 例1．设为偶函数，当时，则使的x取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 例2. 已知偶函数在区间上单调递增，若满足，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【突破训练】 1．已知偶函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为 . 2．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 考点二：常见函数的单调性与奇偶性 （1）一次函数与反比例函数单调性：和0比大小 ①一次函数：， 时在R上单调递增，时在R上单调递减 ②反比例函数：的定义域是，图象是两条曲线. 时，函数在上单调递减； 时，函数在上单调递增. （2）二次函数的单调性：看开口方向与对称轴 图象 定义域 开口方向 向上 向下 对称轴 单调性 在单调递减； 在单调递增. 在单调递增； 在单调递减. （3）指数函数与对数函数单调性：和1比大小 ③指数函数：， 时，函数在R上单调递增，时，函数在R上单调递减 ④对数函数： 时，函数在上单调递增，时，函数在上单调递减. （4）常见函数奇偶性质记忆 （1） （其中和为不为零的常量） （2）非奇非偶函数： ，，， 题型四：判断函数的单调性与奇偶性 例1．下列函数中，在上是减函数是（    ） A． B． C． D． 例2．下列函数为奇函数的是（  ） A． B． C． D． 例3．在定义域内，下列函数既是奇函数，又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 例4．已知函数，则此函数的单调减区间为 ． 【突破训练】 1．下列函数中，在其定义域上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中在定义域内既是增函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．函数 的单调递增区间是 ． 模拟演练 1．已知函数在区间上是偶函数，，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．已知函数在上是奇函数，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知函数为偶函数，且，若，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 4．已知函数为上奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．1 D．3 5．已知函数在区间内是减函数，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在上是减函数，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 8．设是定义在上的偶函数，已知当时，，则（    ） A．7 B． C． D．5 9．在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 10．下列函数在区间上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 11．在定义域内，下列函数既是奇函数，又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 12．下列函数在定义域上为单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 13．已知偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 14．已知偶函数在上单调递减，且，，则实数x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 15．已知偶函数在上单调递增，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 16．已知函数是上的单调增函数，若，则的取值范围 ． 17．已知是定义在上的减函数，且，求实数的范围. 18．设函数在上是减函数，且，求的取值范围． 19．函数的减区间是 . 20．已知二次函数，若是偶函数，则实数的值为 . $$专题04 函数奇偶性与单调性 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 考点、题型预测 考点一：函数单调性与奇偶性定义 题型一：利用奇偶性定义求函数值※ 题型二：利用单调性定义比较函数值大小与解不等式※ 题型三：单调性与奇偶性综合求参数值 考点二：常见函数单调性与奇偶性 题型四：判断函数单调性与奇偶性※ 考点、题型突破 考点一：函数单调性与奇偶性定义 函数单调性定义： 一般地，设函数的定义域为，区间，如果 (1) 当时，，那么就称在区间上为增函数； (2) 当时，，那么就称在区间上为减函数； 函数奇偶性定义： 函数 奇函数 偶函数 定义域 关于原点对称 函数表达式 函数图象 关于原点对称 关于轴对称 注意：若是定义域为的奇函数，且，则. 题型一：利用奇偶性定义求函数值 例1．设函数是定义在上的奇函数，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据奇函数的性质求出的值，以及，代入等式即可求出所求． 【详解】∵函数是定义在上的奇函数， 则，且， ∴. 故选：D. 例2. 偶函数的图像经过点，则该函数图像也一定经过点 . 【答案】 【分析】根据偶函数的性质分析，即可求解. 【详解】∵的图像经过点，∴. 而是偶函数，∴，即. ∴该函数图像也一定经过点. 故答案为：. 例3．已知函数为奇函数，且当时，，则等于（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】先求的值，然后根据可求 【详解】时，，． 又为奇函数， ． 故选：. 例4. 已知函数，若，则的值是（    ）. A． B．4 C． D．1 【答案】C 【分析】由与之间的关系即可求解. 【详解】因为且， 所以， 所以. 故选:C. 【突破训练】 1．若函数为上的偶函数，且，则（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义即可求值. 【详解】已知函数为上的偶函数， 所以有，且， 所以. 故选：B. 2．函数是奇函数，的图象经过点，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的概念求解. 【详解】函数是奇函数，故，且函数关于原点对称. 而的图象经过点，故. 故，. 综上，A选项正确. 故选：A. 3．