专题05全等三角形常考模型（考题猜想，8种模型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

专题05全等三角形常考模型（考题猜想，8种模型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一线三等角模型 手拉手模型-旋转型全等 倍长中线模型 平行线+线段中点构造全等模型 “雨伞”模型 半角模型  截长补短模型 角平分线+垂直构造全等模型 模型一：一线三等角模型 过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。 过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS） 常见的两种图形： 1.（23-24八年级·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 2．（2023秋•海淀区校级期中）如图，为等腰直角三角形，，于点，与交于点，若，则　　；若，，则　　． 3.（23-24八年级·北京朝阳·期中）如图，∠B=∠C=∠FDE=80°，DF=DE，BF=1.5cm，CE=2cm，求BC的长． 4．（2023秋•海伦市校级期中）在△中，，，过点作直线，于点，于点． （1）若在△外（如图，求证：； （2）若与线段相交（如图，且，，则　　． 5．（2023秋•三台县期中）为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底的距离与旗杆的高度都等于12米，量得旗杆与楼之间距离为米，求每层楼的高度大约多少米？ 6．（2023秋•东丽区期中）在中，，，直线经过点，且于点，于点． （1）当直线绕着点旋转到如图1所示的位置时， 求证：①； ②； （2）当直线绕着点旋转到如图2所示的位置时， ①找出图中一对全等三角形； ②、、之间有怎样的数量关系，并加以证明． 7．（2023秋•莫旗校级期中）已知和，，．连接、，过点作于点，反向延长线段交于点． （1）如图1，当时 ①请直接写出与的数量关系： 　　（填“”、“ ”、“ ” ②求证： （2）如图2，当时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 8．（2023秋•东区校级期中）在直线上依次取互不重合的三个点，，，在直线上方有，且满足． （1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 　 　； （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展与应用：如图3，当时，点为平分线上的一点，且，分别连接，，，，试判断的形状，并说明理由． 9．（2023春•海州区校级期中）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角△中，，，过点作直线，于，于，求证：△△； （2）问题探究：如图2，在等腰直角△中，，，过点作直线，于，于，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，△为等腰直角三角形，，，求点坐标． 10．（2023秋•龙马潭区校级期中）【建立模型】如图①，等腰直角三角形的直角顶点在线段上，过点作于点，过点作于点，可以得到结论：． 【运用模型】请利用这一结论解决下列问题： （1）如图①，请证明； （2）如图②，在平面直角坐标系中，，，过点作，使，请直接写出点的坐标． （3）如图③，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点的坐标． 模型二：手拉手模型-旋转型全等 【基本模型】 一、等边三角形手拉手-出全等 二、等腰直角三角形手拉手-出全等 两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：[来源:Z#xx#k.Com] 1 △BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE； 三、奔驰模型 旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。我们不仅要掌握这类题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点 :旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题 四、费马点模型 费马点就是到三角形的三个顶点距离之和最小的点. 最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所以掌握费马点等此类最值经典题是必不可少的. 11．（2023秋•滨海新区校级期中）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④连接，平分；⑤．恒成立的结论有　　 A．①⑤ B．①②⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 12．（2023秋•思明区校级期中）如图，四边形，，，，，等边三角形的顶点，分别在边和上，点在上，，连接，．（1）求证：； （2）求的长度． 13．（2023春•平遥县期中）综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 初步把握如图2，与都是等腰三角形，，，且，则有 　　　　． 深入研究如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，求证：． 拓展延伸如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 14．（2023秋•青山区期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在轴和轴上，且，． （1）如图1，若点的坐标，点的坐标，求点的坐标； （2）过点作，交轴于点，是边上一点，过作交射线于点． ①如图2，若点与点重合．求证：； ②如图3，过点作线段且，取的中点，交于点，设，，直接写出的面积（用含，的式子表示）． 15．（2023秋•翠屏区期中）（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：； （2）如图2，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接． 填空：的度数为 　　；线段与之间的数量关系是 　　． （3）拓展探究 如图3，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由． 题型三：倍长中线模型 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 主要思路：倍长中线（线段）造全等 在△ABC中 AD是BC边中线 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE 延长MD到N， 使DN=MD，连接CD 16．（2023秋•睢阳区期中）如图，已知是中边上的中线，，，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 17．（2023秋•盖州市期中）在中，，，则边上的中线的取值范围是　 　． 18．