6.第六章 空间向量与立体几何-高二数学必刷100题（苏教版2019）

6.高二第六章空间向量与立体几何必刷100题（苏教版） 1．（20-21高二·全国·课后作业）已知向量，，是两两垂直的单位向量，且，则（    ）． A．15 B．3 C． D．5 2．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知向量，，向量在向量上的投影向量为（     ）． A． B． C． D． 3．（2022·浙江·模拟预测）如图，正方体的棱长为1，分别为棱，的中点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·甘肃·期中）将一块模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示，则点A到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·湖南永州·三模）在正四棱柱中，，为的中点，点为线段上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·安徽安庆·阶段练习）如图所示，在正方体中，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 7．（2023·河南郑州·模拟预测）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长均相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 8．（2023·辽宁·模拟预测）已知空间向量两两夹角均为，且.若向量满足，则的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 9．（23-24高二上·辽宁·期末）正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C．48 D．50 10．（23-24高二上·广东茂名·期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中，直线AC与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高二上·湖南益阳·期末）已知两个向量，若，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 12．（20-21高二·江苏·课后作业）已知点，若向量，则点B的坐标是（    ）. A． B． C． D． 13．（23-24高二下·江苏淮安·期末）正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·云南曲靖·期末）在四面体中，点在上，且为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高二上·湖北黄冈·期中）如图，在平行六面体中，点在面对角线上,满足,点为面对角线的中点,若,,,则（    ） A． B． C． D． 16．（17-18高二上·广东中山·期末）下列命题中正确的命题个数是（  ） ①如果、、共面，、、也共面，则、、、共面； ②已知直线的方向向量与平面，若，则直线； ③若、、、共面，则存在唯一实数、使，反之也成立; ④空间任意点与不共线的三点、、，若（其中、、，则、、、四点共面. A． B． C． D． 17．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 18．（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）已知 ，向量，，，且，，则的值为（  ） A．－1 B．1 C．2 D．3 19．（22-23高二上·天津河西·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 20．（2023·全国·模拟预测）柏拉图多面体是因柏拉图及其追陮者对正多面体的研究而得名.如图是棱长均为的柏拉图多面体，点，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知向量，，且，则x的值为（    ） A．4 B． C．5 D． 22．（2023·河北·模拟预测）已知为直线的方向向量，分别为两个不同平面的法向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 23．（22-23高二上·重庆·期末）如图，在棱长为的1正方体中，点是线段的中点，则（    ） A．1 B．0 C． D． 24．（2024·内蒙古包头·一模）如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量运算不正确的是（    ）    A． B． C． D． 26．（21-22高二下·江苏扬州·期末）如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 27．（21-22高二上·湖北孝感·期中）已知正三棱柱的所有棱长都为，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 28．（2023·全国·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（　　） A．若平面，则动点Q的轨迹是一条线段 B．存在Q点，使得平面 C．当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大 D．若，那么Q点的轨迹长度为 29．（22-23高二下·江苏泰州·期中）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点E，F（E在F的左边），且. 下列说法正确的是（    ） A．当E，F运动时，存在点E，F使得 B．当E，F运动时，存在点E，F使得 C．当E运动时，二面角的最小值为 D．当E，F运动时，二面角的余弦值为定值 30．（22-23高三上·江西·阶段练习）数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体．已知，，，过直线作平面，则十面体外接球被平面所截的截面圆面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二下·甘肃白银·期中）请选出说法正确的选项（    ） A．平面的法向量，常取 B．平面的法向量，常取 C．平面的法向量，常取 D．如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 32．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若共线，则 D．对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面 33．（23-24高二上·广东江门·期中）给出下列命题，其中正确的有（    ） A．空间任意三个向量都可以作为一个基底 B．已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底 C．已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底 D．，，，是空间中的四个点，若，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面 34．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，点在平面上，且点到点的距离相等，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，为平面内一动点，则（    ） A．若在线段上的动点，则到直线的距离的最小值为1 B．若在线段上的动点，则到平面的距离的最小值为 C．若与平面所成的角为，则点的轨迹为抛物线 D．对于给定的点，过有且仅有3条直线与直线，所成角都为 36．（23-24高二上·辽宁大连·阶段练习）在棱长为1正方体中，点P为线段上异于端点的动点，（    ） A．三角形面积的最小值为 B．直线与DP所成角的余弦值的取值范围为 C．二面角的正弦值的取值范围为 D．过点P做平面，使得正方体的每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的取值范围为 37．（23-24高二上·山东·阶段练习）棱长为1的正四面体内有一点，满足，则（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高二上·四川广元·阶段练习）下列选项正确的是（    ） A．若直线l的一个方向向量(1，)，则直线l的斜率为 B．已知向量，则在上的投影向量为 C．若，则是锐角 D．直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为2 39．（21-22高二上·湖南·阶段练习）如图，点是边长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值 B．存在这样的点，使得 C．当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 D．当时，点的轨迹长度为 40．（23-24高二上·浙江·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，面，，点E是棱上一点（不包括端点），F是平面内一点，则（    ） A．一定不存在点E，使平面 B．一定不存在点E，使平面 C．以D为球心，半径为2的球与四棱锥的侧面的交线长为 D．的最小值 41．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（    ） A．点关于原点O的对称点的坐标为 B．点关于x轴的对称点的坐标为 C．点关于平面对称的点的坐标是 D．两点间的距离为3 42．（22-23高一下·江苏徐州·期中）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C． D．与相交 43．（22-23高二上·山西大同·阶段练习）如图所示，在正方体中，下列各组向量的夹角为的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 44．（23-24高二上·山西·开学考试）在空间直角坐标系中，点的坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．点关于原点对称的点是 B．