第02讲 特殊角三角函数值及其应用（5大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（北师大版）

第03讲 特殊角三角函数值及其应用 课程标准 学习目标 知道 30°，45°，60°角的三角函数值． 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角． 1.能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算 利用30°，45°，60°角的正切值、正弦值、余弦值解决问题； 2.经历用计算器由已知锐角求三角函数值及由三角函数值求相应的锐角的过程，能够运用计算器进行有关三角函数的计算； 3.能够运用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题． 知识点一：特殊角的三角函数值 30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；【即学即练】 1．的值等于（   ） A．1 B． C． D． 2．下列三角函数值是有理数的是（   ） A． B． C． D． 3．的值等于 （　　） A． B． C． D． 4．下列四个数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 5．的值等于 ． 6．计算：． 题型01 已知三角函数值求角度 例：在中，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 8．在中，，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 9．已知α为锐角，且，则α等于 ． 10．在中，，则 ． 题型02 直接利用特殊角三角函数值进行计算 例：计算 (1)； (2) 12．计算： (1)； (2)． 13．计算：． 14．先化简，再求值：，其中． 15．（1）计算：； （2）计算：． 16．求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 题型03 利用计算器计算三角函数值 例：如图，在中，，若用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 18．某款科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（    ） A． B． C． D． 19．如图，在中，，，．若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 20．如图，利用课本上的计算器讲行计算，其按键顺序及结果有错误的是（    ） A．按键的结果为0.064 B．  按键的结果为0.5 C．  按键的结果为 D．  按键的结果为0.3 21．若tan，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（    ） A．     B．   C．   D．   22．用计算器计算： ， （精确到． 题型04 利用特殊角三角函数值判定三角形形状 例：如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 24．在中，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 25．在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 26．在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 27．在中，若，则的度数为 ． 28．在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 题型05 特殊角三角函数值的综合应用 例：爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为，则他耗能（　　）（参考数据：，） A． B． C． D． 30．已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．如图所示，已知在三角形纸片中，，，．在上取一点，沿进行翻折，使与延长线上的点重合，则的长度为（     ） A． B． C． D． 32．如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，点A，B在x轴上，且，交y轴于点C，．若的面积是2，则k的值是（   ） A． B．2 C．1 D． 33．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，与关于直线对称，反比例函数（，）的图象经过的中点，则的值为 ．    34．如图，的顶点在由大小相同的正方形组成的网格的格点上，则的值为 ． 35．如图，在矩形中，是上一点，，，则的度数是 ． 36．已知为锐角． （）若，则 ； （）若，则 ； （）若，则 ． 37．（1）； （2）． （3）如图所示，在四边形中，，，，，，求的长．    38．综合与实践 主题：用折纸折出特殊角 素材：一张矩形纸片． 步骤1：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 步骤2：如图2，再一次折叠纸片，使点D落在上的点处，折痕为． (1)直接写出的度数； (2)证明（1）中你发现的结论． （建议用时45分钟） 39．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 40．如图，在中，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与交于两点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线与交于点；分别以为圆心，以大于的长为半爸作弧，两弧交于点，连接与交于点，连接．若，则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D．的周长为 41．题目“在中，，，，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：或，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．只有丙答的对 D．乙、丙合在一起才完整 42．在综合实践活动课上，老师以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．如图，下面是小星的操作步骤：第一步：将正方形纸片对折，使得与重合，展开铺平，折痕为．第二步：将正方形纸片再沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，展开铺平，折痕与交于点，连接，则的值为 ． 43．如图，这是一款升降电脑桌，它的升降范围是，图是它的示意图，已知，点、在上滑动，点、在上滑动，、相交于点，.（结果精确到） (1)如图，当从增加到时，这款电脑桌升高了多少？ (2)当电脑桌从图位置升到最大高度（如图）时，求的大小及点滑动的距离.（参考数据：，，，，） 44．如图，在中，分别是的中点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的面积． 45．如图，中，平分，E为上一点，， (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 46．如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数． 47．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴轴于A，B两点，点A的坐标为，，过点B的直线与x轴交于点． (1)求直线的解析式及点C的坐标； (2)点D是直线上一点，当的面积为3时，求点D的坐标； (3)点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由． 