专题07 平面向量与立体几何-【中职专用】云南十年（2015-2024）高等职业技术教育招生考试数学真题分类汇编

专题07 平面向量与立体几何 考点01平面向量 （2024云南）已知向量与互相垂直，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直则，列出方程即可得解. 【详解】向量与互相垂直，所以， 则，解得， 故选：. （2024云南）已知向量，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量模长先求未知数，再代入易得向量内积. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以. 故答案：. （2023云南）已知向量与，且，则__________ 【答案】2或. 【解析】 【分析】由向量内积的坐标运算求解参数即可. 【详解】因为向量与，且， 所以， 解得或. 故答案为：2或. （2022云南）已知，，且，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的内积为易得答案. 【详解】因为, 所以. 故选:C. （2021云南）已知四点的坐标分别为，四边形ABCD是（ ）. A. 梯形 B. 长方形 C. 正方形 D. 平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的坐标的关系，确定向量的关系，进而确定图形. 【详解】因为四点的坐标为. 所以. 所以 所以. 所以四边形平行四边形. 故选：D. （2021云南）已知向量的夹角，则（ ）. A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的夹角的坐标公式求解x的值即可 【详解】因为， 所以， ， ， 所以，所以， 两边平方整理得，解得（舍）， 故选：B. （2020云南）已知向量，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两向量垂直的坐标表示即可求出的值. 详解】向量，，且， 则，又因为， 所以 故选：D （2019云南）已知向量与的夹角为150°，，，则（ ） A. 16 B. －24 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量内积公式易得答案. 【详解】因为与的夹角为,, 所以. 故选:C. （2018云南）已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件结合向量垂直的性质即可求解. 【详解】因为向量，，且， 则，解得. 故选：C. （2018云南）已知，，且，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用内积公式求夹角即可. 【详解】因为，，且， 则； 因为，所以向量与向量的夹角为； 故选：B. （2017云南）已知向量，则 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 【答案】D （2017云南）已知向量，则 ( ) A 13 B 14 C 15 D 16 【答案】B （2016云南）已知向量，则 （ ） A (-1,5) B (-5,3) C (4,9) D (-4,-9) 【答案】D （2016云南）已知向量，且，则 x= ( ) A 0 B 2 C 1 D -2 【答案】B （2016云南）已知向量，且则＿＿＿＿＿＿＿ 【答案】3 （2016云南）已知向量，且//,则实数k=___________________ 【答案】 （2015云南）在平面直角坐标系下，已知点及点，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】D （2015云南）若向量互相平行，则x为（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C （2015云南）已知向量，则两向量的夹角为________． 【答案】 考点02立体几何 （2024云南）圆柱的底面积是，轴截面是一个正方形，则圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由底面积求出底面圆半径为，则高为，再根据圆柱侧面积公式求解. 【详解】因为圆柱底面积为，根据圆的面积公式得， 则底面半径， 因为轴截面是一个正方形， 所以高为， 那么圆柱的侧面积为. 故选：D. （2024云南）高为的直三棱柱，它的底面是边长为的正三角形，则直三棱柱的体积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形面积公式及直三棱柱体积公式可求. 【详解】底面是边长为的正三角形，则三角形的高为， 则底面积， 则体积； 故答案为：. （2023云南）如果一个正方体的体对角线为a，则这个正方体的棱长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体棱长与体对角线的关系求解即可 【详解】设正方体棱长为则，则. 故选：A. （2023云南）已知圆柱体的表面积为，且其底面直径和高相等，则这个圆柱体的体积是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱体的表面积公式求出底面直径和高，再求解圆柱体的体积即可. 【详解】设底面半径为r， 因为底面直径和高相等，所以高为， 所以， ，解得， 所以圆柱体的体积为. 