12 2024年高考数学新课标Ⅰ卷第15题的解法探究及溯源-《中学生数理化》高考数学2024年10月刊

■江苏省天一中学 行凯歌 解三角形问题,侧重考查正弦定理、余弦 定理、三角形面积公式、三角恒等变换等内 容。这类题目的知识交汇性强,往往与函数、 方程、平面几何、解析几何等知识联系紧密, 涉及方程、数形结合、转化与化归等数学思 想,解题思路非常灵活,因而备受命题者的青 睐。下面通过对一道高考试题的分析、探究 及溯源,为同学们解答这类试题提供思路和 方法。 一、真题呈现 题目 (2024年新课标I卷第15题)记 △ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b, c,已知sin C= 2cos B,a2+b2-c2= 2ab。 (1)求B; (2)若△ABC 的面积为3+ 3,求c。 赏析:试题考查正弦定理、余弦定理、三 角形面积公式,并基于解三角形考查运算求 解、逻辑思维、空间想象等能力,以及方程、数 形结合、转化与化归等思想方法。试题题干 和设问简洁清晰,解题方法直接,有效控制了 试题难度,同时,也增加了试题的灵活性。 二、解法探究 (1)分析:由余弦定理可求出cos C,进而 求出sin C,再结合sin C= 2cos B 可求出 cos B,最后求出B。 解:由余弦定理得cos C= a2+b2-c2 2ab 。 因为a2+b2-c2= 2ab,所以cos C= 2ab 2ab = 2 2 。因为C∈(0,π),所以C= π 4 。因为 sin C= 2cos B,所以cos B= 1 2 × 2 2= 1 2 。 因为B∈(0,π),所以B= π 3 。 (2)思路1:利用正弦定理,构建方程。 分析:在△ABC 中,A,B,C 均为定角, 利用正弦定理可将a,b,c中的某两个量用第 三个量表示,再结合△ABC 的面积为定值, 选用相应的面积公式,列出关于第三个量的 方程,解这个方程即可。 解法1:由(1)知,B= π 3 ,C= π 4 ,所以A =π-B-C= 5π 12 。由正弦定理得 a sin A= b sin B= c sin C ,即 a sin 5π 12 = b sin π 3 = c sin π 4 。而 sin 5π 12=sin π 4+ π 6 = 22× 32+ 22×12= 6+ 2 4 ,所以a= 6+ 2 4 × 2c= 3+1 2 c ,b = 3 2× 2c= 6 2c ,所以S△ABC= 1 2absin C= 1 2× 3+1 2 c× 6 2c× 2 2 = 3+ 3 8 c 2,即 3+ 3 8 c 2=3+ 3,解得c=22(负值舍去)。 评注:在解法1中,利用正弦定理及三角 形面积公式,得到关于c的方程。类似地,亦 可列出关于a(或b,或R)的方程,其中R 是 △ABC 的外接圆半径。 思路2:利用正弦定理,构建方程组。 分析:在△ABC 中,A,B,C 均为定角, 利用正弦定理可以建立a,b,c中的某两个量 的一个方程,再结合△ABC 的面积为定值, 选用相应的面积公式,列出关于上述两个量 的另一个方程,解这个方程组即可。 解法2:因为S△ABC= 1 2acsin B= 3 4ac =3+ 3,所以ac=4(3+1) ①。由正弦 定理 a sin A= c sin C ,即 a sin 5π 12 = c sin π 4 ,可得 23 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年10月 a= 3+1 2 c ② 。联 立①和②,解 得 a= 6+ 2,c=22。 评注:在解法2中,利用正弦定理及三角 形面积公式,得到关于a,c的方程组。类似 地,亦可列出关于b,c(或a,b)的方程组。 思路3:利用平面几何,分割图形。 分析:由于S△ABC=3+ 3,它是一个有 理数和无理数之和,不妨考虑分割法。由于 A,B,C 均为特殊角,所以可考虑过某个顶点 作对边的高,将△ABC 分割为两个直角三角 形,再计算它们的面积之和。 图1 解法3:如图1,过 A 作 AD⊥BC,交 BC 于 D。在 Rt△ADB 中,AD=c·sin π 3 = 3 2c ,BD=c·cos π 3= 1 2c 。 在Rt△ADC 中,∠DAC= π 4 ,CD=AD= 3 2c 。所 以 S△ABC =S△ADB +S△ADC = 1 2 × 1 2c× 3 2c+ 1 2× 3 2c× 3 2c= 3+ 3 8 c 2,即 3+ 3 8 c 2=3+ 3,解得c=22(负值舍去)。 评注:在解法3中,△ABC 的分割方式 为过A 作BC 边上的高,将 A 拆分为 π 6 和 π 4 ,计算量较小。类似地,亦可过B 作AC 边 上的高(或过C 作AB 边上的高),不过这两 种分割方式会使得某个直角三角形的内角为 π 12 和 5π 12 ,计算量较大。 思路4:利用平面几何,补全图形。 分析:利用平面几何知识可以对图形分 割,也可以对图形补形。由于 A,B,C 均为 特殊角,所以可考虑过某个顶点作边的垂线, 将△ABC 补形为一个直角三角形,再计算这 个直角三角形与补出的三角形的面积之差。 解法4:如图2,过B 作EB⊥BC,交CA 的延长线于E。在△ABC 中,由正弦定理 图2 a sin A= b sin B = c sin C ,可 得 a sin 5π 12 = b sin π 3 = c sin π 4 ,所以b = 32- 6 2 a ,c=(3-1)a。 在Rt△EBC 中,EB=BC=a,EC= 2a,则 EA= 2a-b= 6- 2 2 a 。在△EAB 中,E = π 4 ,所以S△EAB= 1 2×a× 6- 2 2 a×sin π 4 = 3-1 4 a 2。