4.第四章 数列-高二数学必刷100题（人教A版2019）

4.高二第四章数列必刷100题（人教版） 1．（19-20高一下·河北唐山·期末）已知是等差数列，且，则的值是（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 2．（18-19高二上·辽宁·单元测试）数列的一个通项公式为 A． B． C． D． 3．（22-23高二下·福建福州·期中）已知等比数列中，，，则（    ） A．16 B．4 C．2 D．1 4．（22-23高二上·四川凉山·期末）是直线与圆相切的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．（22-23高二上·广东·期末）已知数列满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．6 D．8 6．（16-17高三上·海南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，过动点分别作圆与圆的切线与，为切点），若，若为原点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（2017·河北衡水·二模）等比数列{an}的各项均为正数，且a1+2a2＝4，a42＝4a3a7，则a5＝（    ） A． B． C．20 D．40 8．（2024·甘肃平凉·模拟预测）已知数列，若，则称数列为“凸数列”．已知数列为“凸数列”，且，，则的前2 024项的和为（    ） A．0 B．1 C．－5 D．－1 9．（22-23高二下·北京·期中）已知数列满足，，，，，记数列前项和为，则（    ） A． B． C． D． 10．（20-21高二下·浙江衢州·期末）已知等差数列满足：，则的最大值为（    ） A．18 B．16 C．12 D．8 11．（22-23高二上·新疆喀什·期末）经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 12．（21-22高二上·广西防城港·期中）已知，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 13．（19-20高二上·湖南怀化·期末）已知数列的前项和为，且满足，则的值为（          ） A．     B．2 C．3 D．4 14．（20-21高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知等比数列的前项和为，，且，，成等差数列，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高三上·北京·期中）在平面直角坐标系中，当，变化时，点到直线的距离最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 16．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高三上·陕西榆林·期中）已知数列满足，若，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2019·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系中，设点，定义，其中为坐标原点，对于下列结论： 符合的点的轨迹围成的图形面积为8； 设点是直线：上任意一点，则； 设点是直线：上任意一点，则使得“最小的点有无数个”的充要条件是； 设点是圆上任意一点，则． 其中正确的结论序号为　　 A． B． C． D． 19．（22-23高二上·河北唐山·期中）已知是圆上一动点，，为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 20．（2022高三·全国·专题练习）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，记，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高二上·全国·单元测试）已知数列的通项公式，则时，等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 22．（23-24高二下·全国·课前预习）（多选）数列的递推公式是（    ） A． B． C． D． 23．（21-22高二下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则的取值可（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知，两点，以线段为直径的圆为圆P，则（    ） A．在圆P上 B．在圆P内 C．在圆P内 D．在圆P外 25．（23-24高二上·山西大同·期中）已知直线，直线，下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距等于直线在轴上的截距 B．若点在直线上，则点也在直线上 C．若，则 D．若，则 26．（19-20高二上·山东济南·阶段练习）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，，，则下列结论正确的是（    ） A．0<q<1 B． C．Sn的最大值为S7 D．Tn的最大值为T6 27．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线恒过定点 C．经过点，且在，轴上截距相等的直线方程为 D．过原点作直线的垂线，垂足为，则直线l的方程为 28．（21-22高二上·重庆万州·阶段练习）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点P，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆有公共点，则下列的取值中，能使上述结论成立的有（    ） A． B． C． D． 29．（2024·河南郑州·一模）在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是曲线．则下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是 C．当三点不共线时，若点，则射线平分 D．过曲线外一点作曲线的切线，切点分别为，则直线过定点 30．（20-21高二上·江苏泰州·阶段练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形.如下图的雪花曲线，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图2，如此继续下去，得图（3）...记为第个图形的边长，记为第个图形的周长，为的前项和，则下列说法正确的是（  ） A． B． C．若为中的不同两项，且，则最小值是1 D．若恒成立，则的最小值为 31．（23-24高二上·全国·课后作业）若过点可以作出圆的两条切线，则实数可能的值为（    ） A． B． C． D． 32．（22-23高二上·甘肃金昌·期中）若为等差数列，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是数列中的项 C．数列单调递减 D．数列前7项和最大 33．（20-21高三上·广东广州·阶段练习）已知为等差数列的前n项和，且，，，记数列的前n项和为，则（    ） A． B． C． D． 34．（22-23高二·江苏·假期作业）下列各直线中，与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 35．（河南省青桐鸣2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷（北师大版））已知圆过点，，且圆心在轴上，则下列说法正确的是（   ） A．圆心的坐标为 B．圆的标准方程为 C．圆与轴的交点坐标为 D．圆上一点到点距离的最大值为 36．（21-22高二上·山东菏泽·期中）圆和圆的交点为，，则（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段中垂线的方程为 C．公共弦的长为 D．两圆圆心距 37．（2022·海南·模拟预测）“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为，将其外观描述为“个”，则第二项为；将描述为“个”，则第三项为；将描述为“个，个”，则第四项为；将1描述为“个，个，个”，则第五项为，，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．则对于外观数列，下列说法正确的是（    ） A．若，则从开始出现数字 B．若，则的最后一个数字均为 C．不可能为等差数列或等比数列 D．若，则均不包含数字 38．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知数列满足，记数列的前项和为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 39．（21-22高二上·河北保定·阶段练习）意大利著名数学家裴波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，….