（2023秋•四会市校级期中）（1）在中，若，，求边上的中线的取值范围． （2）在中，是的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：． 19．（2023秋•龙华区校级期中）（1）如图1，是的中线，延长至点，使得，连接； ①求证：； ②若，，设，则的取值范围是 　 　； （2）参考第一问的方法，完成以下问题： 如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 20．（2023秋•信丰县期中）（1）阅读理解： 如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 可以用如下方法：将绕着点逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是　 　； （2）问题解决： 如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由． 21．（2023秋•于都县期中）（1）阅读理解： 如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到，把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断． 中线的取值范围是 　 　； （2）问题解决： 如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 22．（2023秋•永泰县期中）【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接．求证：． 【变式与应用】 （2）如图2，若，，试求出的中线的长的取值范围． 【理解与感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，与均为等腰直角三角形，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 23．（2023秋•洛龙区期中）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图①，是的中线，延长至点，使，连接． 求证：． 【变式与应用】 （2）如图②，是的中线，若，．设，则的取值范围是 　 　 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图③，是的中线，点，分别在，上，且．求证：． 模型四：平行线+线段中点构造全等模型 在中考考试中，平行线中点是一类特点非常鲜明的几何题，做这类题的关键就在于添加延长线，中考出题人非常喜欢出这类题，原因就是能够让懂模型的人快速找到答案. 24．（2023秋•瑞安市期中）如图，在中，点为的中点，的边过点，且，，连接，，，，的值为　　 A．2.5 B．4 C．3.5 D．3 25．（2023秋•泗水县期中）如图，已知线段与直线平行． （1）作的角平分线交直线于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若的中点为，连接并延长交直线于点，请用等式表示线段，，之间的数量关系：　 　． 26.（23-24八年级·福建福州·期中）如图，是等边三角形，D是的中点，延长到点E，使，连接并延长交于点F．求证： 模型五：“雨伞”模型 在中考考试中，雨伞模型是一类特点非常鲜明的几何题，做这类题的关键就在于添加延长线，它与平行线中点模型并称为中学阶段两大必延长的模型，只要看到这类模型，方法就很统一了. 27.（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 模型六：半角模型 在中考考试中，半角模型在选择题、填空题、解答题中经常出现，我们在处理这类问题时，关键在于找到半角和全角，运用口诀进行旋转，进行边角转化，就能很快地解决此类问题. 28.（23-24八年级·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 29.（23-24八年级·浙江绍兴·期中）问题情境 在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC． 特例探究 如图1，当DM＝DN时， （1）∠MDB＝　 　度； （2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　； 归纳证明 （3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明． 拓展应用 （4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　． 30．（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 模型七：截长补短模型 该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。 (1)截长: 在较长线段上截取一段等于某一短线段, 再证剩下的那一段等于另一短线段。 例: 如图, 求证BE+DC=AD； 方法:①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE (2)补短:将短线段延长,证与长线段相等 31.（23-24八年级·福建厦门·期中）如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（    ）      A．， B．， C．， D．， 32．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，为轴正半轴上一点，在第四象限，且，平分，．    (1)直接写出B点坐标； (2)求证：； (3)求四边形的面积． 33．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 34．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．    (1)求的度数； (2)求证：． 模型八：角平分线+垂直构造全等模型 如图一，角平分线+垂直两边型 【几何语言】:∵OC为∠AOB的角平分线, D为OC上一点DE⊥OA, DF⊥OB ∴△CED≌△OFD(AAS), ∴DE=DF 如图二，角平分线+垂直平分线型 【说明】构造此模型可以利用等腰三角形的 三线合一, 也可以得到两个全等的直角三角形, 进而 得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。 35．（2023秋•中山市期中）如图，已知平分，，于点，于点，，，那么的长度为 　　． 36．（2023秋•思明区校级期中）如图，已知平分，，，点，分别为垂足，． （1）求证：． （2）若，，求． 37.（23-24八年级·江苏南京·期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD． 38．（2023秋•新城区校级期中）中，，，是线段上的一个动点． （1）如图，若与重合，平分，，垂足在的延长线上，试探究与的数量关系，并说明理由． （2）若在线段上且不与，重合，在线段上，且，过作，垂足在的延长线上，则与的数量关系是什么？