因为S△EBC= 1 2a 2,所以S△ABC =S△EBC-S△EAB= 3- 3 4 a 2,即3- 3 4 a 2=3+ 3,解得a= 6+ 2(负值舍去),所以c= (3-1)a=22。 图3 解法5:如图3,过C 作FC ⊥BC,交 BA 的延长线于F。 由于 AC 是∠FCB 的 角 平 分 线,根据角平分线性质定理知, FA AB= FC BC= 3 ,所以 S△FAC = 3S△ABC。所以 S△FBC =(3+ 1)S△ABC=(3+1)×(3+ 3) = 3 (3+1) 2,即 1 2 × a × 3a = 3(3+1) 2,解 得 a= 6+ 2,所 以c= (3-1)a=22。 评注:在解法4中,△ABC 的补形方式 为过B 作BC 的垂线,将其补形为Rt△EBC, 它和△EAB 的面积较容易计算。在解法5 中,△ABC 的 补 形 方 式 为 过C 作BC 的 垂 线,将 其 补 形 为 Rt△FBC,注 意 到 AC 是 ∠FCB 的角平分线,利用角平分线性质定理 计算更方便。类似地,亦可过顶点作 AB(或 AC)的垂线,同学们可以尝试研究,计算量较 大。 思路5:利用解析几何,直接计算。 分析:由 于 A,B,C 均 为 定 角,所 以 △ABC 的形状是确定的。借助解析几何,建 立平面直角坐标系,可以写出△ABC 各顶点 33 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年10月 的坐标,再利用相关公式可以计算出△ABC 的底和高,进而计算出它的面积。 解法6:以B 为坐标原点,BC 为x 轴,建 图4 立平面直角坐标系,如图4, 易知A c 2 ,3c 2 ,C(a,0)。 因为∠ACB= π 4 ,所以BC = c 2 + 3c 2 =a 。结 合 S△ABC= 1 2×a× 3c 2 =3+ 3 ,解得a= 6+ 2,c=22。 评注:在解法6中,建系方式是以 B 为 坐标原点,BC 为x 轴。由于B= π 3 ,点A 的 坐标形式简单,所以计算量较小。类似地,亦 可以C 为坐标原点建系,计算量也较小。由 于A= 5π 12 不是特殊角,所以不推荐以A 为坐 标原点建系。 三、试题溯源 题源 (人教 A版必修第二册第54页 习题 6.4 第 22 题)已 知 a,b,c 分 别 为 △ABC 三个内角A,B,C 的对边,acos C+ 3asin C-b-c=0。 (1)求A; (2)若a=2,△ABC的面积为3,求b,c。 解析:(1)由正弦定理得,sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0。因为B= π-(A+C),所以sin B=sin(A+C)= sin Acos C+cos Asin C,即sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C= 3sin Asin C -cos Asin C-sin C=0。因为C∈(0,π), 所以sin C≠0。所以 3sin A-cos A-1= 0,即sinA- π 6 =12。因为 A∈(0,π),所 以A= π 3 。 (2)因为S△ABC= 1 2bcsin A= 3,所以bc =4。由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos A =(b+c)2-2bc-2bccos A,所以(b+c)2= a2+3bc=4+12=16,所以b+c=4(负值舍 去)。结合bc=4,解得b=c=2。 评注:试 题 考 查 正 弦 定 理、余 弦 定 理、 三角函数的两角和公式、三角形面积公式, 考查解三 角 形 的 基 本 知 识 和 基 本 技 能,难 度比较低,方 法 较 为 单 一,运 算 量 也 较 小。 对比高考 题 和 课 本 习 题 可 知,高 考 题 源 于 教材,却高于教材。高考题比较灵活,不同 解法对应 的 思 维 量 和 运 算 量 的 差 异 较 大, 因此,高考 题 对 同 学 们 的 逻 辑 思 维 能 力 和 运算求解能力要求更高。 四、解题启示 1.要重视课本习题的研究 学习解三角形知识,能深化数学理解、锻 炼解题能力,因此,同学们要重视课本习题的 研究。课本习题作为知识的直接应用和巩 固,不仅能够帮助同学们熟练掌握解三角形 的基本知识和基本方法,还能让同学们深入 思考,发现解题的多样性和灵活性。通过反 复钻研课本习题,能够更好地把握解三角形 的核心要点,理解其背后的章节知识结构,为 应对更复杂的数学问题打下坚实基础。 2.要重视解题视角的拓展 在高中数学中,解三角形融合了代数与几 何的精髓,因此,同学们要重视解题视角的拓 展。代数视角下,通过正、余弦定理等公式,可 将三角形的边与角关系转化为方程求解;几何 视角下,利用相似三角形、分割与补形等,能够 提供更加直观的图形分析工具。在解题时,将 “数”与“形”结合起来,不仅能够直观地展现数 学问题的本质,还更加有助于培养同学们综合 运用知识,解决复杂问题的能力。 3.要重视两个能力的提升 与解三角形有关的问题,方法灵活,计算 繁杂,因此,同学们要重视逻辑思维能力、运 算求解能力的提升。在解题时,首先,同学们 要在熟练运用定理、公式的基础上,灵活运用 逻辑思维,构建一条或多条清晰、可行的解题 路径;其次,同学们要具备较强的运算求解能 力,准确无误的求解不仅能够提升解题效率, 还能有效验证逻辑推理的正确性,从而确保 最终答案的可靠性。 (责任编辑 王福华) 43 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年10月