专题03 三角函数（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（湖南专用）

专题三 三角函数 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 考纲要求·考情分析 01 考点突破·考法探究 03 04 课堂小结·查漏补缺 02 知识清单·网络构建 √ √ √ √ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART.01 考纲要求·考情分析 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 考纲解读 1.了解任意角的概念，理解弧度制的意义，掌握弧度与角度的换算. 2.理解任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念，掌握利用计算器求三角函数值的方法. 3.理解同角三角函数的基本关系式：. 4.理解的正弦、余弦及正切函数的诱导公式. 5.理解正弦函数的图像和性质，了解余弦函数的图像和性质. 6.了解已知三角函数值求指定范围内的角的方法，掌握利用计算器求角的方法. 7.理解两角和与差的正弦、余弦、正切公式. 8.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式. 9.理解正弦定理和余弦定理. 10.了解正弦型函数的图像、周期及最大（小）值. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 考查方向 本章内容一般以选择题、填空题和解答题的形式考查，难度适中，主要考查方向如下： ① 特殊角的三角函数值； ② 同角三角函数的基本关系和三角函数变换；③三角函数的图象和性质； ④ 正、余弦定理及其应用 复习建议 在本章的复习过程中，要学会区分各类角，能够进行角度制与弧度制的互化，掌握各象限角的三角函数值的正负号规律；同时，熟记特殊角的三角函数值，能够利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式进行三角函数式的计算，并根据三角函数的图象和性质求解与三角函数有关的函数的定义域、值域和单调区间；熟悉正、余弦定理，会解斜三角形 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART.02 知识清单·网络构建 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 知识要点 1．角的有关概念 (1)任意角的概念：一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫作角．开始位置的射线叫作________，终止位置的射线叫作________，射线的端点叫作________. 端点 始边 终边 顶点 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 8 知识要点 (2)正角、负角、零角 按逆时针方向旋转形成的角为________角；按顺时针方向旋转形成的角为________角；没有旋转的角为________角． 正 负 零 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 9 知识要点 (3)象限角和界限角 若角的顶点与________重合，角的始边与__________重合，则角的终边落在第几象限，这个角就是________角；若角的终边在坐标轴上，则这样的角叫作__________角，它不属于任何象限． 原点 x轴正半轴 第几象限 界限或轴线 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 10 知识要点 (4)终边相同的角：与任意角α的终边相同的角可以表示成： ①____________________；②____________________. (5)角的度量 ①角度制：我们把圆周的 所对的圆心角叫作1度角，记作________，用“度”作为单位度量角的单位制叫作角度制； α＋k·360°，k∈Z α＋2kπ，k∈Z 1° 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 11 知识要点 ②弧度制：我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作________，即1 rad，用“弧度”作为单位度量角的单位制叫作弧度制； ③角度与弧度之间的互换：π rad＝________，1°＝ ________，1 rad＝________. 1弧度 180° 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 12 知识要点 2．任意角的三角函数 (1)设任意角α的终边上一点P(x，y)，点P到原点的距离为r(r>0)，则角α的三个三角函数的定义如下： ①sinα＝________； ②cosα＝________； ③tanα＝________. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 13 知识要点 (2)任意角α的三角函数值在各象限的符号(如图6－1所示). 图6－1 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 14 知识要点 (3)特殊角α的三角函数值如下表所示． 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 sinα 0 1 0 cosα 1 0 －1 tanα 0 1 不存在 －1 0 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 15 基础过关 1．与15°终边相同的角的集合是(　　) A．{β|β＝15°＋k·180°，k∈Z} B．{β|β＝15°＋kπ，k∈Z} C．{β|β＝15°＋k·360°，k∈Z} D．{β|β＝－15°＋2kπ，k∈Z} C 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 16 基础过关 2．已知角α的终边上一点P(3，－4)，则tanα等于(　　) A． B． C． D． C 1 2 3 4 5 【提示】 tanα＝ ＝ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 17 基础过关 3．若α为第二象限角，则sinαtanα________0.(填“>”或“<”) < 1 2 3 4 5 【提示】 本题考查三角函数值在各个象限里的符号．第二象限角的正弦值为正、正切值为负． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 18 基础过关 4．