专题02 函数（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（湖南专用）

专题二 函数 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 考纲要求·考情分析 01 考点突破·考法探究 03 04 课堂小结·查漏补缺 02 知识清单·网络构建 √ √ √ √ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART.01 考纲要求·考情分析 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 考纲解读 1.理解函数的概念和函数的三种表示方法. 2.理解函数的单调性和奇偶性. 3.能运用函数的知识解决有关实际问题. 4.理解有理指数幂，掌握实数指数幂及其运算法则，掌握利用计算器进行幂的计算的方法. 5.了解幂函数的概念及其简单性质. 6.理解指数函数的概念、图像及其性质. 7.理解对数的概念（含常用对数、自然对数）及积、商、幂的对数，掌握利用计算器求对数值（）的方法. 8.理解对数函数的概念、图像及其性质. 9.能运用指数函数和对数函数的知识解决有关实际问题. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 考查方向 函数是中职数学的重点和难点，其思想贯穿于整个中职数学中。近几年的高考题中函数的分值占很大的比例，分值在14～22分之间，是中职数学高考的热点题型有选择题、填空题和解答题。求函数的定义域、奇偶性和单调性是每年的必考内容，另外，求函数的解析式和函数的值域也有所涉及。 复习建议 在本章的复习过程中，要理解函数的概念及其三种表示法，能够准确求出函数的定义域和值域；要理解函数的单调性和奇偶性的定义和图象特征，学会判断函数的单调性和奇偶性；同时，掌握基本函数的性质，并能够运用这些性质求解实际应用题。掌握实数指数幂的相关公式，能够运用实数指数幂的运算法则进行计算；要理解常用的幂函数、指数函数和对数函数的图象和性质，能够准确计算出其定义域并判断其单调性和奇偶性；理解对数的概念，能够运用积、商、幂的对数公式及其他运算性质计算含常用对数和自然对数的式子 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART.02 知识清单·网络构建 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1．函数的概念 设在某一变化过程中，有两个变量x与y，如果按某个确定的对应关系f，使对于某个范围内的任意一个x的值，都有__________的数y与之对应，那么就称y为x的函数，记作y＝f(x).其中x叫作________，y叫作________________，x的取值范围叫作函数的________，y的取值范围叫作函数的 唯一确定 自变量 因变量(或函数值) 定义域 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 9 ______. (1)函数的三要素是指________、________和________. (2)若两个函数的________和________都相同，则这两个函数是相同函数． (3)函数的表示方法主要有________、________和________. 值域 对应法则 定义域 值域 对应法则 定义域 解析法 列表法 图象法 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 10 2．函数的定义域 函数的定义域是指使函数的解析式有意义的自变量的取值集合． (1)当f(x)是整式时，定义域为_____. (2)当f(x)是分式时，定义域是使___________的x的取值集合． (3)偶次根式的定义域是使_______________的x的取值集合． R 分母不为零 被开方数非负 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 11 (4)含有对数式的定义域是使__________________________ ________ 的x的取值集合． (5)形如“()0”，0次幂的定义域是使_____________的x的取值集合． (6)多项式函数的定义域为____________________________ ________. 真数大于零、底数大于零且不 等于1 底数不为0 每个式子都有意义时x的取值集合 的交集 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 12 (7)当f(x)是实际问题中的函数关系式时，x还应_____________. (8)形如“tan x”的三角函数的定义域为_________________． 符合实际意义 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 13 基础过关 1．已知函数f(x)＝ ，则f(－1)等于(　　) A．－2 B．2 C．2 D．－2 C 1 2 3 4 5 【提示】 由题意知f(－1) 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 14 基础过关 2．函数y＝ 的定义域为(　　) A．(－∞，＋∞) B． C． D． B 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 15 基础过关 【提示】 要使y＝ 有意义，须满足2x－3≠0， 解得 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 16 基础过关 3．下列各组函数中，表示同一函数的是(　　) A．f(x)＝ 与g(x)＝2 B．f(x)＝ 与g(x)＝x C．f(x)＝ 与g(x)＝|x| D．f(x)＝ 与g(x)＝ C 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 17 基础过关 【提示】 若两个函数的定义域和对应法则都相同，则这两个函数是同一函数． 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 18 基础过关 4．函数f(x)＝ 的定义域为________________________. 【提示】 要使f(x)＝ 有意义，须满足4－|x|≠0，则x≠±4，故函数f(x)的定义域为(－∞，－4)∪(－4，4)∪(4，＋∞). 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 19 基础过关 5．函数f(x)＝ ＋lg (3x＋1)的定义域为_________. 【提示】 要使f(x)＝ ＋lg (3x＋1)有意义，须满足 解得－ <x<1，故函数f(x)的定义域为 . 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 20 3．函数的表示方法 (1)列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表格来表达函数关系的方法叫作列表法． (2)图象法：函数y＝f(x)的图象上任意点的坐标都满足函数关系式．反之，满足函数关系式的点都在图象上，这种表示函数的方法叫作图象法． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 21 (3)解析法：在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式来表示的，这种方法叫作解析法． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 22 4．函数单调性的概念 函数y＝f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果对于区间I内任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有_________，则称f(x)在区间I上是________，区间I叫作函数的________；当x1<x2时，都有______________，则称f(x)在区间I上是________，区间I叫作函数的________.函数的这种性质，叫 f(x1)<f(x2) 增函数 增区间 f(x1)>f(x2) 减函数 减区间 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 作函数的________性． 2．函数单调性的判断方法 (1)图象法：如图3－1所示，从左向右看，若图象是________，则在其区间上是增函数；若图象是________，则在其区间上是减函数． 单调 上升的　 下降的 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 图3－1 (2)定义法：在某个给定区间I内，先任取x1，x2∈I，设x1<x2，再作差___________，化简并判断差的符号，得出结论． f(x1)－f(x2)　 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 5．