6.第六章 计数原理-高二数学必刷100题（人教A版2019）

6.高二第六章计数原理必刷100题（人教版） 1．（20-21高二下·江苏淮安·期末）（x2+2）（x﹣1）10的展开式中的常数项为（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 2．（20-21高三下·浙江嘉兴·阶段练习）二项式的展开式的第3，4，5项之和是（    ）． A．460 B．140 C． D． 3．（20-21高三上·河北石家庄·阶段练习）北京冬奥会将于2022年2月4日到20日在北京和张家口举行．为纪念申奥成功，中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高二上·浙江台州·期末）2021年10月18日，中共中央政治局召开会议，研究全面总结党的百年奋斗重大成就和历史经验问题.中共中央总书记习近平主持会议.中共中央政治局听取了《中共中央关于党的百年奋斗重大成就和历史经验的决议》稿在党内外一定范围征求意见的情况报告，决定根据这次会议讨论的意见进行修改后将决议稿提请十九届六中全会审议.某班级从3名男生和3名女生中任选2人参加学校该《决议》精神宣讲团，则选中的2人恰好一名男生一名女生的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（19-20高二下·广东梅州·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·安徽·开学考试）2023年7月28日第31届成都大学生运动会在成都隆重开幕，将5名大运会志愿者分配到游泳、乒乓球、篮球和排球4个项目进行志愿者服务，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 7．（21-22高二下·北京·期中）登山运动员 人， 平均分为两组， 其中熟悉道路的有4人， 每组都需要 人， 那么不同的分配方法种数是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高三·全国·课后作业）设，则下列结论中错误的是（    ）. A． B． C．，，，…，中最大的是 D．当x=999时，除以2000的余数是1 9．（20-21高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）我国占代图书之一的《周髀算经》中指出：某地的冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷肉、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次是一个等差数列．已知立春与惊蛰两个节气的日影长分别为11尺和10尺，现在随机选出3个节气，至少有一个节气的日影长大于9尺的概率为（    ） A． B． C． D． 10．（2013·河南·三模）若,则 A． B． C． D． 11．（24-25高二上·全国·课后作业）若，则x的值可以为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 12．（21-22高二上·全国·课后作业）（多选题）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 13．（20-21高二下·河北·期中）已知的展开式中，常数项为135，则的值可能为（    ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 14．（22-23高二下·重庆南岸·期中）关于的展开式，下列结论正确的是（    ） A．二项式系数和为64 B．所有项的系数之和为2 C．第三项的二项式系数最大 D．项的系数为240 15．（21-22高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（    ） A．二项展开式中无常数项 B．二项展开式中第3项为 C．二项展开式中各项系数之和为 D．二项展开式中二项式系数最大的项为 16．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知二项展开式，下列说法正确的有（    ） A．的展开式中的常数项是 B．的展开式中的各项系数之和为 C．的展开式中的二项式系数最大值是 D．，其中为虚数单位 17．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处，则（   ） A．三次骰子后所走的步数可以是12 B．三次骰子的点数之和只可能有两种结果 C．三次股子的点数之和超过10的走法有6种 D．回到点处的所有不同走法共有27种 18．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）关于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．展开式共6项 B．各项系数之和为1 C．不含常数项 D．系数最大项是 19．（23-24高二上·山东·阶段练习）已知展开式中所有的二项式系数之和为64，则（    ） A． B． C．展开式中的常数项为 D．的展开式中没有常数项 20．（21-22高二下·江苏南京·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A． B．多项式展开式中的系数为52 C．若，则 D． 21．（21-22高三下·上海青浦·阶段练习）已知二项式，则其展开式中的一次项的系数为 . 22．（22-23高三·四川南充·期中）已知的二项展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则展开式中x项的系数为 ． 23．（2023·辽宁·二模）若的展开式中的常数项为24，则实数a的值为 ． 24．（22-23高二·全国·课后作业）有四位学生参加三项竞赛，要求每项竞赛只需其中一位学生参加，有 种参赛情况． 25．（23-24高二下·贵州贵阳·阶段练习）若，则 .（用数字作答） 26．（21-22高二下·吉林长春·阶段练习）若，则 ． 27．（2022·全国·模拟预测）已知二项式展开式的二项式系数和为128，二项式展开式中含项的系数为 ． 28．（22-23高三上·上海浦东新·期中）甲和乙等五名志愿者参加进博会A、B、C、D四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少一人，则甲和乙在同一岗位服务的概率是 （结果用分数表示） 29．（19-20高二下·广东佛山·期中）已知则 30．（2023·上海嘉定·三模）二项式的展开式中的系数等于 . 31．（21-22高三上·北京西城·期末）的展开式中的常数项是 . 32．（19-20高二下·北京·期中）某单位拟安排6位员工在今年6月14号至16号（某节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值16号，乙不值14号，则不同的安排方法共有 种. 33．