求值：sin30°＋cos120°＋tan45°＝________. 1 2 3 4 5 【提示】 牢记特殊角的三角函数值． 1 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 19 基础过关 5．－200°＝________弧度． 1 2 3 4 5 【提示】 －200°＝－200× ＝ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 20 知识要点 1．平方关系式：________________；变形：sinα＝____________，cosα＝____________. 2．商数关系式：________________；变形：sinα＝ ________，cosα＝________. sin2α＋cos2α＝1 cosαtanα 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 21 基础过关 1．求值：(1)sin215°＋cos215°＝________； (2)sin2 ＋ ____________＝1. 1 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 22 基础过关 2．若cosα＝ ，则sinα＝________；tanα＝________. 【提示】 ∵sinα＝ ＝ ＝ ，∴当sinα ＝ 时，tanα＝ ；当sinα＝ 时，tanα＝ . 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 23 基础过关 3．若tanα＝3，则 ＝________. 2 【提示】 ＝ ＝ ＝2. 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 24 基础过关 4．已知tanα＝2，则sin2α＝________，cos2α＝________. 1 2 3 4 5 【提示】 sin2α＝ ＝ ＝ ，cos2α ＝1－ ＝ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 25 基础过关 5．(sinα±cosα)2＝___________. 1 2 3 4 5 【提示】 (sinα±cosα)2＝sin2α±2sinαcosα＋cos2α＝1±2sinαcosα. 1±2sinαcosα 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 26 知识要点 1．诱导公式(一) α sinα cosα tanα －α π－α π＋α 2kπ－α 2kπ＋α －sinα cosα －tanα sinα －cosα －tanα －sinα －cosα tanα －sinα cosα －tanα sinα cosα tanα 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 27 知识要点 2．诱导公式(二) α sinα cosα 90°－α 90°＋α －sinα cosα sinα cosα 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 28 知识要点 3．求任意角的三角函数的一般步骤 (1)把所求角写成kπ±α(k∈Z，α为锐角)的形式． (2)应用诱导公式转化为锐角α的三角函数求值． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 29 基础过关 1．已知sinα＝ ，则cos 等于(　　) A． B． C． D． C 1 2 3 4 5 【提示】 cos ＝sinα＝ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 30 基础过关 2．若sin(2π－α)＝ ，则sinα等于(　　) A． B． C． D． 【提示】 由sin(2π－α)＝ 得sinα＝ . 1 2 3 4 5 A 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 31 基础过关 3．若cos(π－α)＝ ，且α是第一象限角，则sinα等于 (　　) A． B． C． D． B 【提示】 由cos(π－α)＝ 得cosα＝ ，代入平方关 系得sin2α＝ . ∵α是第一象限角，∴sinα＝ . 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 32 基础过关 4．化简：sin(π＋α)＝________；cos(π－α)＝________；tan(－α)＝________. 1 2 3 4 5 【提示】 诱导公式． －sinα －cosα －tanα 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 33 基础过关 5．求值：sin120°＝________；cos315°＝________； tan240°＝________. 1 2 3 4 5 【提示】 sin120°＝sin(180°－60°)＝sin60°＝ ； cos315°＝cos(360°－45°)＝cos(－45°)＝cos45°＝ ； tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 34 知识要点 1．和角公式 (1)两角和的正弦：sin(α＋β)＝____________________. (2)两角和的余弦：cos(α＋β)＝____________________. sinαcosβ＋cosαsinβ cosαcosβ－sinαsinβ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 35 知识要点 2．差角公式 (1)两角差的正弦：sin(α－β)＝____________________. (2)两角差的余弦：cos(α－β)＝____________________. sinαcosβ－cosαsinβ cosαcosβ＋sinαsinβ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 36 知识要点 3．辅助角公式 asinωx＋bcosωx＝___________________________，其中tanφ＝________，角φ所在的象限由点________确定． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 37 知识要点 4．常用结论 (1)记忆以上公式可以借助顺口溜口诀：正弦，正余同余正；余弦，余余反正正． (2)利用和、差角公式变形时，常常利用特殊角转化，如：105°＝60°＋45°，α＝(α＋β)－β等． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 38 基础过关 1．已知sinα＝ ，且α∈ ，则cos 等于(　　) A． B． C． D． A 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 39 基础过关 2．若sinα＝ ，cosβ＝ ，且α，β都是锐角，则sin(α＋β)等于(　　) A． B． C． D． 1 2 3 4 5 A 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 40 基础过关 【提示】 由题意得cosα＝ ，sinβ＝ ，∴sin(α＋β)＝ sinαcosβ＋cosαsinβ＝ × ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 41 基础过关 3．求值：sin85°cos50°＋sin5°cos40°等于(　　) A． B． C． D． B 【提示】 原式＝cos5°cos50°＋sin5°sin50°＝cos(5°－50°) ＝cos(－45°)＝cos45°＝ . 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 42 基础过关 4．求值：sin(45°＋30°)＝________； cos(30°＋45°)＝________. 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 43 基础过关 5．求值：sin10°cos20°＋cos10°sin20°＝________； cos80°cos50°＋sin80°sin50°＝________. 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 44 知识要点 二倍角公式 1．二倍角的正弦：sin2α＝____________，则sinαcosα ＝____________. 2．二倍角的余弦：cos2α＝__________＝___________ ＝__________，则cos2α＝____________，sin2α＝ ____________. 2sinαcosα cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 45 基础过关 1．sin15°cos15°的值是(　　) A． B． C． D． D 1 2 3 【提示】 原式＝ ＝ ＝ . 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 46 基础过关 2．2sin30°cos30°的值是(　　) A． B． C． D． B 【提示】 2sin30°cos30°＝sin60°＝ . 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 47 基础过关 3．1－2sin215°的值是(　　) A． B． C． D． B 【提示】 1－2sin215°＝cos30°＝ . 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 48 基础过关 4．1－2cos222.5°的值是(　　) A． B． C． D． C 1 2 3 4 5 6 【提示】 1－2cos222.5°＝－cos45°＝ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 49 基础过关 5．化简：2sin cos ＝________. sinα 1 2 3 4 5 6 【提示】 2sin cos ＝sinα. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 50 基础过关 6．已知cosα＝ ，则cos2α＝________. 1 2 3 4 5 6 【提示】 cos2α＝2cos2α－1＝2× －1＝ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 51 知识要点 1．正弦函数、余弦函数的图象及性质 函数 正弦函数y＝sinx 余弦函数y＝cosx 图象 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 52 知识要点 续表 函数 正弦函数y＝sinx 余弦函数y＝cosx 最值 当x＝ ＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1 当x＝ ＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1 当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，ymin＝－1 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 53 知识要点 续表 函数 正弦函数y＝sinx 余弦函数y＝cosx 单调性 当x∈ 时，增函数 当x∈ 时，减函数 当x∈[(2k－1)π，2kπ]时，增函数 当x∈[2kπ，(2k＋1)π]时，减函数 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 54 知识要点 函数 正弦函数y＝sinx 余弦函数y＝cosx 最小正周期 T＝2π T＝2π 奇偶性 奇函数 ________ 续表 偶函数 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 55 知识要点 2．利用________比较函数值的大小． 3．已知三角函数值求指定区间上的角，步骤如下： (1)根据三角函数值的绝对值求对应的锐角θ. (2)根据三角函数值的正负确定角所在的象限． (3)根据指定的区间和象限确定角的最小范围． 单调性 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 56 知识要点 (4)根据最小范围，利用象限下结论(α∈[0，2π])，第一象限：α＝θ；第二象限：α＝π－θ；第三象限：α＝π＋θ；第四象限：α＝2π－θ. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 57 基础过关 1．函数y＝－ sinx的值域和最小正周期分别是(　　) A．[－1，1]，2π B． ，π C． ，2π D．[－2，2]，π C 1 2 3 【提示】 ∵sinx∈[－1，1]，∴ sinx∈ ，Tmin＝2π. 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 58 基础过关 2．