函数奇偶性的概念 设函数y＝f(x)的定义域为D. (1)对任意的x∈D，都有f(－x)＝f(x)，则这个函数叫作________函数，其图象关于________对称． (2)对任意的x∈D，都有f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫作________函数，其图象关于________对称． 偶　 y轴　 奇　 原点 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 6．常见初等函数的单调性 (1)一次函数y＝kx＋b，当________时，函数在(－∞，＋∞)上是增函数；当________时，函数在(－∞，＋∞)上是减函数． (2)反比例函数y＝ (k≠0)，当________时，函数在区间________________上是增函数；当________时，函数在区间________________上是减函数． k>0　　 k<0　 k<0　 (－∞，0)和(0，＋∞) k>0　 (－∞，0)和(0，＋∞)　 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a<0时，函数在区间________________上是增函数，在区间________________上是减函数；当a>0时，函数在区间________________上是增函数，在区间________________上是减函数． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 7．函数奇偶性的分类 (1)定义域关于原点对称 (2)定义域不关于原点对称：非奇非偶函数． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1．下列函数中，在其定义域上为增函数的是(　　) A．f(x)＝－2x＋1 B．f(x)＝ ＋1 C．f(x)＝x2＋1 D．f(x)＝log2x＋1 基础过关 【提示】 选项A、B在其定义域上是减函数；选项C在其定义域上有增有减． D 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 2．已知f(x)是定义在R上的减函数，则下列不等式成立的是(　　) A．f(3)<f(5) B．f(3)≤f(5) C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5) 【提示】 ∵f(x)在R上是减函数，∴f(3)>f(5). C 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 3．下列属于偶函数的是(　　) A．f(x)＝2x B．f(x)＝ C．f(x)＝－3x2＋4 D．f(x)＝(x＋1)2 【提示】 f(x)＝2x和f(x)＝ 是奇函数；f(x)＝(x＋1)2是非奇非偶函数；f(x)＝－3x2＋4是偶函数． C 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 4．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且f(2)＝5，则f(－2)＝_______. 【提示】 由题意知f(x)是奇函数，且f(2)＝5，∴f(－2)＝－f(2)＝－5. －5 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 5．已知f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋3x－1，则f(－3)＝________. 【提示】 ∵f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，∴f(－3)＝f(3).又当x>0时，f(x)＝－x2＋3x－1，∴f(－3)＝f(3)＝－32＋3×3－1＝－1. －1 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 8．一元二次函数(也叫作二次函数)的解析式 (1)一般式：____________________________________. (2)顶点式：____________________________________. (3)交点式：____________________________________ ______________________________________________. y＝ax2＋bx＋c(a≠0) y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为顶点坐标 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2为抛物线 与x轴交点的横坐标 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 9．一元二次函数的图象与性质 (1)一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条_______ 线，其顶点坐标为_____________，对称轴方程为________.当a>0时，开口________，函数有最________值，其最值为____________，函数在区间________________上是增函数， 抛物 向上 小 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 在区间________________上是减函数；当a<0时，开口________，函数有最________值，其最值为________，函数在区间________________上是增函数，在区间________________上是减函数． 向下 大 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与y轴的交点坐标是________.当Δ>0时，图象与x轴有两个交点，其横坐标x1，x2是方程________________的两根；当Δ＝0时，图象与x轴切于点__________；当Δ<0时，图象与x轴________. (0，c) ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 无交点 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 10．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象为抛物线，其图象及性质如下表 a>0 a<0 图象 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） a>0 a<0 定义域 (－∞，＋∞) 开口方向 ________ ________ 对称性 关于直线________对称 顶点坐标 _____________ 向上 向下 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） a>0 a<0 单调性 在 上为减函数， 在 上为增函数． 在 上为减函数， 在 上为增函数． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） a>0 a<0 最值 当x＝－ ，y有最小值________ 当x＝－ ，y有最大值________ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 注：①当Δ＝b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点，交点横坐标为方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根； ②当Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有且只有一个交点，交点横坐标为方程ax2＋bx＋c＝0的一个实数根； ③当Δ＝b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，方程ax2＋bx＋c＝0无实数根； ④抛物线与y轴的交点坐标为(0，c). 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1．二次函数f(x)＝－2(x－1)2＋5的顶点坐标为(　　) A．(－1，5) B．(5，－1) C．(1，－5) D．(1，5) 【提示】 在二次函数的顶点式y＝a(x－h)2＋k中，顶点坐标为(h，k). D 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 2．二次函数y＝(x＋3)2－ 的减区间是(　　) A．(－∞，3] B．[3，＋∞) C．(－∞，－3] D．