专题04 指数函数与对数函数（5大考点）-【中职专用】2025年技能高考数学二轮复习专项突破（湖北专用）

专题04 指数函数与对数函数 考纲解析 · 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 · 有理数指数幂 · 实数指数幂及其运算法则 · 指数函数的图像和性质 · 对数的概念（含常用对数、自然对数） · 积、商、幂的对数 · 对数函数的图像和性质 · 指数函数与对数函数的实际应用 考点预测 · 有理数指数幂的运算 · 指数函数图像及性质运用 · 对数函数图像及性质运用 要点自测 知识点01 n次方根，n次根式 （1）．n次方根，n次根式 1.a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. （2）二.根式的性质 ①负数没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0，记作＝0. ③.()n＝a(n∈N*，且n>1). ④.＝a(n为大于1的奇数). ⑤.＝|a|＝(n为大于1的偶数). · （    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知，，则 ． 知识点02 指数函数的定义及特征 （1）指数函数的概念 定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. （2）指数函数三个特征： (1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1. · 已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【变式探究】下列函数是指数函数的序号为 ．（请填入全部正确的序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤． 知识点03 指数函数的图像与性质 （1）指数函数图像与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x＞0时，y＞1 当x＞0时，0＜y＜1 当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称 · 函数（，且）的图象过的定点是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】指数函数在上是严格减函数，则的取值范围是 ． 知识点04 对数的概念与性质 1、对数的概念：如果（且），那么数x叫做以a为底N的对数，记作， 其中a叫作对数的底数，N叫作真数． 2、常用对数与自然对数 名称 定义 记法 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 自然对数 以无理数为底的对数称为自然对数 3、对数的性质 （1）当，且时，； （2）负数和0没有对数，即； （3）特殊值：1的对数是0，即0（，且）； 底数的对数是1，即（，且）； （4）对数恒等式：； （5）． 4、对数的运算性质：,且， （1）； （2）； （3） · 若（且），则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】若，则 ． 知识点05 对数函数的图象与性质 图象和性质 a>1 0<a<1 图象     性质 (1)定义域:(0,+∞) (2)值域:R (3)过定点(1,0),即x=1时,y=0 (4)当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0 (4)当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0 (5)在定义域(0,+∞)上是增函数 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大; 当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大 (5)在定义域(0,+∞)上是减函数 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大; 当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大 · 已知，则等于（   ） A． B． C．1 D．2 【变式探究】函数的图象恒过定点 . 模拟演练 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（    ） A． B． C． D．2 6．如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题 7．函数且的图象必过定点 ． 8．根式写成指数幂形式为 ． 9．计算： . 10． ． 11．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则 . 三、解答题 12．计算下列各式的值： (1) (2) 13．求下列函数的定义域： (1)； (2)． 14．求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． $$专题04 指数函数与对数函数 考纲解析 · 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 · 有理数指数幂 · 实数指数幂及其运算法则 · 指数函数的图像和性质 · 对数的概念（含常用对数、自然对数） · 积、商、幂的对数 · 对数函数的图像和性质 · 指数函数与对数函数的实际应用 考点预测 · 有理数指数幂的运算 · 指数函数图像及性质运用 · 对数函数图像及性质运用 要点自测 知识点01 n次方根，n次根式 （1）．n次方根，n次根式 1.a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. （2）二.根式的性质 ①负数没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0，记作＝0. ③.()n＝a(n∈N*，且n>1). ④.＝a(n为大于1的奇数). ⑤.＝|a|＝(n为大于1的偶数). · （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将根式转化为指数式，化简可得解. 【详解】， 故选：B. 【变式探究】已知，，则 ． 【答案】3 【分析】利用指数的运算法则计算即可. 【详解】由题可知 故答案为：3 知识点02 指数函数的定义及特征 （1）指数函数的概念 定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. （2）指数函数三个特征： (1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1. · 已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【分析】先求得的解析式，进而求得. 【详解】设且， 将代入得， 解得，所以， 所以. 故选：C 【变式探究】下列函数是指数函数的序号为 ．（请填入全部正确的序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤． 【答案】②③⑤ 【分析】根据指数函数的定义判断即可. 