点关于轴对称的点是 C．点关于平面，对称的点是 D．点关于点对称的点是 45．（2024高二上·全国·专题练习）给出下列命题，其中是真命题的为（    ） A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则l与m垂直 B．若直线的方向向量，平面的法向量，则 C．若平面的法向量分别为，则 D．若平面经过三点，向量是平面的法向量，则 46．（22-23高三上·辽宁大连·期末）正方体的棱长为1，E，F，G分别为BC，的中点，则（    ） A．直线与直线AF垂直 B．直线与平面AEF平行 C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．点与点D到平面AEF的距离相等 47．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，为边的中点，点在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）． A．不存在点，使得 B．过三点的正方体的截面面积为 C．若则点在正方形内运动轨迹长为 D．点在棱上，且，若，则点的轨迹是圆 48．（2024·云南昆明·一模）在正四棱柱中，已知与平面所成的角为，底面是正方形，则（    ） A． B．与平面所成的角为 C． D．平面 49．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）在正四面体中，分别是的中点，，则（    ） A． B． C． D．异面直线与所成的角为 50．（23-24高二下·甘肃兰州·阶段练习）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（    ） A． B．异面直线与所成角正弦值为 C．点到直线的距离是 D．为线段上的一个动点，则的最大值为3 51．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）以下说法正确的是（    ） A．设、是两个空间向量，则、不一定共面 B．设、是两个空间向量，则 C．设、、是三个空间向量，则、、一定不共面 D．设、、是三个空间向量，则 52．（23-24高二上·河北保定·开学考试）在空间直角坐标系中，已知，，，则（    ）. A．点关于平面对称的点是 B．点关于轴对称的点是 C． D． 53．（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）若、、是空间任意三个向量，，下列关系中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 54．（23-24高二上·福建福州·期中）如图，在四棱锥中，底面，点为的中点．，，则（    ） A． B．点到平面的距离为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．与平面所成的角为 55．（22-23高二下·福建宁德·期中）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．在方向上的投影向量是 D．平面ABC的一个法向量是 56．（23-24高二上·四川凉山·期中）在空间直角坐标系中，平面的一个法向量，设，，，则下列说法一定成立的是（    ） A．直线平面 B．直线平面 C．直线与平面所成角的正弦值是 D．A，B，C三点在平面上的射影构成的封闭图形的面积是1 57．（23-24高二上·吉林松原·期中）如图，在正四棱柱中，，，E为棱上的一个动点，则（    ）    A． B．三棱锥的体积为定值 C．存在点E，使得平面 D．存在点E，使得平面 58．（22-23高二下·福建龙岩·期末）在棱长为2的正方体中，点N满足，其中，，异面直线BN与所成角为，点M满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．当线段MN取最小值时， D．当时，与AM垂直的平面截正方体所得的截面面积最大值为 59．（2024·全国·模拟预测）如图，正方体的棱长为1，点，分别为和的中点，则（   ）    A．直线平面 B．直线与直线为异面直线 C．点到平面的距离为 D．若点为线段上的动点（含端点），则的范围为 60．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）已知直四棱柱，底面是边长为1的菱形，且，点分别为的中点，点是棱上的动点.以为球心作半径为的球，下列说法正确的是（    ） A．直线与直线所成角的正切值的最小值为 B．用过三点的平面截直四棱柱，得到的截面面积为 C．当时，球与直四棱柱的四个侧面均有交线 D．在直四棱柱内，球外放置一个小球，当小球体积最大时，球直径的最大值为 61．（22-23高二下·江苏·课后作业）已知，则 . 62．（20-21高二·江苏·课后作业）若，则 ． 63．（22-23高二上·天津滨海新·期末）已知平面和平面的法向量分别为，，若，则 ． 64．（22-23高三·全国·课后作业）已知、，则线段的长度是 ． 65．（23-24高二上·全国·课后作业）若直线l的方向向量为，平面的法向量为， 则直线l与平面的位置关系是 ． 66．（21-22高二·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，若M、N、P、Q分别为、、、DC的中点，则直线MN与直线PQ之间的距离为 ． 67．（22-23高二上·广西河池·阶段练习）已知直线l的方向向量，平面M的法向量分别为，，则l与M的位置关系是 . 68．（23-24高二上·天津·期末）已知空间中三点，，，则点到直线的距离为 . 69．（2023·西藏拉萨·一模）已知，空间向量．若，则 ． 70．（23-24高一下·河北邢台·期末）如图所示，在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，且，，若异面直线和所成的角的大小是，则的长度是 . 71．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为 ． 72．（21-22高二上·吉林长春·期末）正三棱锥的侧面都是直角三角形，E，F分别是棱，的中点，则与平面所成角的正弦值为 ． 73．（23-24高二上·广东清远·阶段练习）设动点在棱长为的正方体的对角线上，且异于点，记当为锐角时，的取值范围是 ． 74．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）如图，平面与平面夹角为，四边形，都是边长为的正方形，则，两点间的距离是 .    75．（21-22高二·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为2，，平面，异面直线与所成的角为60°，若为线段的中点，则点到直线的距离为 ． 76．（23-24高二上·北京昌平·期中）在空间直角坐标系中，若点，且，则的值为 . 77．（22-23高二上·广西河池·期末）已知直三棱柱，，，点为此直三棱柱表面上一动点，且，当取最小值时，的值为 . 78．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）如图，在长方体中，，动点分别在线段和上．给出下列四个结论： ①四面体的体积为； ②可能是等边三角形； ③当时，； ④有且仅有两组，使得三棱锥的四个面均为直角三角形． 其中所有正确结论的序号是 ． 79．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）在长方体中，，线段有一动点，过作平行于的平面交与点.当直线与平面所成角最大时， . 80．（23-24高二上·四川泸州·阶段练习）如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论中正确结论的序号是 ． ①若保持，则点在底面内运动路径的长度为 ②三棱锥体积的最大值为 ③若，则二面角的余弦值的最大值为 ④若则与所成角的余弦值的最大值为 81．（21-22高二下·江苏南通·期末）试写出一个点的坐标： ，使之与点，三点共线． 82．（21-22高二上·安徽合肥·期末）已知向量，，则 . 83．（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）已知向量，，则向量在向量上投影向量为 ． 84．（22-23高二上·江西萍乡·期末）在空间直角坐标系中，，，若，则实数 . 85．（23-24高二上·吉林·期末）在直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为 ． 86．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知点，，，则点A到直线BC的距离是 ． 87．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若三个向量，，共面，则实数的值为 . 88．（23-24高二上·广东茂名·期中）已知，，点P在线段AB上，且，则向量的坐标为 . 89．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知空间向量，若与垂直，则 . 90．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知向量，，则在方向上的投影向量坐标为 . 91．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则 ． 92．（23-24高二上·山东青岛·期末）如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使.已知，则 .    93．（22-23高二下·上海宝山·期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 94．（22-23高二下·江苏常州·期中）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，且，，点P在线段AB（不含端点）上运动．若线段CD（不含端点）上存在点Q，使异面直线PQ与AC所成的角为30°，则线段AP的长度的取值范围为 95．（24-25高二上·湖北荆门·阶段练习）已知斜三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，与都成角，则异面直线与所成角的余弦值为 . 96．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 97．（2024·上海·高考真题）已知四棱柱底面ABCD为平行四边形，且，则异面直线与的夹角余弦值为 . 