故答案为：. （2022云南）已知矩形的两边长分别为、，且满足，矩形分别以其短边和长边所在直线为轴，旋转一周，求所形成几何体的体积之比． 【答案】2:1 【解析】 【分析】分别以其短边和长边所在直线为轴旋转分类讨论，求对应圆柱的体积. 【详解】若以短边为轴进行旋转，形成的圆柱底面半径为，高为, 体积; 若以长边为轴进行旋转，形成的圆柱底面半径为,高为, 体积; 所以，所形成的几何体体积之比为. （2021云南）已知直角三角形的直角边分别为R、2R，以长为R的直角边所在直线为轴，旋转一周所形成的几何体的体积是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转得到所成图形，再由圆锥的体积求解即可. 【详解】由题可知，旋转所形成的几何体为圆锥，且圆锥的高为.底面圆的半径为 所以其体积为. 故选：D. （2021云南）已知正方形的周长为20，以它的一边为轴，求旋转一周后所形成的旋转体的侧面积和体积. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】根据旋转得到图形，再由圆柱的侧面积和体积公式求解即可. 【详解】如图，以正方形的一边为轴，旋转一周所成的旋转体为圆柱. 因为正方形的周长为20，所以其边长为5.即圆柱的高和底面半径为5. 所以.. （2020云南）将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出正方形中对角线的一半即可知与的大小，由勾股定理得到，再由对角线互相垂直得到，即可证平面，再代棱锥体积公式计算即可. 【详解】如图所示，取中点，连接，， 在正方形中，有，， 且正方形边长为，则， 则由可知，， 因为平面，， 所以平面， 则. 故选：B. （2020云南）已知圆柱的轴截面积为，则此圆柱的侧面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】由圆柱的轴截面积得出底面圆的半径与高的关系，再计算圆柱的侧面积即可. 【详解】设圆柱的底面圆的半径为，圆柱的高为， 圆柱的轴截面积为，即， 所以圆柱的侧面积为. 故答案为：. （2020云南）一圆锥的母线与底面所成的角为，它的侧面积是，求该圆锥的体积. 【答案】 【解析】 【分析】根据母线与底面所成的角表示出圆锥的高及底面圆半径，再代侧面积公式算出母线长，即可得到高和半径，代入圆锥体积公式计算即可. 【详解】设圆锥的高为，母线长为，底面圆半径为， 则由圆锥的母线与地面所成的角为， 可得， ， 则由圆锥侧面积可得：， 则圆锥高，圆锥底面半径， 则圆锥体积为. （2019云南）已知圆锥的高为4，底面半径为3，则它的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由题目条件求出母线长，再由侧面积公式计算即可. 【详解】设圆锥的母线长为， 高，底面半径，则， 所以它的侧面积. 故选：B. （2019云南）已知长方体的对角线长是，所有棱长的总和是24，则长方体的全面积等于______． 【答案】22 【解析】 【分析】设长方体的长宽高分别为，由题目条件列出方程，最后求解出即可. 【详解】设长方体的长宽高分别为， 由长方体的对角线长是，可得， 由棱长的总和是24，可得，即, 所以长方体的全面积为： . 故答案为：22. （2019云南）设一球内切于圆锥，球的半径为2cm，圆锥的高为8cm，求圆锥的全面积． 【答案】（cm2） 【解析】 【分析】根据球的半径求圆锥的母线及半径，再求圆锥的全面积. 【详解】解：如图，已知球的半径，高 ∴中，（cm） 中 圆锥的半径（cm） 圆锥的母线（cm） ∴圆锥的侧面积（cm2） 圆锥的底面积（cm2） ∴圆锥的全面积（cm2） （2018云南）在内直径为6cm的圆柱体杯中，放入一个半径为2cm的钢球并完全沉于水中，此时圆柱体杯中水位上升的高度是（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆柱的体积和球的体积求解即可. 【详解】根据题意，圆柱体杯中的水位变化值等于球的体积， 设水位上升的高度为, 则有，可求得. 故选：A. （2018云南）已知圆锥体与半径为2的圆柱体底面积、高相同，母线比为，则圆锥体的体积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥和圆柱的特征结合题设条件分析，求出圆锥的底面圆半径和高，即可求出其体积. 【详解】因为圆柱体的母线和高相等， 又因为圆锥体和圆柱体的高相同，母线比为， 即圆锥体母线和圆锥体的高的比为， 如图： 则， 又因为圆锥体与半径为2的圆柱体底面积相同， 即圆锥体底面圆的半径， 设，则，解得， 即圆锥体的高， 所以圆锥体的体积为. 故答案为：. （2017云南）正四棱柱的对角线长为，侧面的对角线长为，则它的体积为 （ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【答案】B （2016云南）已知一个正三棱柱的底面边长为4，高为5，则体积是 （ ） A 20 B C 4 D 【答案】B （2016云南）一个球过棱长为a的正方体的各个顶点，则球的半径为 （ ） A B C D 【答案】A （2016云南）位于球心同侧且相距为1的两个平行平面截球，所得到的两圆的面积分别为，则这个球的表面积为____________________ 【答案】 （2015云南）若圆柱体的轴截面是边长为a的正方形，则该圆柱的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A （2015云南）若两等高的圆锥体积比为1∶2，则两圆锥底面圆周长比为（ ） A．