48．中，． (1)如图， 求证： ； (2)如图， 点位置如图所示，，连接，求证：； (3)如图，在（）的条件下，点 在 上，连接，， 若 ，， 求的长． 49．【问题发现】 （1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：“如图1 所示， 是等腰直角三角形，，，点D在上，连接，探究，，之间的数量关系．”王林思考片刻之后，利用手拉手模型解答问题如下： 图示 思路    将线段绕点 逆时针旋转得线段，连接，，易证，得到，，在 中，易得 ，由，得，， 之间的数量关系为_______． 【类比分析】 （2）如图2所示，当点在线段的延长线上时，请问（1）中的结论还成立吗？请给出判定，并写出你的推导过程； 【拓展延伸】 （3）若（1）中的点 在射线上，且 请直接写出的度数．             试卷第2页，共42页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 特殊角三角函数值及其应用 课程标准 学习目标 知道 30°，45°，60°角的三角函数值． 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角． 1.能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算 利用30°，45°，60°角的正切值、正弦值、余弦值解决问题； 2.经历用计算器由已知锐角求三角函数值及由三角函数值求相应的锐角的过程，能够运用计算器进行有关三角函数的计算； 3.能够运用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题． 知识点一：特殊角的三角函数值 30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； 【即学即练】 1．的值等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角构造直角三角形计算即可． 【详解】解：如图，中，，，则，， ∴， 故选：C． 2．下列三角函数值是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，有理数．熟练掌握特殊角的三角函数值，有理数是解题的关键．分别求出各选项中特殊角的三角函数值，然后进行判断即可． 【详解】解：由题意知，A中，是无理数，故不符合要求； B中，是有理数，故符合要求； C中，是无理数，故不符合要求； D中，是无理数，故不符合要求； 故选：B． 3．的值等于 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】解：根据特殊角的三角函数值可知：． 故选：C． 4．下列四个数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的比较大小，特殊角的三角函数值，解题的关键是两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小来进行比较即可． 【详解】解： ∴， 故选：D． 5．的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，牢记常见角的三角函数值成为解题的关键． 直接根据特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 6．计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，根据绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值即可得出答案 【详解】原式 题型01 已知三角函数值求角度 例：在中，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，先根据正切值求出的度数，根据直角三角形的性质得到的度数，再根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴．                                 ∵， ∴，                        ∴． 故选B． 8．在中，，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数求出，然后利用三角形内角和定理求出，然后利用角的余弦值求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9．已知α为锐角，且，则α等于 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查特殊角度三角函数，根据求解即可． 【详解】∵，， ∴， 解得， 故答案为：． 10．在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查特殊三角函数值，利用求出，则即可求解． 【详解】解：在中，， ， ， 故答案为：． 题型02 直接利用特殊角三角函数值进行计算 例：计算 (1)； (2) 【答案】(1)； (2)2． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键． （1）代入特殊角的三角函数值计算即可． （2）根据零指数幂，整数指数幂的定义和特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： ， ， ． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了含有特殊角的三角函数的实数的运算，正确化简计算每一项是解题的关键． （1）根据二次根式的性质和零指数幂和特殊角的三角函数值化简，再进行加减计算； （2）分别化简计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值和化简绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．先根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的性质化简，再算加减即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝． 14．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，三角函数的混合运算，先利用分式的性质和运算法则对分式进行化简，再根据特殊角的三角函数值求出的值，最后代入化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式和求出的值是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式． 15．（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，即可得出计算结果； （2）根据特殊角三角函数值，二次根式的性质，零指数幂以及负整数指数幂即可得出计算结果． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算等知识点，熟知相关运算法则以及特殊角的三角函数值是解本题的关键． 16．求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了实数的运算； （1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （3）根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值计算即可得到结果． （4）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 题型03 利用计算器计算三角函数值 例：如图，在中，，若用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形，用计算器计算三角函数值，先解直角三角形得到，再根据科学计算器的计算方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴用科学计算器求的长的按键顺序为： ； 故选D． 