画图并说明理由． $$专题05全等三角形常考模型（考题猜想，8种模型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一线三等角模型 手拉手模型-旋转型全等 倍长中线模型 平行线+线段中点构造全等模型 “雨伞”模型 半角模型  截长补短模型 角平分线+垂直构造全等模型 模型一：一线三等角模型 过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。 过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS） 常见的两种图形： 1.（23-24八年级·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论． 【详解】解：∵AB＝AC＝9， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AE的中垂线交BC于点D， ∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴CD＝AB＝9，BD＝CE， ∵CD＝3BD， ∴CE＝BD＝3 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题． 2．（2023秋•海淀区校级期中）如图，为等腰直角三角形，，于点，与交于点，若，则　　；若，，则　　． 【分析】先判断出证明，可得，，即可解决问题． 【解答】解：①，于点，，为等腰直角三角形，，；②，于点，于点， ， ，， ， ， ， ，， ， 故答案为：，5． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 3.（23-24八年级·北京朝阳·期中）如图，∠B=∠C=∠FDE=80°，DF=DE，BF=1.5cm，CE=2cm，求BC的长． 【答案】3.5 【分析】由平角定义及三角形内角和定理解得，继而证明，得到，最后根据线段的和差解题． 【详解】解：∠B=∠C=∠FDE=80°， 在与中，    ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 4．（2023秋•海伦市校级期中）在△中，，，过点作直线，于点，于点． （1）若在△外（如图，求证：； （2）若与线段相交（如图，且，，则　　． 【分析】（1）利用互余关系证，再证△△，得到，，即可得出结论； （2）类似于（1）可证△△，得，，即可得出结论． 【解答】（1）证明：，， ． ，， ，， ． 在△和△中， ， △△， ，． ， ． （2）解：于，， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， 故答案为：1.5． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 5．（2023秋•三台县期中）为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底的距离与旗杆的高度都等于12米，量得旗杆与楼之间距离为米，求每层楼的高度大约多少米？ 【分析】根据题意可得：，，从而可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，然后根据证明，从而利用全等三角形的性质可得米，最后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：，， ， ， ， ， ， 米，米， （米， 在和中， ， ， 米， 每层楼的高度（米， 每层楼的高度大约为3米． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 6．（2023秋•东丽区期中）在中，，，直线经过点，且于点，于点． （1）当直线绕着点旋转到如图1所示的位置时， 求证：①； ②； （2）当直线绕着点旋转到如图2所示的位置时， ①找出图中一对全等三角形； ②、、之间有怎样的数量关系，并加以证明． 【分析】（1）根据余角和补角的性质易证得，已知，，根据全等三角形的判定即可证明，根据各边的相等关系即可得． （2）同理可证得，再根据各边的相等关系可得． 【解答】（1）证明：，， ， ， ， ， ； 在和中， ， ①，（7分） ，， ．（9分） （2）解：同理可得①；（11分） ，， ②．（14分） 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到补角和余角的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 7．（2023秋•莫旗校级期中）已知和，，．连接、，过点作于点，反向延长线段交于点． （1）如图1，当时 ①请直接写出与的数量关系： 　　（填“”、“ ”、“ ” ②求证： （2）如图2，当时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【分析】（1）①根据证，即可得出； ②根据等腰三角形的性质得出，，再根据证，得出，即可得证结论； （2）作于点，作交的延长线于点，根据证，再根据证，同理证，根据线段的等量关系即可得出结论． 【解答】解：（1），，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； ②，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）成立，证明如下： 作于点，作交的延长线于点， ， ，， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，， ，， ， ， ， 即，． 【点评】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 8．（2023秋•东区校级期中）在直线上依次取互不重合的三个点，，，在直线上方有，且满足． （1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 　 　； （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展与应用：如图3，当时，点为平分线上的一点，且，分别连接，，，，试判断的形状，并说明理由． 【分析】（1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （3）先由和平分得到，然后结合得到和是等边三角形，然后得到、，然后结合得到、，从而得到，故可证，从而得到、，最后得到，即可得证是等边三角形． 【解答】解：（1），理由如下， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． （2）仍然成立，理由如下， ， ， ， ， ， ，， ； （3）是等边三角形，理由如下， ，平分， ， ， 和是等边三角形， ，， 同（2）可得，， ，， ， ， ，， ， 是等边三角形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练应用一线三等角模型证明三角形全等． 9．（2023春•海州区校级期中）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角△中，，，过点作直线，于，于，求证：△△； （2）问题探究：如图2，在等腰直角△中，，，过点作直线，于，于，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，△为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【分析】（1）证，再由证△△即可； （2）证△△，得，，即可解决问题； （3）过点作直线轴，交轴于点，过作于点，过作于点，交轴于点，证△△，得，，则，，即可得出结论． 