（21-22高二·全国·课后作业）已知函数，则下列关于的展开式的命题中，所有真命题的序号是 ． ①当时，的展开式共有11项； ②若的展开式的第3项与第5项的二项式系数之比为，则； ③当时，的展开式中各项系数之和为； ④当时，的展开式中系数最小的项是． 34．（22-23高二下·浙江杭州·期中）从1，2，3，4，5，6，7，8中依次取出4个不同的数，分别记作，若和的奇偶性相同，则的取法共有 种（用数字作答）. 35．（11-12高二下·广东深圳·期中）已知其中是常数,则 = 36．（21-22高三上·江苏无锡·期末）若的展开式中的系数为，则实数的值为 . 37．（22-23高三上·河北邯郸·开学考试）已知，则的值为 . 38．（2020·云南大理·二模）在的展开式中，的系数是 . 39．（2021·全国·模拟预测）已知的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，，则非零常数的值为 ． 40．（20-21高三上·黑龙江牡丹江·期末）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有 种不同的染色方案. 41．（2024高三·全国·专题练习）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：． 42．（24-25高二上·全国·单元测试）若=，求. 43．（22-23高二下·江苏·课后作业）化简：. 44．（24-25高三·上海·课堂例题）求满足的整数的值. 45．（20-21高二·江苏·课后作业）化简：． 46．（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·期中）计算：（用数字作答） (1)； (2). 47．（23-24高二下·江苏·课前预习）计算： 48．（20-21高二下·陕西西安·期中）求值：（用数字作答） (1) (2) 49．（2023高三·全国·专题练习）求值． 50．（24-25高二下·全国·课后作业）计算下列各式． (1)； (2)． 51．（24-25高二上·全国·课堂例题）（1）计算． （2）用排列数表示． 52．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）计算： (1)； (2). 53．（23-24高二上·全国·课后作业）（1）求的展开式； （2）化简． 54．（21-22高二·全国·课后作业）阅读以下案例，并参考此案例化简． 案例：观察恒等式左右两边的系数． 因为等式右边， 所以等式右边的系数为， 又等式左边的系数为， 所以． 55．（21-22高二下·福建三明·阶段练习）(1)化简求值：； (2)解方程：； 56．（20-21高二·全国·课后作业）设n是正整数，化简． 57．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）（1）计算：；（结果用数字表示） （2）解不等式：； 58．（20-21高二·江苏·课后作业）化简：． 59．（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）（1）求值：; （2）解方程：． 60．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3) 61．（23-24高二下·河南洛阳·期中）（1）计算:; （2）. 62．（23-24高二下·四川甘孜·期中）化简求值. (1) (2) 63．（22-23高二下·山西大同·阶段练习）计算 (1)； (2). 64．（23-24高二上·江西南昌·期中）（1）计算：； （2）求值：. 65．（20-21高二·全国·课后作业）已知. （1）当n＝6时，求的值； （2）化简：. 66．（20-21高二·全国·课后作业）求值： （1）； （2）. 67．（16-17高二下·河南南阳·阶段练习）（1）求值； （2）已知，求 68．（21-22高二下·江苏泰州·阶段练习）（1）解不等式：； （2）求值； （3）已知，求. 69．（2024高三·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； 70．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）已知（其中）的展开式中前3项的二项式系数之和等于16. (1)求的值； (2)若展开式中的系数为，求实数的值. 71．（23-24高二下·山西临汾·期中）（1）解方程: （2）计算 （3）解不等式. 72．（23-24高二上·上海·课后作业）观察下列等式及其所示的规律： ， ， ， 并据此化简，其中n为正整数． 73．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是2：5． (1)求n的值； (2)求展开式的常数项． (3)在的展开式中，求的项的系数． 74．（22-23高二下·江苏·单元测试）已知，，. (1)求值：． (2)化简：. 75．（22-23高二下·江苏南通·阶段练习）设，其中． (1)当时，求的值； (2)当时，化简：． 76．（23-24高二上·全国·课后作业）（1）求的展开式； （2）化简． 77．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）（1）计算：；         （2）解不等式：. 78．（21-22高二下·上海黄浦·期末）的展开式中，把叫做三项式的次系数列． (1)求的值； (2)根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如．理解上述思想方法，利用方程，请化简：． 79．（10-11高二下·北京东城·期末）利用展开式（n∈N*）回答下列问题： （1）求（1+2x）10的展开式中x4的系数； （2）通过给a，b以适当的值，将下式化简：； （3）把（2）中化简后的结果作为an，求的值． 80．（22-23高二下·四川雅安·阶段练习）（1）若，求的值； （2）在的展开式中， ①求二项式系数最大的项； ②系数的绝对值最大的项是第几项； 81．（2019高二下·全国·专题练习）求值：. 82．（15-16高三·江苏·阶段练习）设（），其中（）．当除以4的余数是（）时，数列的个数记为． （1）当时，求的值； （2）求关于的表达式，并化简． 83．（21-22高二下·吉林延边·期中）（1）求值： （2）求关于的不等式的解集． 84．（2020·江苏南通·二模）设，. （1）求的展开式中系数最大的项； （2）时，化简； （3）求证：. 85．（22-23高二下·江苏·期末）记，. (1)化简：； (2)证明：的展开式中含项的系数为. 86．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）（1）计算：；(请用数字作答) （2）解关于正整数n的方程： 87．（23-24高二上·上海·阶段练习）若. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 88．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）（1）已知，计算：； （2）解方程：． 89．（2023高二·江苏·专题练习）求值： (1)； (2). 90．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 91．（21-22高二下·江西宜春·期末）根据条件，分别求解： (1)求展开式中的系数； (2)求值：. 92．（23-24高二上·上海·课后作业）利用组合数的性质化简：． 93．（24-25高二上·全国·课堂例题）计算：； 94．（22-23高二下·重庆江北·期中）请先阅读：对等式（，为常数）的两边求导有：，由求导法则得，再在上式中令得.借助上述想法，结合等式（，正整数），解答以下问题： (1)求的值； (2)化简. 95．（23-24高二上·上海·期末）（1）求的二项展开式的中间项; （2）若，且，求中的最大值. 96．（20-21高二下·江苏扬州·期中）已知函数. （1）当时，求展开式中系数的最大项； （2）化简； 97．（23-24高二上·上海·课后作业）已知对任意给定的实数x，都有．求值： (1)； (2)． 98．（2018·江苏南通·二模）已知，．记． （1）求的值； （2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除． 99．（19-20高二下·江苏宿迁·期中）设函数. （1）求的展开式中系数最大的项； （2）若，（为虚数单位），求值： ①； ②. 100．（2024高三·全国·专题练习）求正整数，使得成立． 试卷第14页，共14页 试卷第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C D A C B C C D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 AC ACD AB AD BC BC BCD BCD BC ACD 1．D 【难度】0.94 【知识点】求指定项的系数 【分析】（x2+2）（x﹣1）10的展开式中的常数项等于（x﹣1）10的展开式的常数项的2倍，所以先求出（x﹣1）10的展开式的通项公式，再求其常数项即可得答案 【详解】解：因为二项式（x﹣1）10的展开式的通项公式为， 令10﹣r＝0，解得r＝10， 故（x2+2）（x﹣1）10的展开式常数项为2×1＝2， 故选：D. 2．D 【难度】0.94 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】根据二项式通项公式即可得到结果. 【详解】二项式的展开式的通项为 ∴ ∴第3，4，5项之和是， 故选：D 3．C 【难度】0.85 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】求出从一套5枚邮票中任取3枚的方法数，再求出3枚中恰有1枚吉祥物邮票的方法数，然后利用古典概型的概率公式求解． 【详解】一套5枚邮票中吉祥物邮票有2枚，从一套5枚邮票中任取3枚，共有种，恰有1枚吉祥物邮票有种，故恰有1枚吉祥物邮票的概率为． 故选：C． 4．D 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、组合数的计算 【分析】先求出基本事件的总数，再计算一名男生一名女生的基本事件个数，按概率公式求解即可得. 【详解】选中的2人恰好一名男生一名女生的概率为. 故选：D. 5．A 【难度】0.85 【知识点】组合数方程和不等式、组合数的性质及应用 【分析】 根据组合数性质有，再由求解. 【详解】 由组合数性质知，， 所以， 所以，得. 故选：A. 6．C 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题 【分析】将5名志愿者分成4组，再分配到4个项目作答. 【详解】依题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者， 将5名志愿者按分成4组，有种分法，将分得的4组安排到4个项目，有种方法， 所以不同的分配方案共有. 故选：C 7．B 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步乘法计数原理及组合的平均分组问题即可求解. 【详解】先将4个熟悉道路的人平均分成两组有种. 再将余下的6人平均分成两组有种. 然后这四个组自由搭配还有种， 故最终分配方法有种 故选：B. 8．C 【难度】0.65 【知识点】整除和余数问题、求指定项的系数 【分析】在展开式中，令，可知A正确；根据的展开式的通项公式求出，可知B正确；C不正确；当时，都能被整除，而，可知D正确. 【详解】在中， 令，得，故A正确； 因为， 所以，，，，，，， 所以，故B正确； 由以上可知，，，，…，中最大的是，故C不正确； 当时，，都能被整除，而，所以除以2000的余数是1，故D正确. 故选：C 9．C 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、实际问题中的组合计数问题、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】令冬至影长为，公差为，则，进而确定十二节气的日影长，再应用组合数及对立事件的概率求法求概率即可. 【详解】由题意，令冬至影长为，公差为，则，故. ∴冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷肉、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次为， ∴随机选出3个节气至少有一个节气的日影长大于9尺的概率. 故选：C 10．D 【难度】0.4 【知识点】二项展开式各项的系数和 【详解】试题分析：因为， 所以， 令，则，； 所以，选D. 考点：二项式定理的应用 【名师点睛】涉及二项式系数问题，往往利用“赋值法”，即令二项式中的未知数为等.解答本题关键是将二项式加以转化，确定展开式的系数. 11．AC 【难度】0.94 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质计算即可. 【详解】因为， 所以或， 解得或． 经检验都满足条件. 故选：AC. 12．ACD 【难度】0.94 【知识点】排列数的计算、用排列数公式证明 【分析】利用排列数公式，逐项计算判断作答. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 13．AB 【难度】0.85 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】求出展开式的通项为，合并同类项后令的指数为0可得，可求出展开式中的常数项从而得到. 【详解】展开式的通项为， 令，可得，因此，展开式中的常数项为. 则，. 故选：AB. 14．