98．（2022·黑龙江佳木斯·三模）如图，在棱长为2的正方体中，M、N、P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则下列命题： ①不存在点Q，使平面MBN； ②三棱锥B－CNQ的体积是定值； ③平面PMN； ④经过C、M、B、N四点的球的表面积为. 正确的是 . 99．（24-25高二上·上海·课后作业）在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当、最短时， ． 100．（2024·安徽合肥·二模）已知实数，满足，则的最小值为 ． 试卷第14页，共23页 试卷第23页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A A C D A C D D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D B B B A D D A B B 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 A D D D B B B B C C 题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 答案 ABCD BCD CD BC ABD AB ABC ABD ACD ACD 题号 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 答案 ACD BD AD AC AD BCD AB AB BC BD 题号 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 答案 BD ACD ABD CD BCD CD ABC BCD AD ABC 1．B 【难度】0.94 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】利用数量积公式计算即可得出结果. 【详解】向量，，是两两垂直的单位向量，且，， . 故选：B 2．A 【难度】0.94 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】根据投影向量的公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为 故选：A 3．A 【难度】0.85 【知识点】锥体体积的有关计算、空间向量 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的距离为，，根据等体积法解决即可. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为1， 所以, 设平面的法向量为， 所以，令，得， 所以， 所以平面的距离为 又因为, 所以, 所以三棱锥的体积为， 故选：A 4．A 【难度】0.85 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】根据给定条件，利用空间点到直线距离公式计算即得. 【详解】依题意，，， 所以点A到直线BC的距离. 故选：A 5．C 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、空间向量与立体几何综合 【分析】利用坐标法，可设球心为，，结合条件可得，进而可得，即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， ∴， ∴，即为直角三角形， 所以可设三棱锥的外接球的球心为，， 所以球的半径为， ∴，即，又， ∴，即， ∴，， 所以三棱锥的外接球表面积的最大值为. 故选：C. 6．D 【难度】0.65 【知识点】线面角的向量求法 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】   根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则. 故选：D 7．A 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法、空间向量数量积的应用 【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，然后利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值即可. 【详解】设，，，棱长均为， 由题意，，，， ，， ， ， ， ， 异面直线与所成角的余弦值为， 故选：A. 8．C 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的加减运算、余弦定理解三角形 【分析】根据题意，取一个三棱锥，用其棱表示对应的向量，结合题中所给的条件，将相应的边长求出，之后应用空间向量运算法则，表示出对应的结果，从而判断出取最值时对应的情况，求值即可. 【详解】 取一三棱锥，， 且，，所以， ， 设， 因为，所以，即， 所以在以为直径的球上，球半径为，设球心为， 又由同理可知在以为直径的球上，球半径为，设球心为， 球心距，所以两球相交，即点与点可以重合， 又， 所以. 故选：C. 9．D 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、空间向量的加减运算、求空间向量的数量积、空间向量与立体几何综合 【分析】先由,再由，推出，，,再由向量的数量积的计算公式得到，结合基本不等式，即可求解结果. 【详解】因为正四面体的棱长为， 所以， 同理可得,, 又因为以A为球心且半径为1的球面上有两点M，N，, 所以， 由，则 因为，所以 当且仅当取等号， 此时， 所以 故的最小值为. 故选：D 10．D 【难度】0.4 【知识点】空间向量数量积的应用、异面直线距离的向量求法 【分析】解法1：设是上任意一点，过作，垂足为，设，，根据垂直关系可得，根据题意结合数量积运算求解；解法2：建系，利用坐标法结合向量投影运算求解. 【详解】解法1：设是上任意一点，过作，垂足为， 设，， 则 ， ， 由题意可知：， 因为，则， 可得，则， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与之间距离是； 解法2：以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，， 设，且，，则， 取，则，，可得， 则在上的投影就是两异面直线间的距离. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解法2解决的关键是将两异面直线间的距离转化为在上的投影，从而得解. 11．D 【难度】0.94 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据空间向量平行得到方程组，求出m的值. 【详解】由题意得，即， 解得：，故m的值为4. 故选：D 12．B 【难度】0.94 【知识点】空间向量的坐标表示 【分析】根据空间向量的坐标表示可得. 【详解】由空间向量的坐标表示可知，， 所以， 所以点B的坐标为. 故选：B 13．B 【难度】0.85 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】设正方体的棱长为2，建系标点，利用空间向量求线线夹角. 【详解】如图，以D为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 可得， 则， 所以直线，所成角的余弦值为. 故选：B. 14．B 【难度】0.85 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量加减运算的几何表示、空间向量的加减运算 【分析】画出图形，由几何性质转换成向量的线性运算，把分解成基底的线性组合即可求解. 【详解】 由题意为的中点， 所以， 而构成空集的一组基底， 所以. 故选：B. 15．A 【难度】0.85 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】根据空间向量的线性运算,再结合空间向量基本定理求解. 【详解】点在面对角线上,满足, . 点为面对角线的中点, . , ,,, . 故选:A. 16．D 【难度】0.65 【知识点】判定空间向量共面、空间共面向量定理的推论及应用、空间位置关系的向量证明 【分析】取与共线，与不共线，与不共线可判断①；直接判断线面关系可判断②；取、、三点共线可判断③；利用共面向量的基本定理可判断④. 【详解】对于①，若与共线，与不共线，与不共线，满足、、共面，、、也共面，但、、、不共面，①错； 对于②，已知直线的方向向量与平面，若，则或，②错； 对于③，不妨设、、三点共线，，则不存在实数、使得，③错； 对于④，若空间任意点与不共线的三点、、，若、、、四点共面， 则存在唯一的实数、使得， 所以，， 所以，， 所以，， 由于缺少条件，故④不正确， 故选：D. 17．D 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】先利用题给条件求得的值，进而求得的值. 【详解】如图所示， ∵ ， 又，， 则 ∴，∴，. 故选：D 18．A 【难度】0.65 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量垂直、共线的坐标表示求出可得答案. 【详解】因为向量，，， 由，则，解得， 由，则，解得， 则. 故选：A. 19．B 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量模长的坐标表示、求投影向量 【分析】根据投影向量的定义直接计算求解． 【详解】解： 向量在向量上的投影向量为 ． 故选：B． 20．B 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线夹角的向量求法 【分析】方法一：取的中点，连接，，求得，，则可求得，进一步求得,按向量夹角公式求解即可；法二;接，，交于点，连接.分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，,用向量夹角公式坐标运算求解即可 【详解】方法一  由柏拉图多面体的性质可知， 四边形，均是边长为的正方形， 柏拉图多面体的侧面均为等边三角形.如图（1）， 取的中点，连接，， 则. 同理可得. 所以 取的中点，连接，，则，且 又点为的中点，且， 所以且， 则四边形为平行四边形，所以. 同理可得. 设，的夹角为，则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选: 方法二  连接，，交于点，连接. 易知平面. 