专题01 集合与不等式（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（湖南专用）

专题一 集合与不等式 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 考纲要求·考情分析 01 考点突破·考法探究 03 04 课堂小结·查漏补缺 02 知识清单·网络构建 √ √ √ √ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART.01 考纲要求·考情分析 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 考纲解读 1.集合 (1)理解集合、元素的概念及其关系，掌握集合的表示法． (2)掌握集合之间的关系(子集、真子集、相等）． (3)理解集合的运算(交、并、补）． (4)了解充要条件． 2.不等式 (1)理解不等式的基本性质. (2)掌握区间的概念． (3)掌握一元二次不等式的解法． (4)了解含绝对值的不等式|ax+b|<c(或>c)的解法． (5)掌握从实际问题中抽象出一元二次不等式模型解决简单实际问题的方法. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 考查方向 本章内容一般以选择题的形式考查，难度不大，主要考查方向如下： 1.集合之间的关系和集合的运算； 2.充分必要条件 3.不等式基本性质的应用 4.解一元二次不等式和含绝对值的不等式 复习建议 在本章的复习过程中，要准确理解元素的概念与性质，集合的概念、分类及其与元素的关系，学会应用常用数集、空集和全集；同时熟练掌握集合的两种表示法和集合间关系的判定方法，并能够进行集合的运算和充分必要条件的判断；理解不等式的基本性质及各类区间的概念，掌握一元二次不等式与一元二次方程及判别式之间的关系，熟记一元二次不等式的解集公式，会求解一元一次不等式（组）、一元二次不等式及含绝对值的不等式，并会利用一元二次不等式模型解决简单的实际问题 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART.02 知识清单·网络构建 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 一、教材概念·结论·性质重现 1．元素与集合、集合与集合间的关系 (1)集合中元素的三个特征：确定性、_______、_______． (2)元素与集合的关系：_____(用符号“∈”表示)和_______(用符号“∉”表示)． (3)集合的表示法：列举法、_______． 互异性 无序性 属于 不属于 描述法 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 9 集合的分类 按所含元素个数的不同，可将集合分为有限集、无限集和空集． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (4)集合与集合间的基本关系 ①子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素．用符号表示为_____(或_______)． Venn图如图所示： A⊆B B⊇A 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 11 ②真子集：集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A.用符号表示为：AB(或BA)． Venn图如图所示： 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 12 ③集合相等：集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素．用符号表示为_____． Venn图如图所示： A＝B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 13 2．集合的基本运算 (1)交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合．用符号表示为A∩B＝____________________． Venn图如图所示： {x|x∈A，且x∈B} 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 14 (2)并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合．用符号表示为A∪B＝____________________． Venn图如图所示： {x|x∈A，或x∈B} 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 15 (3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集．用符号表示为∁UA＝____________________． Venn图如图所示： {x|x∈U，且x∉A} 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 16 3．集合的运算性质 (1)并集的性质：A∪∅＝∅∪A＝A；A∪A＝A. (2)交集的性质：A∩∅＝∅∩A＝∅；A∩A＝A. (3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 17 1．A∪B＝A⇔B⊆A. 2．A∩B＝A⇔A⊆B. 3．∁U(∁UA)＝A. 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 18 4．常用结论 (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个． (2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. (3)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)， ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 19 5．充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q，则p是q的_____条件，q是p的_____条件 p是q的___________条件 p⇒q且qp p是q的___________条件 Pq且q⇒p p是q的_____条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 20 A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者不同，在解题时要弄清它们的区别，以免出现错误． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 21 关系 方法 作差法 作商法 a>b a－b>0 a＝b a－b＝0 a<b a－b<0 6.两个实数比较大小的依据 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒a＞c ⇒ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔ 可乘性 注意 c 的符号 7.不等式的基本性质 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 性质 性质内容 特别提醒 同向可加性 ⇒ 同向同正可乘性 ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) a，b同为正数 可开方性 a，b 同为正数 (续表) 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 【名师点睛】(1)有关分式的性质 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） (2)分式不等式的解法 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 8．