[－3，＋∞) 【提示】 二次函数y＝(x＋3)2－ 在(－∞，－3]上是减函数，在[－3，＋∞)上是增函数． C 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 3．已知函数f(x)＝x2－4x＋3，则下列说法正确的是(　　) A．在(－∞，2)上是减函数 B．在(－∞，4)上是减函数 C．在(－∞，0)上是减函数 D．在(－∞，＋∞)上是减函数 【提示】 f(x)在(－∞，2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数． A 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 4．若二次函数y＝(3－a)x2＋(a2－9)x－7是偶函数，则a＝________. 【提示】由题意得 ∴a＝－3. －3 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 5．若二次函数y＝x2＋4mx－1在[2，＋∞)上是增函数，在(－∞，2]上是减函数，则m的值为________. 【提示】∵二次函数y＝x2＋4mx－1在[2，＋∞)上是增函数，在(－∞，2]上是减函数，∴二次函数y＝x2＋4mx－1的对称轴方程为x＝－2m＝2，∴m＝－1. －1 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 11．指数 (1)定义：正整数指数幂an表示________________，即an＝_____________(n∈N＋)；负指数幂a－p＝__________(a≠0)，零指数幂a0＝______(a≠0)；分数指数幂 (a>0)＝________(根式形式). n个a相乘 1 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)运算法则：an·am＝________，an÷am＝________， ＝________，(ab)n＝________， ＝_______(b≠0). 12．对数 (1)定义：ab＝N(a>0且a≠1，N>0)化成对数式__________. (2)恒等式(a>0且a≠1，N>0)：alogaN＝_____，logaa＝_____， loga1＝_____，loga ＝________，logaan＝_____． an＋m an－m anbn logaN＝b N 1 0 －1 n 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (3)运算法则(a>0且a≠1，M>0，N>0)： loga(MN)＝____________，loga ＝_____________， logaNn＝________，loga 　＝________. (4)换底公式、常用对数和自然对数： logaM＋logaN logaM－logaN nlogaN 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 换底公式：logab　　　　　　 (b>0，a>0且a≠1，c>0且c≠1). 常用对数：底数为10的对数，log10N简记为________. 自然对数：底数为e(e＝2.71828…)的对数，logeN简记为________. lg N ln N 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1．计算：log51＋log3 ＋lne等于(　　) A．2 B．1 C．－1 D．3 C 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 2．计算：log428－log47等于(　　) A．－2 B．1 C．－1 D．2 B 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 3．化简：log29·log34等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 D 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 4．计算：24＝________，50＝________，3－2＝________. 16 1 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 5．化简：x2·x3＝________，(a2)3＝________. x5　 a6 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 13．指数函数与对数函数定义 (1)形如____________________的函数叫作指数函数． (2)形如____________________的函数叫作对数函数． y＝a x (a>0且a≠1) y＝log a x (a>0且a≠1) 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 12．指数函数与对数函数的图象和性质 函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1) 对数函数y＝logax(a>0且a≠1) 图象 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1) 对数函数y＝logax(a>0且a≠1) 性质 定义域 R R＋ 值域 R R＋ 定点 图象经过点________，即loga1＝0 图象经过点________，即a0＝1 (0，1) (1，0) 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1) 对数函数y＝logax(a>0且a≠1) 性质 单调性 当a>1时，函数在R上是增函数 当0<a<1时，函数在R上是减函数 当a>1时，函数在(0，＋∞)上是增函数 当0<a<1时，函数在(0，＋∞)上是减函数 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1．下列属于指数函数的是(　　) A．y＝x2 B．y＝(－2)x C．y＝0.5x D．y＝－3－x C 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 2．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象一定经过点(　　) A．(0，－1) B．(1，0) C．(0，1) D．(－1，0) B 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 3．下列属于增函数的是(　　) A．y＝－2x＋1 B．y＝ C．y＝0.2x D．y＝ B 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 4．下列式子正确的是(　　) A．23>25 B．32<33 C． D．5－1<0 B 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 5．函数y＝log2x的定义域是(　　) A．(0，1) B．(－∞，0) C．(0，＋∞) D．(－1，0) C 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 函数的应用 1．应用问题 应用问题是指有实际背景或有实际意义的数学问题．本节应用问题主要是实际生活中，涉及反映两个变量的函数关系问题．通过建立函数关系式，然后利用函数的性质来解决．这是函数知识应用的一个重要方面，也是近年来对口高职考试中常考的内容． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 2．数学建模 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述，也就是建立数学模型，然后用通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验，这个建立数学模型的全过程就称为数学建模． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 3．解函数应用题的一般步骤 (1)审题：理解题意，弄清问题中涉及的量，以及量之间的关系，把握数学的本质． (2)建模：根据题中的数量关系，建立相应的数学模型．本节主要是建立恰当的函数关系式(注意写出自变量的范围)，将实际问题转化为数学问题． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (3)解模：应用相关函数知识，解决转化了的数学问题． (4)检验：回到应用问题，检验结果的实际意义，并作答． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过(1，2)，(－3，6)两点，则k和b的值分别为(　　) A．1，3 B．－4，－3 C．－1，3 D．4，－2 C 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【提示】 由题意得 解得 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 2．