【解答】（1）证明：，， ， ， ，， ， 在△和△中， ， △△； （2）解：，， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， 即的长为； （3）解：如图3，过点作直线轴，交轴于点，过作于点，过作于点，交轴于点， 则， ，， ，，， ， ，， ， 在△和△中， ， △△， ，， ，， 点坐标为． 【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 10．（2023秋•龙马潭区校级期中）【建立模型】如图①，等腰直角三角形的直角顶点在线段上，过点作于点，过点作于点，可以得到结论：． 【运用模型】请利用这一结论解决下列问题： （1）如图①，请证明； （2）如图②，在平面直角坐标系中，，，过点作，使，请直接写出点的坐标． （3）如图③，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点的坐标． 【分析】（1）由证明即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，同（1）得，则，，求出，，即可得出结论； （3）分三种情况，①当时，；②当时，，③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】（1）证明：是等腰直角三角形，且， ，， 又， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图②，过点作轴于点，过点作轴于点， 同（1）得：， ，， ，， ，，， ，， 点的坐标为； （3）解：第一象限内存在一点，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当时，， 如图③，分别过点、点作轴的垂线交过点作轴的平行线于点、点， 同（1）得：， ，， 、， ，， 点的横坐标为：，纵坐标为：， ； ②当时，， 如图④，分别过点、点作轴的垂线交过点作轴的平行线于点、点， 同（1）得：， ，， 、， ，， 点的横坐标为：，纵坐标为：， ； ③当时，， 如图⑤，分别过点、点作轴的垂线交过点作轴的平行线于点、点， 同（1）得：， ，， 设， 、， ，，，， ， 解得：， ， 综上所述，第一象限内存在一点，使为等腰直角三角形，点的坐标为或或． 【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的平与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质、平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 模型二：手拉手模型-旋转型全等 【基本模型】 一、等边三角形手拉手-出全等 二、等腰直角三角形手拉手-出全等 两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：[来源:Z#xx#k.Com] 1 △BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE； 三、奔驰模型 旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。我们不仅要掌握这类题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点 :旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题 四、费马点模型 费马点就是到三角形的三个顶点距离之和最小的点. 最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所以掌握费马点等此类最值经典题是必不可少的. 11．（2023秋•滨海新区校级期中）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④连接，平分；⑤．恒成立的结论有　　 A．①⑤ B．①②⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【分析】①证，得，，故①正确； ②证，得，则，得，即可得出，故②正确； ③由全等三角形的性质得，再①可知，，则，故③正确； ④过点作于点，于点，由全等三角形的性质得，，再由三角形面积得，即可得出平分，故④正确； ⑤由全等三角形的性质得，再由三角形的外角性质得，故⑤正确；即可得出结论． 【解答】解：①和都是正三角形， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，，故①正确； ②在和中， ， ． ， ， ， ，故②正确； ③由②可知，， ， 由①可知，， ， ，故③正确； ④如图，过点作于点，于点， 由①可知，， ，， ， ， ，， 平分，故④正确； ⑤由①可知，， ， ，故⑤正确； 综上所述，恒成立的结论有：①②③④⑤． 故选：． 【点评】本题是考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定、角平分线的判定、三角形面积以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 12．（2023秋•思明区校级期中）如图，四边形，，，，，等边三角形的顶点，分别在边和上，点在上，，连接，．（1）求证：； （2）求的长度． 【分析】（1）连接．得△为等边三角形，由等边三角形，故利用手拉手得△△，故．得，故四边形为矩形，得．利用三线合一得，再计算即可． 【解答】（1）证明：连接． ，， △为等边三角形， ，， 等边三角形， ，， ． 在△和△中， ． △△， ． （2）解：过作． △△， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形为矩形， ． ． ，， ． ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，运用手拉手证明全等，以及构造矩形是解题关键． 13．（2023春•平遥县期中）综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 初步把握如图2，与都是等腰三角形，，，且，则有 　　　　． 深入研究如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，求证：． 拓展延伸如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【分析】初步把握易证，再证即可； 深入研究易证，再证，即可得出结论； 拓展延伸易证，再证，得，，再由三角形的外角性质证出，则即可． 【解答】初步把握解：， ， 即， 在和中， ， ， 故答案为：，； 深入研究证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ； 拓展延伸解：，，理由如下： ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 14．（2023秋•青山区期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在轴和轴上，且，． （1）如图1，若点的坐标，点的坐标，求点的坐标； （2）过点作，交轴于点，是边上一点，过作交射线于点． ①如图2，若点与点重合．