18．某款科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用计算器计算锐角三角函数值，根据计算器计算出的结果即可得出答案． 【详解】解：使用计算器计算得：， ∴显示的结果在之间， 故选：B． 19．如图，在中，，，．若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正切函数值求边长，涉及计算器的使用，根据题意，得到，借助科学计算器求解即可得到答案，熟记正切函数值求边长的方法及科学计算器的使用是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，，，则， 边的长为， 若用科学计算器求边的长，则按键顺序正确， 故选：D． 20．如图，利用课本上的计算器讲行计算，其按键顺序及结果有错误的是（    ） A．按键的结果为0.064 B．  按键的结果为0.5 C．  按键的结果为 D．  按键的结果为0.3 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学计算器的使用，解题的关键是熟练掌握和了解科学计算器各个按键的含义． 根据计算器按键，写出式子，进行计算判定即可． 【详解】 解：A、按键的结果为，正确，故此选项不符合题意； B、  按键的结果为，正确，故此选项不符合题意； C、  按键的结果为，原计算结果错误，故此选项符合题意； D、  按键的结果为，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 21．若tan，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了计算器的使用方法，牢记计算器的按键顺序是解题的关键； 首先找到的按键符号，即键，然后根据键的使用方法，结合题目，即可得出答案． 【详解】在计算器中按下，然后找到的按键符号，即键 按下键，再按键，A项符合题意 故选：A． 22．用计算器计算： ， （精确到． 【答案】 0.57 0.81 【分析】利用计算器计算，再依据近似数确定结果即可得．本题要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能． 【详解】解：，， 故答案为：0.57，0.81． 题型04 利用特殊角三角函数值判定三角形形状 例：如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握根据三角函数值确定三角形的形状是解此题的关键． 根据特殊角的三角函数值，直接得出，的角度即可解答． 【详解】解：， ， 是等腰直角三角形． 故选C． 24．在中，若，则是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理等知识点，先由非负数的性质得出，，根据三角函数求得，的度数，然后根据三角形内角和定理，求得的度数，从而确定三角形的形状，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 【详解】∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， 故选：D． 25．在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 26．在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定． 【详解】解：， ，， 即，， ， 即为直角三角形， 故选：D． 27．在中，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查特殊角三角函数值的问题，绝对值和平方的非负性． 根据题意得出，进而得出，根据三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， ， 故答案为：． 28．在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 题型05 特殊角三角函数值的综合应用 例：爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为，则他耗能（　　）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．根据特殊角三角函数值计算求解． 【详解】解： ， 故选：B． 30．已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意∶当角是锐角时，其正弦和正切随角度的增大而增大，余弦随角度的增大而减小；根据三角函数的增减性求解即可； 【详解】解：是锐角， ， ，，， ， 故选：A； 31．如图所示，已知在三角形纸片中，，，．在上取一点，沿进行翻折，使与延长线上的点重合，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得，，根据轴对称的性质可得，在和中运用三角函数求解即可． 【详解】解：，，， ， ，， 根据轴对称的性质可知： ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，含角的直角三角形，特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 32．如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，点A，B在x轴上，且，交y轴于点C，．若的面积是2，则k的值是（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，等边三角形的确定、三角形中线平分面积是解题关键．连接，作轴于D，根据三角形中线平分面积求出三角形的面积，再求证出三角形是等边三角形，再利用反比例函数的几何意义求出k即可． 【详解】解：连接，作轴于D， 的面积是2，， 的面积为2， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ∵， ∴， ， ， ， ∵反比例函数的图象位于第一象限， ． 故选：C． 33．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，与关于直线对称，反比例函数（，）的图象经过的中点，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定．过点B作轴，根据题意得出，，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性质得出，，利用各角之间的关系，确定，B，D三点共线，结合图形确定，然后代入反比例函数解析式即可． 【详解】解：如图，过点B作轴，   ，，， ，， ，， ，， ，， 与关于直线对称， ，， ， ，B，三点共线， ， ， ， ， 将其代入，得：， 故答案为：． 34．如图，的顶点在由大小相同的正方形组成的网格的格点上，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了网格与勾股定理，余弦值的计算，根据题意，运用网格与勾股定理，等面积法求值点到的距离（即垂线），构造出直角三角形，再根据余弦值的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作与点， ∴，且点到的距离（高）为， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为： ． 35．如图，在矩形中，是上一点，，，则的度数是 ． 【答案】/15度 【分析】首先根据题意得到，求出，然后根据三角形内角和定理和等边对等角求解即可． 