AD 【难度】0.85 【知识点】二项展开式各项的系数和、求指定项的系数、二项式的系数和、二项式系数的增减性和最值 【分析】根据二项式系数的性质，可判断选项A、C；用赋值法求出所有系数的和，可判断选项B；利用展开式的通项求解，可判断选项D. 【详解】的展开式的二项式系数和为，选项A正确； 中，令，可得所有项的系数之和为，选项B不正确； 的展开式的第四项的二项式系数最大，选项C不正确； 的展开式的通项为：， 令，得，此时，所以项的系数为240，选项D正确. 故选：AD. 15．BC 【难度】0.85 【知识点】二项展开式各项的系数和、求指定项的系数、求指定项的二项式系数 【分析】由二项式系数之和为64，可得，可求得，从而可得二项式的通项公式为，然后逐个分析判断即可 【详解】因为的二项展开式中二项式系数之和为64， 所以，得， 所以二项式的通项公式为， 对于A，令，则，所以二项式展开式的第5项为常数项，所以A错误， 对于B，令时，，所以B正确， 对于C， 令，则二项展开式中各项系数之和为，所以C正确， 对于D，因为二项式展开式中共有7项，所以第4项的二项式的系数最大为，所以D错误， 故选：BC 16．BC 【难度】0.65 【知识点】复数的乘方、二项展开式各项的系数和、求指定项的系数、二项式系数的增减性和最值 【分析】结合二项式系数的性质、系数的性质及对数的运算计算即可得. 【详解】， 对A：令，即，则，故A错误； 对B：令，即，故各项系数之和为，故B正确； 对C：由，故二项式系数中的最大值为，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：BC. 17．BCD 【难度】0.65 【知识点】分类加法计数原理 【分析】由题意，可得抛掷三次骰子后，棋子恰好又回到点A处，说明棋子沿正方形逆时针行走了8个单位．由此再分析三次掷出的点数之和为8对应基本事件的个数，讨论每种对应的个数即可. 【详解】A、B：由题意知正方形（边长为2个单位）的周长是8，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的表示三次骰子的点数之和是，故A错误，B正确； C、D：列举出在点数中三个数字能够使得和为的有， 共有7种组合，前2种组合，每种情况可以排列出种结果，共有种结果；各有3种结果，共有种结果，其中点数之和超过10的走法为，共有种，故C正确；根据分类计数原理知共有种结果，故D正确； 故选：BCD 18．BCD 【难度】0.65 【知识点】求系数最大（小）的项、二项展开式各项的系数和、求二项展开式的第k项 【分析】A，B，C项直接由二项式定理及其展开式的性质求解，D项中，可设第项的系数最大，则求解即可． 【详解】对于A项，因为，所以展开式共7项，故A项错误； 对于B项，令，得各项系数之和为，故B项正确； 对于C项，展开式的通项公式为，， 令，得显然取不到，则不含常数项，故C项正确； 对于D项，设第项的系数最大，则，解得， 则，得系数最大项为：，故D项正确， 故选：BCD 19．BC 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、二项式的系数和 【分析】根据二项式系数和可得n，化简通项公式，由x的指数为0求出k，然后可得常数项，即可得答案. 【详解】由题可知，，则. 展开式中的第项为. 令，得，则， 即展开式中的常数项为. 故选：BC 20．ACD 【难度】0.4 【知识点】求指定项的系数、二项式的系数和、二项展开式的应用 【分析】对于A利用二项式定理可证明，对于B分4种情况分别求的系数后可得知答案，对于C，运用赋值法可求解，对于D，分成两类组合式可证明. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，的展开式的通项为，要求的系数，， 当时，有，其中的系数为； 当时，有，不存在； 当时，有，其中的系数为； 当时，有，不存在. 故多项式展开式中的系数为，故B不正确； 对于C，的展开式的通项为，可知，， 所以， 所以令，有， 因此. 故C正确； 对于D， ，故D正确. 故选：ACD 21． 【难度】0.94 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】其展开式中含的项为，故其系数为 ， 故答案为： 22． 【难度】0.94 【知识点】求指定项的系数 【分析】运用二项式展开式通项即可解决. 【详解】由题知：因为， 所以 ， 所以 ， 所以 的通项为 ， 当 时， 所以展开式中x项的系数为 . 故答案为：-20 23． 【难度】0.94 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】根据乘法分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】二项式展开式的通项公式是， 令；令（舍去） 所以. 故答案为： 24．64 【难度】0.94 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据分步乘法原理求解即可. 【详解】解：根据题意，每一项竞赛都有4位同学可以选择，故有种参赛情况. 故答案为： 25． 【难度】0.85 【知识点】奇次项与偶次项的系数和 【分析】利用赋值法，分别令，令，代入求解即可. 【详解】令，可得； 令，可得； 两式相减除以2，得. 故答案为： 26． 【难度】0.85 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】分别令和可求得和，进而求得结果. 【详解】令，则；令，则， ． 故答案为：. 27． 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数、二项式的系数和 【分析】根据二项式系数和为，求得；再根据二项式展开式的通项公式，即可求得结果. 【详解】由题知，，解得， ∴的通项公式， 令，解得， ∴二项式中含项的系数为． 故答案为：. 28． 【难度】0.85 【知识点】分组分配问题、计算古典概型问题的概率 【分析】由题意，有且只有2人在一组，然后再分别分到四个不同岗位，分别求出总分法，以及甲和乙在同一岗位服务的分法，即可求得概率 【详解】由题意，有且只有2人在一组，然后再分别分到四个不同岗位，则有种分法，甲和乙在同一岗位服务由种分法， ∴甲和乙在同一岗位服务的概率为. 故答案为： 29．2187 【难度】0.85 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】利用二项展开式的通项，可得展开式中奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，令即可求解. 【详解】由二项展开式的通项， 可知展开式中奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数， 所以， 令展开式中的， 可得， 所以. 故答案为：2187 【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式、赋值法求二项式展开式的系数和，需熟记公式，属于基础题. 