一元二次不等式 一般地，把只含有___个未知数，并且未知数的最高次数是__的不等式，称为_________不等式，一般形式是______________或________ ______，其中a，b，c为常数，a≠0. 一 一元二次 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx ＋c<0 2 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 27 9．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝ b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 28 判别式Δ＝ b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 __________________ __ ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 _________________ ___ ___ {x|x＞x2或x＜x1} R {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 29 10.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 ___________ _________ __________________ (x－a)·(x－b)<0 ______ ∅ _______________ {x|x<a或 x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a} {x|a<x<b} {x|b<x<a} 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 30 1．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记a＝0时的情形． 2．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)对∀x∈R恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 31 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 32 解一元二次不等式的一般方法和步骤 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 33 解含参数一元二次不等式的分类讨论依据 提醒：含参数讨论问题最后要综上所述． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 34 11.含绝对值的不等式 绝对值内含有未知数的不等式称为含绝对值的不等式． 解含绝对值的不等式的总体思想是将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 对于形如 与 的不等式，可以通过“变量替换”的方法求解，就是用单一的字母表示一个代数式，从而使一些数学问题化难为易，化繁为简． 例如，不等式 中，设 ，则原不等式可转化为 ，其解集为 或 ，即 或 ，进而求出原不等式的解集． 解题通法 解含绝对值的不等式，既可以通过“变量替换”的方法求解，也可以应用“大于取两边，小于取中间”的规律去掉绝对值符号，进而转化为一元一次不等式（组）再进行求解． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 考点突破·考法探究 PART.03 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例1  下列对象能否组成一个集合？ （1）所有短发的女生； （2）1～10以内的所有奇数； （3）非常大的数； （4）方程 的所有实数根； （5）不等式 的所有解． 解析： （1）由于“短发”没有具体的标准，表述的对象是不确定的，所以不能构成一个集合． （2）由于1～10以内的所有奇数包括1，3，5，7，9五个数，它们是确定的对象，因此可以构成一个集合． （3）由于“非常大的数”没有具体的标准，表述的对象是不确定的，所以不能构成一个集合． （4）方程 的所有实数根为 和 ，它们是确定的对象，因此可以构成一个集合． （5）解不等式 ，可得 ，它们是确定的对象，因此可以构成一个集合． 【名师点睛】 本题考查集合的概念，即集合是由某些确定的对象组成的整体；如果表述的对象是不确定的，就不能构成一个集合． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练1 以下对象能构成集合的是__________． （1）某校2035年招收的高个子学生； （2）著名的数学家； （3）与0接近的全体实数； （4）在直角坐标平面内，第一象限内所有的点． 解析： （1）由于“高个子”没有具体的标准，表述的对象是不确定的，所以不能构成一个集合． （2）由于“著名的”没有具体的标准，表述的对象是不确定的，所以不能构成一个集合． （3）“与0接近”没有具体的标准，表述的对象是不确定的，所以不能构成一个集合． （4）在直角坐标平面内，第一象限内的所有点即 且 的点，它们是确定的对象，因此可以构成一个集合． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例2  设集合 ， ，则下列表述中正确的是（ ）． A． B． C． D． 解析： 元素 与集合 的关系应是属于与不属于，因为 ，所以 ． 【名师点睛】 本题考查元素与集合的关系及其符号表示． A 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练2 设集合 ， ，则（ ）． A． B． C． D． 解析： 因为 ，所以 ． B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例3  若 ，求实数 的值． 解析： 因为 ，所以 ，解得 ． 故实数 的值为2或 ． 【名师点睛】 本题考查根据元素与集合之间的关系计算集合中的未知数，但应注意要将计算结果代入集合中进行检验，观察是否满足集合中元素的互异性特征，即集合中的任何两个元素必不相同． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练3 集合 ，若 ，求实数 的值． 解析： 因为 ，所以有 或 ． （1）若 ，解得 ， ． （2）若 ，解得 ． 又因为当 时， ，不符合集合中元素的互异性特征，应舍去． 综上所述 ，此时 ． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例4  用列举法表示下列集合． （1）英文单词good中的字母组成的集合；（2）方程 的解集； （3）大于 且小于7的偶数组成的集合． 解析：（1） ； （2） ； （3） ． 【名师点睛】 本题考查集合列举法的应用，用列举法表示集合时，需先确定元素，同时需注意集合中元素的互异性特征． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练4 用列举法表示下列集合． （1） ； （2） ； （3） 答案：（1） ；（2） ；（3） ． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例5  用描述法表示大于3的所有奇数组成的集合． 解析：该集合中元素的共同属性可以描述为 且 ，所以这个集合可以表示为 ． 【名师点睛】 本题考查集合描述法的应用． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 敲黑板 用描述法表示集合时，应注意以下几点： （1）用于描述元素特征性质的语句要简明、准确，不产生歧义；多特征描述时，应准确使用“且”“或”等关联词； （2）所有描述的内容都要写在大括号内； （3）在不引起混淆的情况下，还可用描述法的简略形式表示集合，如{正整数}{实数}等． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练5 用描述法表示下列集合． （1）不超过6的整数构成的集合； （2）不等式组 的解集； （3）不小于2的全体实数． 