已知函数在定义域上是奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质分析，进而根据题意计算即可. 【详解】因为函数在定义域R上是奇函数， 所以， 又当时，， 所以. 故选：B. 题型二：利用单调性定义比较函数值大小与解不等式 例1．已知函数）是减函数，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性比较函数值的大小. 【详解】）是减函数， 对A，，A错误； 对B，，B错误； 对C，，C错误； 对D，，D正确. 故选：D. 例2. 已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数是定义在上的增函数，且，转化为具体不等式，即可求实数a的取值范围． 【详解】∵是定义在上的增函数，且， ∴，解得， 则a的取值范围为. 故选：A． 例3．已知函数在定义域内单调递减，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性把不等式化为不等式组，求解该不等式组即可. 【详解】因为函数在定义域内单调递减，且， 所以， 解得， 故的取值范围是，因此选项A正确. 故选：A. 【突破训练】 1．已知函数在上为增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性比较函数值的大小即可. 【详解】因为函数在上为增函数，又因为， 所以. 故选：A. 2．若在上是增函数，则的解集为 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性的概念即可求解. 【详解】由题意得，因为在上是增函数，且. 所以，解得，即解集为. 故答案为：. 3．函数是定义域在上的增函数，且，则实数的取值集合是 ． 【答案】 【分析】根据函数的定义域和单调性，列出不等式组，进行求解. 【详解】由题意得，. 综上，. 故答案为：. 题型三：单调性与奇偶性综合求参数值 例1．设为偶函数，当时，则使的x取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据偶函数的对称性和函数单调性作出图像即可解得. 【详解】当时，单调递增， 又 为偶函数，图像关于轴对称，故可以作出的图像如图所示： 即，时，单调递减， ∴或， 根据奇偶性和单调性可知的取值范围为：或， 故选：C． 例2. 已知偶函数在区间上单调递增，若满足，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用偶函数的单调性进行求解. 【详解】因为是偶函数，且在区间上单调递增， 所以， 所以由等价于， 又 所以， 因此，的取值范围. 故选：B. 【突破训练】 1．已知偶函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据偶函数图像的对称性可知等价于，再根据单调性列不等式求解即可. 【详解】由题意，函数为偶函数，图像关于轴对称， 则有， 所以， 又在上单调递减， 则由，可得， 所以，解得. 故答案为：. 2．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出函数的大致图像，再结合已知条件进行观察即可求解. 【详解】依题意，函数是定义在上的偶函数， 且在上单调递减，在上递增，， 画出的大致图象如下图所示， 由图可知，不等式的解集为. 故选：A. 考点二：常见函数的单调性与奇偶性 （1）一次函数与反比例函数单调性：和0比大小 ①一次函数：， 时在R上单调递增，时在R上单调递减 ②反比例函数：的定义域是，图象是两条曲线. 时，函数在上单调递减； 时，函数在上单调递增. （2）二次函数的单调性：看开口方向与对称轴 图象 定义域 开口方向 向上 向下 对称轴 单调性 在单调递减； 在单调递增. 在单调递增； 在单调递减. （3）指数函数与对数函数单调性：和1比大小 ③指数函数：， 时，函数在R上单调递增，时，函数在R上单调递减 ④对数函数： 时，函数在上单调递增，时，函数在上单调递减. （4）常见函数奇偶性质记忆 （1） （其中和为不为零的常量） （2）非奇非偶函数： ，，， 题型四：判断函数的单调性与奇偶性 例1．下列函数中，在上是减函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对各选项函数单调性分析即可判断. 【详解】A选项的反比例函数的定义域为，不符题意. B选项的正弦函数在上是减函数 ，不符题意. C选项的对数函数在上是增函数，不符题意. D选项的函数化简为，是底数为的指数函数，在上是减函数，符合题意. 故选：D. 例2．下列函数为奇函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义逐个判断即可. 【详解】已知的定义域为，令， 则，所以为偶函数不是奇函数，故A错误. 已知的定义域为，令， 则，所以为偶函数不是奇函数，故B错误. 已知的定义域为关于原点对称，令， 则，所以为奇函数，故C正确. 已知的定义域为，令， 则，所以为偶函数不是奇函数，故D错误. 故选：C. 例3．在定义域内，下列函数既是奇函数，又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性即可解得. 【详解】选项A：函数为定义域上的偶函数，在上单调递减，在上单调递增，错误. 选项B：函数为定义域上的奇函数，在上单调递增，错误. 选项C：函数为定义域上的奇函数，在上单调递减，正确. 选项D：函数为定义域上的奇函数，但不单调，错误. 故选：C 例4．已知函数，则此函数的单调减区间为 ． 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再由开口方向结合对称轴即可得出结论. 【详解】已知函数， 其中，图像开口向上， 且对称轴为， 所以此函数的单调减区间为. 故答案为：. 【突破训练】 1．下列函数中，在其定义域上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出几种常见函数的定义域并逐个分析单调性即可. 【详解】为一次函数，定义域为，其中， 所以在定义域上为增函数，故A错误. 为二次函数，定义域为，其中二次项系数，图像开口向上， 对称轴为，所以在在减函数，在为增函数，故B错误. 为对数函数，定义域为，其中底数， 所以在定义域上为增函数，故C错误. 为指数函数，定义域为，其中底数， 所以在定义域上为减函数，故D正确. 故选：D. 2．下列函数中在定义域内既是增函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合即可得答案. 