该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为裴波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则（    ） A． B． C． D． 40．（21-22高二上·山东东营·期末）对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，又称为函数，例如，（10与1，3，7，9均互质）则（    ） A． B．数列单调递增 C．若p为质数，则数列为等比数列 D．数列的前4项和等于 41．（20-21高三上·全国·阶段练习）已知直线恒过定点，则以点为圆心，以1为半径的圆的标准方程为 . 42．（20-21高二上·上海虹口·阶段练习）一个等差数列的前项是、、、，则 . 43．（22-23高二下·新疆乌鲁木齐·开学考试）骑行是一种健康自然的运动旅游方式，能充分享受旅行过程之美．一辆单车，一个背包即可出行，简单又环保．在不断而来的困难当中体验挑战，在旅途的终点体验成功．一种变速自行车后齿轮组由7个齿轮组成，它们的齿数成等差数列，其中最小和最大的齿轮的齿数分别为10和28，求后齿轮所有齿数之和为 44．（2024·全国·模拟预测）与直线相切于点的圆的方程为 ．（写出一个即可） 45．（2011·北京西城·二模）已知为等差数列，，则其前项之和为 . 46．（22-23高二下·全国·课后作业）已知数列满足，，则 ． 47．（2023·新疆喀什·模拟预测）已知p：如果数列是等比数列，那么数列也是等比数列；q：如果数列是等差数列，那么数列也是等差数列.以下哪些为真命题 . ①p∧q         ②p∨q         ③       ④ 48．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）过两点的直线的一般式方程是 ． 49．（2024·北京朝阳·二模）若直线与曲线 有两个不同的交点，则实数的一个取值为 . 50．（2022高三·全国·专题练习）若点和点到直线的距离依次为1和2，则这样的直线有 条． 51．（20-21高三·云南·期中）已知正项数列满足，，其中为数列的前项和，则数列的前项的和为 ． 52．（22-23高二下·贵州遵义·期中）若点在直线上（其中a，b都是正实数），则的最小值为 . 53．（2019高三·浙江·专题练习）设是直线上一点， 是圆 :上不同的两点，若圆心为△的重心，则△面积的最大值为 ． 54．（20-21高二上·浙江杭州·阶段练习）已知圆的方程为.设该圆内过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为 . 55．（15-16高一下·四川成都·期中）数列满足：，且对任意的都有：，则 ． 56．（2021高三·全国·专题练习）数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排；第二行2项，从左到右分别排；第三行3项，……以此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为 4， 4，43 4，43，4 4，43，4 ， 4 … 57．（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知数列满足，且对任意正整数，关于的实系数方程都有两个相等的实根．若，则满足条件的不同实数的个数为 个． 58．（22-23高二下·河南平顶山·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.三角垛的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，从第二层开始，每层球数与上一层球数之差依次构成等差数列.现有60个篮球，把它们堆放成一个三角垛，那么剩余篮球的个数最少为 .    59．（21-22高三下·北京·开学考试）已知曲线的方程是，给出下列四个结论： ①曲线与两坐标轴有公共点； ②曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③若点，在曲线上，则的最大值是； ④曲线围成图形的面积大小在区间内． 所有正确结论的序号是 ． 60．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知正项数列的前项和为，若，则的最小值为 ． 61．（2018·广东佛山·一模）定义为个正整数的“均倒数”，若已知数列的前 项的“均倒数”为，又，则 ； 62．（21-22高二上·江苏南京·阶段练习）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至､立春､春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为 尺. 63．（2021·山东聊城·三模）数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他写的《算盘全书》提出的，该数列的特点是：从第三起，每一项都等于它前面两项的和．在该数列的前2021项中，奇数的个数为 ． 64．（21-22高二上·河北衡水·阶段练习）圆（x－1）2+y2－2=0的半径是 . 65．（11-12高一下·黑龙江绥化·阶段练习）等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若=，则= ． 66．（23-24高三上·辽宁·期中）已知正项等比数列的前n和为，若，且，则满足的n的最大值为 . 67．（21-22高二·全国·课后作业）在等差数列中，，，则的通项公式 ． 68．（2022·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ． 69．（21-22高二·全国·课后作业）已知、，若P是直线上的点，则的最大值为 ． 70．（2024·上海青浦·二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ． 71．（21-22高二下·山西朔州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，，则 72．（20-21高二上·重庆巴南·阶段练习）已知方程为，过点的直线与交于，两点，则弦中点的轨迹方程为 . 73．（2018·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列 满足 ， 记 ，则数列 的前 项和 ． 74．（2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 . 75．（2024·河北·三模）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域，为纪念欧拉的成就，函数就是以其名字命名的，称为欧拉函数.人教A版新教材选择性必修二第8页指出：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数个数．欧拉函数有很多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果互素，则.请计算数列的前项和 . 76．（23-24高三下·四川·期末）若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ． 77．（2020·内蒙古阿拉善盟·一模）数列满足，则数列通项公式为= . 78．（21-22高二上·江苏连云港·期中）学校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位，则第1排应安排 个座位. 79．（21-22高二·全国·课后作业）当 时，直线与直线的夹角为60°． 80．（23-24高二上·北京·期末）普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”（Lookandsaysequence），该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”.例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列，下列说法正确的有 . ①若，则从开始出现数字2； ②若，则的最后一个数字均为； ③可能既是等差数列又是等比数列； ④若，则均不包含数字4. 81．（2023高三·全国·专题练习）化简之后为，求a，． 82．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知为数列的前项和，且，若，，是的前项和，求. 83．（18-19高三上·山西太原·阶段练习）已知 (≥0)，数列中，，=2，时，且. （1）求的表达式；    （2）已知时，求并化简. 84．（23-24高二上·陕西渭南·期中）已知直线和直线的交点为，求过且与和距离相等的直线方程； 85．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前99项和为，求. 86．（22-23高三上·河北衡水·期末）在高中的数学课上，张老师教会了我们用如下方法求解数列的前n项和：形如的数列，我们可以错位相减的方法对其进行求和；形如的数列，我们可以使用裂项相消的方法对其进行求和．