函数y＝－sinx是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 A 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 59 基础过关 3．已知cosα＝ ，且α∈(0，π)，则α等于(　　) A． B． C． 或 D． 或 B 【提示】 ∵cosα＝ ，且α∈(0，π)，∴α＝ . 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 60 基础过关 4．函数y＝2sinx的增区间是(　　) A． B． (k∈Z) C． D． (k∈Z) B 1 2 3 4 5 6 【提示】 由正弦函数的图象可知． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 61 基础过关 5．函数y＝3sinx－3的最小正周期________. 2π 1 2 3 4 5 6 【提示】 Tmin＝ ＝2π. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 62 基础过关 6．已知cosα＝ ，且α∈(0，π)，则α＝________. 1 2 3 4 5 6 【提示】 ∵cos ＝ ，cosα＝ <0，且α∈(0，π)， ∴α＝π－ ＝ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 63 知识要点 1．正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，其中A叫作振幅或幅值，ω叫作角频率，φ叫作初相． (1)定义域为(－∞，＋∞)，值域为[－A，A]. (2)最大值为A，最小值为－A. (3)最小正周期 . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 64 知识要点 2．正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可以由正弦函数通过平移变换得到． 3．会求三角函数的最小正周期与最值． 形如f(x)＝asinωx＋bcosωx的三角函数，需通过辅助角公式转化为正弦型函数的形式求该三角函数的最值及最小正周期． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 65 知识要点 辅助角公式：f(x)＝asinωx＋bcosωx＝ sin(ωx＋φ) (其中tanφ＝ ，φ由点(a，b)确定象限)，所以ymax＝ ， ymin＝ ，最小正周期为 . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 66 基础过关 1．函数y＝2＋sin2x的最小正周期是(　　) A． B． C．π D．2π C 1 2 3 【提示】 T＝ ＝π. 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 67 基础过关 2．函数y＝ sinx－cosx的值域是(　　) A．[－1，1] B．[－2，2] C． D．[－1， ] B 【提示】 ∵函数y＝ sinx－cosx＝2 ＝ 2sin ，∴y∈[－2，2]. 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 68 基础过关 3．函数f(x)＝sin2xcos2x的值域和最小正周期分别是(　　) A．[－1，1]，2π B．[－2，2]，π C． ， D． ， C 【提示】 ∵f(x)＝sin2xcos2x＝ sin4x，∴值域为 ， T＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 69 基础过关 4．函数y＝3sinx的值域是(　　) A．[－1，1] B．[－3，3] C．(0，3] D． D 1 2 3 4 5 6 【提示】 ∵－1≤sinx≤1，∴3－1≤3sinx≤31. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 70 基础过关 5.当函数y＝4－3sin2x取得最大值时，x的值是(　　) A． B． C． D． D 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 71 基础过关 1 2 3 4 5 6 【提示】 当2x＝ ＋2kπ，即x＝ ＋kπ时，sin2x最小为－1，此时函数y＝4－3sin2x有最大值4－3×(－1)＝7. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 72 基础过关 6．函数f(x)＝3sin 的最小值为________，最大值为________，最小正周期为________. 1 2 3 4 5 6 －3 3 4π 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 73 知识要点 1．解直角三角形 (1)勾股定理：a2＋b2＝c2. (2)两锐角互余：∠A＋∠B＝90°. (3)边角关系：sinA＝cosB＝ ，cosA＝sinB＝ ，tanA＝ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 74 知识要点 2．解斜三角形 (1)正弦定理：______________________________. 注意：①已知两角和一边，求其余边角； ②已知两边和其中一边所对的角，求其余边角． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 75 知识要点 (2)余弦定理及推论： ①________________________________________________； ②________________________________________________； ③________________________________________________. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 76 知识要点 注意：①已知两边及夹角求第三边； ②已知三边求角． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 77 知识要点 3．三角形的面积公式 (1)______________________________. (2)________________________________________. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 78 基础过关 1．在△ABC中，已知a＝5，b＝12，c＝13，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 C 1 2 3 【提示】 由52＋122＝132可知△ABC为直角三角形． 