【详解】形如且的函数叫做指数函数， 因此②③⑤对. 故答案为：②③⑤. 知识点03 指数函数的图像与性质 （1）指数函数图像与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x＞0时，y＞1 当x＞0时，0＜y＜1 当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称 · 函数（，且）的图象过的定点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的图象过定点，从而可求解. 【详解】由指数函数的图象过定点， 所以函数的图象过定点，故C正确. 故选：C. 【变式探究】指数函数在上是严格减函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用指数函数的性质，即可求出结果. 【详解】因为指数函数在上是严格减函数，所以，得到， 故答案为：. 知识点04 对数的概念与性质 1、对数的概念：如果（且），那么数x叫做以a为底N的对数，记作， 其中a叫作对数的底数，N叫作真数． 2、常用对数与自然对数 名称 定义 记法 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 自然对数 以无理数为底的对数称为自然对数 3、对数的性质 （1）当，且时，； （2）负数和0没有对数，即； （3）特殊值：1的对数是0，即0（，且）； 底数的对数是1，即（，且）； （4）对数恒等式：； （5）． 4、对数的运算性质：,且， （1）； （2）； （3） · 若（且），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的定义将指数化为对数. 【详解】因为（且），所以. 故选：A. 【变式探究】若，则 ． 【答案】8 【分析】利用指数式与指数式互化关系及对数运算计算即得. 【详解】依题意，，所以． 故答案为：8 知识点05 对数函数的图象与性质 图象和性质 a>1 0<a<1 图象     性质 (1)定义域:(0,+∞) (2)值域:R (3)过定点(1,0),即x=1时,y=0 (4)当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0 (4)当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0 (5)在定义域(0,+∞)上是增函数 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大; 当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大 (5)在定义域(0,+∞)上是减函数 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大; 当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大 · 已知，则等于（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，逐次判断代入计算即得. 【详解】函数，则， 所以. 故选：B 【变式探究】函数的图象恒过定点 . 【答案】 【分析】根据对数的性质即可令求解. 【详解】令，解得，所以， 故函数的图象恒过定点， 故答案为： 模拟演练 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解绝对值不等式与指数不等式可化简集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】， 由指数函数的性质可得， 所以. 故选：D. 2．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数、对数函数单调性即可得解. 【详解】. 故选：B. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指对数互化、对数的运算性质和换底公式计算找到关系式； 【详解】因为，所以， ，故. 故选：A. 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数运算求得正确答案. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 5．（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用对数的运算法则即可得解. 【详解】. 故选：C. 6．如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】由函数解析式确定其图象所过的定点，结合单调性确定对应的图形即可. 【详解】依题意，函数的图象分别过定点， 它们分别对应图③②①，因此④不属于给定的三个函数之一. 故选：D 二、填空题 7．函数且的图象必过定点 ． 【答案】 【分析】令，求得和的值，从而求得函数且恒过定点的坐标． 【详解】令，求得，且， 故函数且恒过定点. 故答案为：． 8．根式写成指数幂形式为 ． 【答案】 【分析】由指数幂的定义改写,注意化简． 【详解】, 故答案为：. 9．计算： . 【答案】9 【分析】利用对数的运算性质计算即可. 【详解】由题意可得：. 故答案为：9. 10． ． 【答案】1 【分析】结合指数、对数运算求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 11．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则 . 【答案】 【分析】根据奇函数有求参数，再由奇函数性质求函数值即可. 【详解】由题意，，则时有， 所以. 故答案为： 三、解答题 12．计算下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）应用指数的运算规则，包括负指数、分数指数以及根号与指数的转换，将每个部分化简到最基础的形式，从而可得出结果； （2）利用对数的性质，以及换底公式，将各个对数项转换为同底数对数相加或相减的形式，再进行计算即可. 【详解】（1）由题意可得，，， ，，将上述结果代入原式，可得： ； （2）由对数的运算性质可得， 因为，则， 因为，则 ； 且， 将上述结果代入原式，可得： . 胡最终计算得到：. 13．求下列函数的定义域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数定义域即可得到答案； （2）根据分母不等于0即可得到答案. 【详解】（1）因为，所以其定义域为. （2）由题得，则其定义域为. 14．求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先由对数式中的真数大于零，然后分母不能为零，即可得到答案. （2）先由根式内部的代数式大于等于零，然后对数式中的真数大于零，即可得到答案； （3）根据对数式中的真数大于零，即可得到答案； （4）根据对数真数大于零底数大于零且不等于，即可得到答案； 【详解】（1）要使函数式有意义，需满足，解得且， ∴函数的定义域是； （2）要使函数式有意义，需满足，即，解得， ∴所求函数的定义域是； （3）要使函数式有意义，需满足，解得， ∴所求函数的定义域是； （4）要使函数式有意义，需满足，解得且， ∴所求函数的定义域是． $$