李华同学在思考错位相减和裂项相消后的本质后对其进行如下思考： 错位相减：设， 综上：当中间项可以相消时，可将求解的问题用错位相减化简 裂项相消：设或为公比为1的等比数列； ①当时， ②当为公比为1的等比数列时，； 故可为简便计算省去②的讨论， 综上：可将求解的问题用裂项相消转化为求解的问题 你看了他的思考后虽觉得这是“废话文学”，但是你立刻脑子里灵光一闪，回到座位上开始写下了这三个问题： (1)用错位相减的方法“温故”张老师课堂上举的例子，求解数列{}前n项和； (2)用裂项相消的方法“知新”张老师课堂上举的例子，求解数列{}前n项和； (3)融会贯通，求证：前n项和满． 请基于李华同学的思考做出解答，并写出裂项具体过程． 87．（2021高一上·江苏南京·专题练习）解答下列各题． (1)求的值． (2)求的值． (3)______． 88．（22-23高二下·黑龙江鹤岗·期中）设条直线最多把平面分成部分，其求法如下：易知一条直线最多把平面分成部分，两条直线最多把平面分成部分，3条直线分平面，要使所得部分尽量多，则第三条直线必与前两条直线都相交，产生2个交点，这2个交点都在第3条直线上，并把第三条直线分成3段，这3段的每一段都在部分的某部分中，它把所在部分一分为二，故增加了3部分，即，依次类推得，累加化简得．根据上面的想法，设个平面最多把空间分成部分，且 (1)求出 (2)写出与之间的递推关系式 (3)求出数列的通项公式 89．（23-24高二上·湖北·阶段练习）圆过、两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若直线在轴上的截距是轴上的截距的2倍，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程． 90．（21-22高二上·辽宁锦州·期末）（1）已知直线l过点，且直线l在y轴上的截距、在x轴上的截距满足，求直线l的方程． （2）在直角坐标系中，已知圆C：与直线l：相切，求实数的值． 91．（23-24高二下·云南昭通·期中）已知各项均为正数的数列满足，且. (1)写出，并求的通项公式； (2)记求. 92．（2023高三·全国·专题练习）当时，把化简成圆的标准方程的形式 93．（23-24高二下·四川自贡·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，令，求数列的前n项和． 94．（2024·四川自贡·一模）已知数列的前顶和为.且. (1)求数列的通项公式； (2)在数列中，，求数列的前项和. 95．（23-24高二上·福建漳州·阶段练习）已知直线l：与圆C：相切. (1)求实数a的值； (2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 96．（10-11高一下·广东河源·开学考试）圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦． (1)当时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． 97．（24-25高三上·上海·开学考试）已知（），且满足，. (1)求函数的解析式； (2)函数满足条件，若存在实数，使得、、成等差数列，求正实数的取值范围. 98．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线：和：， (1)求直线与的交点坐标； (2)过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程． 99．（2011高一·全国·竞赛）已知数列满足：． (1)求的通项公式； (2)记， （i）求的值； （ii）求证：． 100．（23-24高二上·北京·阶段练习）已知圆：.若直线：与圆相交于A，B两点，且. (1)求圆的方程； (2)请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为点的坐标，求过点与圆相切的直线的方程. ①；②. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 试卷第2页，共18页 试卷第1页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B C B A D D C 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B C C C D C D D B C 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 AC CD BD AC BD AD BD ABC ACD ACD 题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 答案 AD ACD BD ABC ABD ABD BD AB ACD AC 1．B 【难度】0.94 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列的性质直接求解. 【详解】是等差数列，且， . 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题. 2．C 【难度】0.94 【知识点】观察法求数列通项 【分析】分别观察各项的符号、绝对值即可得出． 【详解】数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式． 故选C． 【点睛】本题考查了球数列的通项公式的方法，属于基础题． 3．B 【难度】0.85 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列的定义 【分析】先通过求出等比数列的公比，然后利用等比数列的定义可得答案. 【详解】设等比数列的公比为， 则， . 故选：B. 4．B 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】判断“”和“直线与圆相切”之间的逻辑推理关系，可得答案. 【详解】当时，直线为， 则的圆心到直线的距离为， 故此时直线和圆相切； 当直线与圆相切时，则， 解得或，推不出一定是， 故是直线与圆相切的充分不必要条件， 故选：B 5．C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、累加法求数列通项 【分析】由累加法可求出，再求出，结合基本不等式即可求出答案. 【详解】由数列满足，可得 ，则， 因为函数，当且仅当时等号成立， 当时，所以取最小值为6. 故选:C. 6．B 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、切线长 【分析】利用，结合勾股定理，即可求得点的轨迹方程，的最小值为到直线的距离． 【详解】解：圆标准方程为，圆心，， 圆标准方程为，圆心，， 所以，，由题意可得， 设，则，化简为， 所以的最小值为． 故选：B． 7．A 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】首先由等比数列的性质得到，再回代，计算首项，最后计算的值. 【详解】，， ，又， ，及， 又，解得：， . 故选：A 【点睛】本题考查等比数列的性质，基本量的计算，重点考查计算能力，属于基础题型. 8．D 【难度】0.65 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用 【分析】根据，递推出数列是以6为周期的周期数列求解. 【详解】解：因为，所以， ， 则数列是以6为周期的周期数列，又， 所以， 故选：D 9．D 【难度】0.4 【知识点】由递推关系式求通项公式、数列求和的其他方法 【分析】根据原递推关系构造等差数列，求出 的通项公式，再利用对数的性质计算出 ，再运用缩放法证明. 【详解】 ， ， ， 令 ，则有 ，即数列 从第2项开始是公差为1，首项为 的等差数列， ，即 ，将 代入上式检验得 ，正确； ， ， 显然 ， ； 故选：D. 10．C 【难度】0.4 【知识点】不等式综合、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】根据等差数列性质分析题中数列变化规律，计算得出结果. 【详解】 不为常数列，且数列的项数为偶数，设为 则，一定存在正整数k使得或 不妨设，即， 从而得，数列为单调递增数列， ，且， ，同理 即， 根据等差数列的性质， 所以n的最大值为12，选项C正确，选项ABD错误 故选：C. 11．B 【难度】0.94 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线平行求方程 【分析】求出直线斜率，利用点斜式写出直线方程即可. 【详解】直线斜率为， 故经过点，且与直线平行的直线方程为， 整理得. 故选：B. 12．C 【难度】0.94 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】根据两点间距离公式即可求解. 【详解】因为，， 所以， 故选：C. 13．C 【难度】0.85 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【解析】利用，将代入原式，即可得到关于的等式，并代入相关值即可计算出的值. 【详解】因为，所以当时有且， 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查根据数列的递推公式求值，难度较易.