二次函数y＝x2－2x＋2有最________值，是________. (　　) A．大　1 B．大　2 C．小　2 D．小　1 D 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 3．若某服装店以进价为25元/件批发了一批T恤，售价为48元/件，第一天卖出50件，则第一天卖T恤获得的利润为________元．(不计其他消耗) 1150 【提示】 总利润＝每件的利润(售价－进价)×销量． 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 4．某医药门店的口罩售价为2.5元/个，小丽到该店购买口罩x(个)与所付费用y(元)之间的函数关系式为____________. y＝2.5x (x∈N*) 【提示】 注意x的取值范围． 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 5．国家电网规定居民用电采用梯度收费，一个家庭每月用电不超过200度时，每度收费0.52元；如果超过200度，则超过部分按每度0.57元计算．若小方家7月份用电300度，则应付电费为________元． 161 【提示】 应付电费＝200×0.52＋(300－200)×0.57＝104＋57＝161(元). 基础过关 1 2 3 4 5 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 考点突破·考法探究 PART.03 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例解析 例1 变1 例2 例1　已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x＋9，则一次函数f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝2x＋3 B．f(x)＝－2x＋3 C．f(x)＝－2x－9 D．f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9 变2 例3 变3 D 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【分析】　先设一次函数f (x)＝kx＋b，利用对应法则f：自变量的k倍与b的和，得到f [f (x)]＝k(kx＋b)＋b，再利用对应项相等，然后计算即可． 典例解析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练1　已知一次函数g(x)满足g[g(x)]＝25x＋16，则一次函数g(x)的解析式为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．g(x)＝25x＋16 B．g(x)＝5x＋ 或g(x)＝－5x－4 C．g(x)＝－5x－4 D．g(x)＝5x＋4或g(x)＝－5x－4 B 【方法点拨】　本题主要考查的是函数的对应法则． 典例解析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【提示】　设g(x)＝kx＋b，则g[g(x)]＝g(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝25x＋16，∴ 解得 或 ∴g(x)＝5x＋ 或g(x)＝－5x－4. 典例解析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例2　(2017年重庆市对口高职)设函数f(x)＝ 则f(e2)等于(　　) A．2 B．3 C．e2＋1 D．0 B 【分析】　求函数值就是将自变量x用所给已知值替代，然后算出即可．分段函数的函数值应根据自变量的范围分段来求，且这是一个有关自然对数的问题，要特别注意． 典例解析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练2　已知函数f(x)＝ 则f(－2)＋f(2)等于(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 B 典例解析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【方法点拨】　求函数值就是将自变量x用所给已知值替代，然后算出结果即可．在计算时，要注意符号．求分段函数的函数值应根据自变量的范围分段求解． 【提示】　由题意知f(－2)＋f(2) 典例解析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例3　求下列函数的定义域． (1)f(x)＝ ； (2)f(x)＝ . 【分析】　求函数的定义域即是求使函数解析式有意义的自变量的数集．首先由解析式列出自变量满足条件的不等式，有多少限制条件就要列多少个不等式，然后求解． 典例解析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】 (1)由题意得 解得1<x<2， 故原函数的定义域为(1，2). (2)由题意得x2－9>0，解得x<－3或x>3， 故原函数的定义域为(－∞，－3)∪(3，＋∞). 典例解析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练3　求函数y＝ 的定义域． 【方法点拨】　(1)当函数的解析式中含有根式时，要注意根指数是偶数还是奇数． (2)运算结果取交集，定义域应写成集合或区间的形式． 典例解析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：由题意得 解得 故函数的定义域为[2，7)∪(7，＋∞). 典例解析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 1．求函数值就是将自变量x用所给的已知值代替，然后算出值即可，并注意符号． 2．求分段函数的函数值应根据自变量的范围分段求． 3．求常函数的函数值时，无论自变量取何值(当然得在定义域内)，其函数值恒为给出的常数． 4．求函数的定义域即是求使函数解析式有意义的自变 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 量的数集，首先由解析式列出自变量满足条件的不等式，有多少个限制条件就要列出多少个不等式，然后求解．特别地，含有根式的，要注意根指数是偶数还是奇数，运算结果取交集，定义域应表达成集合或区间的形式． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例4　设f(x)＝kx－1为减函数，则必有(　　) A．k<1 B．k>1 C．k<0 D．k>0 【分析】 本题主要考查常见初等函数的单调性与奇偶性．熟记常见函数的图象和性质，可以非常迅速地解决此类问题． C 典例解析 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练4　已知函数f(x)＝－ ，则下列说法正确的是 (　　) A．函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数 B．函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数 C．函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数 D．函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数 D 典例解析 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【方法点拨】　熟记常见初等函数的单调性，反比例函数的单调性要明确具体的区间． 【提示】　函数f(x)＝－ 在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别单调递增． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例5　设函数f(x)和g(x)的定义域都为R，且f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)＋g(x)必为奇函数 B．f(x)＋g(x)必为偶函数 C．f(x)g(x)必为奇函数 D．f(x)g(x)必为偶函数 C 典例解析 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【分析】　本题主要考查常见初等函数的奇偶性．熟记奇函数与偶函数的和为非奇非偶函数，奇函数与偶函数的积为奇函数，可以非常迅速地解决此类问题． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练5　有下列函数：①y＝－2x；②y＝3x－1；③y＝x2－x＋3；④y＝log2(4x－1)；⑤y＝2x；⑥y＝ ；⑦y＝ .在其定义域内是奇函数的是(　　) A．①②③④ B．