求证：； ②如图3，过点作线段且，取的中点，交于点，设，，直接写出的面积（用含，的式子表示）． 【分析】（1）过点作轴于，则，可证得：，即可求得答案； （2）①过点作交射线于，可证得，即可得出； ②过点作交的延长线于，过点作于，于，设交于，可证得，，，可推出． 【解答】（1）解：点的坐标为，点的坐标为， ，， 如图1，过点作轴于，则， ， ， 在和中， ， ， ，，， ； （2）①证明：过点作交射线于，如图2， ，， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； ②解：如图3，过点作交的延长线于，过点作于，于，设交于， 则，，， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 且， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、直角三角形的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 15．（2023秋•翠屏区期中）（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：； （2）如图2，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接． 填空：的度数为 　　；线段与之间的数量关系是 　　． （3）拓展探究 如图3，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出． （2）首先根据和均为等边三角形，可得，，，，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，，进而判断出的度数为即可． （3）首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，，进而判断出的度数为即可；最后根据，，，可得，所以，据此判断出即可． 【解答】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ． （2）解：和均为等边三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ，， 点，，在同一直线上， ， ， ， 综上，可得 的度数为；线段与之间的数量关系是：． 故答案为：、． （3）解：和均为等腰直角三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， ，， 点，，在同一直线上， ， ， ； ，，， ， ， ． 【点评】（1）此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质． 题型三：倍长中线模型 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 主要思路：倍长中线（线段）造全等 在△ABC中 AD是BC边中线 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE 延长MD到N， 使DN=MD，连接CD 16．（2023秋•睢阳区期中）如图，已知是中边上的中线，，，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】延长到，使，连接，先证，得，再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解． 【解答】解：如图，延长到，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ， 即， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质等知识；遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 17．（2023秋•盖州市期中）在中，，，则边上的中线的取值范围是　 　． 【分析】延长至，使，连接．根据证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【解答】解：延长至，使，连接． 在和中， ， ， ． 在中，， 即， 故． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一． 18．（2023秋•四会市校级期中）（1）在中，若，，求边上的中线的取值范围． （2）在中，是的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：． 【分析】（1）延长至，使，连接，由证明，得出，再由三角形的三边关系求出的取值范围，即可得出的取值范围； （2）延长至，使，连接、，同（1）得，则，再由三角形的三边关系得，则，然后由线段垂直平分线的性质得，即可得出结论． 【解答】（1）解：如图1，延长至，使，连接， ， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ， 即， ； 即边上的中线的取值范围是； （2）证明：如图2，延长至，使，连接、， 同（1）得：， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ， ，， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及三角形的三边关系等知识，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 19．（2023秋•龙华区校级期中）（1）如图1，是的中线，延长至点，使得，连接； ①求证：； ②若，，设，则的取值范围是 　 　； （2）参考第一问的方法，完成以下问题： 如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【分析】（1）①由证明即可； ②由全等三角形的性质得，再由三角形的三边关系得，即，即可得出结论；， （2）延长至点，使得，连接，则，同（1）得，则，，再证，得，即可得出结论． 【解答】（1）①证明：是的中线， ， 在和中， ， ； ②解：， ， ， 由①可知，， ， 在中，， 即， ， 即的取值范围是， 故答案为：； （2）证明：如图2，延长至点，使得，连接， 则， 同（1）得：， ，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握三角形的三边关系，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 20．（2023秋•信丰县期中）（1）阅读理解： 如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 可以用如下方法：将绕着点逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是　 　； （2）问题解决： 如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）将绕着点逆时针旋转得到，得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系求出的取值范围，即可得出的取值范围； （2）延长至点，使，连接、，同（1）得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长至点，使，连接，证出，证明，得出，，证出，再证明，得出，即可得出结论． 