专题1.1 集合与简易逻辑（考点精讲）-【中职专用】2025年河北省高职单招数学备考复习讲练测

专题1.1 集合与简易逻辑 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 4 考点一：集合的基本概念 4 考点二：集合间的基本关系 5 考点三：集合的基本运算 6 考点四：简易逻辑 7 【考纲要求】 （1）集合及其表示：了解集合的概念；理解元素与集合之间的关系；了解空集、有限集和无限集的含义；掌握常用数集的表示符号，初步掌握列举法和描述法等集合的表示方法. （2）集合之间的关系：理解集合之间包含与相等、子集与真子集的含义；掌握集合之间基本关系的符号表示. （3）集合的运算：理解两个集合的交集、并集；了解全集和补集的含义. （4）了解充分条件、必要条件、充要条件的概念；了解命题中条件与结论的关系. 【考向预测】 1.集合的基本概念 2.集合间的基本关系 3.集合的基本运算 4. 充分条件、必要条件、充要条件的判断 【知识导图】 【知识清单】 1.元素与集合 一组对象的全体构成一个集合． (1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性． (2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，a∈A或a∉A，二者必居其一． (3)常见集合的符号表示及其关系图. 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N* Z Q R (4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法． (5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示． 2.集合间的基本关系 关系 定义 表示 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中的任意一个元素都是B中的元素 A⊆B 真子集 A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A AB 注意：(1)空集用∅表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. (3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 运算性质 A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A 求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA. 特别提醒: 1.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB. 2. CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB). 4.充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 __p⇒q__ pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 5.充要条件 1．定义：若p⇒q且q⇒p，则记作__p⇔q__，此时p是q的充分必要条件，简称__充要条件__． 2．条件与结论的等价性：如果p是q的__充要条件__，那么q也是p的__充要条件__． 3．概括：如果__p⇔q__，那么p与q互为__充要条件__． 【考点分类剖析】 考点一：集合的基本概念 例1．8月20日《黑传说悟空》风靡全球，下列几组对象可以构成集合的是（    ） A．游戏中会变身的妖怪 B．游戏中长的高的妖怪 C．游戏中能力强的妖怪 D．游戏中击败后给奖励多的妖怪 例2．有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤⑥ 例3．下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 【变式探究】1.下列各组对象能构成集合的是（    ） A．新冠肺炎死亡率低的国家 B．世纪中国平均气温较高的年份 C．的近似值 D．中国古代四大发明 2. 下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题中正确的是（    ） ①与表示同一个集合 ②由1，2，3组成的集合可表示为或 ③方程的所有解的集合可表示为 ④集合可以用列举法表示 A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都对 考点二：集合间的基本关系 例1．下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 例2 ．下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 集合间基本关系判定的两种方法和一个关键 【变式探究】1．设集合，则下列集合中与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 2．下列元素、集合间的关系表述正确的是（   ） A． B． C． D． 考点三：集合的基本运算 例1． 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 例2．，则（    ） A． B． C． D． 例3. 设全集，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 例4. 已知集合，，则 ___________； 【变式探究】1. 设集合，，则（　　） A． B． C． D． 2.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4. 已知集合，则_________． 考点四：简易逻辑 例1．已知:整数能被2整除，：整数能被6整除，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 例2．对任意、、，给出下列命题： ①“”是“”的充要条件； ②“是无理数”是“是无理数”的充要条件； ③“”是“”的必要非充分条件； ④“”是“”的充分非必要条件. 其中真命题的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 例3．“”是“”成立的. A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式探究】1．“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．