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 79 基础过关 2．在△ABC中，已知a＝3，b＝5，∠C＝60°，则c等于(　　) A． B．19 C． D．18 A 【提示】 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝32＋52－2×3×5cos60°＝19，∴c＝ . 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 80 基础过关 3．在△ABC中，已知a＝2，b＝4，c＝ ，则∠C的度数是(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° B 【提示】 由余弦定理得cosC＝ ＝ ＝ ，∴∠C＝60°. 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 81 基础过关 4．在△ABC中，已知a＝6，b＝8，∠C＝120°，则△ABC的面积是(　　) A． B． C．24 D． D 1 2 3 4 5 6 【提示】 S△ABC＝ absinC＝ ×6×8sin120°＝ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 82 基础过关 5．在△ABC中，已知a＝3，b＝1，∠C＝120°，则c＝ ________，S△ABC＝________. 1 2 3 4 5 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 83 基础过关 1 2 3 4 5 6 【提示】 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝32＋12－2×3×1cos120°＝13，∴c＝ ，∴S△ABC＝ absinC＝ ×3×1×sin120°＝ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 84 基础过关 6．在△ABC中，已知a＝6，b＝5，c＝10，则△ABC的形状是______________. 1 2 3 4 5 6 钝角三角形 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 85 基础过关 1 2 3 4 5 6 【提示】 由“大边对大角”和余弦定理得cosC＝ ＝ ＝ <0，∴∠C是钝角，∴△ABC是钝角 三角形． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 86 考点突破·考法探究 PART.03 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例1  与角 终边相同的角的集合是（ ）． A． B． C． D． B 判断一个任意角所在象限的一般方法：找出0°～360°范围内与这个角终边相同的角，该角在第几象限，任意角就在第几象限． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 表示终边相同的角或各象限角时，需注意： （1）角度或弧度的运用要前后统一，不能在同一个表达式中出现两种用法； （2）不能遗漏“ ”的条件． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用）  例2  下列命题中，正确的是（ ）． A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角都是锐角 C．锐角都是第一象限角 D．小于90°的角是锐角 C 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） （1）锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角． （2）锐角小于90°，但小于90°的角不一定是锐角． （3）终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 钝角一定属于 ，所以钝角一定是第二象限角，但第二象限角不一定是钝角． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[  例3  将下列各角度换算为弧度． （1）75°； （2）-120°； （3）225°； （4）450°． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） （1）角度换算为弧度时，“弧度（rad）”可以省略不写，且常常将弧度数写成多少π的形式．如果无特殊要求，一般不将π写成小数． （2）弧度换算为角度时，“度（°）”不能省略． （3）正角的弧度为正数，负角的弧度为负数，零角的弧度为零． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[  例4 一段公路的弯道半径为48 m，转过的圆心角为60°，求该弯道的长度． （结果精确到1 m） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 易错警示 运用弧长及扇形面积公式时，要先将圆心角α 的单位转化为弧度，再代入公式进行计算． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例7  已知 ， ，则角 α 是第__________象限角． 二 解析：因为 ，所以角 α 的终边可能落在第一、二象限或 y 轴的正半轴上；因为 ，所以角 α 的终边可能落在第二、三象限或 x 轴的负半轴上．综合两个条件，可以得出角α 的终边落在第二象限，即角α 是第二象限角． 【名师点睛】 本题考查根据三角函数值的正负号判断任意角所在象限． 三角函数值在各个象限的正负号情况，可通过口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用）  例8  已知 ，α 是第二象限角，求 ． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 已知角的正切值求正弦值或余弦值的步骤： ① 根据角的正切值写出同角三角函数的商数关系式； ② 与平方关系式联立方程组，得出正弦值或余弦值的平方； ③ 根据角所在象限判断正弦值或余弦值的正负，得出所求正弦值或余弦值． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用）  例11  已知 ，求以下式子的值． （1） ； （2） ． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 化简三角函数式的过程中常用的方法： （1）化弦为切，将正弦、余弦函数都化成正切函数，减少函数名称，达到化简的目的． （2）对于含有根号的三角函数式，通常将根号下的式子借助关系式 化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． （3）化简含高次幂的三角函数式时，往往借助因式分解或构造 ，以降低函数的次数，达到化简的目的． （4）此外，还可利用“切化弦”“异名化同名”“分式通分”“异角化同角”等方法进行化简． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例12  已知 ，则 ________． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例14  求函数 的定义域． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用）  例15  求下列函数的值域． （1） ； （2） ． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例16  已知函数 的最大值是 ，最小值是 ，求 a，b 的值． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 比较三角函数值大小的基本原则： ① 若函数名称相同，则可利用三角函数的诱导公式将两角转化在同一单调区间内，然后利用函数单调性比较大小； ② 若函数名称不同，则需利用同角三角函数的基本关系将其转化为同名函数，再进行比较． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用）  例18  函数 是（ ）函数． A．奇 B．偶 C．非奇非偶 D．既奇又偶 C 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） A 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例25在∆ABC中，已知 ，则C=_____________． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例26 ∆ABC在中，已知 ，求a． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例27 已知∆ABC中， ，则 _____________． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例28  在∆ABC中，已知 ，则此三角形为（ ）． A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 C v[ 解析: 因为 ，所以C 为最大角．又因为 所以C 为锐角，此三角形为锐角三角形． 【名师点睛】 已知三边判断三角形的形状时，首先要确定最大角，然后计算最大角的余弦值． （1）若余弦值大于0，则为锐角三角形； （2）若余弦值等于0，则为直角三角形； （3）若余弦值小于0，则为钝角三角形． 计算最大角余弦值的重点在于确定公式的分子是正、是负还是0，分母恒为正． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART.04 课堂小结·查漏补缺 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 选择题 同步精练 1 2 3 4 5 6 7 8 一、单项选择题 1．下列各项中，终边相同的两个角是(　　) A．－30°与390° B．120°与－240° C．450°与70° D．0°与180° 9 10 12 13 B 填空题 解答题 11 【提示】 终边相同的角相差360°或2π的整数倍． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 2．若角α的终边在x轴上，则下列表示正确的是(　　) A．α＝kπ，k∈Z B．α＝kπ＋ ，k∈Z C．α＝2kπ，k∈Z D．α＝2kπ＋ ，k∈Z A 【提示】 终边在x轴上的角α＝kπ，k∈Z. 选择题 同步精练 1 2 3 4 5 7 8 9 10 12 13 填空题 解答题 11 6 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 125 3．已知tanα＝ ，且α是第四象限角，则cosα等于(　　) A． B． C． D． B 选择题 同步精练 1 2 3 4 5 7 8 6 9 填空题 10 解答题 12 13 11 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 选择题 同步精练 1 2 3 4 5 7 8 【提示】 联立方程组 ⇒ ∵α是第四象限角，∴cosα＝ . 6 9 填空题 10 解答题 12 13 11 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 4．已知 ＝－1，则tanα等于(　　) A．－3 B．4 C．2 D．－4 B 【提示】 由题意得原式＝ ＝－1，解得tanα＝4. 选择题 同步精练 1 2 3 4 5 7 8 6 9 填空题 10 解答题 12 13 11 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 5．下列各式错误的是(　　) A．sin(α－180°)＝－sinα B．cos(5π＋α)＝cosα C．sin(－α)＝－sinα D．cos(2π－α)＝cosα B 【提示】 诱导公式． 选择题 同步精练 1 2 3 4 5 7 8 6 9 填空题 10 解答题 12 13 11 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 6．若sin ＝ ，则cos(π＋α)等于(　　) A． B． C． D． C 【提示】 sin ＝cosα，cos(π＋α)＝－cosα. 选择题 同步精练 1 2 3 4 5 7 8 6 9 填空题 10 解答题 12 13 11 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【提示】 ∵sinα＝ ，且α∈ ，∴cosα＝ ＝ ，∴sin ＝sinαcos －cosαsin ＝ . 选择题 同步精练 1 2 3 4 5 7 8 6 9 填空题 10 解答题 12 13 11 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 8．计算： cos15°－ sin15°等于(　　) A． B． C． D． D 选择题 同步精练 1 2 3 4 5 7 8 6 9 填空题 10 解答题 12 13 11 【提示】 原式＝sin60°cos15°－cos60°sin15°＝sin(60°－15°)＝sin45°＝ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 二、填空题 9．