30．5 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数 【分析】首先写出展开式的通项，再令求出，最后代入计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为，， 令，解得，所以，所以展开式中的系数为. 故答案为： 31． 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据二项式的展开式的通项可得答案. 【详解】由题意的展开式的通项为， 令，则， 所以的展开式中的常数项为. 故答案为：. 32．42 【难度】0.65 【知识点】代数中的计数问题、组合数的计算、实际问题中的组合计数问题 【分析】根据题意，不同的安排方法的数目等于所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数，再加上甲值16号且乙值14号的排法，进而计算可得答案． 【详解】解：根据题意，不同的安排方法的数目为： 所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数，再加上甲值16号且乙值14号的排法， 即， 故答案为：42． 【点睛】本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同以及各种排法间的关系，避免重复、遗漏． 33．②④ 【难度】0.65 【知识点】多项式的展开式、由项的系数确定参数、求系数最大（小）的项、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】①由二项式展开式项数与指数n的关系即可判断；②由题设，利用组合数公式列方程求解即可；③应用赋值法求各项系数之和；④写出二项式展开式的通项公式，进而判断系数最小的项即可. 【详解】①当时，的展开式共有12项，故错误． ②的展开式的第3项与第5项的二项式系数比为，化简得，即或（舍去），故正确． ③当时，设， 令，得，故错误． ④当时，的展开式的通项，其中， 显然当时，的系数为正数；当时，的系数为负数． 当时，，当时，，当时，， 故系数最小的项是，正确． 故答案为：②④． 34．912 【难度】0.65 【知识点】排列组合综合 【分析】分类讨论两组数的奇偶性即可. 【详解】若和都是奇数，则为一奇一偶，也一奇一偶， 有种取法； 若和都是偶数，则有以下两种情况： ①两奇（偶）数，两奇（偶）数，有种取法； ②两奇（偶）数，两偶（奇）数，有种取法； 共计576+48+288=912种取法. 故答案为：912 35．1 【难度】0.65 【知识点】奇次项与偶次项的系数和 【详解】试题分析：令得，令得 考点：赋值法求二项展开式系数和 36． 【难度】0.65 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】法一：可使用二项式展开式的通项公式，通过已知条件，使用待定系数法，求解出参数的值； 法二：可以将此二项式看成6个这样的式子乘在一起，两项和看看怎样组合，能得到，即可完成等量关系的建立，从而完成参数的求解. 【详解】法一：展开式第项 时，，，，. 故答案为：2. 法二：展开式中，要想凑出，必须取三次方，也取三次方，于是算下系数就有，. 故答案为：2. 37． 【难度】0.65 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】赋值法求，根据二项式展开式通项求，即可求. 【详解】令， 由的展开式的通项为， 令，得，令，得， 所以， 所以. 故答案为： 38．0 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数 【分析】由，利用二项式定理求出和的展开式中的系数，相加即可得出结果. 【详解】， 的展开式通项为， 的展开式通项为， 令，得，， 因此，的系数为. 故答案为：0. 【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数，考查计算能力，属于中等题. 39． 【难度】0.65 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、由项的系数确定参数、求指定项的系数 【分析】根据题设二项式分别写出的系数、，由已知等量关系列方程求参数的值即可. 【详解】的展开式中含的项为：， ∴， 的展开式中含的项为：， ∴， 由，即，解得． 故答案为： 40．96 【难度】0.4 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理 【分析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，最少需要3种颜色，即同色，同色，同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色全部用上，即，，三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最后利用分类加法求和． 【详解】解：要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色， 即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法； 第二类是用四种颜色染色，即，，中有一组不同色，则有3种方案不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有种染法． 由分类加法原理得总的染色种数为种． 故答案为：96． 【点睛】本题考查了排列、组合、及简单的计数问题，解答的关键是正确分类，明确相邻的两区域不能染相同的颜色，属于中档题． 41．(1)1 (2)证明见解析 【难度】0.94 【知识点】排列数的计算、用排列数公式证明 【分析】（1）根据排列数公式计算； （2）根据排列数公式计算可得左右两边相等. 【详解】（1）. （2），. 42． 【难度】0.94 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】直接由赋值法，依次令，，得两式，将它们相乘即可求解. 【详解】令，得； 令，得. 两式相乘，得. 43． 【难度】0.94 【知识点】二项展开式的应用 【分析】逆用二项式定理进行合并即可. 【详解】原式 . 44．8 【难度】0.94 【知识点】排列数方程和不等式 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】因为得，解得， 又，为整数，所以. 45． 【难度】0.94 【知识点】组合数的计算 【分析】利用组合数公式化简可得结果. 【详解】解：. 46．(1) (2) 【难度】0.94 【知识点】组合数的性质及应用、组合数的计算、排列数的计算 【分析】（1）根据排列数､组合数公式展开计算，即可得出答案. （2）根据组合数公式和组合数性质展开计算，即可得出答案. 