【解答】（1）解：如图①，将绕着点逆时针旋转得到，则， ，， 在中，，即， 故答案为：； （2）证明：如图②，延长至，使，连接、， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）解：， 理由如下：如图③，延长至点，使，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解决问题的关键． 21．（2023秋•于都县期中）（1）阅读理解： 如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到，把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断． 中线的取值范围是 　 　； （2）问题解决： 如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【分析】（1）延长至，使，由证明，得出，在中，由三角形的三边关系求出的取值范围，即可得出的取值范围； （2）延长至点，使，连接、，同（1）得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长至点，使，连接，证出，由证明，得出，，证出，再由证明，得出，即可得出结论． 【解答】（1）解：延长至，使，连接，如图①所示： 是边上的中线， ， 在和中，， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ，即， ； 故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接、，如图②所示： 同（1）得：， ， ，， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ； （3）解：；理由如下： 延长至点，使，连接，如图3所示： ，， ， 在和中，， ， ，， ，， ， ， 在和中，， ， ， ， ． 【点评】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键． 22．（2023秋•永泰县期中）【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接．求证：． 【变式与应用】 （2）如图2，若，，试求出的中线的长的取值范围． 【理解与感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，与均为等腰直角三角形，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 【分析】（1）由证明即可； （2）延长至点，使，连接，证，得，，再由三角形的三边关系即可解决问题； （3）延长至点，使得，连接，延长交于点，同（1）得，则，，再证，得，，则，然后证，得即可． 【解答】（1）证明：是的中线， ， 在和中， ， ； （2）解：如图2，延长至点，使，连接， 则， 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， 在中，由三角形的三边关系得：， 即， ， 即的中线的长的取值范围是； （3）解：，，证明如下： 如图3，延长至点，使得，连接，延长交于点， 则， 同（1）得：， ，， 与均为等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，，． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系以及平行线的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质和三角形的三边关系，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 23．（2023秋•洛龙区期中）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图①，是的中线，延长至点，使，连接． 求证：． 【变式与应用】 （2）如图②，是的中线，若，．设，则的取值范围是 　 　 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图③，是的中线，点，分别在，上，且．求证：． 【分析】（1）由证明即可； （2）延长至点，使，连接，再由证，得，然后由三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长至，使得，连接、，证，，得，，然后由三角形的三边关系即可得出结论． 【解答】（1）证明：是的中线， ， 在和中， ， ； （2）解：如图②，延长至点，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， 即， ； 故答案为：； （3）证明：如图③，延长至，使得，连接、， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， 又，， ． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的定义、三角形的三边关系等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 模型四：平行线+线段中点构造全等模型 在中考考试中，平行线中点是一类特点非常鲜明的几何题，做这类题的关键就在于添加延长线，中考出题人非常喜欢出这类题，原因就是能够让懂模型的人快速找到答案. 24．（2023秋•瑞安市期中）如图，在中，点为的中点，的边过点，且，，连接，，，，的值为　　 A．2.5 B．4 C．3.5 D．3 【分析】延长与交于点，利用平行线的性质可得，，再利用线段的中点定义可得，从而利用可得，然后利用全等三角形的性质可得，，从而可得是的垂直平分线，进而可得，最后利用等量代换可得，再根据已知可得，从而可得，进而可得，即可解答． 【解答】解：延长与交于点， ， ，， 点为的中点， ， ， ，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 25．（2023秋•泗水县期中）如图，已知线段与直线平行． （1）作的角平分线交直线于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若的中点为，连接并延长交直线于点，请用等式表示线段，，之间的数量关系：　 　． 【分析】（1）利用尺规作图作出角的平分线； （2）利用等腰三角形的判定和性质先说明，再利用“”说明，最后利用线段的和差及全等三角形的性质得结论． 【解答】解：（1）就是的角平分线； （2）是的角平分线， ． ， ． ． ． 的中点为， ． 在和中， ， ． ． ． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定是解决本题的关键． 26.（23-24八年级·福建福州·期中）如图，是等边三角形，D是的中点，延长到点E，使，连接并延长交于点F．求证： 【答案】见详解 【分析】过作交于，可证（），可得，可证，即可求证． 【详解】证明：如图，过作交于， ， 是的中点， ， 在和中 ， （）， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，根据题意作出恰当的辅助线，掌握相关的性质是解题的关键． 