“是等腰三角形”是“是等边三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合与简易逻辑 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 4 考点一：集合的基本概念 4 考点二：集合间的基本关系 6 考点三：集合的基本运算 8 考点四：简易逻辑 11 【考纲要求】 （1）集合及其表示：了解集合的概念；理解元素与集合之间的关系；了解空集、有限集和无限集的含义；掌握常用数集的表示符号，初步掌握列举法和描述法等集合的表示方法. （2）集合之间的关系：理解集合之间包含与相等、子集与真子集的含义；掌握集合之间基本关系的符号表示. （3）集合的运算：理解两个集合的交集、并集；了解全集和补集的含义. （4）了解充分条件、必要条件、充要条件的概念；了解命题中条件与结论的关系. 【考向预测】 1.集合的基本概念 2.集合间的基本关系 3.集合的基本运算 4. 充分条件、必要条件、充要条件的判断 【知识导图】 【知识清单】 1.元素与集合 一组对象的全体构成一个集合． (1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性． (2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，a∈A或a∉A，二者必居其一． (3)常见集合的符号表示及其关系图. 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N* Z Q R (4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法． (5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示． 2.集合间的基本关系 关系 定义 表示 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中的任意一个元素都是B中的元素 A⊆B 真子集 A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A AB 注意：(1)空集用∅表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. (3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 运算性质 A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A 求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA. 特别提醒: 1.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB. 2. CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB). 4.充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 __p⇒q__ pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 5.充要条件 1．定义：若p⇒q且q⇒p，则记作__p⇔q__，此时p是q的充分必要条件，简称__充要条件__． 2．条件与结论的等价性：如果p是q的__充要条件__，那么q也是p的__充要条件__． 3．概括：如果__p⇔q__，那么p与q互为__充要条件__． 【考点分类剖析】 考点一：集合的基本概念 例1．8月20日《黑传说悟空》风靡全球，下列几组对象可以构成集合的是（    ） A．游戏中会变身的妖怪 B．游戏中长的高的妖怪 C．游戏中能力强的妖怪 D．游戏中击败后给奖励多的妖怪 【答案】A 【分析】根据集合的确定性依次判断选项即可. 【详解】对A：游戏中会变身的妖怪可以构成集合，故A正确； 对B、C、D：不满足集合的确定性，故不能构成集合，故B、C、D错误. 故选：A. 例2．有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤⑥ 【答案】C 【分析】根据集合元素的无序性判断①；根据子集的定义判断②；根据集合及空集的定义判断③④⑤；利用元素与集合的关系判断⑥． 【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确． 综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C． 故选：C． 例3．下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 【答案】B 【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】对于A，1不能表示一个集合，故错误； 对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确； 对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误； 对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误. 故选：B. 【变式探究】1.下列各组对象能构成集合的是（    ） A．新冠肺炎死亡率低的国家 B．世纪中国平均气温较高的年份 C．的近似值 D．中国古代四大发明 【答案】D 【分析】根据集合的定义直接判断即可. 【详解】对于A，死亡率低没有明确的标准，所以该组对象不能构成集合，A错误； 对于B，平均气温较高没有明确的标注，所以该组对象不能构成集合，B错误； 对于C，的近似值没有明确精确度，即没有明确的标注，所以该组对象不能构成集合，C错误； 对于D，中国古代四大发明：造纸术、印刷术、火药、指南针；满足集合定义，可以构成集合，D正确. 故选：D. 2. 下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空集的定义，结合集合与集合的关系及元素与集合的关系逐一判断即可得解. 【详解】对于选项A，由空集的定义可得：空集是任意集合的子集，即，即A正确， 对于选项B，，即B错误， 对于选项C，，即C错误， 对于选项D，，即D错误， 故选：A. 3．下列命题中正确的是（    ） ①与表示同一个集合 ②由1，2，3组成的集合可表示为或 ③方程的所有解的集合可表示为 ④集合可以用列举法表示 A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都对 【答案】C 【分析】由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③． 【详解】解：对于①，由于“0”是元素，而“”表示含0元素的集合，而不含任何元素，所以①不正确； 对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确； 对于③，根据集合元素的互异性，知③错误； 对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确. 