因为，，所以 如图（2）， 以点为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴， 建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 因为点，，，分别为，，，的中点， 所以，，，， 则，, 设，的夹角为，则 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选： 【点睛】方法点睛：若不易将两条异面直线转化为同一平面内的两条直线时，则可利用向量法来求两异面直线所成的角.第一种方法是利用已知向量表示所求向量，第二种方法是建立合适的空间直角坐标系，两种方法最终都转化为求两向量的夹角的余弦值. 21．A 【难度】0.94 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据空间向量垂直得到方程，求出. 【详解】由题意得，解得. 故选：A 22．D 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明、面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系，结合直线的方向向量，平面的法向量的定义求解. 【详解】因为，所以，则或，故A错误； 因为，所以，所以，故B错误； 因为，所以可能平行，也可能不平行，所以或相交，故C错误； 因为，所以，所以，故D正确. 故选:D. 23．D 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以，. 故选：D 24．D 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法、求二面角、锥体体积的有关计算 【分析】由题意当三棱锥的体积最大时,此时点处于半圆弧的正中间位置.此时建立适当的空间直角坐标系，求出平面，平面的法向量，由法向量夹角余弦的坐标公式即可求解. 【详解】三棱锥的体积与到平面的距离成正比， 故当三棱锥的体积最大时,此时点处于半圆弧的正中间位置. 点处于半圆弧的正中间位置时，记的中点为，以其为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系. 平面显然有法向量， ， 设为平面的法向量， 则该向量与和均垂直， 所以，从而. 令，解得， 故符合条件， 显然二面角为锐角， 因此所求余弦值为. 故选：D. 25．B 【难度】0.65 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量数乘运算的几何表示、空间向量加减运算的几何表示 【分析】根据几何体中向量对应线段的位置关系，应用向量加减、数乘的几何意义用表示出各向量即可. 【详解】A：，对； B：，错； C：，对； D：，对. 故选：B 26．B 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解. 【详解】解：， ， ， ， 所以， 故选：B 27．B 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出异面直线所成的角. 【详解】如图所示，分别取､的中点、， 由正三棱柱的性质可得､､两两垂直，建立空间直角坐标系. 所有棱长都为1， ，，，. ，， ，. 异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 28．B 【难度】0.4 【知识点】面面平行证明线线平行、线面垂直证明线线垂直、空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法 【分析】取中点，证明平面，得动点轨迹判断A，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，由与此法向量平行确定点位置，判断B，利用空间向量法求得到到平面距离的最大值，确定点位置判断C，利用勾股定理确定点轨迹，得轨迹长度判断D． 【详解】选项A，分别取中点，连接，，由与，平行且相等得平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面， 连接，，，所以，同理平面， ，平面，所以平面平面， 当时，平面，所以平面，即点轨迹是线段，A正确； 选项B，以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设（）， ，，， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 若平面，则，所以存在，使得， ，解得，因此正方形内（含边界）不存在点，使得平面，B错； 选项C，面积为定值，当且仅当点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，， 到平面的距离为，， 时，，当时，d有最大值1， 时，，时，d有最大值， 综上，时，d取得最大值1，故与重合时，d取得最大值，三棱锥的体积最大，C正确； 选项D，平面，平面，， 所以，所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，圆心角是，轨迹长度为，D正确． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查空间点的轨迹问题，解题关键是勾画出过且与平面平行的平面，由体积公式，在正方形内的点到平面的距离最大，则三棱锥体积最大． 29．C 【难度】0.4 【知识点】异面直线的判定、空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标坐标系，求得相关点坐标，利用空间向量的数量积的计算，可判断A；假设，可推出矛盾判断B；求得相关平面的法向量，利用空间角的向量求法，可判断C，D. 【详解】对于A，以C为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系， 则， 由于，设， 则， 则， 所以当E，F运动时，故存在点E，F使得，A错误； 对于B，若，则四点共面，与与是异面直线矛盾，B错误； 对于C，设平面的法向量为，又， 故，令，则， 平面的法向量可取为， 故， 因为，且函数在上单调递降，所以， 当且仅当时，取到最大值， 设二面角的平面角为，则最大值为， 即二面角的最小值为，C正确； 对于D，连接，平面即为平面,平面即为平面, 平面的法向量可取为, 设平面的法向量为，又， 故，令，则， 故， 由图知二面角为锐角， 则二面角的余弦值为定值，D错误， 故选：C 【点睛】方法点睛：涉及到空间角的计算问题，一般方法是建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，结合向量的夹角公式进行求解. 30．C 【难度】0.15 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、点到直线距离的向量求法 【分析】根据给定的几何体，确定出球心O的位置，求出球半径，再建立空间直角坐标系求出点O到直线距离，进而求出最小截面圆半径作答. 【详解】依题意，四边形是正方形，令正方形与正方形中心分别为，连接， 因为正方形与正方形在同一平面内，且有相同中心，因此它们有相同的外接圆， 从而十面体与长方体的外接球相同，球心O是线段的中点，如图， 取中点M，连接，因为，则，显然， 又平面，则平面， 而平面，平面，即有， 平面，则平面，平面与平面有公共点， 显然平面与平面为同一平面，有，而，， 在直角梯形中，过作于I，， 球O的半径， 过D作平面，以点D为原点，射线分别为轴非负半轴，建立空间直角坐标系， 则，， 由已知得，即， ，，则点到直线的距离有：, 球O被过直线的平面所截的截面圆最小时，球心O到平面的距离最大，即为点到直线的距离， 截得的最小截面圆半径为，而，则 ， 所以截得的截面圆面积的最小值是. 故选：C 【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解. 31．ABCD 【难度】0.94 【知识点】判断线面是否垂直、平面法向量的概念及辨析、求平面的法向量 【分析】根据平面法向量的定义即可判断ABC，利用线面垂直的判定即可判断D. 【详解】对A，平面的法向量，常取，故A正确； 对B，平面的法向量，常取，故B正确； 对C，平面的法向量，常取，故D正确； 对D，根据线面垂直的判定即可判定其正确. 故选：ABCD. 32．BCD 【难度】0.94 【知识点】平行向量（共线向量）、空间向量的加减运算、判定空间向量共面 【分析】利用向量加法运算判断A；利用共线向量定理判断B；利用向量共线的意义判断C；利用共面向量定理判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，当时，不存在，B错误； 对于C，共线，可以在同一条直线上，C错误； 对于D，当时，四点不共面，D错误. 故选：BCD 33．CD 【难度】0.85 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】作为空间中基底向量的性质，结合各选项的描述判断正误即可. 【详解】A项，空间任意三个不共面的向量可以作为一个基底，故A项错误； B项，若且，则，与可以构成空间的一个基底，故B项错误； C项，因为向量，则，与任意向量均共面，即，与任何向量都不能构成空间的一个基底，故C项正确； D项，因为，，不能构成空间的一个基底，则，，，共面，故D项正确. 故选：CD. 34．BC 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】设出点坐标，根据列方程，从而求得正确答案. 【详解】依题意，点在平面上，设， 由于，， ， 整理得，通过验证可知，、符合， 所以BC选项正确. 故选：BC 35．ABD 【难度】0.65 【知识点】已知线线角求其他量、已知线面角求其他量、点到平面距离的向量求法、点到直线距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量中的点到线的距离公式、点到面的距离公式、直线与平面所成角公式可依次判断A项、B项、C项，不妨设，分别讨论或的情况可判断D项. 【详解】对于A项，以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，，，， 由在线段上，可设（）， 则， 则点到的距离（）， 所以当时，取得最小值为1，故A项正确； 对于B项，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 所以点到平面的距离为，（）， 因为，所以当时，点到平面的距离取得最小值为.