精品解析：广东省中山华侨中学2024-2025学年高一上学期第一次段考数学试卷

中山市华侨中学2027届高一上学期第一次段考数学科试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，每小题只有一个正确答案） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，都有”的否定是（ ） A. ，都有 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 3. 若，，则集合间的关系为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 5. 若a，b，c，d为集合A的4个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是（ ） A. 菱形 B. 平行四边形 C. 梯形 D. 正方形 6. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C D. 7. 定义在上的函数满足，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为的正方形中，对角线与相交于点，点是上的一个动点，过点作，分别交正方形的两条边于点，，连接，，设，的面积为，则能大致反映与之间的函数关系的图象为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 的一个必要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列结论中正确的有（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 11. 我们知道，如果集合，那么子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知或，则或 C. 如果，那么 D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则 三､填空题（每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为______． 13. 某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是__________． 14. 已知，，则最小值是______.当取最小值时，恒成立，则的取值范围是_______. 四､解答题（本大题共5小题） 15. 求下列不等式解集： （1）； （2）关于的不等式的解集是，求不等式的解集. 16. 设为全集，集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数，. （1）用单调性的定义证明在上是单调减函数； （2）若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围. 18. 学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，且，求的最小值． 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同． 李雷的解法：由于，所以，而．那么，则最小值为． 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为． （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）已知，且，求证：； （ii）已知，求最小值． 19. 已知函数的图象过点，且满足． （1）求函数的解析式； （2）设函数在上的最小值为，求的值域； （3）若满足，则称为函数的不动点．函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 中山市华侨中学2027届高一上学期第一次段考数学科试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，每小题只有一个正确答案） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用补集的定义可得正确的选项． 【详解】由补集定义可知：或，即， 故选：D． 2. 命题“，都有”的否定是（ ） A. ，都有 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题“，都有”的否定是“，使得”. 故选：B. 3. 若，，则集合间的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，由集合的元素属性即可判断得解. 【详解】且，而，所以. 故选：B 4. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A 与 B. 与 C. 与 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同一函数的定义域和对应法则相同判断各项即可. 【详解】A：定义域为R，定义域为，不为同一函数； B：定义域为，定义域为R，不为同一函数； C：与的对应法则不同，不为同一函数； D： 且 ，定义域都为，是同一函数. 故选：D 5. 若a，b，c，d为集合A的4个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是（ ） A. 菱形 B. 平行四边形 C. 梯形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合中元素的特征和特殊四边形的性质判断即可. 【详解】因为，，，为集合的四个元素，所以两两都不相等，因为菱形、正方形的四边相等，所以AD错；平行四边形的对边相等，所以B错. 故选：C. 6. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，可以得到取值范围，再根据不等式的性质可得到结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 故选：B. 7. 定义在上的函数满足，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件判断函数单调性，利用单调性解不等式求参数范围. 【详解】因为函数满足， 所以函数在上单调递增， 根据题设不等式关系，有， 即，解得或. 故选：A 8. 如图，在边长为的正方形中，对角线与相交于点，点是上的一个动点，过点作，分别交正方形的两条边于点，，连接，，设，的面积为，则能大致反映与之间的函数关系的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分点在上和点在上两种情况讨论，由面积公式可求与的函数关系，即可求解． 【详解】当点在上时， 四边形是正方形，边长为， ，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当点在上时， 同理可得：，． 由此可知，只有B中图象符合题意， 故选：B. 