②⑤⑥⑦ C．①②⑦ D．①⑦ D 典例解析 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【方法点拨】　判断函数f(x)的奇偶性，首先应看其定义域是否关于原点对称．若不对称，则f(x)是非奇非偶函数；若对称，则应进一步考查f(x)和f(－x)之间的关系． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【提示】　y＝－2x是奇函数；y＝3x－1是非奇非偶函数；y＝x2－x＋3是非奇非偶函数；y＝log2(4x－1)是非奇非偶函数；y＝2x是非奇非偶函数；y＝ 是非奇非偶函数；y＝sin x－ 是奇函数． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例6　设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上为增函数．若f(－1)＝0，则使得f(x)>0的x的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－1，1) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B 典例解析 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【分析】　函数的单调性常应用于比较大小，增函数的自变量 和函数值的大小变化是一致的，减函数的自变量和函数值的大小变化是相反的． ∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(x)＝f(|x|). ∵f(－1)＝0，∴f(1)＝0. 又f(x)在(－∞，0]上是增函数，∴f(x)>0，即|x|<1，解得－1<x<1. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练6　设f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是单调增加的，则下列判断一定正确的是(　　) A．当x1＜0＜x2时，f(x1)＜f(x2) B．当x1＜0＜x2时，f(x1)＞f(x2) C．当x1＜x2＜0时，f(x1)＜f(x2) D．当x1＜x2＜0时，f(x1)＞f(x2) D 典例解析 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【方法点拨】　尽可能地画出图形，数形结合，化抽象为直观，可以帮助我们理解，从而更简捷地解决问题． 【提示】　∵偶函数图象关于y轴对称，∴当f(x)在(0，＋∞)上为增函数时，f(x)在(－∞，0)上是减函数，当x1＜x2＜0时，f(x1)＞f(x2). 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例7　已知f(x)是R上的减函数，且满足f(2a－5)<f(1－a)，试确定实数a的取值范围． 【分析】　本题是通过函数的单调性解决相关问题，让学生进一步加深对单调性的理解，掌握单调性的应用． 典例解析 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】∵f(x)是R上的减函数，且f(2a－5)<f(1－a)， ∴2a－5>1－a，解得a>2， ∴实数a的取值范围是(2，＋∞). 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练7　已知f(x)是定义在(1，＋∞)上的增函数，且f(3a＋1)－f(a＋4)<0，试确定实数a的取值范围． 【方法点拨】　增函数在同一单调区间上，自变量和函数值的大小变化是一致的，即x1<x2⇔f(x1)<f(x2). 典例解析 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：∵f(3a＋1)－f(a＋4)<0， ∴f(3a＋1)<f(a＋4)， 由题意得 解得 ∴0<a< ， ∴实数a的取值范围是 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 1．判断函数的奇偶性，首先应看其定义域是否关于坐标原点对称，若不对称，则既不是奇函数也不是偶函数；若对称，则应进一步考查f(x)和f(－x)的关系． 2．常函数f(x)＝a必是偶函数，当a＝0时，也是奇函数． 3．对含有指数、对数的函数，有时直接判断f(x)和f(－x)的关系较困难，此时可由f(x)±f(－x)＝0是否成立来判断． 回顾反思 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 4．函数单调性的判断，其自变量必须都在同一单调区间内进行，且尽可能地画出图形，数形结合，化抽象为直观帮助理解，从而更加有效地解决问题． 回顾反思 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 典例解析 例8　求下列函数的值域、最值、单调区间及增减性． (1)y＝3－(1＋x)2; (2)y＝1－x2＋4x. 【分析】 画出二次函数的简图(画成抛物线，注意开口方向，标出顶点)，就可根据简图说出其性质． 【解】(1)顶点坐标为(－1，3)，开口向下，简图如图3－2(a)所示． 变8 例9 变9 例10 变10 典例解析 例8 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 观察函数简图得值域为(－∞，3]，f(x)max＝f(－1)＝3， 函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数． 图3－2 典例解析 变8 例9 变9 例10 变10 典例解析 例8 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)配方得y＝5－(x－2)2，∴开口向下，顶点坐标为(2，5)，简图如图3－2(b)所示．观察函数简图得：值域为(－∞，5]，f(x)max＝f(2)＝5，∴函数在(－∞，2]上是增函数，在[2，＋∞)上是减函数． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练8　求函数f(x)＝－x2－2x＋1(－4≤x<1)的值域、最值、单调区间及增减性． 【方法点拨】　(1)定义域不为R的二次函数图象应注意标明端点(包含端点用实心点表示，不包含端点用空心点表示). (2)画图(只要求画简图)，识图(x，y的取值范围、关系、单调性、对称性)是研究函数性质的基本功，应注意掌握． 典例解析 变8 例9 变9 例10 变10 典例解析 例8 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：∵f(x)＝－x2－2x＋1＝－(x＋1)2＋2， ∴函数f(x)＝－x2－2x＋1(－4≤x<1)的对称轴方程为x＝－1，且f(－4)＝－9＋2＝－7，f(－1)＝2，f(1)＝－2， ∴函数f(x)的值域为[－7，2]，最小值为－7，最大值为2，在[－4，－1]上是增函数，在[－1，1)上是减函数． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例9　已知二次函数y＝x2－2x－8.求： (1)当x为何值时，y＝0？(2)当x为何值时，y<0? 【分析】 二次函数与二次方程、二次不等式有紧密的关系，绘制二次函数图象的草图，如图3－3所示，数形结合，是解决相关问题的重要方法． 图3－3　 典例解析 变8 例9 变9 例10 变10 典例解析 例8 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】(1)由y＝0得x2－2x－8＝0，解得x＝4或x＝－2. (2)由(1)知抛物线开口向上，与x轴相交于点(4，0)和(－2，0)(如图3－3所示).根据图象可知，当y<0时，x的取值范围是{x|－2<x<4}. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练9　(1)已知二次函数y＝(a－2)x2－3x－1的图象恒在x轴下方，求实数a的取值范围． (2)已知关于x的不等式二次函数(a－2)x2－3x+1>0的解集为R，求实数a的取值范围． 典例解析 变8 例9 变9 例10 变10 典例解析 例8 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【方法点拨】　利用二次函数、二次方程、二次不等式的紧密关系，结合二次函数的图象，数形结合，可以更直观地理解问题，找到解决问题的途径． 解：(1)由题意得 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） ∴ ∴a<－ ， ∴实数a的取值范围是 . (2)当a－2＝0时，－3x＋1>0， 解得x< ，不合题意，舍去； 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 当a－2≠0时， ∴ ∴a> ， ∴实数a的取值范围是 . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例10　求下列条件下的二次函数的解析式． (1)二次函数图象经过A(－2，0)，B(3，0)，C(1，6)三点； (2)二次函数的顶点坐标为(1，－2)，且f(2)＝1. 【分析】 待定系数法是求函数解析式的一种基本方法，要求学生熟知函数的常见表达式，并根据题意，灵活地选择表达式． 典例解析 变8 例9 变9 例10 变10 典例解析 例8 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】(1)由题可知函数图象与x轴交于点A(－2，0)，B(3，0)， ∴设二次函数的解析式为y＝a(x＋2)(x－3)(a≠0)， 将点C(1，6)代入得6＝a(1＋2)(1－3)， 解得a＝－1， ∴二次函数的解析式为y＝－(x＋2)(x－3)＝－x2＋x＋6. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－2(a≠0)， ∵f(2)＝1，∴1＝a(2－1)2－2，解得a＝3， ∴二次函数的解析式为y＝3(x－1)2－2， 即y＝3x2－6x＋1. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练10　已知二次函数的图象与x轴相交于(－1，0)，(3，0)两点，且当x＝1时，二次函数有最小值为－3，求此二次函数的解析式． 【方法点拨】　(1)画出简图，通过数形结合或借助对称性求出图象与x轴的交点坐标，得出新结论，这样有利于解决问题． (2)根据条件灵活地选择二次函数的表达式，可使运算简便． 典例解析 变8 例9 变9 例10 变10 典例解析 例8 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)， 且图象经过点(1，－3)，则－3＝a(1＋1)×(1－3)， ∴a＝ ， ∴二次函数的解析式为y＝ (x＋1)(x－3)， 即y＝ x2－ x－ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 1．解决一元二次函数的问题，要充分利用二次函数、二次方程、二次不等式的关系，数形结合，特别是图象的对称性． 2．根据条件灵活地选择二次函数的表达式，尽可能地使运算简便． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例11 计算：4× ＋lg 20－3tan2 ＋ . 【分析】 对数、指数运算，是对口高职考试的必考项目，运算时要充分运用好指数、对数的性质； 在运算时，小数一般化为分数，根式一般化成指数式． 典例解析 例11 变11 例12 变12 例13 变13 例14 变14 例15 变15 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】原式＝4× ＋lg1－3× ＋10×9 ＝8＋0－1＋90 ＝97. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练11　计算：20＋ln e3－cos － . 【方法点拨】　常见对数计算的基本类型． (1)求单个对数的值时，可把底数、真数写成同底的幂的形式，复杂的可用换底公式求出． (2)同底的对数式的和、差，有“合”与“分”两种处理方法． 典例解析 例11 变11 例12 变12 例13 变13 例14 变14 例15 变15 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） “合”的方法是将同底对数的和、差运用对数的运算法则，转化为真数的积、商、幂、方根，即将几个同底对数的和、差合成一个式子后再求值．“分”的方法是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数运算法则，转化为同底对数的和、差，然后计算． (3)不同底的混合运算，注意先用换底公式化为同底，再用对数性质化简计算． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：原式＝1＋3－ －2＝ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例12　若ln a＝ ，则下列等式成立的是(　　) A． ＝e B．a＝ C．2ea＝1 D．a2＝ 【分析】 由对数的概念得a B 典例解析 例11 变11 例12 变12 例13 变13 例14 变14 例15 变15 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练12 指数式2－3＝ 化成对数式为(　　) A． 2＝－3 B． (－3)＝2 C．log2(－3)＝ D．log2 ＝－3 D 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【方法点拨】　记住一些常见的转化，特别是一些常见数的乘方，可简化运算过程，提高运算的效率和准确度． 【提示】 根据对数式与指数式的互化进行求解． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例13　若loga8＝3，则实数a等于 (　　) A． B．2 C．3 D．4 【分析】 ∵a3＝8，∴a＝2. B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练13　下列结论正确的是(　　) A．－log3(－9)＝2 B．loga ＝ C．ln e3＝e3 D．lg100＝1 B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【方法点拨】　记住数2，3，10的乘方，可简化运算过程，提高运算的效率和准确度． 【提示】 根据对数的概念和性质进行求解． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例14　(1)下列式子中，运算正确的有(　　) ①a3＋a3＝a6；②a3·a3＝a9；③(a3)2＝a9；④(ab)3＝a3b3. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (2)把根式 (a>0)化成指数式为(　　) A．a－3 B． C． D． A D 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (3)下列各式中，正确的是(　　) A．log27－log26＝ B． ＝log2(8－4) C．log57＝ D． ＝log2 【分析】 指数和对数的公式和结论很容易混淆，必须注意区分并牢固掌握． C 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练14　(1)已知a>0且a≠1，则下列各式的运算中，结果正确的是(　　) A．a0＝0 B．loga1＝1 C．aa＝1 D．alogaa3＝3a D 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)化简： ； 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (3)求值： 解：原式＝ ＝ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） ＝ ＝ 2 . 【方法点拨】　掌握指数式和对数式的运算技巧，这样可简化运算． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例15　已知lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771，求lg 24和lg 5的近似值． 【分析】 指数、对数运算法则不应只是熟记，还应理解其特点，学会正向、反向的熟练运用． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】lg24＝lg(3×23)＝lg3＋3lg2≈0.4771＋3×0.3010＝1.3801， lg5＝lg ＝lg10－lg2≈1－0.3010＝0.6990. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练15　已知ax＝5，ay＝3，求a2x－y的值． 【方法点拨】　熟练掌握指数和对数的运算法则是解题的关键． 解：a2x－y＝a2x÷ay＝(ax)2÷ay＝52÷3＝ . 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 1．指数的运算法则必须熟记． 2．对数计算的基本类型，单个的可写成同底的幂的形式；复杂的可用换底公式求出；同底对数的和差，可以用“合”，也可以用“分”来计算；不同底的混合运算，可先用换底公式化为同底，再用对数性质化简计算． 3．灵活运用指数式与对数式的互化． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例16 若实数a，b满足 则(　　) A．b>a>0 B．b<a<0 C．a>b>0 D．