故B项正确； 对于C项，如图所示， 设，（，），则， 因为轴平面，所以平面的一个法向量为， 又因为与平面所成角为， 所以， 整理得，所以点的轨迹为圆，故C项错误； 对于D项，显然过点的满足条件的直线的数目等于过点的满足条件的直线的数目， 在直线上任取一点，使得，不妨设， ①若，如图所示， 因为，所以， 所以过点的直线与平行或重合时，直线与、所成角都为. ②若，则为正四面体， 如图所示，当位于点或位于点关于平面对称的点时，满足条件， 所以有两种可能，即直线有两种可能， 所以过点作与平行的直线，有两种可能. 综述：过点的满足条件的直线有3条.故D项正确. 故选：ABD. 36．AB 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、求直线与平面的距离、异面直线夹角的向量求法、共面直线夹角的向量求法 【分析】根据三角形的面积公式，转化为求到直线距离最小值，进而转化为异面直线和的距离，也就是直线到平面的距离，等于到的距离，从而得到三角形面积的最小值，判定A；在平面中的射影为, 设与所成的角为，设直线与直线所成的角为，设直线与DP所成角为，则根据射影三余弦定理，计算求得其取值范围，进而判定B；二面角的平面角的范围，可以排除C；考虑到各种情况，取面积最大的的一个截面，可以排除D. 【详解】对于A，要使三角形面积的最小，即要使得到直线距离最小，这最小距离就是异面直线和的距离，也就是直线到平面的距离，等于到的距离，为.由于，所以三角形面积的最小值为，故A正确； 对于B，先证明一个引理： 直线在平面中的射影直线为,平面中的直线,直线所成的角的余弦值满足三余弦定理，直线的角为，直线的角为，直线的角为，则.    证明：如上图，在平面内任意取一点为原点，取两条射线分别为轴，得到坐标平面，然后从作与平面垂直的射线作为轴，建立空间直角坐标系，设直线的方向向量为,则为射影直线的方向向量,设直线的方向向量坐标为，则，，， 所以， ，引理得证.      如上图所示，根据正方体的性质可知在平面中的射影为,设 与所成的角为，， 设直线与直线所成的角为，,. 设直线与DP所成角为， 根据上面的引理可得：，故B正确；    对于C，如上图所示，设、交点为，连接，， 由正方体性质易知，平面， 所以平面，故,为二面角的平面角， 当与重合时，， ，所以，∴， 在上从下往上移动时，逐渐变大，最终是钝角，其正弦值可以等于1，故C错误； 对于D，因为过正方体顶点与各棱所成的角的都相等的直线是体对角线所在的直线，所以过点的平面与各棱所成的角相等必须且只需与某一条体对角线垂直，过P与对角线垂直的截面中，当P为中点时取得最大值，是一个边长为的正六边形，如下图所示，面积为，不在区间内，故D不正确.    故选：AB 【点睛】直线在平面中的射影直线为,平面中的直线,直线所成的角的余弦值满足三余弦定理，的角为，的角为，的角为，则.这是常见的很好用的一个公式. 37．ABC 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】将正四面体放进正方体中，则是正方体的中心，求出点的坐标，利用空间向量法计算可得. 【详解】如图将正四面体放进正方体中，则是正方体的中心， 又正四面体的棱长为，所以正方体的棱长为， 所以，，，，，    所以，，， ， 所以，故A正确； 又，所以，故B正确； 因为，所以， 所以，故C正确； ，故D错误； 故选：ABC 38．ABD 【难度】0.65 【知识点】点到直线距离的向量求法、空间向量的坐标表示 【分析】由直线方向向量的概念即可判断A，由投影向量的定义，即可判断B，由平面向量数量积的定义即可判断C，由空间中点到直线的距离公式，即可判断D. 【详解】因为直线l的一个方向向量(1，)，则直线l的斜率为，故A正确； 由投影向量的定义可知，在上的投影向量为 ，故B正确； 若，则，故C错误； 由条件可得，由， 所以在方向上的投影为， 则点到直线的距离为，故D正确； 故选：ABD. 39．ACD 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、用空间基底表示向量、轨迹问题——圆、由线面角的大小求长度 【分析】对于选项A，求出四棱锥的体积即可判断；对于选项B，结合空间向量的线性运算即可判断；对于选项C，分当点在侧面，侧面上以及当点在上底面上，和点在侧面上三种情况分类讨论即可判断；对于选项D，分当在底面上和点在侧面上分类讨论即可判断. 【详解】对于选项A，点到侧面的距离即为2，， 故四棱锥的体积， 所以四棱锥的体积为定值，故A选项正确； 对于选项B，因为， 而，因此点是的中点， 所以这样的点不在正方体的表面上，故B选项错误； 对于选项C，①当点在侧面，侧面上时（不包括正方形 的边界），过点作平面的垂线，垂足为，连，在 中，由，可得；②当点在上底面 上时，过点作平面的垂线， 垂足为，若，必有，又由，有 ，此时点的轨迹是以为圆心，2为半径的四分之一圆， 点的轨迹长度为；③当点在侧面上时， 点在线段上符合题意， 此时点的轨迹长为；由上知点的轨迹长度为，故C选项正确； 对于选项D，①当在底面上时，点的轨迹为以为圆心， 为半径的圆与底面的交线，记圆与相交于点，与交于点， 有，可得， 则点的轨迹与底面的交线长为； ②当点在侧面上时，， 可得点的轨迹与侧面的交线为以点为圆心， 为半径的四分之一圆，交线长为． 由对称性可知，点的轨迹长度为，故D选项正确． 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：对于立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程. 40．ACD 【难度】0.4 【知识点】求平面的法向量、空间位置关系的向量证明、证明线面平行、球的截面的性质及计算 【分析】建立坐标系，利用空间向量判断A，B，把展开到同一平面内计算判断D，求出球面与的交线，再借助对称计算判断C即可. 【详解】对于A，在四棱锥中，面，因为面， 所以， 因为底面是正方形，所以， 以为原点，射线分别为轴非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设， ， 显然面的一个法向量为，而， 即不垂直，所以与平面不平行，故A正确； 对于B，又， 所以，即， 若，则， 所以存在点，使得， 又平面，所以平面，故B错误； 对于C，由题意球面与的交线如图中圆弧， 而，所以， 所以圆弧的弧长为，故C正确； 对于D，由于面，面，所以， 而，面，所以面， 又面，所以， 同理，且， 把展开到同一平面内，要使取得最小值，当且仅当点在上，且，如图， 因为，所以由勾股定理得， 所以， 而，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 41．ACD 【难度】0.94 【知识点】求空间中两点间的距离、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】利用空间直角坐标系的对称关系判断A，B，C；利用两点间距离公式计算判断D. 【详解】点关于原点O的对称点的坐标为，A正确； 点关于x轴的对称点的坐标为，B错误； 点关于平面对称的点的坐标是，C正确； 两点间的距离为，D正确. 故选：ACD 42．BD 【难度】0.94 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】依题意可得，即可判断. 【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为， ，即，，则与相交. 故选：BD 43．AD 【难度】0.85 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】如图建立空间直角坐标系，然后利用向量的夹角公式逐个计算 【详解】如图，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则, 对于A，因为，，所以，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，，所以,因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以，因为，所以，所以C错误， 对于D，因为，，所以，因为，所以，所以D正确， 故选：AD 44．AC 【难度】0.85 【知识点】关于点对称的点的空间坐标、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】利用点关于原点的对称点的特点可判断A的正误；根据点关于坐标轴对称点的特点可判断B的正误；利用点关于坐标平面对称点的特点可判断C的正误；利用点关于点对称的特点可判断D. 【详解】空间直角坐标系中，点. 对于A，点关于于原点对称的点的坐标是，A正确； 对于B，点关于轴对称的点的坐标是，B错误； 对于C，点关于平面对称点的坐标是，C正确； 对于D，点关于点对称点的坐标是，D错误； 综上知，正确的选项是AC. 故选：AC. 45．AD 【难度】0.85 【知识点】平面法向量的概念及辨析、空间位置关系的向量证明 【分析】对于A，计算，即可判断；对于B，求出的值，即可判断；对于C，计算的值，即可判断；对于D，求出的坐标，根据法向量含义可得，即可判断. 【详解】对于A，，则， 所以直线与垂直，故A是真命题； 对于B，，则， 所以或，故B是假命题； 对于C，，即不垂直， 所以不成立，故C是假命题； 对于D，， 因为向量是平面的法向量，故， 即，故D是真命题， 故选：AD 46．BCD 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、证明线面平行、点面距离的概念及性质、空间位置关系的向量证明 【分析】根据棱柱的结构特征，建立以为原点，以、、所在的直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，利用向量法即可判断A，根据线线平行即可判断B,根据梯形面积即可判断C,根据中点关系即可判断D. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立以为原点，以、、所在的直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示： 、、分别为、、的中点，则，，， ， 对于A,，， ，故A错误； 对于B：连接,， ，,,,四点共面， 由于,,所以四边形 为平行四边形， 故，又平面，平面， 平面，故B正确， 对于C，连接，， ，四边形为平面截正方体所得的截面， ，，， 四边形为等腰梯形，高为， 则四边形的面积为，故C正确； 对于D,连接交于点，故是的中点，且是线段与平面的交点，因此点和点到平面的距离相等，故D正确． 故选：BCD． 47．