二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 的一个必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先解出不等式，再根据必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解， 当满足时，必满足和， 而不一定满足和. 故选：AD. 10. 已知，则下列结论中正确的有（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例即可说明A；由不等式的性质，即可说明B；利用作差法即可判断C；根据配方法即可判断D． 【详解】对A：当时，结论不成立，故A错误； 对于B：因为，所以，所以故B正确； 对于C：， 因为，所以，所以，即，故C正确； 对于D：等价于，成立，故D正确； 故选：BCD． 11. 我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知或，则或 C. 如果，那么 D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】依题意根据的定义可知，可先求出，再求出其以为全集的补集，结合具体选项中集合的关系逐项判断，即可得出结论. 【详解】根据差集定义即为且， 由，可得，所以A错误； 由定义可得即为且， 由或，可知或，即B正确； 若，那么对于任意，都满足，所以且，因此，所以C正确； 易知且在图中表示的区域可表示为，也即，可得，所以D正确. 故选：BCD 三､填空题（每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式，列不等式求函数的定义域. 【详解】函数的定义域需满足，解得：且， 所以函数的定义域是. 故答案为： 13. 某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【详解】总费用为，当且仅当，即时等号成立．故答案为30. 点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 14. 已知，，则的最小值是______.当取最小值时，恒成立，则的取值范围是_______. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】由可得，然后利用基本不等式可得的最小值及此时的关系，然后可解出的取值范围. 【详解】因为 所以， 当且仅当即时等号成立， 当时，，所以当时取得最大值4 所以由恒成立可得，解得 故答案为：1； 四､解答题（本大题共5小题） 15. 求下列不等式的解集： （1）； （2）关于的不等式的解集是，求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式不等式的解法求得正确答案. （2）根据不等式的解集求得的关系式，由此求得不等式的解集. 【小问1详解】 由，得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 依题意，关于的不等式的解集是， 所以，所以， 所以不等式即， 即，解得， 所以不等式的解集为. 16. 设为全集，集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，，然后结合集合的交集及补集运算即可求解； （2）由已知结合集合包含关系对集合是否为空集进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 （1）由题意可得， 当时，， 所以， 因为， 所以 【小问2详解】 由(1)知，， 若，即，解得，此时满足； 若，要使，则，解得， 综上，若，所求实数的取值范围为 17. 已知函数，. （1）用单调性的定义证明在上是单调减函数； （2）若关于x不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用函数单调性定义证明； （2）根据恒成立要求，分离参数，根据函数的单调性求最小值，求解即可 【小问1详解】 任取，且， 则， 又，， ，， ，即， 在上是单调减函数． 【小问2详解】 在上单调递减且恒有， 不等式对于任意恒成立， 即为，对于任意恒成立， 令， 当时取得最小值，， 所以的取值范围是． 18. 学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，且，求的最小值． 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同． 李雷的解法：由于，所以，而．那么，则最小值为． 韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为． （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）已知，且，求证：； （ii）已知，求的最小值． 【答案】（1）韩梅梅的解法正确；李雷的解法错误，理由见解析 （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）在李雷的解法中，取得最小值时，，，与已知条件相矛盾，即可说明； （2）将转化为，根据基本不等式即可证明；由得，代入，结合基本不等式“1”的妙用即可求解． 【小问1详解】 韩梅梅的解法正确，李雷的解法错误； 在李雷的解法中，，等号成立时； ，等号成立时， 那么取得最小值时，， 这与已知条件是相矛盾的． 【小问2详解】 （i），且， ，当且仅当时取等号． （ii）因为，所以， 即 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 19. 已知函数的图象过点，且满足． （1）求函数的解析式； （2）设函数在上的最小值为，求的值域； （3）若满足，则称为函数的不动点．函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）6 【解析】 【分析】（1）根据函数图象过点可得，再根据，利用二次函数对称性可得； （2）分类讨论对称轴与的关系求函数最小值； （3）转化为方程方程有两个不相等的正实根的问题即可解决． 【小问1详解】 因为函数的图象过点，所以， 又因为，所以二次函数对称轴方程为，解得， 所以函数的解析式为：． 【小问2详解】 由（1）可知，， 分以下三种情形来讨论函数在上的最小值为： 情形一：当，即时，函数在上单调递减， 所以此时有； 情形二：当，即时，函数在上单调递减，在单调递增， 所以此时有； 情形三：当时，函数在上单调递增， 所以此时有． 综上所述：，其值域为. 【小问3详解】 因为函数有两个不相等的不动点，且， 所以令，即方程有两个不相等的正实根， 所以，即，所以． ， 因为，所以由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为6. 【点睛】关键点点睛：第一问比较常规；第二问的关键在于要分类讨论；第三问的关键是把问题转换为方程有两个不相等的正实根，列出等价条件求出的范围，进而结合韦达定理即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$