对任意数列以及前项和总有. 14．C 【难度】0.85 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】利用，，成等差数列，求出公比q，再利用等比数列通项公式求解. 【详解】因为，，成等差数列，所以，所以，将代入得，，所以，所以. 故选：C. 15．D 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】求出直线过定点坐标，以及点的轨迹方程，再求出定点到圆心的距离，即可得解. 【详解】直线，即，令，解得， 所以直线恒过点， 又点为圆上的点，圆心为，半径， 则， 所以点到直线的距离最大值为. 故选：D 16．C 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据题意，求得点的轨迹方程为，结合得到为直径的圆要包含圆，利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由圆，可得， 所以圆的圆心为，半径为， 因为，且是的中点，所以， 所以点的轨迹方程为, 可其圆心为，半径为， 若直线上存在两点，使得恒成立， 则以为直径的圆要包含圆， 又由圆心到直线的距离为， 所以的长度的最小值为. 故选：C.    17．D 【难度】0.65 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】根据建立不等式，不等式转化为对一切恒成立，求出即可. 【详解】据题设知，对一切恒成立， 所以对一切恒成立， 即对一切恒成立． 又当时，， 所以，所以所求实数k的取值范围是． 故选:． 18．D 【难度】0.65 【分析】根据新定义由，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图象，由图象可知点P的轨迹围成的图形为边长是的正方形，求出正方形的面积即可； 运用绝对值的含义和一次函数的单调性，可得的最小值； 根据大于等于或，把代入即可得到当最小的点P有无数个时，k等于1或；而k等于1或推出最小的点P有无数个，得到是“使最小的点P有无数个”的充要条件； 把P的坐标用参数表示，然后利用三角函数的化积求得的最大值说明命题正确． 【详解】由，根据新定义得：， 由方程表示的图形关于x，y轴对称和原点对称， 且， 画出图象如图所示： 根据图形得到：四边形ABCD为边长是的正方形，面积等于8， 故正确； 为直线：上任一点，可得， 可得， 当时，；当时，； 当时，可得，综上可得的最小值为1，故正确； ，当时，，满足题意； 而，当时，，满足题意． “使最小的点P有无数个”的充要条件是“”，不正确； 点P是圆上任意一点，则可设，，， ，，，正确． 则正确的结论有：、、． 故选D． 【点睛】此题考查学生理解及运用新定义的能力，考查了数形结合的数学思想，关键是对题意的理解，是中档题． 19．B 【难度】0.65 【知识点】点与圆的位置关系求参数、求平面两点间的距离 【分析】设点，可得，求出点的坐标，利用平面两点间的距离公式化简可得出合适的选项. 【详解】设点，则，可得，则点. 圆的圆心为，半径为. 对于A选项， 不是定值，A错； 对于B选项， ，B对； 对于C选项， 不是定值，C错； 对于D选项， 不是定值，D错. 故选：B. 20．C 【难度】0.4 【知识点】由递推关系式求通项公式、累加法求数列通项 【分析】根据数列的递推关系代入即可求解. 【详解】因为的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即，A正确； 当时，，，B正确； 由给定的递推公式得：，，…，， 累加得， 于是有，即，C错误； ，，，…，，累加得，D正确. 故选：C. 21．AC 【难度】0.94 【知识点】判断或写出数列中的项 【分析】 由，解方程可得结果. 【详解】由，得，得或. 故选：AC 22．CD 【难度】0.94 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、递推数列的实际应用、由递推关系式求通项公式、数列的概念及辨析 【分析】根据等差数列的通项和定义即可判断. 【详解】AB中没有说明某一项, 无法进行递推，故AB错误； 而CD均可递推出，故CD正确. 故选：CD. 23．BD 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】分析可知圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式可求得实数的值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由题意可知，圆心到直线的距离为， 所以，，解得或. 故选：BD. 24．AC 【难度】0.85 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】先计算圆P的圆心及半径，在利用点到圆心的距离与半径的大小关系一一判定即可. 【详解】以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径， 易知，，，， 所以点在圆P上，点N在圆P外，点Q在圆P内． 故选：AC． 25．BD 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数 【分析】根据直线的截距、直线与直线平行与垂直关系，逐项判断即可. 【详解】直线在轴上的截距为，直线在轴上的截距为2，不相等，故A错误； 若点在直线上，则，所以点在直线上，故B正确； 当时， 与重合，故C错误； 若，则，故D正确. 故选：BD 26．AD 【难度】0.65 【知识点】等比中项的应用、等比数列的其他性质 【解析】分析得到得a6>1，a7<1，故q<1，所以选项正确；，所以选项错误；Sn没有最大值，所以选项C错误；Tn的最大值为T6，所以选项正确. 【详解】等比数列{an}，公比为q， 由a1>1，，得q>0且q≠1， ，得a6>1，a7<1，若不然，，则q>1， 又a1>1，则a6>1，a7>1，不成立，故q<1， 所以选项正确； ，因为，所以，所以选项错误； 因为0<q<1，a1>1，所以数列各项均为正值，Sn没有最大值，所以选项C错误； 因为，所以Tn的最大值为T6，所以选项正确. 故选：AD 【点睛】本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 27．BD 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、由两条直线垂直求方程、直线截距式方程及辨析、直线的倾斜角 【分析】求出直线的斜率，即可得到倾斜角，从而判断A，求出直线过定点坐标，判断B，分截距为0和不为0两种情况讨论，即可判断C，求出，即可得到，再由点斜式计算判断D. 【详解】对于A：直线即，所以直线的斜率为，则倾斜角为，故A错误； 对于B：直线即， 令，解得，所以直线恒过定点，故B正确； 对于C：若在，轴上截距均为，此时直线过坐标原点，则直线方程为即， 若在，轴上截距均不为，设直线为，则， 解得，所以直线方程为，即， 综上可得经过点，且在，轴上截距相等的直线方程为或，故C错误； 对于D：因为，所以，则直线的方程为即，故D正确； 故选：BD 28．ABC 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、求点到直线的距离 【分析】圆和圆半径都是2，两圆相离才无公共点，因此只要存在点，两圆心距不大于半径和，也即由到直线的距离不大于4即可满足．由此求得的范围，然后判断各选项． 【详解】若直线上至少存在一点P，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆有公共点，则当与直线垂直时，圆与圆至多外切或相交（或重合）， ，则，．ABC满足， 故选：ABC． 29．ACD 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数、相交圆的公共弦方程 【分析】设点，根据题意可求出的方程可判A；根据直线与圆有公共点列方程判断B；根据三角形内角平分线的性质可判断C；分析可得两圆的公共弦，求出公共弦所在直线方程可判断D. 【详解】对于A，设点，则由，可得，化简可得，故A正确； 对于B，曲线的方程为，圆心为，半径为，直线，即， 若直线与曲线有公共点，则圆心到直线的距离， 解得或，则的取值范围是，故B错误； 对于C，当三点不共线时，，则， ，，则，所以， 所以由角平分线定理的逆定理知射线平分，故C正确； 对于D，设曲线外一点，因为，，所以在以为直径的圆上. 线段的中点坐标为， 所以以为直径的圆方程为 化简得：， 因为两圆的公共弦，所以直线的方程为， 即，令，解得，则直线过定点，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 30．ACD 【难度】0.4 【知识点】根据数列的单调性求参数、求等比数列前n项和、写出等比数列的通项公式、无穷等比数列各项的和 【分析】对于A，从前后两个图之间的关系可求出，对于B，由题意可知，数列是1为首项，为公比的等比数列，从而可求出，对于C，由结合，可得，而，从而可求出的值，则可求出的值，进而可求得最小值，对于D，由在上递增和在上递增，可求得结果. 