【详解】（1） （2） . 47．5150. 【难度】0.94 【知识点】组合数的计算 【分析】利用组合数公式计算即得. 【详解】. 48．(1) (2) 【难度】0.94 【知识点】排列数的计算、组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】（1）根据排列数、组合数的计算公式求得正确答案. （2）根据组合数的性质求得正确答案. 【详解】（1）. （2） . 49．答案见解析 【难度】0.94 【知识点】组合数的计算 【分析】根据组合数的计算公式求解. 【详解】由组合数的定义知，∴． 又，∴，，， 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 50．(1)480 (2)16 【难度】0.94 【知识点】排列数的计算 【分析】（1）（2）利用排列数的计算公式直接计算即可得结果. 【详解】（1）； （2）. 51．（1）720；（2） 【难度】0.94 【知识点】排列数的计算 【分析】利用排列数公式计算即得；根据连乘积式，联想到排列数公式，求出最大数和因数个数即可表示出来. 【详解】（1）； （2）中的最大数为，且共有（个）数， ． 52．(1)396； (2)4974. 【难度】0.94 【知识点】排列数的计算、组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】（1）根据排列数的计算即可求解； （2）根据组合数性质以及排列数的计算即可求解. 【详解】（1）； （2）. 53．（1）；（2）． 【难度】0.85 【知识点】二项展开式的应用 【分析】（1）根据题意，由二项式的展开式即可得到结果； （2）根据题意，反向利用二项式定理，即可得到结果. 【详解】（1）由二项式定理可得， . （2）原式 54． 【难度】0.85 【知识点】数与式中的归纳推理、求指定项的系数、二项展开式的应用 【分析】类比题目给定运算形式，可构建恒等式，通过观察的系数可化简原式. 【详解】观察恒等式左右两边的系数． 因为等式右边 ， 所以等式右边的系数为， 又等式左边的系数为， 所以． 55．(1)329；(2). 【难度】0.85 【知识点】组合数的性质及应用、组合数方程和不等式、排列数方程和不等式 【分析】(1)根据组合数的性质，在算式前面加上一项即可逐步计算； (2)由排列数和组合数的公式展开即可计算. 【详解】(1) ； (2)由组合数和排列数可知， 原方程可化为， 则，即为，即， 解得或(舍). 方程的根为. 56． 【难度】0.85 【知识点】二项展开式的应用 【分析】由二项式定理易知，结合其与目标式的关系，即可得结果. 【详解】由， ∴. 57．（1）495；（2）3或4 【难度】0.85 【知识点】排列数方程和不等式、组合数的性质及应用 【分析】（1）根据组合数性质运算求解； （2）根据排列数公式运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知： ； （2）因为，可知，且， 整理可得，解得， 且，所以或. 58．0 【难度】0.85 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】利用组合数的性质计算即可. 【详解】因为 所以 59．（1）165；（2） 【难度】0.85 【知识点】排列数方程和不等式、组合数的计算 【分析】（1）利用组合数性质计算可得原式等于； （2）由排列数计算公式可得，可得. 【详解】（1）因为，所以， 原式 ； （2）因为， 所以， 化简可得，同时， 解得. 60．(1)1 (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）赋值法，令求解即可； （2）赋值法，令再结合（1）求解即可； （3）赋值法，令和求解即可. 【详解】（1）令，得，故. （2）令，得， 故. （3）令，得， 结合， 故. 61．（1）2；（2）0 【难度】0.85 【知识点】排列数的计算、排列数方程和不等式、组合数的计算、利用组合数公式证明 【分析】（1）根据排列数的计算公式即可求解， （2）根据排列数的阶乘形式的公式即可求解. 【详解】解:（1）， 62．(1)6 (2)210 【难度】0.85 【知识点】组合数的性质及应用、组合数的计算、排列数方程和不等式 【分析】（1）根据排列数公式求解； （2）由组合数性质与组合数公式计算． 【详解】（1）由得，即， 又是正整数，，故解得； （2） ． 63．(1) (2)148 【难度】0.85 【知识点】组合数的计算、排列数的计算 【分析】（1）借助排列数的定义计算即可得； （2）借助组合数的定义计算即可得. 【详解】（1）； （2）. 64．（1）；（2）或 【难度】0.85 【知识点】排列数的计算、组合数的计算 【分析】（1）根据排列数公式计算可得； （2）根据组合数的定义求出的值，再代入计算可得. 【详解】（1）； （2）由组合数的定义知：，解得，又， 或. 当时； 当时. 所以的值为或. 65．（1）；（2）. 【难度】0.85 【知识点】奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）利用赋值法可求的值. （2）在中 分别令和后可求的值. 【详解】（1）， 令，故， 令，故， 故. （2）由二项式定理可得， 令，则； 令，则； 故. 66．（1）148；（2）466. 【难度】0.85 【知识点】组合数的性质及应用、组合数的计算 【分析】（1）利用组合数的定义式，直接求解； （2）根据组合数有意义，列不等式组，求出n＝10，再利用组合数的定义式和性质，直接求解. 【详解】（1）＝3×－2×＝148； （2）∵∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*，∴n＝10，∴. 67．(1)当时为，当时为；(2) . 【难度】0.85 【知识点】组合数方程和不等式、组合数的性质及应用 【分析】(1)由组合数公式可得或5，带入即可得出的值； (2)求解组合数方程可得，即可计算. 【详解】（1），，或． 当时，原式；当时，原式． （2）由题意可知，的取值范围为， 因为，所以 ， 即， ，解得：（舍）或， ． 68．（1）； （2）； （3）. 【难度】0.85 【知识点】排列数方程和不等式、组合数的计算、组合数方程和不等式 【分析】（1）利用排列数公式将不等式转化为二次不等式求解； （2）通过组合数中的范围，求出的值，再带回原式中计算得出结果； （3）利用组合数公式将等式转化为阶乘的形式在求解. 【详解】（1）易知，. 因为，，， 所以原不等式可化为， 所以， 所以原不等式的解集为. （2）由题意得，解得， 因为， 所以或， 当时，原式； 当时，原式. （3）由题意可知的取值范围为， 由已知得，， 即， 整理得，解得（舍去）或， 所以. 69．(1)720 (2)1 【难度】0.85 【知识点】排列数的计算 【分析】利用排列数公式化简求解即可． 【详解】（1） （2） 70．(1)； (2). 