答案： （1） ； （2） ； （3） ． 若集合中的元素较少，通常用列举法表示； 若集合中的元素较多或无限，则通常用描述法表示， 但如果这些元素存在一定的规律，在不产生误解的情况下，也可以用列举法表示． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例6  设集合 ，试写出集合 的子集、非空子集、真子集和非空真子集． 解析：由集合 可得其子集为 ，共8个； 非空子集为 ，共7个； 真子集为 ，共7个； 非空真子集为 ，共6个． 【名师点睛】 一般地，如果集合 有 个元素，那么它共有 个子集、 个非空子集、 个真子集和 个非空真子集． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练6 一个集合的非空子集有63个，则这个集合的非空真子集的个数为________． 解析： 含有 个元素的集合，它的非空子集的个数为 ，非空真子集的个数为 ，故该集合的非空真子集的个数为 ． 62 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例7  已知集合 ， ，集合 满足 ．这样的集合 共有（ ）． A．7个 B．255个 C．256个 D．254个 解析：集合 应是集合 与集合 的非空子集的并集，所以集合 的个数即为集合 的非空子集的个数．因为集合C的元素个数为8，所以集合C的非空子集的个数为 ，即集合 的个数为255． 【名师点睛】 根据子集和真子集的定义，可得集合M的个数即为集合 的非空子集的个数． B 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练7 满足 的集合 的个数为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 解析：集合 应是集合 与集合 的真子集的并集，因为集合 的真子集的个数为 ，所以集合 的个数为3． C 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例8  下列选项中， 和 表示同一个集合的是（ ）． A． ， B． ， C． ， D． ， 解析： A选项中， ，集合 与 不相等；B选项中，集合 与 的元素个数不同，故两集合不相等；C选项中，集合 与 的元素完全相同，两集合相等；D选项中，集合 与 中的元素不同，即两个点的坐标不同，故两集合不相等． 【名师点睛】 判断两个集合是否相同，需判断它们的元素是否相同，与元素的排列顺序无关． C 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练8 设集合 ， ， ，求实数 的取值范围． 答案： 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例9  已知 ， ，若 ，求实数 的取值范围． 解析： 因为 ，所以B不是空集．因为 ，所以有 解得 ． 【名师点睛】 如图所示，可利用数轴比较两个集合的端点，列出不等式，进而求解未知数的取值范围． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例10  设全集 ，集合 ， ，则 （ ）． A． B． C． D． 解析： 因为 ， ，所以 ． 【名师点睛】 先求 ，再求 ，计算时需注意所求集合中的元素不要遗漏或重复． C 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练10 设全集 ，集合 ，则下列关系式中错误的有（ ）． ① ② ③ ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 B 解析： 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例11  已知集合 ， ，求 ． 解析： 由题意得，集合 ， 的交集就是二元一次方程组 的解 集．解方程组，得 所以 ． 【名师点睛】 掌握描述法表示集合交集的求法． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练11 已知 ， ，求 ． 解析： 由题意得，集合 ， 的交集就是二元一次方程组 的解 集．解方程组，得 或 所以 ． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例12  设集合R为全集，集合 ， ，求解以下各式． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练12 已知全集为R，集合 ， ，求解以下各式． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例13  已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）． A． B． C． 或 D． 解析：集合 ，在数轴上画出集合 ，如图所示． 由图可得 或 ，解得 或 ． 【名师点睛】先化简集合 ，再用数轴表示集合，根据端点之间的关系列出不等式进行求解，最后将结果代入进行验证． C 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练13 已知集合 ， ，且 ， 求实数 的取值范围． 解析：因为集合 ，且 ，在数轴上画出集合 ， ， ，如图所示，阴影部分为集合 ． 可得 ，解得 ， 故实数 的取值范围是 ． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例14  已知集合 ， 且 ， 求 的值． 解析： 因为 ，所以由交集的定义可得 是方程 和 的根，将 代入方程 ，解得 ，进而解得方程 的另一个根为 ，所以集合 ．又因为 ，所以集合 ．将 代入方程 可得 解得 【名师点睛】 由交集的定义可得 既在集合 中，又在集合 中，即 是两个一元二次方程的解，将 代入集合 的方程中可求出 的值，再由并集的定义得出集合 中方程的另一个根，进而求出 ， 的值． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 充分不必要条件 例15  将“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”填入下列空格中． （1）“ 是实数”是“ 是有理数”的 ___________________； （2）“ 是正方形”是“ 是矩形”的 __________________； （3）“ ”是“ ”的_______________； （4）“ ”是“ ”的 ____________________． 必要不充分条件 充分不必要条件 充分必要条件 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 变式训练15 将“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”填入下列空格中． （1）“ ”是“ ”的_______________； （2）“ ”是“ ”的________________； （3）“ ”是“ ”的_______________． 答案： （1）充分必要条件；（2）充分不必要条件；（3）必要不充分条件． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 例16  用“ ”或“ ”填空． v[ 解析： （1）由 ，可得 ． （2）由 ， ，可得 ． （3）由 ， ，可得 ． （4）由 ， ，可得 ，则 ． 【名师点睛】 本题主要考查不等式的加法和乘法法则． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 例17  当 时，判断 与 的大小． 解析: 应用作差比较法，因为 ，且当 时， 恒成立，所以 ． 【名师点睛】 对于用字母表示的两个实数，一般通过判断它们之间差的符号来比较它们的大小． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 解析: A选项缺少对a，b，c，d 同为正数的限制；B选项缺少对c为正数的限制；C选项要成立，还要求 a，b 同号；D选项满足同向不等式的可加性． 