【详解】解：对于A，由题意可知，下一个图形的边长是上一个图边长的，边数是上一个图形的4倍，则周长之间的关系为，所以数列是公比为，首项为3的等比数列，所以，所以A正确， 对于B，由题意可知，从第2个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的，所以数列是1为首项，为公比的等比数列，所以，所以B错误， 对于C，由，，得，所以，所以，因为，所以当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，所以最小值是1，所以C正确， 对于D，因为在上递增，所以，即， 令，则在上递增， 所以，即，即， 因为恒成立，所以的最小值为，所以D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：此题考查等比数列的通项公式和求和公式的应用，考查数列单调性的应用，解题的关键是正确理解题意，求出数列和的通项公式，考查计算能力，属于较难题 31．AD 【难度】0.94 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程 【分析】 首先分析出点在圆外，则代入得到不等式，解出即可. 【详解】过可作圆的两条切线，说明点在圆的外部， 所以，解得或， 故选：AD. 32．ACD 【难度】0.94 【知识点】求等差数列前n项和、利用定义求等差数列通项公式、确定数列中的最大（小）项、判断数列的增减性 【分析】由为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可. 【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确， 由，得，故B错误， 因为，所以数列单调递减，故C正确， 由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确. 故选：ACD 33．BD 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式可判断AB选项，由裂项求和法可判断CD选项. 【详解】设数列的公差为d，则由题意得 解得，，∴A错误，B正确； ，C错误； ∴数列的前10项和为，D正确. 故选：BD. 34．ABC 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线平行 【分析】利用两直线平行的条件即可判断各选项. 【详解】直线，即的斜率为2，在轴的截距为， 对于A，直线，即的斜率为2，在轴的截距为，所以两直线平行，A正确； 对于B，直线的斜率为2，在轴的截距为，所以两直线平行，B正确； 对于C，直线，即的斜率为2，在轴的截距为，所以两直线平行，C正确； 对于D，直线的斜率为－2，所以两直线不平行，D错误． 故选：ABC． 35．ABD 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】设圆心坐标为，由题意可得，可求圆心判断A；利用两点间的距离公式求得半径可判断B；令，可得圆与轴的交点坐标判断C；求得圆心到的距离可求圆上一点到点距离的最大值判断D. 【详解】设圆心坐标为，由，得， 解得，故，故A正确； 所以，故圆的标准方程为， 故B正确； 令得，，故圆与轴的交点坐标为，故C错误； 圆心到点的距离为，故圆上一点到点距离的最大值为5+，故D正确. 故选：ABD. 36．ABD 【难度】0.65 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程 【分析】把两圆方程相减得到公共弦所在直线的方程，即可得到选项A；再把两圆分别化成标准方程，得到圆心和半径，两圆心所在的直线即为线段中垂线，即可得到选项B；利用一个圆的圆心到直线的距离进而求出弦的长，验证选项C；两圆心的距离即可得到选项D. 【详解】①，②，用①减去②即得到公共弦所在直线的方程为，故A正确； 把圆化为标准方程得，圆心为，半径为 ，把圆化为标准方程为，圆心为，，线段中垂线即为圆心与圆心两点构成的直线为，故B正确； 圆心到公共弦所在直线的距离为，故公共弦的长为，故C错误；   圆心到圆心的距离，故D正确.    故选：ABD. 37．BD 【难度】0.65 【知识点】数列新定义、递推数列的实际应用 【分析】求出，可判断A选项；分、两种情况讨论，逐项递推可判断B选项；取可判断C选项；利用假设法可判断D选项. 【详解】对于A，，即“个”，，即“个，个”，，即“个，个”，故，A错； 对于B，若，即“个”，，即“个，个”， ，即“个，个”，，， 以此类推可知，的最后一个数字均为， 若，则，，，，以此类推可知，的最后一个数字均为. 综上所述，若，则的最后一个数字均为，B对； 对于C，取，则，此时数列既是等差数列，又是等比数列，C错； 对于D，，则，，，， 若数列中，中为第一次出现数字，则中必出现了个连续的相同数字， 如，则在的描述中必包含“个，个”， 即，显然的描述是不合乎要求的， 若或，同理可知均不合乎题意， 故不包含数字，D对. 故选：BD. 38．AB 【难度】0.65 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、分组（并项）法求和、数列周期性的应用 【分析】根据给定条件，计算数的前几项确定周期，再逐项分析计算得解. 【详解】数列中，，则， ，因此数列是以3为周期的周期数列， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，， 因此，C正确； 对于D，，D正确. 故选：AB 39．ACD 【难度】0.65 【知识点】数列新定义、数列周期性的应用 【分析】根据裴波那契数列的性质，结合周期性逐一判断即可. 【详解】因为，，，，，，，，…， 所以是以6为周期的周期数列，所以，所以A正确； 因为，所以B错误； 因为 ，所以C正确； 因为 所以， 所以D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点睛：根据裴波那契数列的性质进行求解是解题的关键. 40．AC 【难度】0.4 【知识点】求等比数列前n项和、由定义判定等比数列、判断数列的增减性 【分析】根据题意可知，12与1，5，7，11互质，29与 都互质，所以A正确；由，可知B错误；若p为质数，则小于等于的正整数中与互质的数的数目为个，故，所以，即数列为等比数列，故C正确；根据选项C可知，数列的前4项和为，故D错误. 【详解】根据题意可知，12与1，5，7，11互质，29与共28个数都互质，即，所以A正确； 由题目中，以及可知数列不是单调递增的，B错误； 若p为质数，则小于等于的正整数中与互质的数为，即每p个数当中就有一个与不互质，所以互质的数的数目为个， 故，所以为常数，即数列为等比数列，故C正确； 根据选项C即可知，数列的前4项和为，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题主要是理解函数的定义，难点是选项C的证明，主要是确定与互质的数的个数；若p为质数，在小于等于的正整数中每p个数当中就有一个与不互质，则不互质的数目个数为个，所以互质的数的数目为个，即可证明数列为等比数列，并可计算数列前n项和. 41． 【难度】0.94 【知识点】直线过定点问题、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】根据直线方程得，可确定定点C的坐标，结合已知写出圆的标准方程即可. 【详解】由直线方程得：， ∴当时，，即定点， ∴以1位半径的圆的标准方程为. 故答案为：. 42． 【难度】0.94 【知识点】等差中项的应用 【分析】根据已知条件可得出关于、的方程组，即可解得的值. 【详解】由已知条件可得，可得，解得. 故答案为：. 43．133 【难度】0.94 【知识点】求等差数列前n项和 【分析】根据等差数列的前项和公式求得正确答案. 【详解】依题意，后齿轮所有齿数之和为. 故答案为： 44．（答案不唯一，只要满足即可，其中为圆心的横坐标，且） 【难度】0.94 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】利用过切点的半径与切线垂直，列方程求切点坐标满足的条件即可. 【详解】设所求圆的圆心坐标为， 则，即， 所以满足条件的圆的方程为， 故只要满足即可， 取，可得圆的方程为． 故答案为：（答案不唯一） 45．3 【难度】0.85 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【详解】试题分析：根据题意，由于为等差数列，，故可知答案为3. 考点：等差数列 点评：主要是考查了等差数列的求和与通项公式的运用，属于基础题． 46．/-0.4 【难度】0.85 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】利用，结合递推公式，可得，即可得. 【详解】因，，则， ，. 故答案为：. 47．②④ 【难度】0.85 【知识点】判断“或”命题的真假、判断非命题的真假、由定义判定等比数列 【分析】首先根据等差和等比数列的定义，判断两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断方法，即可判断. 【详解】设数列的公比为，则，所以数列也是等比数列，故命题是真命题； 设等差数列的公差为，首项为，则 ，不是常数，所以数列不是等差数列，所以命题是假命题. 则和是真命题. 故答案为：②④ 48． 【难度】0.85 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线两点式方程及辨析 【分析】利用两点式即可写出直线，再化简为一般方程即可. 