AB 【难度】0.65 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】对于A，利用空间向量分析判断，对于B，取中点，连接，可得四点共面，然后求出其面积判断，对于C，利用空间向量可得点在正方形内运动轨迹为线段，对于D，利用空间向量得轨迹为圆：被四边形ABCD截得的4段圆弧. 【详解】对于A，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 若，则，即，与题意矛盾，所以A正确； 对于B，取中点，连接， 因为，所以可得四点共面， 所以过三点的正方体的截面为以为底的等腰梯形，过点作， 所以，所以梯形的高为， 所以，所以B正确， 对于C，设，则， 所以， 因为所以，即， 所以点在正方形内运动轨迹为线段，其长为，所以C错误， 对于D，， 即，可得轨迹为圆：， 所以圆心， 又，所以轨迹为圆：被四边形ABCD截得的4段圆弧，所以D错误. 故选：AB． 【点睛】关键点点睛：解题的关键是利用空间向量求出点的轨迹方程，由此即可顺利得解. 48．AB 【难度】0.65 【知识点】线面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，运用向量法逐个分析即可. 【详解】    易知正四棱柱是长方体，故以为原点建立空间直角坐标系， 连接，设，，，与平面所成的角为，故，,，，易知面的法向量,易知，故，可得，化简得，结合底面是正方形，可得，故，，即，故A正确， 易知面的法向量，，设与平面所成的角为，故，化简得，故，故B正确， 易知，，故，即不垂直，故C错误， 易知，，故，，，，，设面的法向量，故，，解得，，，即，则与不平行，故与面不垂直，故D错误， 故选：AB 49．BC 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】根据向量的线性运算以及数量积的运算律可求得的值，判断A，B；根据向量的夹角公式可求的值，判断范围，可判断C；根据平移法作出异面直线与所成的角，解三角形求得该角大小，判断D. 【详解】由题意，如图正四面体，    ，A错误，B正确. 在正四面体中，设的中点为F，连接， 则，而平面， 故平面，平面，故，故， 又为正三角形，M为AD的中点，故, 则 ， 则，且, 所以，C正确. 取的中点为，连接，则， 且， 则即为异面直线与所成的角或其补角， 由证明方法同理可证，所以， 所以是以为直角的等腰直角三角形， 所以，D错误.， 故选：BC 50．BD 【难度】0.4 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的坐标运算、异面直线夹角的向量求法、点到直线距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，根据坐标运算可判断A；利用向量夹角公式和同角三角函数的基本关系求解，可判断B；根据点到直线的向量公式可判断C；利用坐标表示出，即可判断D； 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 故，， 对于A，所以，A错误； 对于B，记异面直线与所成角为，则， 所以，故B正确. 对于C，记同向的单位向量为， 则点P到直线的距离，故C错误； 对于D，设点，使，， 则，故， 则， 因，则时，即点与点重合时，取得最大值3，故D项正确； 故选：BD. 【点睛】方法点睛：解决此类问题的主要方法有： （1）定义法：运用空间向量的加减数乘和数量积的定义进行计算分析； （2）基底表示法：将相关向量用空间的一组基底表示再进行相关计算； （3）建系法：通过建立空间直角坐标系，引入相关点的坐标，利用点线距离公式、空间向量的夹角公式等公式计算即得. 51．BD 【难度】0.94 【知识点】空间向量数量积的应用、判定空间向量共面 【分析】利用共面向量的定义可判断AC选项的正误；利用空间向量数量积的定义可判断B选项的正误；利用空间向量数量积的运算性质可判断D选项的正误． 【详解】对于A选项，任意两个空间向量都共面，A错误； 对于B选项，由空间向量数量积的定义可知，， 由于，故，B正确； 对于C选项，在中，，，，则、、共面，C错误；    对于D选项，由空间向量数量积的运算性质可得，D正确． 故选：BD． 52．ACD 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量的坐标表示计算可得. 【详解】点关于平面对称的点是，故A正确. 点关于轴对称的点是，故B不正确. ，，， ，，故C、D均正确. 故选：ACD 53．ABD 【难度】0.85 【知识点】空间向量数量积的概念辨析、空间向量的数乘运算 【分析】 根据数量积的运算律判断A、B，根据向量数乘的运算律判断C，利用反例说明D. 【详解】对于A：，则表示与向量共线的一个向量， ，则表示与向量共线的一个向量， 故A错误； 对于B：，，故B错误； 对于C：根据向量数乘的分配律知，故C正确； 对于D：若与不共线时，不存在使得， 且当，时与共线，但是也不存在使得，故D错误； 故选：ABD 54．CD 【难度】0.65 【知识点】点到平面距离的向量求法、线面角的向量求法、异面直线夹角的向量求法 【分析】 建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积公式判断A；利用空间点到面的距离公式判断B；利用空间向量夹角公式判断C；利用空间向量求出线面角的正弦判断D. 【详解】 以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间 直角坐标系， 则． ， 则,A错误； ， 则异面直线与所成角的余弦值为，C正确． 设平面的法向量为， 则解得 令，则，所以平面的一个法向量为， 点到平面的距离为，即选项B错误； 设与平面所成的角为，则， 与平面所成的角为，即选项正确． 故选：CD． 55．BCD 【难度】0.65 【知识点】空间向量共线的判定、空间向量数量积的概念辨析、空间位置关系的向量证明、求平面的法向量 【分析】A：由向量共线定理，应用坐标运算判断是否存在使；B：与同向的单位向量是即可判断；C：由投影向量的定义可解；D：应用平面法向量的求法求平面ABC的一个法向量，即可判断. 【详解】A：若与共线，存在使，则无解，故不共线，错误； B：与同向的单位向量是，正确； C：由， 则在方向上的投影向量是 ，正确； D：若是面ABC的一个法向量，则，令，则，正确. 故选：BCD 56．CD 【难度】0.65 【知识点】线面角的向量求法、空间位置关系的向量证明、求空间图形上的点的坐标 【分析】求得、，应用向量数量积的坐标计算判断直线与平面的关系，应用夹角的坐标运算求直线与平面所成角的正弦值，判断A、B、C；确定A，B，C三点在平面上的射影坐标，即可求射影构成的封闭图形的面积判断D. 【详解】由，则，故， 所以平面或平面，A不一定成立，B错； 由，则， 所以直线与平面所成角的正弦值是，C对； A，B，C三点在平面上的射影坐标分别为， 所以封闭图形的面积是，D对. 故选：CD 57．ABC 【难度】0.65 【知识点】空间线段点的存在性问题、空间位置关系的向量证明、锥体体积的有关计算 【分析】根据图形特征建立空间直角坐标系，结合坐标法逐一判断各个选项即可. 【详解】如图，以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，． 设，，则，． 因为，所以，故A正确； 因为，而为定值，点到平面的距离也为定值，所以为定值，故B正确； 设平面的法向量为，因为，， 所以，令，得． 因为，所以由，可得，故C正确； 因为，且无解，所以D错误． 故选：ABC 58．BCD 【难度】0.4 【知识点】向量的线性运算的几何应用、判断正方体的截面形状、证明线面垂直、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】对A：根据平面向量结合异面直线夹角分析运算；对B：根据空间向量分析可得点M在线段上（包括端点），进而结合线面垂直分析证明；对于C：根据圆的性质结合对称性以及向量的线性运算求解；对D：根据题意结合体对角线的性质分析求解. 【详解】因为点N满足，其中，， 则点N在正方形内（包括边界）， 又因为∥，则异面直线BN与所成角即为， 可得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧， 所以A错误； 因为 且，所以点M在线段上（包括端点）， 因为平面，平面，则， 又因为为正方形，则， ，平面，所以平面， 且平面，所以，所以B正确； 因为，当且仅当三点共线时，等号成立， 又因为当时，取到最小值，此时是的中点时， 结合对称性可知：当是的中点时，也为圆弧的中点时， 则，所以， 即，所以，故C正确； 当时，则，即与重合， 与垂直的平面，即与体对角线垂直的平面， 因为平面，且平面，所以， 同理可证：， 且，平面，所以平面， 而与平面平行且面积最大的截面应当过正方体的中心，此时截面为边长是的正六边形， 所以截面面积的最大值为，故D正确． 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：根据向量的相关知识分析可得点的位置，并结合空间中的位置关系运算求解. 59．AD 【难度】0.4 【知识点】点到平面距离的向量求法、空间位置关系的向量证明、求点面距离、证明线面平行 【分析】解法一，根据线面的位置关系判断选项A,B，利用等体积法求解,判断选项C，利用余弦定理进行判断D；解法二，利用空间直角坐标系，求解相应的量进行判断选项. 【详解】解法一 选项A：连接，，平面，平面，直线平面，故A正确； 选项B：，与共面，即，，，四点共面，直线与直线共面，故B错误； 选项C：连接，，设点到平面的距离为， ，． ，，，， ，， ， ，故C错误； 选项D：易知，，设， 则， 当时，, 当时，最大值为， ∴，，， ，∴，故D正确．    解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，．    选项A：，，，又平面，平面，直线平面，故A正确； 选项B：由A可知，，，，四点共面，故直线与直线共面，故B错误； 选项C：，，， 设平面的法向量为， 则， 令，得，则， 设点到平面的距离为，则，故C错误． 选项D：易知，，． 设，，则， ， ， , ，，故D正确． 故选：AD 60．ABC 【难度】0.15 【知识点】异面直线夹角的向量求法、多面体与球体内切外接问题、球的结构特征辨析、判断正方体的截面形状 【分析】A选项，作出辅助线，建立空间直角坐标系，设出，，表达出直线与直线所成角的余弦值，求出最大值为，从而得到正切值的最小值；B选项，作出截面，进而求出截面面积；C选项，找到与四个侧面的交线即可；D选项，球外放置一个小球，当小球与四个侧面均相切时，小球体积最大，得到小球的半径为，得到，结合得到球直径的最大值. 