【难度】0.85 【知识点】求指定项的二项式系数、求指定项的系数 【分析】（1）直接利用已知列出关于的等式，求解即可； （2）利用（1）的结论，写出展开式的通项，得到关于的等式，求解即可. 【详解】（1）， 解得或（舍）， 故的值为5. （2）由（1）可知，展开式的通项为 当时，，则为含的项， 所以，又因为，解得. 故实数的值为2. 71．（1）10；（2）252；（3）或. 【难度】0.65 【知识点】组合数方程和不等式、排列数方程和不等式 【分析】（1）（2）（3）根据排列数及组合数解方程及不等式，应用组合数性质计算求值. 【详解】（1）因为 所以, 又因为，所以，解得. （2）由 . （3）因为所以      因为，所以，即 ，解得， 所以，又，所以或. 72． 【难度】0.65 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】利用等式规律以及组合数性质，从前向后逐项相加即可得出结果. 【详解】根据等式所示规律可知 ； 由组合数性质可得， 所以可得 73．(1) (2)60 (3)120 【难度】0.65 【知识点】求指定项的二项式系数、求指定项的系数、由项的系数确定参数 【分析】（1）由二项式系数之比列式求解即可； （2）求出展开式的通项，再令的指数等于零，即可得解； （3）利用通项的特点，依次写出对应的的系数（即二项式系数），然后借助于二项式系数和组合数性质计算． 【详解】（1）依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为， 所以，即，则，或（舍去）； （2）展开式的通项为 ， 令，解得， 所以，所以常数项为60，为第5项； （3）（1）知，， 展开式中项的系数分别为： 所以的展开式中项的系数为： ． 74．(1)0 (2) 【难度】0.65 【知识点】组合数的性质及应用、组合数的计算 【分析】 （1）利用组合数的阶乘形式化简计算即可； （2）利用化简式子即可. 【详解】（1） ； （2）由（1）知，， 则. 75．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用组合数公式证明、二项式的系数和、奇次项与偶次项的系数和、二项式定理与数列求和 【分析】（1）根据题意令，运算求解即可； （2）根据组合数证明，再结合二项式系数和的性质运算求解. 【详解】（1）当时，则， 令，则①， 令，则②， 得：， 故. （2） 所以， 即成立； 当时，则， 故展开式的通项公式为，可得， 故. 76．（1）答案见解析；（2） 【难度】0.65 【知识点】二项展开式的应用、求二项展开式 【分析】（1）先利用立方差公式化简式子，再利用二项展开即可得解； （2）将看作一个整体，再利用二项展开的逆运算即可得解. 【详解】（1） . （2）原式 . 77．（1）6；（2）. 【难度】0.65 【知识点】排列数的计算 【分析】根据题意，利用排列数的计算公式，准确运算，即可求解. 【详解】解：（1）由排列数的公式，可得. （2）因为，可得， 所以，可得， 又因为且，解得， 所以不等式的解集为. 78．(1)14； (2). 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）利用赋值法，分别令和，再将得的式子相加可求得结果； （2）由题意得，再求出和的展开式，由于，比较的系数可得答案． 【详解】（1）当时，， 令，则， 令，则， 两式相加得， 所以. （2）因为， ， 因此展开式中，的系数为： ， 因为展开式的通项公式为， 令，得，从而展开式中的系数为， 而， 所以. 79．（1）3360．（2）．（3）． 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、二项展开式的应用、求指定项的系数 【分析】（1）利用二项展开式的通项即可求解； （2）根据展开式的特点，考虑令a＝1，b即可求解； （3）结合等比数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，即（1+2x）10的展开式中x4的系数为3360． （2）令a＝1，，得． （3）． 80．（1）；（2）①②第6项和第7项 【难度】0.65 【知识点】二项展开式各项的系数和、求系数最大（小）的项 【分析】（1）由，利用赋值法求解； （2）先得到通项公式，①由二项式系数最大的项为中间项，即第5项求解；②设第项系数的绝对值最大，由求解. 【详解】解：（1）∵， 令，可得， 令，可得， ∴． （2）①． 二项式系数最大的项为中间项，即第5项．所以． ②设第项系数的绝对值最大， 则，所以 解得 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项. 81．5或16 【难度】0.65 【知识点】组合数的计算 【分析】由组合数的性质得到，进而求得n的取值，代入可得到原式的结果. 【详解】由组合数的性质，可得解得4≤n≤5.又因为n∈N*，所以n＝4或n＝5. 当n＝4时，原式. 当n＝5时，原式. 【点睛】这个题目考查了组合数的性质以及运算公式，题目基础. 82．（1）64；（2） 【难度】0.65 【知识点】数列的综合应用 【分析】（1）（1）根据定义，确定条件：8个数的和除以4的余数是1，因此有1个1或5个1，其余为0，从而； （2）个数的和除以4的余数是3，因此有3个1，或7个1，或11个1，…，或个1 ，其余为0，，再根据组合数性质即可化简求值. 【详解】（1）当时，数列中有1个1或5个1，其余为0， 所以． （2）依题意，数列中有3个1，或7个1，或11个1，…， 或个1 ，其余为0， 所以． 同理，得． 因为， 所以． 又， 所以 【点睛】本题考查组合数的性质，组合数的运算，属中档题. 83．（1）466；（2） 【难度】0.65 【知识点】组合数的计算、组合数方程和不等式、组合数的性质及应用 【分析】（1）根据题意可得，解之即可得解； （2）根据组合数的运算公式计算即可得出答案. 【详解】解：（1）由可得： ，解得， 则； （2）不等式， 即不等式， 解得， 又因， 所以关于的不等式的解集为. 84．（1）；（2）；（3）证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式的系数和 【分析】（1）中间项的二项式系数（也是系数）最大； （2）在原式乘以4，然后逆用二项式定理即可； （3）根据，将左边利用倒序相加法求和. 【详解】解：（1），通项为：， 故各项的系数即为二项式系数，故系数最大的项为； （2） ； （3）证明：令①， 则， 所以②， ①②得：，∴. 【点睛】本题考查二项式定理的通项、系数的性质以及赋值法.同时考查学生的逻辑推理和数学运算等数学核心素养.属于中档题. 85．(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】二项式定理与数列求和、二项展开式各项的系数和、组合数的性质及应用、倒序相加法求和 【分析】（1）先利用二项式定理求得，再利用二项式系数的性质与倒序相加法即可得证； （2）先得到题设条件中含项的系数，再利用二项式系数的性质即可得证. 