【详解】由题意知直线为：， 化简得：. 故答案为：. 49．1（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】画出图，由图可知有两个交点的时候的临界状态为相切与过点，求出此时直线的斜率，则实数的取值范围即可求解. 【详解】 直线过定点， 曲线 ，即，表示半圆， 如图所示，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离， 所以（舍去）或， 由于直线与曲线 有两个不同的交点， 当直线过时，斜率最小为， 所以由图可知，实数的取值范围为：， 故实数的一个取值为1， 故答案为：1（答案不唯一）. 50．3 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线条数 【分析】分别以A，B为圆心，1，2为半径作圆，结合图形，转化为公切线问题即可求解. 【详解】 如图1，分别以A，B为圆心，1，2为半径作圆，依题意知， 直线l是圆A的切线，A到l的距离为1， 直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线， 共3条（2条外公切线，1条内公切线）． 故满足题意的直线有3条． 故答案为:3. 51．10 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和、由递推关系证明数列是等差数列、由递推关系式求通项公式 【分析】当时，求得，当时，将代入化简可得数列是首项为，公差为的等差数列，从而可求得，所以得，，进而可求得答案 【详解】由，令，得，，得； 当时，，即． 因此，数列是首项为，公差为的等差数列， ，即． 令， 故数列的前项和为：． 故答案为：10 52．/ 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、直线的一般式方程及辨析 【分析】根据点在直线上可得的关系，再利用“1”的妙用求解作答. 【详解】依题意，，而， 于是， 当且仅当，即时取等号，由，得， 所以当时，取得最小值为. 故答案为： 53． 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、基本不等式求积的最大值、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】由圆心是三角形的重心,可得,点到的距离为,则可得,以及到的距离,再用面积公式和基本不等式可求得答案. 【详解】如图所示: 因为圆心是三角形的重心,所以, 设点到的距离为,则,则点到的距离为, 所以, 当且仅当,即时,等号成立, 所以△面积的最大值为. 故答案为: 【点睛】本题考查了圆的性质,三角形的重心的性质,基本不等式求最值,属于基础题. 54．40 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、过圆内定点的弦长最值（范围） 【解析】化圆的方程为标准方程，求出圆心和半径，判断点与圆的位置关系，以及线段、的位置关系，然后解出、，即可求四边形的面积. 【详解】圆的方程为化为， 圆心为，半径为5， 由于点到圆心的距离为3，小于半径，则点在圆内， 则最长弦是直径，最短弦的中点是，且， ， ， 则， 故答案为：40 【点睛】本题主要考查了圆的方程和圆的几何意义，属于中档题. 55．5050 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、等差数列前n项和的基本量计算、累乘法求数列通项 【分析】令，再利用累加法求得. 【详解】解：令，，再利用累加法求得： 故答案：5050. 本题考查了赋值法及利用数列递推式求数列通项的基本方法，属于中档题. 56．21 【难度】0.65 【知识点】分组（并项）法求和、求等比数列前n项和 【分析】结合等比数列求和公式求出每一行和与行数的关系，设项在图中排在第行第列，结合分组求和的方法求出的表达式，令，即可求出，的值，从而可求出最小正整数的值. 【详解】由图可知，第n行是4为首项，以3为公比的等比数列的前n项， 和为，设满足的最小正整数为， 项在图中排在第行第列（且）， 所以有 ，则，，即图中从第6行第6列开始，和大于2000． 因为前6行共有项，所以最小正整数n的值为21， 故答案为:21. 【点睛】关键点睛: 本题的关键是利用等比数列的求和公式和分组求和的思想求出的表达式，结合要求确定小正整数n的值. 57． 【难度】0.4 【知识点】求函数零点或方程根的个数、写出等比数列的通项公式、由递推关系式求通项公式 【分析】先根据题意得到(*)，记满足(*)式的不同实数个数为，再结合二次函数的性质即可逐个求得，，，，，...，再通过观察得到数列的递推公式，再构造等比数列，从而得到它的通项公式，进而即可求解． 【详解】依题意可得，即(*)， 记满足(*)式的不同实数个数为， 将看成自变量，看成参数，则为与的交点个数， 当时，有一个交点，即有一个根； 当，有2个交点，即有两个不同的根和，且， 当，有2个交点，即有两个不同的根和， 由，则或，即； 则或或，即； 同理可得，，，... 通过观察可得，则，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为，即，， 所以满足(*)式的不同实数个数为， 故满足条件的不同实数的个数为个． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：记满足(*)式的不同实数个数为，结合二次函数的性质求得，，，，，...，再观察得到递推公式，再构造等比数列是解答本题的关键． 58． 【难度】0.4 【知识点】裂项相消法求和、等差数列的简单应用 【分析】设第层有和球，根据题意求出和，再根据和可得答案. 【详解】设第层有和球，则，，，，， 所以当时， ， 当时，也适合上式， 故， 所以这层三角垛的球数之和为 ， 因为，所以单调递增， 当时，，剩余球数为个， 当时，， 所以剩余球数的最小值为个. 故答案为：. 59．②③ 【难度】0.4 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、由方程研究曲线的性质 【分析】根据题意，对绝对值里面的正负分类讨论求出方程，作出图象，由此分析个结论，即可得答案． 【详解】根据题意，曲线的方程是，必有且， 当，时，方程为， 当，时，方程为， 当，时，方程为， 当，时，方程为， 作出图象： 依次分析个结论： 对于①，由于，，曲线与坐标轴没有交点，故①错误； 对于②，由图可知，曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形，故②正确； 对于③，若点，在曲线上，则当且仅当、与圆弧所在的圆心共线时取得最大值， 故的最大值是圆心距加两个半径，为，故③正确； 对于④，当，时，方程为与坐标轴的交点，， 则第一象限面积为， 故总的面积大于，故④错误． 故答案为：． 60． 【难度】0.4 【知识点】求等差数列前n项和、基本不等式求和的最小值、利用an与sn关系求通项或项 【分析】由的关系得，由等差数列求和公式结合对勾函数性质即可得解. 【详解】由题意，因为数列是正项数列， 所以解得， 当时，有，， 两式相减得， 整理得， 因为数列是正项数列， 所以，即数列是首项为2，公差为1的等差数列， 所以，， ， 又在单调递减，在单调递增， 而， 所以当且仅当时，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是首先得出，，由此即可顺利得解. 61．. 【难度】0.94 【知识点】由Sn求通项公式、裂项相消法求和 【分析】先求出，再求出，从而，利用裂项相消求和即可.. 【详解】数列的前项的“均倒数”为， ，解得, 时， 当时，上式成立 则, , 则 故答案为:. 62． 【难度】0.94 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差，然后求出其中某一项. 【详解】解：由题意得 从冬至之日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，设其公差为 ，解得 故立夏的日影子长为尺. 故答案为： 63．1348 【难度】0.94 【知识点】数列、数列新定义、数列周期性的应用 【分析】根据斐波那契数列的特点：从第一项起，每三个数一组其中有2个奇数1个偶数，即可求前2021项中奇数的个数. 【详解】由斐波那契数列的特点知：从第一项起，每3个数中前两个为奇数后一个偶数， ∵的整数部分为，余数为， ∴该数列的前2021项中共有个偶数，奇数的个数为. 故答案为： 64． 【难度】0.94 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】把圆方程写出标准方程后可得半径． 【详解】圆标准方程为，半径为． 故答案为：． 65． 【难度】0.85 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【详解】试题分析： 考点：等差数列性质及求和 66．5 【难度】0.85 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列的其他性质、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等比数列的性质与求和公式求解基本量，再由解关于的不等式. 