1：2 B．1：4 C． D．不能确定 【答案】C （2015云南）底面边长为2a，高为的正三棱柱的全面积为________． 【答案】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 平面向量与立体几何 考点01平面向量 （2024云南）已知向量与互相垂直，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 （2024云南）已知向量，，，则__________． （2023云南）已知向量与，且，则__________ （2022云南）已知，，且，则（ ）． A. B. C. D. （2021云南）已知四点的坐标分别为，四边形ABCD是（ ）. A. 梯形 B. 长方形 C. 正方形 D. 平行四边形 （2021云南）已知向量的夹角，则（ ）. A. 1 B. C. D. （2020云南）已知向量，，，，则（ ） A. B. C. D. （2019云南）已知向量与的夹角为150°，，，则（ ） A. 16 B. －24 C. D. （2018云南）已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. （2018云南）已知，，且，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. （2017云南）已知向量，则 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 （2017云南）已知向量，则 ( ) A 13 B 14 C 15 D 16 （2016云南）已知向量，则 （ ） A (-1,5) B (-5,3) C (4,9) D (-4,-9) （2016云南）已知向量，且，则 x= ( ) A 0 B 2 C 1 D -2 （2016云南）已知向量，且则＿＿＿＿＿＿＿ （2016云南）已知向量，且//,则实数k=___________________ （2015云南）在平面直角坐标系下，已知点及点，则为（ ） A． B． C． D． （2015云南）若向量互相平行，则x为（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 （2015云南）已知向量，则两向量的夹角为________． 考点02立体几何 （2024云南）圆柱的底面积是，轴截面是一个正方形，则圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. D. （2024云南）高为的直三棱柱，它的底面是边长为的正三角形，则直三棱柱的体积是__________． （2023云南）如果一个正方体的体对角线为a，则这个正方体的棱长是（ ） A. B. C. D. （2023云南）已知圆柱体的表面积为，且其底面直径和高相等，则这个圆柱体的体积是__________ （2022云南）已知矩形的两边长分别为、，且满足，矩形分别以其短边和长边所在直线为轴，旋转一周，求所形成几何体的体积之比． （2021云南）已知直角三角形的直角边分别为R、2R，以长为R的直角边所在直线为轴，旋转一周所形成的几何体的体积是（ ）. A. B. C. D. （2021云南）已知正方形的周长为20，以它的一边为轴，求旋转一周后所形成的旋转体的侧面积和体积. （2020云南）将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积是（ ） A. B. C. D. （2020云南）已知圆柱的轴截面积为，则此圆柱的侧面积是______. （2020云南）一圆锥的母线与底面所成的角为，它的侧面积是，求该圆锥的体积. （2019云南）已知圆锥的高为4，底面半径为3，则它的侧面积是（ ） A. B. C. D. （2019云南）已知长方体的对角线长是，所有棱长的总和是24，则长方体的全面积等于______． （2019云南）设一球内切于圆锥，球的半径为2cm，圆锥的高为8cm，求圆锥的全面积． （2018云南）在内直径为6cm的圆柱体杯中，放入一个半径为2cm的钢球并完全沉于水中，此时圆柱体杯中水位上升的高度是（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm （2018云南）已知圆锥体与半径为2的圆柱体底面积、高相同，母线比为，则圆锥体的体积为_______. （2017云南）正四棱柱的对角线长为，侧面的对角线长为，则它的体积为 （ ） A 2 B 3 C 4 D 5 （2016云南）已知一个正三棱柱的底面边长为4，高为5，则体积是 （ ） A 20 B C 4 D （2016云南）一个球过棱长为a的正方体的各个顶点，则球的半径为 （ ） A B C D （2016云南）位于球心同侧且相距为1的两个平行平面截球，所得到的两圆的面积分别为，则这个球的表面积为____________________ （2015云南）若圆柱体的轴截面是边长为a的正方形，则该圆柱的侧面积为（ ） A． B． C． D． （2015云南）若两等高的圆锥体积比为1∶2，则两圆锥底面圆周长比为（ ） A．1：2 B．1：4 C． D．不能确定 （2015云南）底面边长为2a，高为的正三棱柱的全面积为________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$