【详解】∵， ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解直角三角形，矩形的性质，三角形内角和定理和等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 36．已知为锐角． （）若，则 ； （）若，则 ； （）若，则 ． 【答案】 /60度 /30度 /30度 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答； （2）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答； （3）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答． 【详解】解：（1），，为锐角， ； （2）， ， ，为锐角， ； （3），，为锐角， ， ． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 37．（1）； （2）． （3）如图所示，在四边形中，，，，，，求的长．    【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值和二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据特殊角的三角函数值和二次根式混合运算法则进行计算即可； （3）延长，交于点E，根据四边形内角和得出，根据含角的直角三角形性质得出，，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． （3）解：如图，延长，交于点E，    在四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，勾股定理，直角三角形的性质，二次根式混合运算，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键． 38．综合与实践 主题：用折纸折出特殊角 素材：一张矩形纸片． 步骤1：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 步骤2：如图2，再一次折叠纸片，使点D落在上的点处，折痕为． (1)直接写出的度数； (2)证明（1）中你发现的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】此题考查了折叠的性质和特殊角的三角函数． （1）根据题意写出答案即可； （2）根据折叠的性质和特殊角的三角函数进行证明即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：证明：由折叠的性质可知， ，， ∴ ∴， ∴ ∴． （建议用时45分钟） 39．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，根据锐角三角函数值确定锐角的度数等．先根据点的坐标得出，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得的值，根据锐角三角函数值得出，结合旋转得出，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 在中，， 即， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， 在中，． 故选：C． 40．如图，在中，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与交于两点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线与交于点；分别以为圆心，以大于的长为半爸作弧，两弧交于点，连接与交于点，连接．若，则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D．的周长为 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，根据等腰三角形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得．故选项A不符合题意；根据三角函数的定义得到，故选项B符合题意；根据线段垂直平分线的性质得到，得到，求得，故选C不符合题意；根据三角形的周长公式得到的周长为． 【详解】解：根据作图过程可知：平分， ， ，，， ， ， ． 故选项A不符合题意； ， ， 故选项B符合题意； 根据作图过程可知：是的垂直平分线， ， ， ， ， 故选C不符合题意； ， ， 的周长，故选项D不符合题意； 故选：B． 41．题目“在中，，，，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：或，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．只有丙答的对 D．乙、丙合在一起才完整 【答案】C 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质以及勾股定理的应用，运用分类讨论的思想，由题意，画出图形，有两种情况．利用含角的直角三角形的性质可得出，勾股定理得出，进一步可得出，，则可得出或． 【详解】解：由题意，画出图形，有如下两种情况． ∵，， ∴点A到边的距离． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴或． 故选：C． 42．在综合实践活动课上，老师以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．如图，下面是小星的操作步骤：第一步：将正方形纸片对折，使得与重合，展开铺平，折痕为．第二步：将正方形纸片再沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，展开铺平，折痕与交于点，连接，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，垂线的定义，特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 由轴对称的性质可以得出，，，，进而利用特殊角的三角函数值可以求出，于是，然后利用特殊角的三角函数值求出，，，最终即可求出的值． 【详解】解：由轴对称的性质可知： ，，，， ，， 在中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 43．如图，这是一款升降电脑桌，它的升降范围是，图是它的示意图，已知，点、在上滑动，点、在上滑动，、相交于点，.（结果精确到） (1)如图，当从增加到时，这款电脑桌升高了多少？ (2)当电脑桌从图位置升到最大高度（如图）时，求的大小及点滑动的距离.（参考数据：，，，，） 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）过点作于点，易证得，因而升高量，利用含度角的直角三角形的性质可求得，进而可求得升高量； （2）过点作于点，由升降范围可求得，利用锐角三角函数可求得的大小，进而可求得点滑动的距离． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，， ， 升高量， ， 在中，， 升高量， 答：这款电脑桌升高了； （2）解：如图，过点作于点， 它的升降范围是， ， 在中，， ， ， 由（1）得：， 点滑动的距离为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 44．如图，在中，分别是的中点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，三角函数， （1）由平行四边形的性质得出，由已知条件得出，证出四边形是平行四边形，由等腰三角形的性质得出，即可得出四边形是矩形； （2）根据，，即可得到的长，再根据等腰三角形的性质即可得到的长，进而得出的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M、N分别是和的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴中，， ∵， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，由等腰三角形的性质得出是解决问题的关键． 