【详解】设等比数列公比为q，因为， 所以，解得，或. 由数列为正项等比数列，则，所以. 又由，即，解得， 因为， 所以，得，解得， 因为， 即，又， 所以的最大值为. 故答案为：. 67．/ 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】由等差数列的通项公式列方程组即可求解. 【详解】设数列的公差为d，由题意得：，解得：，所以. 故答案为： 68．2 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】转化条件为，即可得解. 【详解】由可得，化简得， 即，解得. 故答案为：2. 69． 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】由图可得两点在直线的异侧，求出点关于直线的对称点，当三点共线时，取得最大值，计算即可. 【详解】解：如图，可得两点在直线的异侧，点关于直线的对称点为， 则，所以当三点共线时，取得最大值为. 故答案为：. 70． 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据直线方程求出直线斜率为，由此确定直线倾斜角，结合已知条件求得直线倾斜角为，由此即可求得直线的斜率. 【详解】由直线方程：得的倾斜角为， 所以的倾斜角为，即的斜率为. 故答案为：. 71．2 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列求和公式与通项公式化简求值. 【详解】, , 所以. 故答案为：2 72． 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、轨迹问题——圆 【分析】根据题意，设弦中点，过点的直线斜率为，进而得点既在直线上，又在直线上，故，再根据题意，得，进而得答案. 【详解】解：设弦中点，过点的直线斜率为， 所以直线的方程为， 又因为点为弦中点，所以， 所以中点与圆心连线与直线垂直，故方程为， 所以点是直线与直线的交点，其轨迹是以OM为直径的圆， 所以点的轨迹方程为，且为内部的部分曲线，如图， 所以点的轨迹方程为. 故答案为： 73． 【难度】0.65 【知识点】构造法求数列通项、错位相减法求和、求等比数列前n项和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据给定条件，利用取倒数法构造数列，求出，再利用错位相减法求解作答. 【详解】数列满足，显然，则，即是首项为，公差为等差数列， 因此，，令， ， 则有， 两式相减得：，则， 所以 故答案为： 74． 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、累乘法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】借助与的关系及累乘法计算即可得. 【详解】当时，，即，， 则，即， 则有，，，， 则， 当时，，符合上式，故. 故答案为：. 75． 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、函数新定义 【分析】根据题意得到，从而有，再利用错位相减法，即可求出结果. 【详解】由欧拉函数的定义知：若为素数，则， 若为素数，，则， 所以，得到， 所以①， ②， ①②得到， 即，整理得到. 故答案为：. 76． 【难度】0.65 【知识点】构造法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据给定条件，结合变形等式，再构造常数列求出通项. 【详解】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则有， 因此数列是常数列，则， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 77． 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式 【分析】对递推关系两边取倒数，则可得为等差数列，根据等差数列的通项公式可求出的表达式，从而可得数列的通项公式. 【详解】因为，故， 所以，故是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系和变形方法如下： （1），取倒数变形为； （2），变形为，也可以变形为. 78．21 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和 【分析】若第2排座位为，利用等差数列前n项和公式可得，结合座位安排的均匀性求出第1排应安排的座位数. 【详解】若第2排座位为，则从第2排起各排座位数是以为首项，公差为2的等差数列， 由题意，得：后19排的座位总数，则， 若时，第1排安排2个座位，座位分配不均匀；若时，第1排安排21个座位，满足座位分配均匀性； ∴第1排应安排21个座位，较合适. 故答案为：21. 79．0或 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】首先确定已知直线的倾斜角为，再结合直线夹角大小确定含参直线的倾斜角，即可得参数值. 【详解】由的倾斜角为， 所以直线的倾斜角为或，故或. 故答案为：0或 80．②③④ 【难度】0.4 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、数列新定义 【分析】由外观数列的定义可判断①和②；举例子可判断③；由反证法，结合外观数列的定义可判断④. 【详解】对于①，当时， 由外观数列的定义可得：，，，故①错； 对于②，由外观数列的定义可知，每次都是从左向右描述， 所以第一项的始终在最右边，即最后一个数字，故②正确； 对于③，取，则，此时既是等差数列又是等比数列，故③正确； 对于④，当时， 由外观数列的定义可得：，，，. 设第一次出现数字4， 则中必出现了4个连续的相同数字. 而的描述必须包含“个，个”，显然的描述不符合外观数列的定义. 所以当时，均不包含数字4，故④正确. 故答案为：②③④ 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义、根据数列的递推关系式写出数列中的项及利用递推关系式研究数列的性质.解题关键在于理解数列的新定义，明确数列的递推关系式.根据数列的定义可判断①和②；举出特殊例子可判断③；通过反证法及数列的定义可判断④. 81．， 【难度】0.4 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据题意，利用特殊点法得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为可化简为， 所以满足的点也必满足， 取，则，可得或， 所以与满足， 所以，即， 故，整理得，解得或， 当时，，由于，故该情况舍去； 当时，， 经检验，当，时，满足题意； 所以，. 82． 【难度】0.4 【知识点】由递推关系式求通项公式、等差中项的应用、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】 首先利用公式，化简等式，得到，再得到，两式相减后，可判断数列是等差数列，求得数列的通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】 因为，①所以，，② ①-②相减得， 所以，③ 所以，④ ④-③得，， 所以 所以，所以为等差数列， 因为，所以， 又，所以数列的公差， 所以，， 所以. 83．（1）；（2）． 【难度】0.4 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】（1）由已知得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式可求得答案． （2）由（1）得，运用裂项求和法可求得答案． 【详解】（1）因为，时，，所以时，，又，所以， 又=2，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以， 当时，，且当时，=2满足，所以． （2）由（1）得， 所以 ， 所以． 【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型： （1）等差型，其中是公差为的等差数列； （2）无理型； （3）指数型； （4）对数型. 84．或 【难度】0.65 【知识点】求到两点距离相等的直线方程 【分析】求出交点坐标，然后分类求解，一是所求直线与直线平行，一是所求直线过线段中点． 【详解】联立，解得，交点为， 分两种情况：所求直线与直线平行或所求直线过线段的中点，结合点斜式可得出所求直线的方程.直线的斜率为，线段的中点坐标为. ①若所求直线与直线平行时，则所求直线的方程为，即； ②若所求直线过的中点时，则所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即. 综上所述，所求直线方程为或. 85．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）首先通过累加法求解，然后解得； （2）首先通过分析判断出数列是周期数列，然后通过平方差公式分解求得，最后代入求解即可； 【详解】（1）因为， 所以，， 累加得， 所以. （2）因为，所以. 当时，； 当时，； 当时，. 所以数列是以3为周期的数列. 