模型五：“雨伞”模型 在中考考试中，雨伞模型是一类特点非常鲜明的几何题，做这类题的关键就在于添加延长线，它与平行线中点模型并称为中学阶段两大必延长的模型，只要看到这类模型，方法就很统一了. 27.（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 【答案】（1）BE＝AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析 【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD； （2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形． 【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下： 如图，延长BE、AC交于点H， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEH＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠HAE， 在△BAE和△HAE中， ， ∴△BAE≌△HAE（ASA）， ∴BE＝HE＝BH， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD， ∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD， 在△BCH和△ACD中， ， ∴△BCH≌△ACD（ASA）， ∴BH＝AD， ∴BE＝AD． （2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下： ∵AC＝BC，AF＝BF， ∴CF⊥AB， ∴AG＝BG， ∴∠GAB＝∠GBA， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°， ∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°， ∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°， ∵∠BEG＝90°， ∴∠EBG＝∠EGB＝45°， ∴EG＝EB， ∴△BEG是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键． 模型六：半角模型 在中考考试中，半角模型在选择题、填空题、解答题中经常出现，我们在处理这类问题时，关键在于找到半角和全角，运用口诀进行旋转，进行边角转化，就能很快地解决此类问题. 28.（23-24八年级·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 29.（23-24八年级·浙江绍兴·期中）问题情境 在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC． 特例探究 如图1，当DM＝DN时， （1）∠MDB＝　 　度； （2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　； 归纳证明 （3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明． 拓展应用 （4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　． 【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；（3）MN＝BM+NC，证明见解析；（4） 【分析】（1）先证明△MDN是等边三角形，则MN＝DM＝DN，再证明Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），得∠BDM＝∠CDN＝30°； （2）由（1）得DM＝2BM，可得结论MN＝2BM＝BM+NC； 归纳证明：先证△DBM≌△DCE（HL），得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再证△MDN≌△EDN（SAS），得MN＝NE，可得结论MN＝BM+CN； 拓展应用： （3）首先根据题意利用SAS证明△DBM≌△DCE，然后证明△MDN≌△EDN，根据全等三角形对应相等通过线段之间的转化即可得到MN＝BM+NC； （4）由（3）得到MN＝BM+NC，则△AMN的周长＝2AB，△ABC的周长＝3AB，即可得出结论． 【详解】特例探究： 解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴△MDN是等边三角形， ∴MN＝DM＝DN， ∵∠BDC＝120°，BD＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠DBM＝∠DCN＝90°， ∵BD＝CD，DM＝DN， ∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL）， ∴∠MDB＝∠NDC＝30°， 故答案为：30； （2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL）， ∴BM＝CN， ∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC， 即MN＝BM+NC； 归纳证明 （3）解：猜想：MN＝BM+NC，证明如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD＝CD，∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠MBD＝∠NCD＝90°． ∴∠MBD＝∠ECD＝90°， 又∵BD＝CD，BM＝CE， ∴△DBM≌△DCE（SAS）， ∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC， ∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠MDB+∠NDC＝60°， ∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°， ∴∠EDN＝∠MDN， 又∵DN＝DN， ∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC； 拓展应用 （4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC的周长＝3AB， ∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为＝， 故答案为：． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质的，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质． 30．（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长至M，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图②中，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． 