【详解】A选项，连接，因为底面是边长为1的菱形，且，所以为等边三角形， 因为分别为的中点，所以⊥，故⊥， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故，设，，则， 设直线与直线所成角的大小为， 则， 令，故， 因为，所以当时，取得最大值， 最大值为，此时， 因为在上单调递减，在上单调递增， 故直线与直线所成角的正切值的最小值为，A正确； B选项，取，，的中点，连接， 由平行关系可知，过三点的平面截直四棱柱，得到的截面为六边形， 其中， ，由于，， 故，同理可得， 又， ，故， 故，所以⊥， 则矩形的面积为， 取的中点，连接，因为，所以⊥， 由勾股定理得， 故，同理可得， 故用过三点的平面截直四棱柱，得到的截面面积为，B正确； C选项，连接，则，， 如图，当时，直四棱柱截球体下半部分的， 球与直四棱柱四个侧面都有一段圆弧状交线，C正确； D选项，球外放置一个小球，当小球与四个侧面均相切时，小球体积最大， 此时小球在底面上的投影刚好与菱形相切，故小球的半径为， 故，因为，则， 故球直径的最大值为，D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于球内切于几何体问题时要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于几何体的外接球问题，注意球心到各个顶点的距离相等. 61． 【难度】0.94 【知识点】空间向量的坐标运算、求空间向量的数量积 【分析】根据空间向量的线性运算和数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得，， 则. 故答案为： 62． 【难度】0.94 【知识点】空间向量模长的坐标表示 【分析】利用向量模的公式计算出正确答案. 【详解】依题意. 故答案为： 63．-3 【难度】0.94 【知识点】空间向量平行的坐标表示、平面法向量的概念及辨析 【分析】由，可得，由向量平行的坐标运算解出，可得结果. 【详解】依题意，若，则，有，解得，，∴. 故答案为：-3 64． 【难度】0.94 【知识点】求空间中两点间的距离 【分析】使用空间中两点间距离公式进行运算即可. 【详解】∵，， ∴线段的长度. 故答案为：. 65．或 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】由，可得，即可得出直线l与平面的位置关系． 【详解】因为，所以. 所以或. 故答案为：或． 66． 【难度】0.85 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】根据给定的正方体，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解两直线的距离作答. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 显然，而点P不在直线MN上，则有， 因此，直线MN与直线PQ之间的距离即为点P到直线MN的距离，而， 所以直线MN与直线PQ之间的距离. 故答案为： 67．，或 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】利用向量的方法即可判断l与M的位置关系 【详解】∵， ∴，或. 故答案为：，或 68． 【难度】0.85 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解. 【详解】由点的坐标可得， 则点到直线的距离为. 故答案为： 69．1 【难度】0.65 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据，从而可求出，即可求解. 【详解】因为，所以，即，得． 故答案为：. 70． 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】利用基底表示向量和，利用数量积公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，，且， ， ， ， 由题意可知，，所以，所以. 故答案为： 71． 【难度】0.65 【知识点】从平面向量到空间向量、点到直线距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，先求出点的坐标，再根据点到直线距离的向量公式计算即可． 【详解】以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， ， 由平面，设， 所以， 设， 所以，即，解得， 所以，则， 设直线的夹角为， 则， 所以， 所以点到直线的距离为， 故答案为：． 72． 【难度】0.65 【知识点】线面角的向量求法、正棱锥及其有关计算 【分析】由已知可得两两垂直，设.以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，得到各点的坐标，通过向量求出平面的一个法向量，进而通过向量即可求出结果. 【详解】由已知可得，两两垂直，且. 设，由已知可得，，. 如图，连结.以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，，. 设是平面的一个法向量， 则，则，取，则. 所以， 与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 73． 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、求空间向量的数量积 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积求解即可. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，    则 ， 由可得， ， ， 由图可知，不共线， 所以当为锐角时， 即， 解得或，又， 所以. 所以的取值范围是. 74． 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】利用二面角的定义可得出，由空间向量的线性运算可得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得. 【详解】因为四边形、都是边长为的正方形，则，，平面平面， 又平面与平面夹角为，即，则， 因为，由图易知，， 所以 ， 即，两点间的距离是. 故答案为：. 75．/1.5 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、由异面直线所成的角求其他量、求空间图形上的点的坐标、点到直线距离的向量求法 【分析】连接．以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系.借助题设条件找出，，三点的坐标，最后利用点到直线距离的向量求法进行求解即可. 【详解】 连接．以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，，为异面直线与所成角，即. 在菱形中，，， ，．设，则，．在中， 由，，可得， ，，，，， 点到直线的距离为. 故答案为：. 76． 【难度】0.65 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】先利用空间向量的线性运算求出点的坐标，然后利用向量模的计算公式即可求出结果. 【详解】设点，因为，， 所以， 则，解得，即， 又，所以，所以. 故答案为：. 77．/ 【难度】0.4 【知识点】空间向量与立体几何综合、空间向量的数乘运算 【分析】首先由可得是在以为球心半径为4的球面上，进而得到其在平面的交线，故取值最小时，，，三点共线，利用平面几何的运算可计算出在上的投影，进而得到答案. 【详解】由可得是在以为球心半径为4的球面上， 由于，， 取值最小时，其在平面内， 其在平面的交线为如图所示的圆弧. 故取值最小时，，，三点共线， 通过点往作垂线，垂足为，则， 则，故， 代入解得，从而， 因此 . 故答案为：. 关键点点睛：本题考查立体几何中点的轨迹问题，解题关键是找到点在平面的运动轨迹．进而得到取值最小时，，，三点共线，然后通过点往作垂线，垂足为，进而可计算出在上的投影，进而得到答案. 78．①③ 【难度】0.4 【知识点】空间线段点的存在性问题、空间位置关系的向量证明、线面垂直证明线线垂直、锥体体积的有关计算 【分析】根据长方体的特征，利用等体积法确定①，根据特殊情况分析三角形边长可判断②，利用向量法可判断③，根据长方体中的特殊位置找出满足条件三棱锥判断④. 【详解】对于①:由题意,在长方体中,易得到平面的距离为1，到边的距离为2， 所以四面体的体积，故①正确； 对于②: 由图可知，的最小值为2，若,则, 则,若此时,则, 可得,则, 即取最小值为2时，不能同时取得2，当变大时，不可能同时大于2，故不可能是等边三角形，故②错误； 对于③：建立空间直角坐标系，如图： 则设， 所以 因为，所以，即， 而 显然，当且仅当时，,故③正确； 对于④ ：当为中点，与重合时，如图，    此时,又, 故，所以， 因为，所以, 所以,即三棱锥的四个面均为直角三角形. 当为中点，与重合时，如图，    显然, 即三棱锥的四个面均为直角三角形. 当与重合，与重合时，如图，    显然, 即三棱锥的四个面均为直角三角形. 综上可知，至少三组，使得三棱锥的四个面均为直角三角形．故④ 错误. 故选：①③. 【点睛】关键点点睛：本题四个选项比较独立， ①的关键在于转化顶点，得出高及底面积为定值； ②分析三边中的最小值为2，此时其余两边不能同时等于2; ③利用向量得出两点的关系，在此关系下可推出相应关系； ④考虑特殊位置寻求满足条件的位置是解题关键. 79．/ 【难度】0.4 【知识点】线面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】设，建立空间直角坐标系，设，即可表示、的坐标，求出平面的法向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值，再结合二次函数的性质计算可得. 【详解】设，以为原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 则，， 则，， 因为平面，又平面，平面， 平面与平面相交于，所以，又平面， 所以平面， 依题意点不在、点，设，即， 所以，则， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 此时， 所以当时，有最小值，有最大值1， 此时，所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 80．