45．如图，中，平分，E为上一点，， (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定与性质： （1）利用角平分线的定义和相似三角形的判定与性质解答即可； （2）利用直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义，等角的余角相等和由两个角对应相等的两个三角形相似判定即可得出结论； （3）利用（1）中的结论求得的长，利用勾股定理求得的长，利用直角三角形的边角关系定理求得，再利用含30度角的直角三角形的性质求得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ， ∴， ， ； （2）证明：， ，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（1）知：， ∵，， ∴， ∴， ， 在中， ， ， ， ， ∴， ∴ 46．如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，作，可证，可得，由此可证平行四边形是菱形； （2）作，根据面积的计算方法可得，结合菱形的性质可得，根据含的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下， 如图所示，过点作于点，过点作于点， 根据题意，四边形，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵宽度相等，即，且， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：如图所示，过点作于点， 根据题意，， ∵， ∴， 由（1）可得四边形是菱形， ∴， 在中，， 即， ∴． 47．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴轴于A，B两点，点A的坐标为，，过点B的直线与x轴交于点． (1)求直线的解析式及点C的坐标； (2)点D是直线上一点，当的面积为3时，求点D的坐标； (3)点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，Q点的坐标为或或或 【分析】（1）根据含的直角三角形的性质与勾股定理求出，再利用待定系数法即可求解； (2) 设，则，利用含角的直角三角形的性质，得到直角，利用三角形的面积公式，利用解直角三角形的知识，解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法画出符合题意的图形，再利用菱形的性质解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ， 设直线的解析式为， 在直线上， ， 直线的解析式为，在直线上， ， 直线的解析式为 点C在x轴上， 令，则． （2）解：∵ ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵点D在直线上， 不妨设， 则， ∵的面积为3， ∴， ∴， ∴， 解得， 故或． （3）解：存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形， Q点的坐标为或或或．理由： 由题意：，， ， ①过点A作直线，当点Q在直线a上时，如图， 以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，， ，； ②当以为一边时，如图， 以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，， ③当以为一条对角线时，如图， 以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，，， 设， ， 由勾股定理得：， ， ， 综上，存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，Q点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，菱形的性质，分类讨论的思想方法．利用点的坐标表示出相应线段的线段是解题的关键． 48．中，． (1)如图， 求证： ； (2)如图， 点位置如图所示，，连接，求证：； (3)如图，在（）的条件下，点 在 上，连接，， 若 ，， 求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（）过点作于，得到为等腰直角三角形，进而得到，，结合，得到，为等腰直角三角形，即可求证， （2）在上取，由，，得到为等腰直角三角形，进而得到，，，，进而得到，，结合，即可求证， （3）在上取，连接，作，由，结合，得到， 结合，，，得到，，设，，结合，得到，由，，得到，，，代入解得：，，，，，结合即可求解， 本题考查了，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：根据题意列出等量关系式． 【详解】（1）证明：如图，过点作于，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）证明：如图，在上取，连接， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，在上取，连接，作于， ∵， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 设， 在中，， ∵，由（2）得， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∴，即：，即：， 整理得：，即：， ∴，解得：，或（舍）， ∴，，， ∴，， ∴． 49．【问题发现】 （1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：“如图1 所示， 是等腰直角三角形，，，点D在上，连接，探究，，之间的数量关系．”王林思考片刻之后，利用手拉手模型解答问题如下： 图示 思路    将线段绕点 逆时针旋转得线段，连接，，易证，得到，，在 中，易得 ，由，得，， 之间的数量关系为_______． 【类比分析】 （2）如图2所示，当点在线段的延长线上时，请问（1）中的结论还成立吗？请给出判定，并写出你的推导过程； 【拓展延伸】 （3）若（1）中的点 在射线上，且 请直接写出的度数．    【答案】（1）；（2）（1）中结论成立，见解析；（3）75°或15° 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是灵活运用这些性质，并正确作出辅助线． （1）根据题意可得是直角三角形，根据勾股定理和全等三角形对应边线段相等即可求解； （2）将线段绕点逆时针旋转得线段．可证明，进而得到，，进而证明，进而得到在中，，再根据勾股定理即可求解； （3）分两种情况讨论：当点在上时，当点在延长线上时，在利用前面结论在中得， 得，进而得出． 【详解】证明：（1）将线段绕点 逆时针旋转得线段，连接，，   ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ； （2）（1）中结论成立． 理由：将线段绕点逆时针旋转得线段． 如图1所示，连接，．    ∵ 为等腰直角三角形， ∴，． 由旋转性质可知为等腰直角三角形． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴，． ； 在中，且 （3）如图所示，当点D在上时，    同理可得：，，，， ∴在中， ∴． ∵， ∴； 如图3所示，当点在延长线上时，，，    ∴． 综上所述，的度数为或． 试卷第2页，共42页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！43 学科网（北京）股份有限公司 $$