在与中， ， ∴． ∴，即， ∴； （3）解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 模型七：截长补短模型 该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。 (1)截长: 在较长线段上截取一段等于某一短线段, 再证剩下的那一段等于另一短线段。 例: 如图, 求证BE+DC=AD； 方法:①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE (2)补短:将短线段延长,证与长线段相等 31.（23-24八年级·福建厦门·期中）如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（    ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】在上截取，连接，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接，    是等边三角形， ， 是的中点， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在与中， ， ． ， ， ， ， ，； 故选：A． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题的难点是作出辅助线，构成全等三角形． 32．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，为轴正半轴上一点，在第四象限，且，平分，．    (1)直接写出B点坐标； (2)求证：； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)32 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，可得结论； （2）过点作于点，，交的延长线于点．证明，可得结论； （3）证明四边形是正方形，再证明四边形的面积正方形的面积即可． 【详解】（1）， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）过点作于点，，交的延长线于点．   平分， ， ，， ， ， ∴， ； （3），， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 33．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 【详解】（1）解：在上截取，连接．   ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 34．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．    (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由四边形内角和性质求得．再由角平分线定义可得，，最后由三角形内角和性质得到结论； （2）作的平分线交于，证明，再由全等三角形的性质可得答案． 【详解】（1）在四边形中，， 又∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴． 在中，． （2）． 如图，作的平分线交于．则．    在和中， ， ． ∴． 同理，． ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 模型八：角平分线+垂直构造全等模型 如图一，角平分线+垂直两边型 【几何语言】:∵OC为∠AOB的角平分线, D为OC上一点DE⊥OA, DF⊥OB ∴△CED≌△OFD(AAS), ∴DE=DF 如图二，角平分线+垂直平分线型 【说明】构造此模型可以利用等腰三角形的 三线合一, 也可以得到两个全等的直角三角形, 进而 得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。 35．（2023秋•中山市期中）如图，已知平分，，于点，于点，，，那么的长度为 　　． 【分析】根据平分，，，则，又，故，所以，再证明可得，问题解决． 【解答】解：平分，，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ． ， 即， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查直角三角形全等的判定定理、角平分线的性质的应用，理解题意，搞清楚数量关系是关键． 36．（2023秋•思明区校级期中）如图，已知平分，，，点，分别为垂足，． （1）求证：． （2）若，，求． 【分析】（1）根据平分，找到，又有，在直角三角形中可以得出； （2）由（1）证明知，，证明，得出，再由，，，即可解得． 【解答】（1）证明：平分，，， ，， 在与中， ， ， ； （2）解：由（1）知，，， 在与中， ， ， ， ，，， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与角平分线的定义，解题关键是根据已知关系找到相等的边与角． 37.（23-24八年级·江苏南京·期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD． 【答案】见解析 【分析】分别延长BE、CA交于点F，首先结合题意推出△CFE≌△CBE，从而得到BE＝EF＝BF，然后证明△BFA≌△CDA，得到BF＝CD，即可得出结论． 【详解】证明：分别延长BE、CA交于点F， ∵BE⊥CD， ∴∠BEC＝∠FEC＝90°． ∵CD平分∠ACB， ∴∠FCE＝∠BCE． 在△CFE与△CBE中， ∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE， ∴△CFE≌△CBE， ∴BE＝EF＝BF． 在△CFE与△CAD中， ∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝ 90°， ∴∠F＝∠ADC． 在△BFA与△CDA中， ∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC， ∴△BFA≌△CDA， ∴BF＝CD． ∴BE＝CD． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，理解角平分线的基本定义，熟练运用角平分线的性质构造辅助线，并且准确判定全等三角形是解题关键． 38．（2023秋•新城区校级期中）中，，，是线段上的一个动点． （1）如图，若与重合，平分，，垂足在的延长线上，试探究与的数量关系，并说明理由． （2）若在线段上且不与，重合，在线段上，且，过作，垂足在的延长线上，则与的数量关系是什么？画图并说明理由． 【分析】（1）延长交延长线于点，根据，，可得再证明可得即可解决； （2）过作交延长线于点，交于点，证明，方法与（1）类似． 【解答】解：（1）， 理由：延长交延长线于点， 平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）， 理由：过作交延长线于点，交于点， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 同理可得：， ， ， ， ，， ， ， ． 【点评】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定合性质，属于综合题，中考常考题型． $$