已知cosα＝ ，且α∈(0，2π)，则α＝________. 选择题 同步精练 1 2 3 4 5 7 8 6 9 填空题 10 解答题 12 13 11 【提示】 根据cos ＝ ，cos ＝cos ＝cos ＝ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 10．函数y＝2－3sinx在[0，2π]上 的增区间为________. 选择题 同步精练 1 2 3 4 5 7 8 6 【提示】 此函数是一个简单的复合函数，正弦函数的增区间是此函数的减区间，正弦函数的减区间是此函数的增区间． 9 填空题 10 解答题 12 13 11 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 三、解答题 11．已知锐角三角形ABC的面积为 ，AB＝5，AC＝4.求： (1)∠A的度数； (2)BC边的长． 选择题 同步精练 1 2 3 4 5 7 8 6 9 填空题 10 解答题 12 13 11 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】(1)∵在△ABC中，AB＝5，AC＝4， ∴S△ABC＝ AB·ACsinA＝ ×5×4sinA＝ ， 解得sinA＝ . ∵△ABC是锐角三角形，∴∠A＝60°. 选择题 同步精练 1 2 3 4 5 7 8 6 9 填空题 10 解答题 12 13 11 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)在△ABC中，AB＝5，AC＝4，∠A＝60°， 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA ＝52＋42－2×5×4cos60°＝21， ∴BC＝ . 选择题 同步精练 1 2 3 4 5 7 8 6 9 填空题 10 解答题 12 13 11 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 12．在水平地面上有一建筑物(如图所示)，高CD为6米．在建筑物楼顶安装一信号塔DE，离开建筑物至一点B处，观察塔顶的仰角为45°，由B处离开10米到达点A，且A，B，C在一条直线上，观察塔顶的仰角是30°.求信号塔的高度DE. 选择题 同步精练 1 2 3 4 5 7 8 6 9 填空题 10 解答题 12 13 11 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】设信号塔的高为x米， 则 ＝tan30°， ∴x＋6＝ (x＋16)， 选择题 同步精练 1 2 3 4 5 7 8 6 9 填空题 10 解答题 12 13 11 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 即3x＋18＝ x＋ ， ∴(3－ )x＝ －18， 故x＝ ＝(5 －1)米． 选择题 同步精练 1 2 3 4 5 7 8 6 9 填空题 10 解答题 12 13 11 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 13．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，c＝4.求： (1)cosC和sinC的值； (2)△ABC的面积． 选择题 同步精练 1 2 3 4 5 7 8 6 9 填空题 10 解答题 12 13 11 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】(1)在△ABC中，cosC＝ ＝ ＝ ， sinC＝ ＝ . 选择题 同步精练 1 2 3 4 5 7 8 6 9 填空题 10 解答题 12 13 11 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)S△ABC＝ absinC ＝ ×2×3×sinC＝ ×6× ＝ . 选择题 同步精练 1 2 3 4 5 7 8 6 9 填空题 10 解答题 12 13 11 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 14．已知函数y＝asinωx＋12cosωx(ω>0)的最大值是13，最小正周期是 ，求a和ω的值． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】由题意得 ＝13， 解得a＝±5. 由T＝ ＝ 得ω＝4. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 15．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 在一个周期 上的图象的最高点为 ，最低点为 ，求A，ω，φ的值． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】由题意得A＝3； ＝ － ＝ ＝ ， ∴T＝ ＝ ，解得ω＝ ； 将点 代入y＝3sin 中得sin ＝1， 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） ∴ ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z， 则φ＝ ＋2kπ，k∈Z， ∵|φ|< ，∴φ＝ . 故A＝3，ω＝ ，φ＝ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 16．设函数f(x)＝sin －cos (ω>0)的最小正周期为6π.求： (1)ω的值； (2)f(x)的最大值及取得最大值时x的取值集合． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】(1)由题意得 f(x)＝sin －cos ＝ ＝ ＝ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） ∵f(x)的最小正周期为6π， ∴ ＝6π，且ω>0， ∴ω＝ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)由(1)得f(x)＝ sin ， ∴f(x)的最大值为 ， 此时， ＋ ＝2kπ＋ ，k∈Z， 解得x＝6kπ＋ ，k∈Z， 故f(x)取得最大值时x的取值集合为 . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 本课结束 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） $$