综上可得只有②正确. 故选：C. 考点二：集合间的基本关系 例1．下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合的概念、元素与集合、集合与集合的关系逐一判断各选项即可作答. 【详解】对于A，是无理数，A不正确； 对于B，，B不正确； 对于C，由集合元素的性质知，C正确； 对于D，集合与的关系是包含与不包含关系，不是属于与不属于关系，D不正确. 故选：C 例2 ．下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质可判断. 【详解】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确； 对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确； 对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确； 对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确． 故选：B． 集合间基本关系判定的两种方法和一个关键 【变式探究】1．设集合，则下列集合中与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合相等的定义判断选项. 【详解】两个集合的元素相同，两个集合相等，集合中有2个元素，分别是1和2，所以与集合相等的集合是. 故选：C 2．下列元素、集合间的关系表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，由元素与集合的关系判断；对于B，由集合中元素判断集合间关系；对于C，由空集定义判断；对于D，由数集的范围判断. 【详解】对于A，是元素，是自然数集，应用 “”连接，故A错误； 对于B，中的元素都在中，故，故B错误； 对于C ,是不含任何元素的集合，故C错误； 对于D，是有理数集，是实数集，故，由于任何集合都是它本身的子集，故D正确. 故选：D 考点三：集合的基本运算 例1． 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合表示的数集特征再根据交集计算即可求得结果. 【详解】根据题意可得只能表示奇数，又， 可得． 故选：D． 例2．，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两集合的描述法表示以及交集的几何意义解方程组可得结果. 【详解】根据题意可得联立，解得， 再由两集合交集的几何意义可得. 故选：B 例3. 设全集，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的补集、并集运算求解即可. 【详解】因为全集，集合，， 所以，. 故选：D 例4. 已知集合，，则 ___________； 【答案】 【分析】解方程组求出交集中的元素，再根据列举法可得答案. 【详解】由，得， 所以. 故答案为：. 【变式探究】1. 设集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由交集的定义求解. 【详解】集合，， 则. 故选：A. 2.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求解集合，再根据补集的定义即可得出答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合元素的范围表示在数轴上，由集合并集的含义，即可求得. 【详解】因为集合，， 把集合元素的范围表示在数轴上，如图， 可知. 故选：B. 4. 已知集合，则_________． 【答案】 【分析】求直线的交点可得. 【详解】由，解得，所以． 故答案为：. 考点四：简易逻辑 例1．已知:整数能被2整除，：整数能被6整除，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据题意分别判断充分性和必要性即可得到答案. 【详解】充分性： 因为:整数能被2整除，所以设此数为， 则不一定为整数，即不一定能被6整除，故充分性不成立； 必要性： 因为：整数能被6整除，所以设此数为， 则一定为整数，即一定能被2整除，故必要性成立. 综上所述，是的必要非充分条件. 故选：B 例2．对任意、、，给出下列命题： ①“”是“”的充要条件； ②“是无理数”是“是无理数”的充要条件； ③“”是“”的必要非充分条件； ④“”是“”的充分非必要条件. 其中真命题的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】利用等式的性质以及特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断①；利用充分条件、必要条件的定义可判断②；利用集合的包含关系可判断③；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断④. 【详解】对于①，当时，由等式的性质可知，，即“”“”， 若，当时，则、不一定相等，即“”“”， 所以，“”是“”的充分不必要条件，①错； 对于②，若是无理数，则是无理数， 另一方面，若是无理数，则是无理数， 所以，“是无理数”“是无理数”， 因此，“是无理数”是“是无理数”的充要条件，②对； 对于③，因为， 所以，“”是“”的必要非充分条件，③对； 对于④，若，取，，则，即“”“”， 若，不妨取，，则，即“”“”， 所以，“”是“”的既不充分也不必要条件，④错. 故真命题的个数为， 故选：B. 例3．“”是“”成立的. A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由集合的子集的定义和充要条件的定义推导即可. 【详解】解：，则；反之，若，也有，所以“”是“”成立的充要条件. 故答案为C. 【变式探究】1．“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】时，一定有，满足充分性， 但时，如，不满足，即不满足必要性， “”是“”的为充分不必要条件． 故选：A． 2．的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据必要不充分条件的定义转化为对应集合的关系进行求解即可． 【详解】的一个必要不充分条件对应集合设为,则， 则满足条件， 故选：C． 3．“是等腰三角形”是“是等边三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】因为等腰三角形不一定是等边三角形，所以“是等腰三角形”推不出“是等边三角形”， 又等边三角形一定是等腰三角形，所以“是等边三角形”可以推出“是等腰三角形”， 所以“是等腰三角形”是“是等边三角形”的必要不充分条件， 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$