【详解】选项A：函数为幂函数，其定义域是，在定义域内既是奇函数又是增函数，符合题意，故A正确； 选项B：函数为二次函数，其定义域是，且一次项系数， 所以它为偶函数不是奇函数，故B错误； 选项C：函数为一次函数，其定义域是，且， 所以它在定义域内为增函数，但既不是奇函数也不是偶函数，故C错误； 选项D：函数为反比例函数，虽然， 但它在定义域内不是单调递增的，故D错误. 故选：A. 3．函数 的单调递增区间是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数单调性即可解得. 【详解】由题，函数图像为开口向上的抛物线，对称轴为， 则其单调增区间为. 故答案为：. 模拟演练 1．已知函数在区间上是偶函数，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义求值即可. 【详解】∵函数在区间上是偶函数，∴，∴. 故选：D. 2．已知函数在上是奇函数，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质即可得解. 【详解】因为在上是奇函数，则， 又，所以，即. 故选：A. 3．已知函数为偶函数，且，若，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据偶函数的概念和已知条件即可求解. 【详解】因为函数为偶函数， 所以， 又因为， 则. 故选：C. 4．已知函数为上奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】因为函数为上的奇函数，时，. 所以. 故选：C. 5．已知函数在区间内是减函数，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性即可求解. 【详解】函数在区间内是减函数， 对A：因为，所以，故A项错误； 对B：因为，所以，故B项正确； 对C：因为，所以不成立，故C项错误； 对D：因为，所以，故D项错误. 故选：B. 6．已知函数在上是减函数，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数为减函数，由函数值随自变量的增大而减小判断选项即可. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以函数值随自变量的增大而减小， 因为， 所以. 故选:A. 7．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用构造法，令=，从而可得为奇函数，直接可计算，从而得到. 【详解】令， 则， 所以在上为奇函数， 因为，当时，， 所以， 所以. 故选：. 8．设是定义在上的偶函数，已知当时，，则（    ） A．7 B． C． D．5 【答案】A 【分析】由已知函数式求出，再根据偶函数的定义可求. 【详解】因为当时，， 所以. 又因为是定义在上的偶函数， 所以. 故选：A 9．在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几个常见函数的单调性逐个分析即可. 【详解】为指数函数，其中， 所以在为增函数，故A错误. 为反比例函数，在区间上是减函数，故B正确. 为二次函数，对称轴为，图像开口向上， 所以 在为增函数，故C错误. 为对数函数，其中， 所以在为增函数，故D错误. 故选：B. 10．下列函数在区间上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几种常用函数的单调性即可求解 【详解】对于A，一次函数在R上单调递增，A不是； 对于B，反比例函数在上单调递减，B是； 对于C，指数函数在R上单调递增，C不是； 对于D，对数函数在上单调递增，D不是. 故选：B 11．在定义域内，下列函数既是奇函数，又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的解析式判断其奇偶性或单调性即可得解. 【详解】对于A，一次函数的定义域为，它在上单调递减， 又，所以是奇函数，故A正确； 对于B，二次函数在上单调递增，故B错误； 对于C，反比例函数在上单调递减，故C错误； 对于D，对于，有，则其定义域为，不关于原点对称，故D错误. 故选：A. 12．下列函数在定义域上为单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数、对数函数、一次函数与正弦函数的单调性即可得解. 【详解】对于A项，指数函数的底数为，所以它在其定义域上单调递减，故选项A错误； 对于B项，对数函数的底数为e，所以它在其定义域上单调递增，故选项B正确； 对于C项，一次函数的一次项系数为，所以它在其定义域上单调递减，故选项C错误； 对于D项，正弦函数在其定义域上有增有减，故选项D错误. 故选：B 13．已知偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数和单调性的应用即可得解. 【详解】因为偶函数在区间上单调递增，所以在上单调递减， 因为，， 所以当时，，当时，， 即，解得， 所以解集为， 故选：. 14．已知偶函数在上单调递减，且，，则实数x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数为偶函数，且， 所以不等式可化为， 又因为函数在上单调递减， 所以， 解得. 故答案为：B. 15．已知偶函数在上单调递增，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质可得，在上单调递减.进而分类求解不等式即可. 【详解】因为偶函数在上单调递增，且. 所以在上单调递减，且. 又因为. 所以或. 解得或. 所以不等式的解集为. 故选：C. 16．已知函数是上的单调增函数，若，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据函数单调性求解. 【详解】∵函数是上的单调增函数, ∴由可得： 解得：. 故答案为: . 17．已知是定义在上的减函数，且，求实数的范围. 【答案】 【分析】由函数单调性的定义求解即可. 【详解】因是定义在上的减函数，且， 所以实数满足不等式组，解得， 即实数的范围是 18．设函数在上是减函数，且，求的取值范围． 【答案】 【分析】由减函数的概念即可求解a的取值范围. 【详解】在上是减函数， 且， 所以，解得， 所以的取值范围为． 19．函数的减区间是 . 【答案】 【分析】利用二次函数的性质即可得解. 【详解】因为的图象开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的减区间是. 故答案为：. 20．已知二次函数，若是偶函数，则实数的值为 . 【答案】0 【分析】由偶函数的性质即可得解. 【详解】二次函数的定义域为R， 因为 是偶函数，所以恒成立， 所以， 解得，经验证满足题意. 故答案为：0． $$