【详解】（1）因为， 的二项展开式为， 所以， 所以， 则， 又， 所以， 故. （2）因为的展开式中含项的系数为， 而. 所以含项的系数为： . 86．（1）448；（2） 【难度】0.65 【知识点】排列数的计算、组合数的计算、组合数方程和不等式、组合数的性质及应用 【分析】（1）利用组合数的性质将原式化简重组即可求得结果； （2）先利用组合数性质化简，再运用组合数和排列数公式展开计算即可求得. 【详解】（1）原式 ； （2）由化简得 展开得， 因，故可化简得：， 解得或 (舍)，故方程的正整数解为. 87．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）令代入等式求出结果； （2）令代入等式，再结合第一问等式组成方程组求出结果； （3）先变形，再求含项的系数即可. 【详解】（1）令，则，① （2）令，则，② 令，则， ， ； （3）， 即为含项的系数，为， 则. 88．（1）126；（2）． 【难度】0.65 【知识点】组合数的性质及应用、组合数方程和不等式、组合数的计算、排列数方程和不等式 【分析】（1）根据给定条件，利用组合数的性质求出并计算得解. （2）利用组合计算公式、排列数公式求解即得. 【详解】（1）因为，则，解得，经验证符合题意， 所以 . （2）由，得， 即，而由，知，解得， 所以原方程的解为. 89．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】组合数的性质及应用、组合数的计算 【分析】（1）利用组合数的定义式，直接求解； （2）根据组合数有意义，列不等式组，求出，再利用组合数的定义式和性质，直接求解. 【详解】（1）； （2）由已知， 所以，又 所以， 所以. 90．（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】排列数方程和不等式 【分析】（1）（2）将排列数表示为阶乘的形式，然后化简计算即可得解， 【详解】（1）依题意，有，， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又得， 所以的解集为. （2）因为， 所以，即， 整理得，解得，故， 所以不等式解集为. 91．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三项展开式的系数问题、求指定项的系数、组合数的计算、排列数的计算 【分析】(1)将化为,利用二项展开式的通项公式,即可求得答案; （2）根据组合数的性质以及排列数的计算，化简，可得答案. 【详解】（1）因为， 设, 令,得, 故展开式中的系数为. （2）. 92． 【难度】0.65 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用 【分析】根据组合数性质，可逐步抵消得出，计算即可. 【详解】利用组合数与杨辉三角之间的关系可知组合数性质为； 又易知， 所以 所以可得 93． 【难度】0.65 【知识点】组合数的性质及应用、组合数的计算 【分析】根据组合数的性质及组合数公式计算即可. 【详解】 . 94．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】导数的乘除法、二项式的系数和 【分析】（1）在等式两边对求导，然后令，，可求得所求代数式的值； （2）由（1）可得出，在此等式两边对求导，然后令可证得结论成立. 【详解】（1）在等式（，正整数）， 两边对求导得：①， 令，，可得. （2）①式两边同时乘以得②， ②式两边对求导得：， 令，得. 95．（1）；（2）； 【难度】0.65 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数 【分析】（1）根据二项式展开式求解中间项第6项即可； （2）根据，解得，然后令，找到最大项从而求解中的最大值. 【详解】（1）当时，的展开式中共有11项， 展开式的中间项为第6项，即. （2）由题意，得，解得. 设第项的系数为. 若，解得. 可得. 所以中的最大值为 96．（1）；（2）. 【难度】0.65 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求系数最大（小）的项 【分析】（1）由于展开式中各项的系数与二项式系数相同，所以由二项式系数性质可得结果； （2）考查的二项展开式，由赋值法可得结果. 【详解】（1）当时，由于展开式中各项的系数与二项式系数相同，所以展开式中系数最大项是第5项，即. （2）因为， 令得， 所以. 97．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）令，则已知的等式可改写为，令即可得解； （2）令，两式相减，即可得解. 【详解】（1）令，则，从而， ， 因此，已知的等式可改写为， 令，得；① （2）令，得，② 由①②得， 所以. 98．（1）；（2），证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】组合数的性质及应用、整除和余数问题、二项式定理与数列求和 【解析】（1）由二项式定理得，利用公式计算的值； （2）由组合数公式化简，把化为的整数倍即可． 【详解】由二项式定理，得； （1）； （2）因为， 所以 ， ， 因为，所以能被整除. 【点睛】本题考查了二项式定理与组合数公式的应用问题，也考查了整除问题，是难题． 99．（1）70x4；（2）①；②24 【难度】0.4 【知识点】二项展开式各项的系数和、由复数模求参数 【分析】（1）展开式中系数最大的项是第5项； （2）（1+i）n＝-64，两边取模，求出n，利用（1+i）12＝（（ ）i＝-64，结合，，可得结论． 【详解】（1）展开式中系数最大的项是第5项70 x4； （2）由已知，（1+i）n＝-64，两边取模，得64，所以 n＝12 所以， 而（1+i）12＝（（ ）i＝-64， 所以0． . 又，， 故， ，即 【点睛】本题考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查复数的运算，属于中档题． 100．答案见解析 【难度】0.4 【知识点】排列数的计算、数与式中的归纳推理、整数与整除 【分析】利用对称性由，分情况讨论，从整除性得矛盾，再利用因式分解及数的范围分别得到结果. 【详解】因为为正整数，不妨设． 若，则，但，矛盾，∴． （1）若，此时若，则为奇数，与题设矛盾，故， 从而．只有时，时，，即或． （2）若，则，故． 此时若，则，但，矛盾，∴． ①若，则．注意到时，，而时，，故此时无解． ②若，应用，此时当时，，矛盾，∴．又，故． 只能是取或5，分别得解或． 综上所述，满足条件的正整数有四组， 若考虑到的其他排列顺序， 当时，变换时还有， 当为时，变换时还有， 当时，变换时还有种， 当时，变换时还有种， 综上：合计有18组解． 答案第38页，共48页 答案第6页，共48页 学科网（北京）股份有限公司 $$