故. 86．(1)； (2)； (3)裂项过程见解析，证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、错位相减法求和 【分析】(1)写出的表达式，两边同乘，与原式相减，利用等比数列求和公式化简即可； (2) 对进行裂项，结合裂项相消法求和； (3) 对进行裂项，利用裂项相消法求和，由此证明结论. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以； （2）因为，设， 则，所以，， 故 所以， 所以； （3）因为，设， 则， 则，所以， 即， 所以 所以， 所以 87．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）由等比数列求和公式求解即可. （2）由等比数列求和公式求解即可. （3）由等比数列求和公式结合分组求和求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 （3）原式 ． 88．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据规律填写数列中的某项、由递推关系式求通项公式、求递推关系式 【分析】（1）根据条件，找出规律，依次求出前3项，即可求出的值； （2）根据规律，归纳推理，即可得到递推关系式； （3）利用叠加法和等差数列求和公式及连续自然数平方和公式，便可求出通项公式. 【详解】（1）设个平面最多把空间分成部分； 1个平面最多把空间分成2个部分；即； 2个平面最多把空间分成4个部分，增加了2个部分，即； 3个平面分空间，要使所得部分尽量多，则第三个平面必与前两个平面都相交，产生2条交线，这2条交线都在第3个平面上，并把第三个平面分成4部分平面区域，这4部分平面区域的每一部分区域都在部分空间的某部分空间中，它把它所在部分空间一分为二，故增加了4部分空间，即； 4个平面分空间，要使所得部分尽量多，则第4个平面必与前3个平面都相交，产生3条交线，这3条交线都在第4个平面上，并把第4个平面分成7部分平面区域，这7部分平面区域的每一部分区域都在部分空间的某部分空间中，它把它所在部分空间一分为二，故增加了7部分空间，即； （2）由小问（1）知： ， ， ， ， 依次类推 ， 所以； （3）由小问（2）知： ， ， ， ， ， 叠加可得， 根据，， 化简可得. 89．(1) (2)，， 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）先求得两点，的中垂线方程，再与联立，求得圆心即可； （2）先由直线且被圆截得的弦长为6，求得圆到直线的距离，再分截距为零和不为零求解. 【详解】（1）解：两点，的中垂线方程为：， 联立，解得圆心， 则， 故圆的方程为：； （2）由直线且被圆截得的弦长为6， 故圆心到直线的距离为， A．若直线过原点，可知直线的斜率存在，设直线为：， ，此时直线的方程为： A．若直线不过原点，设直线为：， ， 此时直线的方程为：， 综上：直线的方程为：，，. 90．（1）或；（2） 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）依题意设出直线方程后表示出截距即可求解； （2）圆与直线相切转化为圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】（1）由题意知，直线l的斜率存在且不为0，所以设直线l的斜率为k，则其方程为． 令得，；令得，． ∴，解得或 ∴直线l的方程为或， 即或． （2）圆的方程可化为， 圆心，半径，其中， 因为圆与直线相切，故圆心到直线的距离等于半径， 即，解得. 91．(1)，， (2)5390 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、错位相减法求和 【分析】（1）利用递推关系，可求的值；结合题意，可用“累加法”求数列的通项公式. （2）用错位相减法求和. 【详解】（1）因为， 所以，当时，，即， 所以， 当时，所以， 当时， ， 所以， 当时，也符合上式. 综上，. （2）由（1）得， 设， 则①， ②， ①-②得 ， 所以， 故. 92．答案见解析 【难度】0.65 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】利用完全平方公式与配方法化简运算可得，再检验半径即可得解. 【详解】因为， 所以， 故， 则， 故， 因为，则， 所以， 故， 即， 因为， 所以， 所以化简成圆的标准方程的形式为. 93．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式与通项公式，即可解出，则可写出其通项公式； （2）利用等差数列的前n项和公式，结合第（1）问，即可求得； （3）利用错位相减，化简解可得出答案. 【详解】（1）设公差为d，中，令得， 又，则，解得， 故； （2）； （3）， 则①， 故②， 故①－②得 ， 故． 94．(1) (2)， 【难度】0.65 【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用求通项公式； （2）转化为等差数列、等比数列，分组求和. 【详解】（1）当时，可得：； 当时，，，两式相减，得：，即， 所以：. （2）当时，； 当时，，所以， 所以：， 时，，上式也成立. 所以：， 95．(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数 【分析】（1）由圆心到直线的距离等于半径可求得参数值； （2）由三角形面积求得圆心到直线的距离，然后再由圆心到直线的距离公式求得得直线方程． 【详解】（1）将圆C：化为标准方程， 得，故圆心，半径为. 因为直线l：与圆C相切，所以， 解得，所以圆C的标准方程为. （2）设圆心C到直线m的距离为d. 则，所以，解得. 故，解得或. 所以直线m的方程为或. 96．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）根据倾斜角以及求解出直线的方程，再根据半径、圆心到直线的距离、半弦长构成的直角三角形求解出； （2）根据条件判断出，结合和点坐标可求直线的方程. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 因为，所以直线的斜率， 所以，即， 所以圆心到的距离， 所以； （2）因为弦被平分，所以， 又因为，所以， 所以，即. 97．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、指数幂的运算 【分析】（1）直接将函数代入，计算即可； （2）先求出的方程，然后利用等差中项建立等式，化简，求出定义域，然后利用函数在定义域上有解即可. 【详解】（1）由题可知， ， 解得，所以； （2）由题可知，得， 所以， 若存在实数使、、为等差数列，可得， 即若存在实数，， 显然， 因为，所以， 化简得 ， 故该方程在有解即可， 当时，得，不符合题意； 当时，得， 可得， 解得， 所以只需或即可， 得无解；，解得 又因为，所以得. 98．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】直线的一般式方程及辨析、求直线交点坐标、坐标法的应用——交点坐标 【分析】（1）联立直线和直线，即可求解交点坐标； （2）首先由题意可知，点是线段的中点，利用对称和直线方程，即可求解. 【详解】（1）由，得，， 所以直线与的交点坐标为； （2）由可知，点是线段的中点， 在直线上任取一点， 所以点关于的对称点, 点在直线上， 把点代入 方程， ，解得 所以，， 即直线方程为：，即. 99．(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和 【分析】（1）对取倒数，求出表达式，进而可求. （2）（i）代入，利用平方和公式化简即可得结果；（ii）代入裂项相消即可证明. 【详解】（1）因为， 所以，所以 ， 所以，又符合左式， 所以综上有． （2）（i） ， 而， 所以． （ii）因为 ， 所以 ． 100．(1) (2)①或；② 【难度】0.65 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程、过圆外一点的圆的切线方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）根据圆的几何性质，通过点到直线距离公式得出圆心到直线的距离，再根据弦长与勾股定理即可计算出圆的半径，继而得到圆的方程. （2）①根据切线切点到圆心距离等于圆的半径，用点斜式表示出直线的方程，利用点到直线的距离公式即可求出斜率得出直线方程；②根据切线与过切点的半径与其垂直，即可得出该斜率继而得出直线方程. 【详解】（1）如图所示，过圆心O做垂直于AB的垂线交AB于C点， 根据点点到直线距离公式：，， 根据勾股定理：， 得圆的方程： （2）选①： 由（1）可知点在圆外，若切线斜率不存在， ，由图可知为过点P与圆相切的直线的方程； 若斜率存在，根据点斜式设直线的方程为，整理为一般式， 因为直线与圆相切，则，解得， 直线的方程为：， 综上所述过点与圆相切的直线的方程为或. 选②：由（1）可知点在圆上，的直线方程为， 则过点与圆相切的直线与垂直，斜率为 根据点斜式设直线的方程为，整理为一般式. 答案第64页，共64页 答案第1页，共64页 学科网（北京）股份有限公司 $$