【名师点睛】 本题考查不等式的基本性质及其推论．  例18 下列命题中，正确的是（ ）． A．若 ， ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ， ，则 D 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 例19  设全集 ，集合 ， ，则 _________， _________．（用区间表示） 解析：解不等式可得集合 ， ，所以 ．由全集 可得 ，所以 ． 【名师点睛】 本题考查不等式的求解、集合的运算及区间的表示方法． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 例20  解下列不等式． （1） ； （2） ； （3） ． 解析 （1）原不等式移项后得 ，解得 ，所以原不等式的解为 ． （2）原不等式移项后得 ，解得 ，所以原不等式的解集为 ． （3）原不等式去分母后得 ，去括号后得 ，移项后得 ，解得 ．因此，原不等式的解集是 ． 【名师点睛】 本题考查一元一次不等式的求解． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 解析: 由原不等式组解得 所以原不等式组的解集为 ． 【名师点睛】 先按照解一元一次不等式的步骤分别求出每一个不等式的解集，然后根据“大小、小大取中间”的口诀求其交集，即为原不等式组的解集． 例21  解不等式组： 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 例23  解不等式： ． 解析: 可变形为 ．因为方程 中， ，所以方程 有两个实数解，求得该方程的解分别是 ， ，所以不等式 的解集为 ，即原不等式的解集为 ． 【名师点睛】 本题可利用一元二次函数的性质及一元二次不等式的解集公式进行求解． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 例24 已知一元二次不等式 的解集是 ，则a-b=_________． 解析: 由不等式 的解集为 可知，方程 的两个实数解为 和 ．由韦达定理，得 解得 ， ，所以 ． 【名师点睛】 题中一元二次不等式的解集的区间端点取值即为对应的一元二次方程的两个实数解． -10 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 例25 当 时，不等式 的解集是____________． 解析: 将原不等式 因式分解后，得 因为 ，所以 ． 根据同解变形后的判断依据可得，不等式 的解集为 ，即原不等式的解集为 ． 【名师点睛】 解此题的关键是根据 来判断a与2a的大小，进而求解不等式． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用）  例26  某校园内有一块长为 、宽为 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉（花卉带的宽度相同），中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围． v[ 解析: 设花卉带的宽度为 ，则中间草坪的长为 ，宽 为 ．根据题意可得 ， ,即 或 （符合题意，舍去）．故所求花卉带宽度的范围为 ． 【名师点睛】 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[  例27 解不等式： ． 解析 由绝对值的几何意义可得 ，所以不等式 的解集是 ． 【名师点睛】 的几何意义是指数轴上表示实数x的点到原点的距离，因此有 ． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 例28  解不等式： ． 解析: 不等式 可变形为 ，展开，得 ，可变形为 ，解得 ，所以不等式 的解集是 ． 【名师点睛】 题中绝对值内x的系数是负的，需先化负为正，再利用“变量替换”的方法解不等式，变量替换的书写过程可以省略． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[  例29 解不等式： ． 解析 方法一：原不等式可变形为 即 进一步，得 解得 或 ，所以原不等式的解集为 ． 方法二：利用绝对值的几何意义求解．原不等式 或 ，解得 或 ，所以原不等式的解集为 ． 【名师点睛】 对于此类含绝对值的不等式（组），应用绝对值的几何意义进行求解的方法更为简便． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） v[ 例30 若不等式 的解集是 ，求 的值． 解析: 原不等式变形为 ，即 ．因为原不等式的解集为 ，所以有 解得 【名师点睛】 对于此类含参数的绝对值不等式，可利用待定系数法进行求解． 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） PART.04 课堂小结·查漏补缺 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 82 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 83 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 84 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 85 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 86 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 87 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 88 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 89 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 90 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 91 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 92 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 93 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 94 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 95 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 96 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 97 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 98 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 99 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 100 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 101 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 102 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 103 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 104 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 105 备战2025年（对口升学）数学二轮复习专项突破（湖南专用） 106 本课结束 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