①②④ 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、异面直线夹角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】对于①，易知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在底面内的四分之一圆，即可知①正确；对于②，的面积为定值，建立空间直角坐标系求得到平面的距离最大值为，可得②正确；对于③，若，由空间向量可得二面角的余弦值的最大值为，即③错误；异面直线与所成角的余弦值的最大值为，即④正确. 【详解】对于①，根据题意可知平面，所以为直角三角形，即，且 若保持，可知， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在底面内的部分，即为四分之一圆， 因此点在底面内的运动路径长度为，即①正确； 对于②，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 如图所示：易知，则， 设平面的一个法向量为， 可得，令，可得，即； 可设，则， 所以到平面的距离为，易知当时，距离最大值为； 又在中，易知，所以边上的高为； 其面积为定值，即； 所以到平面的距离最大时，三棱锥体积的最大为，即②正确； 对于③，根据正方体性质可知平面，又是棱的中点，， 所以可得点在平面，又点在底面内，平面平面，所以； 根据B中的坐标系可知，所以可得，； 则， 设平面的一个法向量为，可得， 令，则，即； 易知平面的一个法向量为， 所以， 易知当时，， 当时，， 令， 可得在上恒成立，即在上单调递增； 此时时，最大， 当，，易知在上单调递减， 所以时，， 又由图可知，当时，点与重合， 综上二面角的余弦值的取值范围为，故③错误； 对于④，根据选项C易知， 可得， 当时，， 当时，，易知当时，取到最大值为， 综上可知，与所成角的余弦值的最大值为，即④正确； 故答案为：①②④ 【点睛】关键点点睛：在求解二面角以及线面角最值问题时，一般需要借助空间向量得出空间角余弦值的表达式，再利用基本不等式或函数单调性求出最值即可. 81．（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】空间共线向量定理的推论及应用 【分析】设出点的坐标，利用空间向量共线得到，求出，写出一个符合要求的即可. 【详解】根据题意可得，设 ，则设， 即 故 ，不妨令，则，故． 故答案为： 82． 【难度】0.94 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】先利用空间向量坐标运算得到，进而求出模长. 【详解】， 所以. 故答案为：. 83． 【难度】0.94 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据投影向量公式计算可得答案. 【详解】向量在向量上投影向量为 . 故答案为：. 84．4 【难度】0.94 【知识点】空间向量平行的坐标表示、由空间向量共线求参数或值 【分析】由题意可得，即可得到方程组，进而解出方程组即可. 【详解】由题意得，，即，所以，解得. 故答案为：4 85． 【难度】0.85 【知识点】异面直线夹角的向量求法、求异面直线所成的角 【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线角即可. 【详解】由题意知，， 如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 不妨设， 则，，，． 所以，， 所以， 即BM与AN所成角的余弦值为. 故答案为： 86． 【难度】0.85 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】利用空间向量的方法求点点到直线的距离. 【详解】设直线与直线夹角为， ，，， ， ， 所以点到直线的距离为. 故答案为：. 87．14 【难度】0.85 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】由空间向量共面向量的充要条件存在实数，，使得，即可求解． 【详解】解：三个向量，，共面 则存在实数，，使得 所以，解得. 故答案为：14. 88． 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量的加减运算 【分析】由题意可得，则由向量的运算可得，从而可求出，再由可求得结果. 【详解】因为点P在线段AB上，且， 所以，所以， 得， 因为，， 所以， 所以， 故答案为： 89．/ 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为与垂直，可得， 解得. 故答案为：. 90．. 【难度】0.85 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量模长的坐标表示 【分析】先求解出在上的投影数量，然后再求解出同方向的单位向量，二者的乘积即为最终结果. 【详解】在上的投影数量为， 因为，， 所以同方向的单位向量为， 所以在方向上的投影向量坐标为，即为， 故答案为：. 91． 【难度】0.65 【知识点】已知线面角求其他量 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面夹角，从而求解. 【详解】连接，因为：，，，在中，由余弦定理得： ， 即有：，所以：， 以点为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 所以：，，，， 因为：，且，， 设平面的一个法向量为：， 则：，令：，得：， 所以得：，解得：. 故答案为：. 92．或 【难度】0.65 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】根据向量的线性运算可得，两边平方，利用向量的数量积运算，结合题意已知可得结果. 【详解】由题意知，，所以， 展开得， 因为异面直线所成角为，所以向量的夹角为或， 因为，所以，即， 且， 代入可得：， 得方程：或，所以或， 故答案为：或. 93．4 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解． 【详解】是空间相互垂直的单位向量， 设，，设， 又，， 又， ， ，其中， ， ， 当且仅当时取得等号， 的最小值是4． 故答案为：4． 94． 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】由于P，Q为动点，且锥体较为规则，可建立空间直角坐标系，结合向量夹角的余弦公式及不等关系即可求解， 【详解】平面平面，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形， BC中点为O，连接OA，则，平面，平面平面，则平面， 又，， 以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设， ， ， ∵异面直线PQ与AC成30°的角， ∴   ， 解得， 线段PA长的取值范围是. 故答案为：． 95． 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、异面直线夹角的向量求法 【分析】设，由向量的数量积和四边形法则分别求出，再代入异面直线夹角公式求出即可. 【详解】 设， 因为底面是等腰直角三角形，，与都成角， 所以， 又， 所以， ， 所以， 故答案为：. 96． 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量数量积的应用 【分析】先求解出在方向上的投影，然后求解出同方向的单位向量，根据二者的乘积即可求得结果. 【详解】在方向上的投影为， 因为，所以同方向的单位向量为， 所以在方向上的投影向量的坐标为， 故答案为：. 97． 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、异面直线夹角的向量求法 【分析】将用不共面的向量表示出来，从而得到，然后由公式计算夹角余弦值即可. 【详解】， ， ， 底面ABCD为平行四边形，所以， 所以， . 所以， 故异面直线与的夹角的余弦值为:， 故答案为： 98．②③④ 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、空间位置关系的向量证明 【分析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可判断①③；证明平面，可得点到平面的距离为定值，再根据即可判断③；分别取的中点，构造长方体，则经过C、M、B、N四点的球即为长方体的外接球，求出外接球半径，从而可判断④. 【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 对于①，设， 则， 当时，，即， 又平面MBN，平面MBN， 所以平面MBN， 故存在点Q，使平面MBN，故①错误； 对于②，因为，平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离为定值， 又为定值， 所以三棱锥的体积是定值， 即三棱锥B－CNQ的体积是定值，故②正确； 对于③，， 因为， 所以， 又平面， 所以平面PMN，故③正确； 对于④，分别取的中点，构造长方体， 则经过C、M、B、N四点的球即为长方体的外接球， 设所求外接球的半径为， 则， 所以经过C、M、B、N四点的球的表面积为，故④正确. 故答案为：②③④. 99． 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据题意可知，平面，直线，从而得出：当、最短时，点为的中心，为线段的中点，从而可得出，并可得出，代入进行数量积的运算即可求出答案． 【详解】解：由共面向量定理和共线向量定理可知，平面，直线， 当、最短时，平面，， 所以为的中心，为的中点， 此时， 平面，平面， ， ． 又， ． 故答案为：． 100． 【难度】0.4 【知识点】空间距离公式的应用 【分析】建立空间直角坐标系，将所求转化为距离和的最小值，利用几何关系求得最值. 【详解】如图，设正方体的边长为2，建立如图所示的空间直角坐标系， 设为空间任意一点，因为，则P在平面所在的平面内运动， 表示P与点和点的距离之和， 因为关于平面的对称点为D，故， 当且仅当为中点即为正方体中心时等号成立； 表示P与点和点的距离之和，则， 当且仅当在所在直线上时等号成立， 故 的最小值为，当且仅当为正方体中心时等号成立 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查空间中距离最值问题，关键是利用空间坐标系将所求转化为距离和，并注意等号成立条件. 答案第62页，共87页 答案第67页，共87页 学科网（北京）股份有限公司 $$