a<b<0 D 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【分析】 本题考查的是指数函数的单调性． ∵指数函数y＝ 是减函数，且 ， ∴a<b<0. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练16　(1)若 ，则x的取值范围是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．(－∞，5) B．(－∞，0) C．(0，5) D．(5，＋∞) 【提示】 ∵y＝ 在(0，＋∞)上是减函数， ∴当 时，0<x<5. C 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)下列各式：①20.1<20.2；②log0.53>log0.52；③ >1；④lg <0.其中，正确的个数是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 【提示】 ①③④正确． B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【方法点拨】 (1)指数、对数的大小比较中，主要是运用函数的单调性，同底是关键．不同底的化成同底，不能化成同底的考虑引入中间量，应用不等式的传递性比较． (2)0和1是最常引入的中间量，转化时注意对数式、指数式的区分． (3)在性质的应用中，一定要使式子有意义． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例17 设指数函数f(x)＝ax的图象经过点(3，8)，则 f 等于(　　) A． B． C． D．2 C 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【分析】本题综合考查了待定系数法以及指数方程的知识点． ∵f(x)＝ax的图象过点(3，8)，∴a3＝8，a＝2，∴ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练17　已知对数函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)的图象经过点(25，2). (1)求函数f(x)的解析式； (2)若1－f(7－x)≥0，求x的取值范围． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【方法点拨】(1)待定系数法的步骤：设式(设函数解析式)——列式(列方程求其中的待定系数)——得式(得出函数解析式). (2)解对数不等式时，其结果一定要在函数定义域内． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：(1)∵图象经过点(25，2)， ∴2＝loga25，即a2＝25(a>0)，解得a＝5. ∴f(x)＝log5x. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)由1－f(7－x)≥0得1－log5(7－x)≥0， 即log5(7－x)≤log55，∴ 解得2≤x<7. ∴x的取值范围是[2，7). 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例18　(1)函数y＝2＋3x的值域为(　　) A．(0，＋∞) B．(2，＋∞) C．(3，＋∞) D．[2，＋∞) B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)在同一坐标系中，当m>1时，函数y＝logmx和y＝m－x的大致图象是(　　) 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)在同一坐标系中，当m>1时，函数y＝logmx和y＝m－x的大致图象是(　　) A 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【分析】　指数、对数函数的图象与性质是对口考试中的重要内容，学习中要牢固掌握并准确区分指数、对数函数的图象和性质． (1)由指数函数值域得3x>0，则2＋3x>2，即y>2. (2)∵m>1，∴对数函数y＝logmx为增函数，指数函数y＝m－x＝ 为减函数． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练18　函数f(x)＝3＋loga(x－1)(a>0且a≠1)的图象必经过点(　　) A．(0，3) B．(3，2) C．(2，3) D．(2，1) 【方法点拨】　注意从基本的指数、对数函数性质出发，综合地利用等式、不等式的性质去解决问题． C 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【提示】 当x＝2时，y＝3＋loga(2－1)＝3＋0＝3，∴图象必经过定点(2，3). 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例19　求下列函数的定义域． (1)y＝lg (3x－x2); (2)y＝ 【分析】求函数的定义域是函数研究的重要内容之一，首先要根据使函数解析式有意义的要求，正确列出不等式(组)，然后解出不等式(组). 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】(1)由题意得3x－x2>0，即x(x－3)<0，解得0<x<3， ∴函数的定义域为(0，3). (2)由题意得1－ ≥0，即 ≤1＝ . 根据指数函数的单调性得x＋2≥0，即x≥－2，∴函数的定义域为[－2，＋∞). 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练19　求下列函数的定义域： (1)y＝lg (2＋3x); (2)y＝1－ 【方法点拨】　解指数、对数不等式，主要通过其单调性转化加以解决． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：(1)由2＋3x>0得x>－ ， ∴函数的定义域为 (2)由题意得 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 即 根据对数函数的单调性得 化简得 ∴－1<x<9. 故函数的定义域为(－1，9). 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例20　解下列不等式： (1) < 4x＋1; (2)lg (7x－x2)>1. 【分析】利用指数、对数不等式的单调性是解决此类问题的关键． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】(1)原不等式可变形为(2－1)x－3<(22)x＋1，即2－x＋3<22x＋2， ∴－x＋3<2x＋2，解得x> .∴原不等式的解集为 (2)lg (7x－x2)>1⇒lg (7x－x2)>lg 10⇒ ⇒ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） ⇒ ⇒2<x<5. ∴原不等式的解集为(2，5). 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练20　解下列不等式： (1) ; (2)log3(－x2－3x)≤log32. 【方法点拨】　对数不等式的结果应当使其式子有意义，即结果是不等式的解集和使其式子有意义的取值范围的交集． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：(1)由原不等式得 ， ∵y＝ 在R上是减函数， ∴x2－x≤2，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2. ∴原不等式的解集为[－1，2]. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)由原不等式得 解得－3<x≤－2或－1≤x<0. ∴原不等式的解集为(－3，－2]∪[－1，0). 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 1．从指数、对数函数的基本性质出发，综合地利用等式、不等式的性质去解决问题． 2．解指数、对数不等式，必须运用单调性进行转化，且其结果一定要在函数定义域内． 3．待定系数法的步骤：设式→列式→得式． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例21　某公司推出一种新产品，成本为6万元/台，当售价为10万元/台时，每月可售出6台；当售价为12万元/台时，每月可售出4台．如果销售量y(台)是售价x(万元/台)的一次函数，那么售价为多少时，每月的利润最大？最大利润是多少？ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【分析】本题首先通过建立一次函数模型和二次函数模型，然后再利用函数性质解决问题．待定系数法是求函数解析式的重要方法． