专题03 函数概念及性质（6大考点）-【中职专用】2025年技能高考数学二轮复习专项突破（湖北专用）

专题03 函数概念及性质 考纲解析 · 函数的概念（定义域、值域等） · 函数的三种表示法（解析法、列表法、图像法） · 函数的单调性 · 函数的奇偶性 · 分段函数 · 函数的实际应用 考点预测 · 函数的定义域值域问题 · 函数的表示方法 · 函数的单调性和奇偶性 要点自测 知识点01 函数的概念 1、函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． · 下列图象中，不能表示函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式探究】已知函数满足，则（    ） A． B．1 C．4 D．7 知识点02 函数的表示法 函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值． · 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】若函数的定义域和值域均为，则b的值为 ． 知识点03 函数的单调性 增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． · 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式探究】若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 知识点04 函数的奇偶性 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． · 函数是（   ） A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点 C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点 【变式探究】函数是奇函数，且，则 知识点05 分段函数 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． · 已知，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式探究】设函数，则 . 知识点06 基本初等函数的单调性 1、正比例函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 2、一次函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 3、反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． 4、二次函数 若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． · 已知函数在区间上是单调函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是 模拟演练 一、单选题 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D．1 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知，则 . 8．函数的定义域是 ． 9．已知是二次函数，且，，则 ． 10．已知定义在R上的偶函数满足当时，则 ． 三、解答题 11．已知二次函数的图象过点，，. (1)求函数的解析式； (2)画出函数在上图象. 12．已知二次函数满足． (1)求的解析式． (2)求在上的值域． 13．已知二次函数，． (1)求m的值； (2)求在区间上的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数概念及性质 考纲解析 · 函数的概念（定义域、值域等） · 函数的三种表示法（解析法、列表法、图像法） · 函数的单调性 · 函数的奇偶性 · 分段函数 · 函数的实际应用 考点预测 · 函数的定义域值域问题 · 函数的表示方法 · 函数的单调性和奇偶性 要点自测 知识点01 函数的概念 1、函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． · 下列图象中，不能表示函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】函数的定义要求定义域中任意一个自变量，都存在唯一确定的函数值值与之对应. 【详解】C选项的函数图像中存在，对应两个不同的函数值，故不是函数图像. 故选：C 【变式探究】已知函数满足，则（    ） A． B．1 C．4 D．7 【答案】C 【分析】根据给定条件，令，即取代入计算即得. 【详解】函数满足，当，即时，. 故选：C 知识点02 函数的表示法 函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值． · 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用具体函数求定义域的方式求定义域即可. 【详解】由题可知，且；所以函数的定义域为. 故选：D. 【变式探究】若函数的定义域和值域均为，则b的值为 ． 【答案】3 【分析】根据二次函数的性质，结合定义域和值域均为，列出相应方程组，求出，的值即可. 【详解】由函数，可得对称轴为， 故函数在上是增函数. 函数的定义域和值域均为， ，即. 解得，或.，. 故答案为：3. 知识点03 函数的单调性 增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． · 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的对称轴列不等式即可得解. 【详解】由二次函数性质可知，要使函数在上单调递减，只需， 解得，即的取值范围为. 故选：A 【变式探究】若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先分离参数，得出，再令，求出在上的最小值即可. 【详解】解：对任意，不等式恒成立， 即， 即，， 令，， 则易知在单调递减， 故， 故， 故实数的取值范围是. 知识点04 函数的奇偶性 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． · 函数是（   ） A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点 C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点 【答案】A 【分析】根据函数图象结合极值点的定义即可得出结论. 【详解】画出的图象，函数是偶函数， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，则， 所以函数没有极值点. 故选：A. 【变式探究】函数是奇函数，且，则 【答案】 【分析】根据奇函数定义计算即可. 【详解】因为函数是奇函数，且， 所以. 故答案为：. 知识点05 分段函数 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． · 已知，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据分段函数解析式列式求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 【变式探究】设函数，则 . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 知识点06 基本初等函数的单调性 1、正比例函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 2、一次函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 3、反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． 4、二次函数 若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． · 已知函数在区间上是单调函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列式求解即可. 【详解】函数的图象对称轴为， 由函数在区间上是单调函数，得或，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故选：C 【变式探究】已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据二次函数图象对称轴与区间端点的位置关系求解即可. 【详解】依题意，函数的对称轴为， 又在区间上是单调函数，故或，解得或. 故答案为： 模拟演练 一、单选题 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】直接代入计算即可. 【详解】. 故选：A. 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据0的0次幂无意义，分母不为0和偶次根式下不小于0列出不等式组，解出即可. 【详解】要使函数有意义，需满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 3．已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义域及单调性计算即可. 【详解】由题意可知，解不等式得. 故选：D 4．下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用偶函数的定义，逐项判断即得. 【详解】对于A，的定义域为，，是奇函数，A不是； 对于B，的定义域为，，是偶函数，B是； 对于C，的定义域为，不是偶函数，C不是； 对于D，的定义域为，不是偶函数，D不是. 故选：B 5．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明是上的偶函数且在上递增，即可将原不等式等价转化为，即，然后解之即可. 【详解】由于的定义域为，且，故是偶函数. 而对，有，故. 所以在上递增. 从而不等式等价于，即. 此即，即，解得. 故选：D. 6．已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得. 【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 故选：C 二、填空题 7．已知，则 . 【答案】31 【分析】根据函数表达式先计算，再计算. 【详解】∵， ∴， ∴. 故答案为：31. 8．函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】利用函数有意义，结合对数函数列出不等式组求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得且且， 所以函数的定义域是. 故答案为： 9．已知是二次函数，且，，则 ． 【答案】 【分析】由题意设，通过待定系数法得出关于的方程组即可求解. 【详解】因为，是二次函数，所以设， 又因为， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 10．已知定义在R上的偶函数满足当时，则 ． 【答案】1 【分析】先由偶函数，推出，再根据分段函数的不同区间依次求得，. 【详解】因是在R上的偶函数，则， 故. 故答案为：1. 三、解答题 11．已知二次函数的图象过点，，. (1)求函数的解析式； (2)画出函数在上图象. 【答案】(1) (2)图象见解析 【分析】（1）设，将点的坐标代入，即可得到方程组，解得、、，即可求出函数解析式； （2）根据函数解析式画出函数图象. 【详解】（1）设，依题意可得，解得， 所以； （2）因为的对称轴为，，， 所以函数在图象如下所示： 12．已知二次函数满足． (1)求的解析式． (2)求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则，利用换元法代入可求得的解析式； （2）由（1）可得函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案. 【详解】（1）令，则， ，∴. （2）因为， 所以的图象对称轴为，在上递减，在上递增， ∴，， 即的值域为. 13．已知二次函数，． (1)求m的值； (2)求在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，得对称轴列出方程，即可求解； （2）根据二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】（1）由二次函数， 因为，函数对称轴为，则，解得. （2）由（1）知，图象开口向上，对称轴为， 则，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以. 故在区间上的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$