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】设y＝kx＋b，由题意得 解得 ∴y＝－x＋16(6<x<16且x∈N*). 设售价为x(万元/台)时，利润为h(x)万元，由题意得 h(x)＝y(x－6) 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） ＝(－x＋16)(x－6) ＝－x2＋22x－96 ＝－(x－11)2＋25(6<x<16且x∈N*). ∴当x＝11时，hmax＝25. 答：当售价为11万元/台时，每月的利润最大，最大利润为25万元． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练21　已知超市销售某种商品，平均每月销售量x(件)与售价m(元/件)之间的函数关系式为m＝100－x.销售x(件)商品的成本函数为p＝400＋20x.设每月的利润为y(元). (1)求y与x的函数关系式； (2)当x为何值时，y最大？并求出每月的最大利润． 【方法点拨】　利润＝售价×销售量－总成本． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 解：(1)y＝mx－p＝(100－x)x－(400＋20x)＝－x2＋80x－400， 即y＝－x2＋80x－400(x<100且x∈N). (2)∵y＝－x2＋80x－400＝－(x－40)2＋1200， ∴当x＝40时，y最大，每月的最大利润为1200元． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例22 现需做一个如图3－4所示的“目”字型框架，其中，横框采用20元/米的A类木材，竖框采用30元/米的B类木材．若现用240元做这个框架，则当横框和竖框长度分别为何值时，框架的面积最大？并求其最大面积． 图3－4 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【分析】本题主要是二次函数图形类问题的应用，应抓住图形特点，建立相应函数关系，然后应用函数性质解决问题． 解：设横框长度为x(m)，竖框长度为y(m)， 则4×x×20＋2×y×30＝240，∴y＝4－ x(0<x<3)， 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 则 (0<x<3)， ∴当x＝ 时，S取得最大值3，此时y＝4－ ＝2， 故当横框和竖框长度分别为 m和2 m时，框架的面积最大，且最大面积为3 m2. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例23　一家酒店有客房200间，每间房租120元/天，现每天都客满．酒店欲提高档次，并提高租金．如果每间房租每天每增加20元，客房出租数会减少10间．房间出租后，每间房间每天会产生水、电、清洁等费用40元，若不考虑其他因素，求酒店将客房租金提高到多少时，酒店每天的利润最大？最大利润是多少？ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【分析】仔细分析问题中各个量之间的关系，才能正确地设出自变量，列出函数关系式． 【解】设每间客房租金提高x个20元，酒店每天的总利润为y(元)，则每间客房的租金实际为(120＋20x)元，每间客房的利润为(120＋20x－40)元，每天能出租(200－10x)间客房，由题意得 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） y＝(120＋20x－40)(200－10x)(0≤x<20且x∈Z)， 化简得y＝－200x2＋3 200x＋16 000＝－200(x－8)2＋28 800， ∴当x＝8时，ymax＝28 800(元)，这时每间客房租金为120＋8×20＝280(元). 答：酒店将客房租金提高到280元时，酒店每天利润最大，最大利润为28 800元． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例4　某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销量k(件)与每件的售 价x(元)满足函数关系式 (1)写出商场每天销售这种商品的利润y(元)与每件的售价x(元) 之间的函数关系式(每件商品的利润＝售价－进价)； 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)商场在销售这种商品过程中，要想获得最大利润，每件商品的售价是多少？每天的最大利润是多少？ 【分析】本题主要考查二次函数应用中的利润型问题，也与实际生活密切联系，特别注意的是数量之间的等量关系．首先要从已知的分段函数中筛选出所需的关系式，然后再求解． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【解】(1)由题意得y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4860，0<x<54. (2)由(1)得y＝－3x2＋252x－4860 ＝－3(x2－84x)－4860 ＝－3(x－42)2＋432， ∴当x＝42时，ymax＝432. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） ∴每件商品的售价是42元时，每天可获得最大利润，最大利润为432元． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例25　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，其中一个交点的坐标为(－3，0)，对称轴方程为x＝－1，且f(x)的最小值为－8. (1)求a，b，c的值； (2)若f(x)不大于10，求x的取值范围． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【分析】　根据顶点坐标设出二次函数的解析式，再将交点坐标代入即可． 【解】(1)∵二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(－1，－8)， ∴可设f(x)＝a(x＋1)2－8. 又图象经过点(－3，0)， 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） ∴a(－3＋1)2－8＝0，解得a＝2. ∴f(x)＝2(x＋1)2－8＝2x2＋4x－6， ∴a＝2，b＝4，c＝－6. (2)由f(x)≤10得2x2＋4x－6≤10， 即x2＋2x－8≤0，解得－4≤x≤2. ∴x的取值范围是{x|－4≤x≤2}． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 回顾反思 函数应用题一般分为两类题型，面积类和利润类．不论哪一类，分析方法都一样，都需要按照步骤完成． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART.04 课堂小结·查漏补缺 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 197 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 198 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 199 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 200 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 201 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 202 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 203 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 204 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 205 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 206 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 207 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 208 本课结束 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 函数 函数的综合应用 函数的单调性和奇偶性 函数的概念及表示法 函数的综合应用 一元二次函数 函数的奇偶性 函数的单调性 函数的表示法 函数的概念 函数的对称性 基本函数的单调性和奇偶性 增函数 奇函数 偶函数 减函数 列表法 图象法 解析法 两种特殊函数 $$